線性代數(shù)第5版陳建華課后參考答案

第一章行列式習題1.1計算下列排列的逆序數(shù)(1)；(2)；(3)；(4).解(1)；(2)；(3)；(4).計算行列式(1)；(2)；(3)；(4).解(1)；(2)；(3)；或(4).3.寫出四階行列式中含的所有項.解根據(jù)行列式的定義，含的項是：，所以含的所有項為：，.4.證明等式：.證明右邊注意：思考二階行列式與三階行列式的關系．5.解方程：.解展開行列式，原方程為，故.6.設階行列式中含有個以上的元素為零，證明：該行列式為零．證明階行列式中含有個以上的元素為零，它的非零元素個數(shù)小于個．又根據(jù)階行列式的定義，它的每一項均由不同行、不同列的個元素乘積，定義表達式中，每一項均為零，故該行列式為零．習題1.2計算下列行列式：（1）；（2）；（3）；（4）.解（1）；（2）；（3）；（4）.2.利用行列式的性質證明：.解按第一列拆和，得其中，同理故等式成立.3．計算下列階行列式：（1）；（2）.解（1）；（2）.4.求方程的根.解根據(jù)行列式的定義可知，以該方程是一元四次方程，由代數(shù)基本定理，最多有四個根．觀察行列式的第一和第三兩行，，即時，方程成立，同理，觀察行列式的第二和第四行，，即時，方程成立，所以方程的根為.5．設為階行列式，若，則稱為對稱行列式；若，則稱為反對稱行列式．證明：奇數(shù)階反對稱行列式的值為零．解由，時，有即，因此，將行列式寫出來就是利用行列式的性質有當為奇數(shù)時，得，因而．習題1.31.已知行列式，求余子式和代數(shù)余子式.解余子式，代數(shù)余子式.2.用行列式按行（列）展開定理計算行列式：．解按第二行展開．注：利用展開定理時，通常結合性質將展開行（列）的較多元素化為零．3.已知4階行列式的第3行元素依次為，它們的余子式分別為，求行列式的值.解由題設余子式，故代數(shù)余子式為，所以．4．計算行列式（1）；（2）.解（1）；（2）.﹡5.用拉普拉斯定理計算階行列式：解（方法一）用拉普拉斯定理，按第行展開再展開.（方法二）按第一行展開后再展開,以此作遞推公式，即可得.習題1.41．計算行列式.解（按第一列拆和）.注：本題可以用加邊法2．計算行列式.解.3．計算行列式.解視行列式為的四階范德蒙(vandermonde)行列式4．計算行列式.解.5．計算行列式.解按第一行展開后，再展開這就是我們要找的遞推關系式．當時，把遞推關系改寫為進而而，，代入上式，得類似可得由以上兩式解得當時，當時，遞推式化為，連續(xù)運用這個遞推公式，得.6．用數(shù)學歸納法證明.解用數(shù)學歸納法．因為，，所以當時命題成立．現(xiàn)在假設當階小于時，結論成立，下證對階為時，結論成立．按第行展開行列式，有將上式第一個行列式按第列展開，并將歸納假設代入有．習題1.51．用克萊姆法則解下列線性方程組（1）；（2）.解（1），故線性方程組有唯一解，又所以方程組的解為；（2），所以方程組的解為.2．為何值時，線性方程組有唯一解？解線性方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式不為零．因為系數(shù)行列式為所以，當且時線性方程組有唯一解.3．當取何值時，齊次線性方程組有非零解？解由于齊次線性方程組的系數(shù)行列式為所以，當=0或=2或=3時，齊次方程組有非零解.4．證明：當時，方程組有唯一解，并求其解．解當時，方程組的系數(shù)行列式，所以方程組有唯一解．又所以，．總習題一一、問答題1.試解釋二、三階行列式的幾何意義.（圖1）解在平面解析幾何中，已知兩向量，（圖1）如圖，以為鄰邊的平行四邊形的面積為，而，故這就是說，二階行列式表示平面上以為鄰邊的平行四邊形的有向面積，這里符號規(guī)定是當這個平行四邊形由向量沿逆時針方向轉到向量而得到時面積取正值；當這個平行四邊形由向量沿順時針方向轉到向量而得到時面積取負值．空間三向量的混合積的絕對值等于這三個向量張成的平行六面體的體積，即三階行列式表示以為相鄰棱的平行六面體的有向體積，當構成右手系時，體積取正值；當構成左手系時，體積取負值．實際上改變?nèi)我鈨上蛄看涡?，取值符號改變．類比二、三階行列式，階行列式是由維向量張成的維平行多面體的有向體積．盡管我們不能看見維平行多面體，但是有2，3維空間做藍本，我們卻能夠通過現(xiàn)象抓住行列式概念的本質，進行想象．行列式的性質均可以通過幾何直觀解釋，這就是了解幾何背景的優(yōu)勢．2.行列式中元素的余子式、代數(shù)余子式與行列式有什么關系？解由定義知，在行列式中，去掉元素所在的第行和第列后，保持相對位置不變得到的階行列式稱為該元素的余子式，記為．而把稱為元素的代數(shù)余子式，記為．由定義可知，元素的余子式及代數(shù)余子式與該元素的位置有關，而與該元素本身是什么數(shù)無關．因此，如果只改變行列式的某行（列）的各元素數(shù)值，并不會改變該行（列）原來的各元素對應的余子式和代數(shù)余子式．例如：在行列式=中，將第二行元素都換成1，得，那么的第二行各元素的代數(shù)余子式與的第二行各元素的代數(shù)余子式是分別對應相同的．利用此性質可以方便地計算行列式某些元素的代數(shù)余子式的某些線性組合．它們與行列式的關系主要表現(xiàn)在行列式按行（列）展開定理及其推論中，即，．3.試從幾何的角度解釋三元線性方程組有唯一解的意義.解線性方程組的解可以借助于子空間的概念來闡明，這樣可以使線性方程組的解有了幾何意義．設三元一次線性方程組,三個方程在空間分別表示三個平面，該方程組有唯一解，就是說它們有唯一一個交點（如右圖）．這樣以直觀方式去理解三元線性方程組的解，就會比較順利地遷移到對元線性方程組的解地理解上去。如果我們利用幾何直觀來理解線性代數(shù)課程，就能為抽象思維提供形象模型，提高應用線性代數(shù)理論去解決實際問題的能力．4.范德蒙（Vandermonde）行列式的結構特點及結論是什么？請運用范德蒙行列式證明：.解范德蒙行列式它的結構特點是：每一列都構成等比數(shù)列，首項是1，公比分別是，末項分別是的次冪．若將此行列式轉置，則各行元素具有此特點.解題時若發(fā)現(xiàn)某行列式有此特點，則可以利用范德蒙行列式的結果寫出答案．根據(jù)待求行列式的特點，構造四階范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式結論有，另一方面，按第四列展開有，比較的系數(shù)得結論成立．二、單項選擇題1．級行列式（）．（A）（B）（C）（D）解應選（B），本題宜直接計算，采用直選法．由行列式的定義，該行列式只有一項不為零，．2．設，那么的一次項系數(shù)為（）．（A）1（B）2（C）-1（D）-2解應選（C），本題宜直接計算，采用直選法．由行列式展開定理，的一次項系數(shù)為代數(shù)余子式，故選（C）．3．如果行列式（）．（A）2d（B）3d（C）6d（D）-6d解應選（C），本題直接計算．利用行列式的性質，故選（C）．4．如果級行列式中每個元素都是1或-1,那么該行列式的值為()．（A）偶數(shù)（B）奇數(shù)（C）1（D）-1解應選（A）．因為行列式中每個元素都是1或-1,將行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不變，此時行列式第一行元素只可能是,即2是第一行元素的公因數(shù)，也是行列式的一個因數(shù)，從而行列式的值一定是偶數(shù)．說明：讀者可以考慮所有滿足該題條件的三階行列式的最大取值是多少？它是一個很有趣的問題．5．行列式的主對角線上每個元素與其代數(shù)余子式乘積之和為()．（A）（B）（C）（D）解應選（C），本題思路是根據(jù)行列式的特點，將“主對角線上每個元素與其代數(shù)余子式乘積之和”轉化為“每行元素與其代數(shù)余子式乘積之和”，再利用行列式展開定理解題．由于行列式每行只有一個元素不為零，故從而．6．四階行列式的值等于（）．

