勾股定理與數(shù)學思想及數(shù)學方法（解析版） 八年級數(shù)學下冊專題訓練

專題03勾股定理與數(shù)學思想及數(shù)學方法（解析版）類型一方程思想（一）單勾股列方程技巧1利用等腰三角形轉移線段1．（2023春?荔城區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E．求AE的長．【思路引領】由勾股定理先求出BC＝6，連接BE，根據(jù)中垂線的性質設AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出關于x的方程，解之可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=A連接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，設AE＝BE＝x，則CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x=25∴AE=25【總結提升】本題主要考查勾股定理，解題的關鍵是掌握勾股定理及線段中垂線的性質．2．（2022秋?芙蓉區(qū)校級月考）如圖，將長方形ABCD沿對角線BD折疊，使點C落在點C'處，BC'交AD于點E．（1）求證：△BED是等腰三角形；（2）若AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【思路引領】（1）先根據(jù)折疊的性質得出∠1＝∠2，再由矩形的對邊平行，內錯角相等，所以∠1＝∠3，然后根據(jù)角之間的等量代換可知DE＝BE；（2）設DE＝x，則AE＝8﹣x，BE＝x，在△ABE中，運用勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，列出關于x的方程，解方程求出x的值，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得△BED的面積．【解答】（1）證明：∵△BDC′是由△BDC沿直線BD折疊得到的，∴∠1＝∠2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BE＝DE；（2）解：設DE＝x，則AE＝AD﹣DE＝8﹣x，在直角△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，∴BE2＝AB2+AE2，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴△BED的面積=12DE×AB【總結提升】此題通過折疊變換考查了三角形的有關知識，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質，折疊前后對應邊、對應角相等．技巧2利用全等三角形轉移線段3．（2021春?重慶期中）如圖，長方形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿直線BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于點F，若AB＝6，BC＝46，求FD的長．【思路引領】根據(jù)點E是AD的中點以及翻折的性質可以求出AE＝DE＝EG，然后利用“HL”證明△EDF和△EGF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可證得DF＝GF；設FD＝x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式進行計算即可．【解答】解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝6，AD＝BC＝46，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE＝26，由折疊的性質可得，EG＝AE，BG＝AB＝6，∠ECF＝∠A＝90°，∴ED＝EG，在Rt△EGF和Rt△EDF中，EG=EDEF=EF∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），∴FD＝FG，設FD＝a，則GF＝a，F(xiàn)C＝CD﹣FD＝6﹣a，∴BF＝BG+FG＝6+a，在Rt△BCF中，BC2+CF2＝BF2，即（46）2+（6﹣a）2＝（6+a）2，解得a＝4，即FD＝4，故答案為：4．【總結提升】本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，翻折的性質，熟記性質，找出三角形全等的條件ED＝EG是解題的關鍵．雙勾股列方程技巧1利用公共邊列方程4．（2018春?淮上區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD為BC邊上的高，點D為垂足，求△ABC的面積．【思路引領】設BD為x，利用勾股定理得出方程解答即可．【解答】解：設BD＝x，則CD＝14﹣x，由勾股定理可得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，則152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得：x＝9，則AD=1所以△ABC的面積=1【總結提升】本題主要考查勾股定理，關鍵是利用勾股定理得出方程解答．5．如圖，在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC＝4，求BC邊上的高AD的長．【思路引領】設CD＝x，由勾股定理得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，則152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解方程求出CD＝5，則可得出答案．【解答】解：設CD＝x，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴152﹣（4+x）2＝132﹣x2，解得x＝5，∴CD＝5，由勾股定理得，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣52＝144，∴AD＝12．【總結提升】本題考查了勾股定理，熟練掌握方程的思想方法是解題的關鍵．技巧2利用相等邊列方程6．（2023春?鄰水縣校級期末）如圖，在筆直的鐵路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個中轉站E，使得C、D兩村到E站的距離相等．則E應建在距A15km？【思路引領】利用DE＝CE，再結合勾股定理求出即可．【解答】解：設AE＝xkm，則BE＝（25﹣x）km，根據(jù)題意可得：∵DE＝CE，∴AD2+AE2＝BE2+BC2，故102+x2＝（25﹣x）2+152，解得；x＝15．故答案為：15．【總結提升】此題主要考查了勾股定理的應用，利用DE＝CE得出是解題關鍵．7．如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的點B'處，點A的對應點為點A'，且B'C＝3，求AM的長．【思路引領】設AM＝x，連接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設AM＝x，連接MB，MB'，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，∵B'C＝3，∴DB'＝6，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，由折疊的性質得：MB＝MB'，∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，即92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AM＝2．【總結提升】本題考查了翻折變換的性質、正方形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握翻折變換的性質和正方形的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．類型二分類討論思想（一）根據(jù)三角形高位置的不確定性分類討論9．（2023春?大觀區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC邊上的高AD＝6，則BC的長為10或6．【思路引領】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在Rt△ABC與Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD與CD的長，即可求出BC的長．