(A)(B)(C)

(D)解應選

(D)，本題可以直接計算，采用直選法．計算過程可以用行列式的定義，行列式按行展開定理，也可以用拉普拉斯定理解答．使用拉普拉斯定理更快捷．本題更好的方法是采用排除法，令，可得此時行列式的值為，經(jīng)比較，可知

(A)、(B)和(C)都不對，故本題應選

(D)．7．行列式為零的充分條件是（）．(A)零元素的個數(shù)大于個(B)中各行元素的和為零(C)次對角線上元素全為零(D)主對角線上元素全為零解應選(B)．因為中各行元素的和為零，根據(jù)行列式的倍加不變性質，將其它各列的一倍加到第一列，第一列元素都化為零，故(B)是為零的充分條件．說明：建議初學者分別舉例說明其它三種情況都不是充分條件．8．方程的根為（）．(A)1，2，(B)1，2，3(C)1，，2(D)0，1，2解應選（A）．可以將行列式視為關于的四階范德蒙行列式，立刻得到結論．也可以將分別取值后，第4列分別與1,2，3列對比觀察，得到結論．9．當（）時，方程組只有零解．(A)(B)(C)(D)解應選

(D)，本題直接計算方程組的系數(shù)行列式．由克萊姆法則知，當時，齊次線性方程組只有零解．10．設，則的值可能為（）．(A)4(B)(C)(D)解應選(D)，本題直接計算行列式：則有三個根，故選(D)．三、解答題1.計算行列式．解該行列式的階為，從第列開始，逐列乘以1加到前一列，按第一列展開得原式．2.計算下列行列式（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）；（2）；（3）由習題1.4第5題結論，，當，；或直接用展開定理：原式；（4）由拉普拉斯定理可得：．3.用加邊法計算行列式．解利用行列式展開定理，構造一個等值的行列式，其中第一列元素根據(jù)行列式的特點確定，即原式．4.證明：．證明用數(shù)學歸納法證明．因為，，所以當時命題成立．現(xiàn)在假設行列式階小于時，結論成立，下證對階行列式結論成立．將階行列式按第1行展開后再展開，有故結論成立．5.設是互異的實數(shù)，證明：的充要條件是．證明行列式中元素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，構造四階范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式結論有，另一方面，按第四列展開有，比較的系數(shù)得：又是互異的實數(shù)，故的充要條件是．6.證明：．證明左邊7.當為何值時，方程組有唯一解？并用克萊姆法則求解．解因為方程組的系數(shù)行列式，所以當時，方程組有唯一解．又所以．8.設階行列式的第行元素依次為，第行元素的余子式為全為，第行元素的代數(shù)余子式依次為，且行列式的值為1，求的值.解由題設；；，則有．據(jù)行列式展開定理及其推論有，即．解得．9．設，計算的值，其中是對應元素的代數(shù)余子式．解由行列式按行展開定理10.設行列式，求的值．解由題設依次將第行的（-1）倍加到第行，得再將第一列分別加到其余各列，得．注：用同樣的方法，可以求得行列式11．設為三角形的三邊邊長，證明：．證明將2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得將第1行的倍，加到利用2，3，4行，按第一列展開，得繼續(xù)計算由三角形的性質，上式四個因式中有三項小于零，故．12．設多項式，用克萊姆法則證明：如果存在個互不相同的根，則．解設為互不相同的根，則，于是有該方程組的系數(shù)行列式（視為未知元）故該齊次線性方程組只有零解：，從而．第二章矩陣習題2.11．設，求．解，．2．計算下列各矩陣的積（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.3．設，求．解4．計算下列方陣的冪：（1）已知求；(2)已知，求.解（１）；(2)記，則.＊5．設是兩組變量，系數(shù)在數(shù)域P中的一組關系式稱為由到的一個線性替換．已知兩個線性替換用矩陣的乘法求從到的線性替換．解利用矩陣的乘法運算，線性替換可以表示為則有即有．習題2.21．計算下列方陣的冪：（1）已知，求;（2）設，求．解（1）；（2），所以．2．設，求對稱矩陣和反對稱矩陣使得．解由于分別是對稱矩陣和反對稱矩陣，且，所以．3．證明：對任意的矩陣，和都是對稱矩陣．證明因為，所以是對稱矩陣；同理是對稱矩陣．4．設是實對稱矩陣，若，證明：．證明因為是實對稱矩陣，所以，這樣，即．具體地比較主對角線元素，得由于都是實數(shù)，故，從而．5．階方陣的主對角線元素之和稱為的跡，記為，即，設，均為階方陣，試證：（1）；（2）；（3）.證明（1）；（2）設，則；（3）.習題2.31．求下列矩陣的逆矩陣（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）因為，所以可逆，且；（2）同（1），；（3）因為，所以可逆，且，故；（4）因為，所以．2．解下列矩陣方程（1）；（2）；（3）．解（1）記，矩陣方程即，因為，所以；（2）記，矩陣方程即，因為，所以；（3）記，矩陣方程即，又，故．3．設，為的伴隨矩陣，求．解因為，所以．說明：等式特別重要，請?zhí)貏e關注．4．設為4階數(shù)量矩陣，且，求．解設4階數(shù)量矩陣，因為，所以，從而．5．設，且，求．解因為，所以，從而．6．設是階矩陣，是單位矩陣，且（為正整數(shù)），證明：是可逆矩陣．證明由（為正整數(shù)）可得是單位矩陣，上述等式即所以是可逆矩陣．且．說明：讀者可以考慮在“是階矩陣，是單位矩陣，且（為正整數(shù)）”的條件下是否可逆．思考在第四章學習后，是否有更好的方法來作出判定．習題2.41．設為3階方陣，，，且，求．解將矩陣按列分塊為，則由可得．考慮奇次線性方程組，有都是的解，又，故有非零解，從而，解得．2．設，求．解記，其中，，則有．3．設分別為階可逆矩陣，證明：．證明設，則有，解得,所以．4．設3階矩陣列分塊為，矩陣，若，求矩陣的行列式的值．解根據(jù)矩陣的分塊，將矩陣記為則．說明本題也可以用行列式的性質計算．5．設是階實數(shù)矩陣，若，證明：．證明設，則由，比較主對角線元素，得由于都是實數(shù)，故，從而．習題2.51．用初等變換將下列矩陣化成等價標準形：（1）；（2）；（3）；（4）．解（1）；（2）；（3）；（4）．2．設，請將表示成若干初等矩陣的積．解上述初等變換過程等價于如下矩陣乘法故．說明本題答案不唯一，隨著使用初等變換的不同而不同，不僅次序不同，個數(shù)也可以不等．3．利用初等變換求下列矩陣的逆矩陣．（1）；（2）．解（1）構造分塊矩陣，作初等行變換．．（2）構造分塊矩陣，作初等行變換．，．4．設，用初等變換解矩陣方程．解當是可逆矩陣時，．用初等變換解矩陣方程分兩步，第一步是構造分塊矩陣，作初等行變換．第二步是構造分塊矩陣，作初等列變換．5．設為階可逆矩陣，將的第列和第列對換后得矩陣，試證：（1）可逆；（2）求；（3）交換的第行和第行元素后得到的矩陣是；（4）交換的第行和第行元素后得到的矩陣是.證明（1）因為為階可逆矩陣，所以，將的第列和第列對換后得矩陣，等同于用初等矩陣右乘等于，即，所以，從而可逆；（2）；（3）由，兩邊取逆，得，故交換的第行和第行后得到的矩陣是；（4）由（3），得，又，故，即交換的第行和第行后得到的矩陣是.習題2.61．設，請給出矩陣的全部三階子式．解矩陣的全部三階子式有四個．即2．利用初等變換求下列矩陣的秩．（1）；（2）．解（1）由于初等變換不改變矩陣的秩，對作初等變換化為行階梯形矩陣所以矩陣的秩為2．（2）同（1），所以矩陣的秩為3．3．討論階矩陣的秩．解矩陣的行列式的值為，所以，當時，有當時，矩陣的秩為；當時，易見矩陣的秩為1；若,則所以秩．注意：特別地，當時，若,則秩，若,則秩．4．設，若，求的值．解對矩陣作初等變換當?shù)谌性厝珵榱銜r，，故．說明：本題也可以利用秩的定義，若，則三階子式全為零，不妨取解得．5．設階矩陣滿足，試證：．證明因為，所以，從而；又，綜上所述，結論成立．6．設階矩陣的秩等于1，證明：存在維非零列向量，使得．又該命題的逆命題是否成立？證明設階矩陣的秩等于1，由等價標準形定理，存在階可逆矩陣使得，故記，則有，由于可逆，所以是維非零列向量．逆命題也成立．因為是維非零列向量，所以，矩陣的秩大于0．又，從而矩陣的秩等于1．總習題二一、問答題1．階矩陣可以表示成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和，這種表示是否惟一？解這種表示是惟一的．事實上，若存在對稱矩陣和反對稱矩陣使得．則，即，等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，故它們只能是零矩陣，即．2．請利用矩陣的乘法表示線性方程組，并借助于可逆矩陣和伴隨矩陣，理解克萊姆（Cramer）法則．解記，則線性方程組有矩陣形式．如果可逆矩陣可逆（即系數(shù)行列式），則克萊姆法則告訴我們方程組有唯一解，解可用矩陣形式表示，從分塊矩陣角度理解，對應元素相等，這就是克萊姆法則給出的解的形式．3．設分別為階矩陣，舉反例說明下列運算不正確．(1)；(2)若,則；(3)若,則或；(4)若,則或；(5).解(1)如，，而，它們不相等；(2)如，但；(3)如，,但且；(4)如，有，但且；(5)以（1）中矩陣為例，行列式，而，它們不相等.4．設矩陣的秩為，則是否在中只有一個階非零子式？存在階非零子式嗎？若，求的秩，并求的最高階非零子式.解設矩陣的秩為，則中至少有一個階非零子式（即可能有多個）．因為的階子式已經(jīng)全為零，故的階子式一定全為零．矩陣的秩為2，二階子式，三階子式一定全為零．說明：這些結論對于第三章利用“初等行變換不改變列向量組的線性相關性”討論向量組的性質很重要．5．閱讀矩陣密碼法材料，回答下列問題．現(xiàn)有一段明碼（中文漢語拼音字母），若利用矩陣加密，發(fā)出的“密文”編碼：41，97，81，33，92，66，59，154，103．請破譯這段密文，完成李白膾炙人口的千古絕唱：“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下＊＊”．品味古城名邑的無限風韻，細思加密矩陣的性質要求．解首先將“密文”編碼：41，97，81，33，92，66，59，154，103排成矩陣，由于“密文”是通過加密的，故破譯這段密文的方法是，對應中文漢語拼音字母yang-zhou(揚州)．關于加密矩陣的性質要求，為了計算方便加密矩陣的行列式以為好，根據(jù)電文的長度確定矩陣的階，當階較大時可以考慮用分塊矩陣加密．為了增加破譯難度，密文數(shù)據(jù)可以用模26同余數(shù)．二、單項選擇題1．若A，B為同階方陣，且滿足，則有（）.（A）A＝O或B＝O（B）|A|＝0或|B|＝0（C）(A＋B)＝A＋B（D）A與B均可逆解應選（B），本題可采用直選法．利用行列式乘法規(guī)則，若，則，從而|A|＝0或|B|＝0，故選（B）．當然也可采用排除法．2．若對任意方陣B，C，由AB=AC（A，B，C為同階方陣）能推出B=C，則A滿足（）.（A）A0（B）A＝0（C）|A|0（D）|AB|0解應選（C）．由于矩陣的乘法運算不滿足消去律，當矩陣A可逆（即|A|0）時，用左乘AB=AC能推出B=C．本題也可以借助克萊姆法則理解，將等式變形為，考慮齊次線性方程組只有零解的條件．3．設是階矩陣，，若，則有（）．(A)(B)(C)(D)解應選（A）．都是交換兩行（或列）對應的初等矩陣，它們有一個性質由知，分別用左乘、右乘，沒有改變，故均為偶數(shù)，選（A）．4．設，若秩，則有（）．(A)或(B)或(C)且(D)且解應選（C），解題依據(jù)是和之間秩的關系：．5．設同階方陣滿足關系式，則必有（）.（A）ACB=E（B）CBA=E（C）BAC=E（D）BCA=E解應選

(D)，采用直選法．對于任意方陣我們有“若，則”，由，將或作為一個“整體”與另一個矩陣交換尋找答案．6．若A，B，B+A為同階可逆方陣，則(B+A)＝（）.（A）B+A（B）B＋A（C）(B+A)（D）B(B+A)A解應選

(D)，本題采用“和化積”的思路求逆矩陣．在矩陣的左邊乘A，右邊乘B，得從而，所以，故選

(D)．注意：也可以寫成．由逆矩陣的唯一性有．7．設均為階方陣，則必有().（A）（B）（C）（D）解應選（C），本題可以用排除法，題目中（A）、（B）和（D）都有反例說明不一定成立，它們都是應該知道的．當然，也可以用行列式乘法規(guī)則直接計算．8．已知2階矩陣的行列式，則（）.（A）（B）（C）（D）解應選（A）．考察重要等式，根據(jù)可逆矩陣的定義，當時，我們觀察可知，所以，選（A）．9．設是階矩陣，若，則（）.（A）（B）（C）（D）解應選