【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?A此時BC＝BD+CD＝8+2＝10；如圖2所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?A此時BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，則BC的長為6或10．故答案為：10或6．【總結提升】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．10．（2022秋?海陽市期末）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD=3，AD＝1，AB＝2AC，則BD的長為3或5【思路引領】分△ABC是銳角三角形和△ABC是鈍角三角形兩種情況，根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：當△ABC是銳角三角形，如圖1，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，由勾股定理得，AC=C∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4﹣1＝3；當△ABC是鈍角三角形，如圖2，AC=A∴AB＝4，∴BD＝AB+AD＝4+1＝5，綜上：BD的長為3或5，故答案為：3或5．【總結提升】本題考查的是勾股定理，熟知如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2是解題的關鍵．（二）根據(jù)動點位置的不確定性分類討論8．（2022秋?冠縣期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個銳角為60°，BC＝6，若點P在直線AC上（不與點A、C重合），且∠ABP＝30°，則CP的長為（）A．6或23 B．6或43 C．23或43 【思路引領】根據(jù)點P在直線AC上的不同位置，∠ABP＝30°，利用特殊角的三角函數(shù)進行求解．【解答】解：如圖1：當∠C＝60°時，∠ABC＝30°，與∠ABP＝30°矛盾；如圖2：當∠C＝60°時，∠ABC＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠CBP＝60°，∴△PBC是等邊三角形，∴CP＝BC＝6；如圖3：當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，∴PC＝PB，∵BC＝6，∴AB＝3，∴PC=PB=如圖4：當∠ABC＝60°時，∠C＝30°，∵∠ABP＝30°，∴∠PBC＝60°+30°＝90°，∴PC=BC故選：D．【總結提升】本題考查利用特殊角的三角函數(shù)值求線段的長，解題的關鍵是確定點P在直線AC上的不同位置．11．（2022秋?南京期末）如圖，已知點P是射線OM上一動點（P不與O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當OP＝2或2或22時，△OAP是等腰三角形．【思路引領】分三種情況，當OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP時，由等腰三角形的性質可求出答案．【解答】解：當△AOP為等腰三角形時，分三種情況：①如圖，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP=2②如圖，OA＝OP＝2；③如圖，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP=AO2綜上所述，OP的長為2或2或22．故答案為：2或2或22．【總結提升】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．（三）根據(jù)等腰三角形要和底的不確定性分類討論12．（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點，且CE＝1，AE=26，BE＝4，點F為AB邊上的動點，連接EF（1）求AB的長；（2）當△BEF為等腰三角形時，求AF的長．【思路引領】（1）證出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三種情況，由勾股定理可求出答案．【解答】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE=26∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB=AC2（2）①當BF＝BE＝4時，AF＝AB﹣BF＝52?②如圖，當BF＝EF時，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，設BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝22（負值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝52?22=3③如圖，當BE＝EF時，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF=BE2∴AF＝AB﹣BF＝52?4綜上所述，AF的長為52?4或32或2【總結提升】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．類型三構造等腰直角三角形或含30°角的直角三角形技巧：①等腰直角三角形三邊之比1∶1∶2；②含30°的直角三角形三邊之比1∶1∶313．（2020春?涪城區(qū)校級月考）已知∠BCD＝α，∠BAD＝β，CB＝CD．（1）如圖1，若α＝β＝90°，求證：AB+AD=2AC（2）如圖2，若α＝β＝90°，求證：AB﹣AD=2AC（3）如圖3，若α＝120°，β＝60°．求證：AB+AD=3AC（4）如圖4，若α＝β＝120°，探究AB，AD，AC之間的關系．【思路引領】（1）延長AB至點E，使BE＝AD，連接CE，證明△ADC≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質得到AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，根據(jù)等腰直角三角形的性質計算，證明結論；（2）在線段AB上截取BF＝AD，連接CF，證明△CAD≌△CFB，根據(jù)全等三角形的性質得到CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，根據(jù)等腰直角三角形的性質計算，證明結論；（3）延長AB至M，使BM＝AD，連接CM，作CH⊥AB于H，根據(jù)等腰三角形的性質解答；（4）在線段AB上截取BN＝AD，連接CN，仿照（2）（3）的方法，得到答案．【解答】證明：（1）如圖1，延長AB至點E，使BE＝AD，連接CE，∵α＝β＝90°，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠EBC，在△ADC和△EBC中，AD=EB∠ADC=∠EBC∴△ADC≌△EBC（SAS）∴AC＝EC，∠ACD＝∠ECB，∵∠ACD+∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACB＝90°，即∠ACE＝90°，∴△ACE為等腰直角三角形，∴AE=2AC∴AB+AD＝AB+BE＝AE=2AC（2）如圖2，在線段AB上截取BF＝AD，連接CF，∵∠BCD＝∠BAD，∠BHC＝∠DHA，∴∠B＝∠D，在△CAD和△CFB中，AD=FB∠D=∠B∴△CAD≌△CFB（SAS）∴CA＝CF，∠ACD＝∠FCB，∵∠ACD+∠DCF＝90°，∴∠FCB+∠DCF＝90°，即∠ACF＝90°，∴△ACF為等腰直角三角形，∴AF=2AC∴AB﹣AD＝AB﹣BF＝AF=2AC（3）如圖3，延長AB至M，使BM＝AD，連接CM，作CH⊥AB于H，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠MBC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠MBC，由（1）可知，△ADC≌△MBC，∴CA＝CM，∠ACD＝∠MCB，∴∠ACM＝120°，∴∠CAH＝30°，∴CH=12∴AH=AC∴AM＝2AH=3AC∴AB+AD＝AB+BM＝AM=3AC（4）AB﹣AD=3AC理由如下：在線段AB上截取BN＝AD，連接CN，由（2）（3）可知，AB﹣AD＝AB﹣BN＝AN=3AC【總結提升