(D)，本題可以直接計算，采用直選法．計算如下：，說明：本題檢查的知識點是“對于階矩陣，有”．10．設，則（）.（A）（B）(C)（D）解應選（C），本題可以直接計算，采用直選法．當然計算前應注意觀察矩陣的特點和矩陣運算式的特點，這會簡化計算．事實上，主對角線外的元素對應相等，考慮有，由此選（C）顯然．三、解答題1．設若矩陣與可交換，求的值.解兩矩陣相乘得，比較對應位置元素，有，所以．2．設均為n階對稱矩陣，證明：是階對稱矩陣.證明因為均為n階對稱矩陣，即，所以從而是階對稱矩陣.3．設實矩陣，且，（為的代數(shù)余子式），求行列式．解因為，所以．由等式，得，兩邊取行列式得，即，所以或．又由，，故，從而．4．設為二階方陣，為三階方陣，且│A│＝＝，求．解因為│A│＝＝，所以，又，從而．5．設為4階可逆方陣，且，求．解先將行列式中的矩陣化為同名矩陣，，再代入，可得．6．設，求．解因為，所以，故，；．7．已知，，，求解下列矩陣方程：（1）;(2).解（1）由，得，所以，;(2)因為，所以．8．設，三階方陣滿足關系式，求．解因為，所以．用左乘表達式的兩邊，得，從而．9．設矩陣且滿足,求矩陣.解因為，所以．用右乘的兩邊，得，從而．10．設為階方陣，為的伴隨矩陣，證明：(1)若，則；(2)．證明(1)設，若，則，當然有；若，則可以利用等式得到，考慮齊次線性方程組，由于，且，故方程組有非零解，從而有．(2)由（1）只要證明的情形．事實上，當時，由可得，兩邊同除以，則有結論成立．11．設為階可逆矩陣，若的每行元素之和為，證明：的每行元素之和為.證明首先，由行列式的性質可知，否則，與為階可逆矩陣矛盾．其次，利用向量將“的每行元素之和為”用矩陣的乘法表示為：再將上式兩邊同時左乘，并變形即的每行元素之和為.12．設階矩陣，如果矩陣的秩為，求．解矩陣的行列式的值為，所以當時，矩陣的秩為；當時，易見矩陣的秩為1；當時，所以秩，此時．13．設，若互不相等，求矩陣的秩．解因為，所以對作初等行變換，得由于互不相等，三階子式，而四階子式等于零，故矩陣的秩等于3．14．設為矩陣，為矩陣，且，試證：.證明因為為矩陣，為矩陣，所以矩陣是階矩陣，又，利用矩陣秩的關系，有，故.15．階矩陣滿足時，稱為冪等矩陣．設為冪等矩陣，證明：和是可逆矩陣，并求其逆．證明由得，即，故是可逆矩陣，且．同理，因為，所以是可逆矩陣，且．16．設為5階方陣，且，求．解因為“當階矩陣滿足時，有”，所以由有，從而．17．設，求一個矩陣，使得的伴隨矩陣．解由于矩陣的秩為1，且，所以矩陣的秩為2，從而．進一步有，即的每一列為的解，可令由代數(shù)余子式，可取，同理，可取，這樣可取．注意：本題答案不唯一，感興趣的讀者可以嘗試再找一個．18．證明:任何一個階矩陣都可以表示成為一個可逆矩陣于一個冪等矩陣的乘積.證明不妨設為階矩陣，秩為，則存在階可逆矩陣使得從而其中，顯然是可逆矩陣，是冪等矩陣.19.設矩陣是滿秩的，證明：直線與直線相交于一點．證明令直線與，則它們的方向向量分別為，．在兩直線上分別取點，則所以兩直線共面．又對矩陣作初等變變換，有因為的秩等于3，所以的秩等于3，即不平行，從而兩直線相交于一點．第三章向量與線性方程組習題3.11.用消元法解下列線性方程組（1）；（2）；（3）；（4）．解對方程組的增廣矩陣作初等行變換，化成行階梯形矩陣．（1）秩秩，方程組有無窮多組解，同解方程組為，取為任意常數(shù)，得方程組的解為．（2），秩秩，即出現(xiàn)矛盾方程“”，故原方程組無解；（3）秩秩，所以方程組有唯一解；（4）秩秩，方程組有無窮多解，同解方程組為，即，所以原方程組的解為為任意常數(shù)．2．取何值時，線性方程組（1）無解；（2）有解，并求出其一般解．解對方程組的增廣矩陣作初等行變換，化成行階梯形矩陣．時，秩秩，同解方程組為，所以原方程組（1）當時，無解；（2）當，有解，為任意常數(shù)．3．設齊次線性方程組有非零解，求的可能取值．解由于該方程組未知量個數(shù)和方程個數(shù)相等，所以可以利用行列式幫助討論．線性方程組的系數(shù)行列式，所以或時方程組有非零解．說明：本題也可以對系數(shù)矩陣作初等行變換．4．設是互不相等的實數(shù)，證明：線性方程組無解．證明由題設方程組系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，由于是互不相等的實數(shù)，秩，秩，不相等，所以方程組無解．5．設是秩為的矩陣，證明：若，則．解因為是秩為的矩陣，以為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組只有零解，若，則，所以．說明：當時，本題也可以由是秩為的矩陣，推出可逆，等式兩邊左乘的逆矩陣證明．習題3.21.試將表示成向量組的線性組合．解考慮線性方程組是否有解即可．所以有．2．判別下列各向量組的線性相關性．（1）； （2）；（3）；（4）．解（1）因為，所以秩為2，有非零解，故線性相關； （2）因為，所以秩為3，只有零解，故線性無關；（3）因為，所以秩為3，只有零解，故線性無關；（4）因為，所以秩為2，有非零解，故線性相關．3．設線性無關，線性相關，證明：存在使得，其中．證明因為線性相關，所以存在非零常數(shù)，使得，即，則（否則，由上式可得存在非零常數(shù)，使得，這與線性無關矛盾），從而有，令，完成證明．4．證明下列各題．（1）設為向量組，，證明：線性相關．證明觀察可知，系數(shù)全為1，當然不全為零，由定義可知向量組線性相關．（2）設線性無關，，證明：線性無關．證明設，將代入，整理得因為線性無關，所以，解得，從而線性無關．（3）設可以由向量組線性表示，但不能由線性表示，證明：可以由向量組線性表示．證明因為可以由線性表示，不妨令，則有（否則，若，則，與題設矛盾），從而，即可以由向量組線性表示．5.設線性相關，也線性相關，問是否一定線性相關？請證明之或舉例說明．解不一定．比如：向量組線性相關，也線性相關，向量組線性相關．向量組線性相關，也線性相關，而向量組線性無關．6.設線性相關，線性無關，證明：（1）能由線性表示；（2）不能由線性表示．證明（1）因為線性無關，所以部分組也線性無關，又線性相關，故能由線性表示；（2）由（1）可令，假設能由線性表示，不妨設，則有即能由線性表示，這與線性無關，矛盾．所以不能由線性表示．習題3.31．判定下列各對向量組是否等價．（1）與；（2）與．解（1）將排成矩陣后，作初等行變換，易見不能由線性表示，故與不等價．（2）將排成矩陣后，作初等行變換，易見，與可以互相線性表示，故與等價．2．求此向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用此極大線性無關組線性表示．（1）（2）解（1）將排成矩陣，作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣．向量組的秩為3，一個極大線性無關組可取為，．（2）由于初等行變換不改變列向量組的線性相關性（線性相關、線性無關、線性表示和極大線性無關組），故將行向量豎排后作行變換．所以向量組的秩為3，一個極大線性無關組可取為，且，．3．設向量組的秩為2，求．解（方法一）初等行變換法，向量豎排后作行變換所以時，向量組的秩為2．（方法二）秩的定義法,將向量組排成矩陣因為向量組的秩為2，所以矩陣的秩也為2，從而所有三階子式全為零，譬如，，解得．4．設向量組線性無關，，討論向量組的線性相關性．解首先，將向量組之間的關系用分塊矩陣的乘法形式表示為因為線性無關，所以，線性相（無）關當且僅當，從而，當時，線性相關；當時，線性無關．5．設維基本單位向量組可以由維向量組線性表示，證明：線性無關．證明由于向量組一定可以由基本單位向量組線性表示，題設維基本單位向量組可以由維向量組線性表示，則與等價，而等價向量組的秩相等，所以秩秩，即線性無關．習題3.41．設，驗證是向量空間的一組基，并求在這組基下的坐標．解所以是向量空間的一組基，且在下的坐標是．2．在向量空間中，求向量生成的子空間，生成的子空間，生成的子空間；請從幾何的角度說明三個子空間的關系．解因為，所以又故生成的子空間．從幾何的角度看是兩個平面，它們相交（不平行），張成整個三維空間．3．設和都是向量空間的基，證明：和等價．又與等價的向量組一定是的基嗎？解因為是向量空間的基，是三維空間，所以線性無關，是四個三維向量，它們是線性相關的，故可以由線性表示．同理可以由線性表示．從而和等價．與等價的向量組未必是的基．比如與等價，但它是線性相關的向量組，不能做基．4．設向量組和生成的子空間分別為，若可以由線性表示，證明：．解對，存在數(shù)使得，又可以由線性表示，從而可以表示成的線性組合，即．這樣有．習題3.51．求齊次線性方程組的一個基礎解系．（1）；（2）解（1）對系數(shù)矩陣作初等行變換得同解方程組，分別取自由未知量等于，得到一個基礎解系．（2）對系數(shù)矩陣作初等行變換得同解方程組，分別取自由未知量等于，得到一個基礎解系．2．用基礎解系的線性組合的形式表示下列線性方程組的通解．（1）；（2）解（1）對方程組的增廣矩陣作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣得同解方程組，，故通解為為任意常數(shù)．（2）對方程組的增廣矩陣作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣得同解方程組，，故通解為為任意常數(shù)．3．設是齊次線性方程組的一個基礎解系，證明：，，也是一個基礎解系．解首先，齊次線性方程組解的線性組合是解，故，，都是的解．其次，是齊次線性方程組的一個基礎解系，它們線性無關，又且矩陣的行列式，即矩陣可逆，所以該向量組也線性無關，個數(shù)亦為3，從而是的一個基礎解系．4．設是4元非齊次線性方程組的三個解向量，且，其中，求的通解.解因為4元非齊次線性方程組有解，，故通解為為任意常數(shù)．由題設可取，，即的通解為其中為任意常數(shù)．注意：答案不唯一．比如也可取等．5．設，求一個秩為的矩陣，使得．解考慮齊次線性方程組，因為所以，通解為為任意常數(shù)，可取矩陣（注意答案不唯一）．6.求一個齊次線性方程組,使得向量組是它的一個基礎解系．解本題實際上是解齊次線性方程組，由于通解為為任意常數(shù)，可取為（注意答案不唯一）．7．設是實數(shù)矩陣，證明：與同解，從而矩陣與的秩相等．解顯然的解一定是的解，反之，若是的解，即，左乘得，，即，因為是實向量，所以，從而是的解．這樣有與同解，進一步，矩陣與的秩相等．8．設非齊次線性方程組AX=b所對應的齊次線性方程組AX=0的基礎解系為，且為AX=b的一個特解，試證線性無關.證明設由題設有，用矩陣左乘式，并化簡得，即．而，所以．代入得，又基礎解系是線性無關的，所以有，故線性無關.總習題三一、問答題1.設非齊次線性方程組和齊次線性方程組．（1）若只有零解，能否由此推出有唯一解？若有唯一解，能否由此斷言只有零解？為什么？（2）若有非零解，能否由此推出有無窮多個解？若有無窮多個解，能否由此斷言只有非零解？為什么？答：（1）不能，考慮，只有零解，但無解．反之，能夠；（2）不能，考慮，有無窮多組解，但無解．反之，能夠．2.在中，任一平面是它的子空間嗎？為什么？答：不一定．比如：不能構成子空間，因為中不含零向量．取，但也說明不構成子空間．3.在中，請利用三向量的位置關系，理解它們的線性相關性．答：三向量線性相關當且僅當它們共面．三向量線性無關當且僅當它們不共面，即．4.請思考在中，向量的維數(shù)與向量空間的維數(shù)的區(qū)別．請問三維空間中可以有四維向量嗎？答：向量的維數(shù)是向量分量的個數(shù)，向量空間的維數(shù)是基向量組含向量的個數(shù)．三維空間中可以有四維向量，如生成的是三維空間，其中向量均為四維向量．5．試從空間三平面的位置關系理解線性方程組有解判定定理和解的結構定理.答：設有線性方程組其中每一個方程在空間表示一個平面.如果方程組無解，則或者三平面平行，或者兩平面重合并與第三個平面平行，或者兩平面平行并與第三個平面相交，或者任意兩平面相交，其交線平行于第三個平面；如果方程組有唯一解，則三平面相交于一點；如果方程組有無窮多個解，則或者三平面重合，或者兩平面重合并與第三個平面相交，或者三平面相交于一條直線.二、單項選擇題1．設線性相關，線性無關，則正確的結論是（）.（A）線性相關（B）線性無關（C）可由線性表示（D）可由線性表示解應選（C）．直選法因為線性無關，所以線性無關，又線性相關，故可由線性表示，從而可由線性表示．排除法，取特殊向量排除三個選項．令，則線性相關，線性無關，而線性無關，排除（A）選項．在上述向量組中改令，其余不變，同時排除（B）和（D）選項．2．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則（）．（A）且（B）且（C）且（D）且解應選（C）．因為存在三階矩陣，使得，則方程組有非零解，而系數(shù)行列式，故排除（A）和（B）選項．又時，，由，有，從而，即，應選（C）．3．設元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，且為線性方程組的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為（）.（A）（B）（C）（D）解應選（A）．方程組的系數(shù)矩陣的秩為，且為線性方程組的三個線性無關的解向量，故是的一個基礎解系，四選項中的向量組均為的含3個解向量的向量組，只要它們線性無關即可以作為一個基礎解系．本題可以用直選法，證明線性無關；也可以用排除法，觀察可知（B）、（C）和（D）選項中的向量組均線性相關．4．設為階矩陣，是的伴隨矩陣，齊次線性方程組有兩個線性無關的解，則（）．的解均為的解的解均為的解與有唯一公共非零解與無公共非零解解應選（A）．齊次線性方程組有兩個線性無關的解，則，故，即，所以任意維向量均為的解，從而，的解均為的解．選（A）．5．設向量組是方程組的基礎解系，是方程組的兩個解向量，是任意常數(shù)，則方程組的通解為（）.（A）（B）（C）（D）解應選(B)．根據(jù)特解要求排除（A）和（D）選項．又由題設不能確定是線性無關的，排除（C），確定選（B）．6．設，其中是初等矩陣，則非齊次線性方程組（）．(A)無解(B)可能有解(C)有無窮多組解(D)有唯一解解應選

(D).因為是初等矩陣，，故可逆，非齊次線性方程組有唯一解．7．設，則三條直線，，(其中)交于一點的充要條件是（）．（A）線性相關（B）線性無關（C）秩＝秩（D）線性相關，線性無關解應選

(D)．三條直線交于一點，即對應的方程組有唯一解．當時，即線性相關，線性無關時，有唯一解，選

(D)．8．設向量組Ⅰ：可由向量組，Ⅱ：線性表示，則（）．（A）當時，向量組Ⅱ必線性相關（B）當時，向量組Ⅱ必線性相關（C）當時，向量組Ⅰ必線性相關（D）當時，向量組Ⅰ必線性相關解應選

(D)．建議采用直選方法，實際上，只用到兩向量組之間的關系的一個定理：設兩個向量組，若，則向量組(A)線性相關．注意：本題也可以選擇特殊向量，用排除法．9．設為滿足的任意兩個非零矩陣，則必有（）．（A）的列向量組線性相關，的行向量組線性相關（B）的列向量組線性相關，的列向量組線性無關（C）的行向量組線性無關，的行向量組線性相關（D）的行向量組線性無關，的列向量組線性無關解應選（A）．設，是的列向量組，則根據(jù)分塊矩陣的乘法運算法則，可將改寫為因為是非零矩陣，所以這個等式中至少有一個等式的系數(shù)不全為零，這說明線性相關．將兩邊轉置，得，根據(jù)上面的推證，可知的列向量組，即的行向量組線性相關．10．設向量組（Ⅰ）可由向量組（Ⅱ）線性表示，則下列命題正確的是（）.(A)若向量組（Ⅰ）線性無關，則(B)若向量組（Ⅰ）線性相關，則(C)若向量組（Ⅱ）線性無關，則(D)若向量組（Ⅱ）線性相關，則解應選（A）．考慮第8題解答中使用定理的逆否命題：如果向量組(A)能由向量組(B)線性表示，且向量組(A)線性無關，則．三、解答題1．設向量組=,=,=,=,=,=.（1）求,,,的一個極大線性無關組；（2）問,能否由,,,的一個極大線性無關組線性表示？為什么？解將排成矩陣，作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣．所以，（1）,可作為一個極大線性無關組；（2）＝+；由于對應的方程組無解，故不可以．2．設向量組試問（1）當為何值時，能由唯一的線性表示？（2）當為何值時，不能由線性表示？（3）當為何值時，能由線性表示，但表示法不唯一，并寫出表示式.解（1）當，為任何值時，能由唯一的線性表示；（2）當，時，不能由線性表示；（3）當，時，能由線性表示，且表示法不唯一，此時，其中為任意常數(shù)．3．已知4階方陣，其中均為4維的列向量，且線性無關，，若求線性方程組的通解.解因為4階方陣的列向量組中有是線性無關的，所以，又，即線性相關，得，故．這樣有方程組的通解形式為，．又由，可取為方程組的特解，由，可取為導出組的一個基礎解系.從而，方程組的通解為．4．已知向量組與具有相同的秩，且能由線性表示，求的值.解因為，所以的秩為2，從而，即有．又能由線性表示，所以b=5，代入，得a=15．5．設向量組；；；，且，，證明：則.證明因為，所以線性無關，線性相關，從而可以由線性表示．不妨設．方法一：用線性無關的定義證明．設，將代入，得整理，得由于，故線性無關，所以，即.方法二：用向量組的等價證明．因為，所以從而，向量組與可以互相線性表示，即它們等價，故.方法三：用分塊矩陣的乘法證明．因為，所以線性無關，又其中是可逆矩陣，故.方法四：用初等變換證明．因為，作初等列變換又，所以，.6．設向量組，試求（1）向量組的秩和一個極大線性無關組；（2）用這個極大線性無關組表示其余向量．解將排成矩陣，作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣．向量組的秩等于3，是一個極大線性無關組，．7．已知線性方程組，（1）討論為何值時，方程組無解、惟一解、無窮多個解？（2）當方程組有無窮多個解時，求方程組的通解．解（1）因為方程組的系數(shù)行列式，所以時，方程組有惟一解；時，此時，方程組無解；時，方程組有無窮多個解．（2）時，方程組有無窮多個解，通解為為任意常數(shù)．8．設向量組，（1）證明：線性無關；（2）若3階矩陣滿足，求．解（1）將排成矩陣，作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣．由于向量組的秩為3，且為一個極大線性無關組，所以線性無關；（2）由上可知，已知，從而有．9．設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有的公共解．解由于兩方程組有公共解，將兩個方程組合成一個方程組有解，對它的增廣矩陣作初等行變換，當時，，公共解為任意常數(shù)；當時，時，有唯一解，解為．綜上所述，或時，方程組有公共解．時，公共解為任意常數(shù)；時，公共解．10．設，（1）求滿足的所有向量；（2）對（1）的任意向量，證明：線性無關．解（1）對的增廣矩陣作初等行變換，得所以，向量；同理，對的增廣矩陣作初等行變換所以，向量．（2）因為，所以線性無關．11.設都是矩陣，證明：；．證明設，秩分別為，和分別為的列向量組的極大線性無關組，則的列向量組可以由以，線性表示，所以，．的列向量組的極大線性無關組可以由向量組線性表示，從而．12.設為階矩陣，為的伴隨矩陣，如果存在維非零列向量使得．證明：非齊次方程組有解的充分必要條件是矩陣的秩為．證明“必要性”設非齊次方程組（）有解，則，由的秩的關系可知，，又因為存在維非零列向量使得，所以，故矩陣的秩為．“充分性”設矩陣的秩為，則．因為存在維非零列向量使得，故為的一個基礎解系，由可知的列向量組均為的解，從而可以由非零向量線性表示為，則有，故非齊次線性方程組有解．第四章矩陣相似對角化習題4.11．求實數(shù)，使向量與向量正交.解因為，所以．2．試用施密特正交化方法，將下列向量組正交化．（1）（2）解（1）（2）3．在歐氏空間中，已知，，，求向量的長度及它們兩兩之間的夾角（內(nèi)積為實數(shù)組向量的通常內(nèi)積）．解由長度的定義有，，．因為，且，故β1與β2之間的夾角為，β1與β3、β2與β3之間的夾角為，即相互正交．4．在歐氏空間中，求過點與向量正交的向量的全體，并說明幾何意義．解設滿足條件的向量的終點坐標為，則有與正交，即．幾何意義：過點與向量正交的向量的全體，構成過點，以為法向量的一個平面．5．驗證下列矩陣是正交矩陣．（1）；（2）（3），其中是單位矩陣，是單位列向量．解（1）（2）（3）6．設是階正交矩陣，證明：在歐氏空間中，對于任意向量有．證明因為是階正交矩陣，所以，從而有故．習題4.21．求下列矩陣的特征值和特征向量．（1）；（2）；（3）；（4）解（1）因為，所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量，當時，為屬于的全體特征向量．（2）因為，所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量，當時，為屬于的全體特征向量．（3）因為，所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量，當時，為屬于的全體特征向量．（4）因為所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量，當時，為屬于的全體特征向量．當時，為屬于的全體特征向量．2．已知三階矩陣的特征值為，求.解因為三階矩陣的特征值為，所以，，．又可逆，的特征值為，故．3．設是階方陣，，求方陣的特征值和特征向量．解由于是階方陣，，故，從而的特征值為，任意維非零向量都是的特征向量．4．設矩陣滿足方程，證明：矩陣的特征值只能取或．解設為矩陣的特征值，為矩陣的屬于的特征向量，即，在矩陣方程的兩邊右乘，得，，將代入，，特征向量，所以，從而矩陣的特征值只能取或．5．設是正交矩陣，證明：的實特征值只能取或．解設為矩陣的實特征值，為矩陣的屬于的特征向量，即，等式兩邊取轉置，得，所以，因為是正交矩陣（即），所以，上式化為，而是非零實數(shù)向量，則有，故，即證的實特征值只能取或．6.設分別為矩陣的屬于特征值的特征向量，若，證明：不可能為的特征向量．證明因為分別為矩陣的屬于特征值特征向量，且，所以線性無關．假設是的屬于特征值特征向量，則有，即，將代入，得整理，得，由于線性無關，故，這與矛盾，所以不可能為的特征向量．習題4.31．設與相似，（1）求；（2）求一個可逆矩陣，使.解因為相似，所以，即，解得，．由于分別為矩陣的對應于特征值的特征向量．可取使得.2．判斷下列矩陣是否相似于對角形矩陣，如果可以，求可逆矩陣及對角形矩陣，使得．（1）；（2）；（3）；（4）解由習題4.2，第一題解答結果，（1）是兩個互不相等的特征值，故相似于對角形矩陣．可以取，則．（2）矩陣有三個線性無關的特征向量，對應特征值為，故相似于對角形矩陣，可取，．（3）特征值為，由于當時，，即的幾何維數(shù)等于1，而代數(shù)重數(shù)為2，不相等，故不可以相似于對角形矩陣．（4）特征值為，互不相等，故相似于對角形矩陣．可以取，則．3．設，（1）求可逆矩陣及對角形矩陣，使得；（2）求．解（1）因為，所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量．當時，為屬于的全體特征向量．取，則．（2）由于，則有，從而有．4．設，求．解因為，所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量，當時，為屬于的全體特征向量．取，則，從而有，故．5．設是階矩陣，若的特征值都不為零，證明：與相似．證明因為特征值都不為零，所以可逆，從而取，則有所以與相似．6．設是階矩陣，若，證明：相似于對角矩陣．證明設階矩陣的特征值為，因為，則有，所以，即階矩陣有兩個互不相等的特征值，所以相似于對角矩陣．習題4.41．求正交變換矩陣使得下列矩陣相似于對角矩陣．（1）；（2）解（1）因為，所以，特征值為．當時，為屬于的全體特征向量．當時，為屬于的全體特征向量．令，則它們已兩兩正交的特征向量，單位化得，所以可取，則有．（2）因為所以特征值為．當時，為屬于的全體特征向量．當時，為屬于的全體特征向量．當時，為屬于的全體特征向量．令，則它們已是兩兩正交的特征向量，單位化得，所以可取，則有．2．設矩陣，若線性方程組有解但不唯一，（1）求；（2）求正交矩陣使得為對角矩陣．解（1）由于，時，，方程組無解；當時，，方程組有解且不唯一，故．（2）當時，，三個特征值為，可取三個線性無關的特征向量,由于是實對稱，它們也正交的，單位化得，所以可取，則有．3．設階實對稱矩陣有三個特征值，是的屬于特征值的特征向量，求矩陣．解設的屬于特征值的特征向量為，因為是實對稱矩陣，所以正交，即，則為的屬于特征值的兩個線性無關的特征向量，令，所以4．設為階實對稱矩陣，，求．解首先，若，則矩陣的特征值只能為或1．事實上，設為矩陣的實特征值，為矩陣的屬于的特征向量，即，由可得，又是非零實數(shù)向量，故，即或．其次，為階實對稱矩陣，故矩陣相似于對角形矩陣．即存在可逆矩陣使得，，，所以說明實際上，若，則矩陣相似于對角形矩陣，不必條件加條件“為實對稱矩陣”，本題只是為了降低難度．當時，建議讀者先證明矩陣秩的等式，再證明矩陣有個線性無關的特征向量，從而矩陣相似于對角形矩陣．5．設是反對稱矩陣，證明：是對稱矩陣．證明因為是反對稱矩陣，所以，則有從而是對稱矩陣．總習題四一、問答題1．在歐氏空間中，存在個兩兩正交的非零向量嗎？為什么？答不存在，因為兩兩正交的非零向量組成的向量組是線性無關的，如果有，則在3維空間中有個線性無關的向量，矛盾．2．設是矩陣的屬于特征值的特征向量，將正交化得，則還是的屬于的特征向量嗎？再單位化得呢？答是的．這里是線性無關的．由于施密特正交化方法得到的向量，顯然為的屬于特征向量，，由于都是的屬于的特征向量，且，所以是的屬于特征向量，類似地也是．單位化的過程只是乘以非零常數(shù)，故還是的屬于特征向量．3．如何直接求的兩個正交解向量？答對于方程，先給出一個解，只要觀察，由于第1個分量為0，可取另一解向量的第2,3兩個分量為，保證與正交，代入方程，解得，即．4．如右圖所示的洛書中小圓點表示數(shù)字，空心點表示奇數(shù)，實心點表示偶數(shù)．將圖中的點換成數(shù)字，它就是由這九個數(shù)字排成的矩陣，這個矩陣的每行、每列以及兩條對角線元素之和都等于．人們稱這種圖為“縱橫圖”或“幻方”．求矩陣有一個特征值和對應的一個特征向量．請思考關于該矩陣還有哪些有趣的結論？答由于每行元素之和為15，故有，所以矩陣有一個特征值，對應的一個特征向量為．關于該矩陣有趣的結論如：整除行列式等，還可向高階推廣討論．5.對于3階方陣的特征多項式有．你能給出證明嗎？答可以展開三階行列式直接計算．說明考慮多項式的各項系數(shù)與此多項式在0處的各階導數(shù)的關系，也可以利用行列式的導數(shù)，并比較系數(shù)來證明．6.用施密特正交化方法求一個與向量組等價的正交向量組，結果唯一嗎？答不唯一．對于向量組來說，向量組中各向量在該向量組中排在第幾個位置是無關緊要的，一個向量組實際上可以有！種次序的寫法．對于每一種寫法，均可用施密特（）正交化方法得到與原向量組等價的正交向量組．因此，結果不唯一．二、單項選擇題1．已知為方程組的兩個不同的解向量，則下列向量中必為的對應于特征值的特征向量是（）.（A）（B）（C）（D）解應選（C）．采用直選法，的對應于特征值的特征向量應該是方程組的非零解向量，由此一定滿足條件的是，其它三個向量不一定滿足非零．2．設3階矩陣，則的特征值為（）.（A）1，0，1（B）1，1，2（C），1，2（D），1，1解應選（C）．直選法由于，故矩陣的特征值為，選（C）．排除法由矩陣的跡，排除（B）和（D），又矩陣的行列式，排除（A），故選（C）．3．與矩陣相似的矩陣是（）.解應選(B)．四個選擇項中的矩陣，1都是它們的特征值，且代數(shù)重數(shù)均為2，由于是對角形矩陣，只有選項中矩陣，故1的幾何維數(shù)等于2，可以相似于對角形矩陣，選(B)．4．設是階矩陣，若對任意維列向量有，，則（）．(A)(B)=0(C)有特征值為零(D)可對角化解應選(A)．本題利用重要結論“階矩陣是反對稱的當且僅當對任意維列向量有”，在題設條件下，是反對稱的，故，選(A)．說明作為(D)的反例，反對稱矩陣在實數(shù)域上不可對角化．5．階方陣與某對角矩陣相似，則().(A)(B)有個不同的特征值(C)是實對稱陣(D)有個線性無關的特征向量解應選(D)．直接利用矩陣可對角化的條件．6．設矩陣相似于，則（）.（A）2（B）3（C）4（D）5解應選（C）．因為相似于，所以與相似，與相似，從而7．設，是可逆矩陣，是的屬于特征值的特征向量，則矩陣的一個特征值和對應的特征向量是().(A)(B)(C)(D)解應選(D)．因為矩陣與是相似的，故有一個特征值為．排除選項(A)和(B)，又，且直接計算，所以，為的對應于的一個特征向量，選(D)．8．階矩陣具有個不同的特征值是與對角矩陣相似的（）.（A）充分必要條件（B）充分而非必要條件（C）必要而非充分條件（D）既非充分也非必要條件解應選(B)．設階矩陣有個不同的特征值，則有個線性無關的特征向量，故可以與對角矩陣相似，所以“具有個不同的特征值”是與對角矩陣相似的充分條件．又對于來說，它有三個線性無關的特征向量，對應特征值為，故相似于對角形矩陣，但只有兩個不同的特征值，即非必要條件，選(B)．9．設階實對稱矩陣的秩為2，且，則相似于（）．(A)(B)(C)(D)解應選(B)．由習題4.4的第4題知矩陣的特征值只能為或1，而實對稱矩陣一定與對角形矩陣相似，且秩為2，故與相似，選(B)．10．矩陣與相似，則().(A)(B)(C)(D)解應選（C）．矩陣與相似，所以存在可逆矩陣使得，即，選（C）．三、解答題1．設三階方陣的特征值為，矩陣，求（1）的特征值；（2）是否可對角化，若可以，試寫出其相似對角形矩陣；（3）求.解（1）設方陣的特征值為，，則矩陣有特征值，且對應的特征向量相同．由于方陣的特征值為，所以的特征值為．（2）因為的特征值為互不相等，故是可以對角化，其相似對角形矩陣．（3），同理的特征值為，所以.2．設階方陣有個特征值，且方陣與相似，求.解方陣與相似，而有個特征值，所以有個特征值，有個特征值，從而．3．設，求的特征值和特征向量.解因為，所以，的特征值可能為和0，又矩陣相似于對角形矩陣，而矩陣的秩為1，且的特征值為當時，的特征向量為，當時，，的特征向量為．4．設與相似，其中，（1）求；（2）求可逆矩陣使．解（1）與相似，所以，它們的特征多項式相等，比較系數(shù)，得，解得，．（2）由于的特征值分別為，對應的特征向量分別為，可取，則．5．證明：在歐氏空間中，如果向量與向量都正交，則與向量組的任一線性組合也正交.證明因為向量與向量都正交，即，若為向量組的任一線性組合，不妨令，則6．設是三階矩陣，分別是的屬于的特征向量，．證明：（1）線性無關；（2）當時，行列式．證明（1）因為，，，所以，由于是線性無關的，可逆，所以線性無關．（2）當時，令，則可逆，且即，所以．7．設，均為階方陣，證明：與有相同的特征值．證明只要證明與有相同的特征多項式．方法一用分塊矩陣證明．由于兩邊取行列式，得，同理兩邊取行列式，得，比較兩式，可知=，所以與有相同的特征值．方法二利用多項式證明．若矩陣中有一個可逆，比如可逆，則又由于是關于的首項系數(shù)為1的多項式，故，由上可知，與有相同的特征多項式，即這是關于的一個恒等式，故當時也成立，即=，所以，與有相同的特征值．8．設4階實方陣有兩個不同的特征值，且滿足條件，求的兩個特征值.解由，得，是正交矩陣，又4階實方陣有兩個不同的特征值，所以的兩特征值為，因為，所以，從而，有兩個特征值為.9．設3維列向量組，若3階矩陣滿足，試求.解因為，所以分別為矩陣的屬于的特征向量，令，則，從而有．10．設矩陣是的屬于非零特征值所對應的特征向量，求.解．因為是的非零特征值所對應的特征向量，所以，左乘，，即，從而有，解得：或．進一步，，當時，；當時，．11．設有3階方陣滿足，且，證明：能相似于對角矩陣.證明由于矩陣滿足，故的特征值滿足，的特征值只能在中選?。?，故矩陣至少有一個特征值為0．在組合中，滿足的取法只有各取一次，即可令．這樣3階方陣有三個不同的特征值，所以能相似于對角矩陣.12．設3階方陣能相似于對角形矩陣，求.解因為，所以方陣的特征值為，其中1的代數(shù)重數(shù)為2，又能相似于對角形矩陣，故1的幾何維數(shù)等于2，即．所以當時，．此時，是矩陣的屬于特征值1的兩個線性無關的特征向量，是矩陣的屬于特征值0的特征向量，令，則有，從而有13．設為階實方陣，為的對應于特征值的特征向量，為的對應于特征值的特征向量，且，證明：與正交.證明由題設，有，將等式兩邊取轉置，得，等式兩邊右乘向量，，即，所以，而，所以，即在歐氏空間中與正交.14．設為實對稱冪等矩陣，試證：．證明因為，由習題4.4的第4題，的特征值只能為或1．又為實對稱，故矩陣相似于對角形矩陣．即存在可逆矩陣使得，，而相似矩陣具有相同的跡，所以．15．設有數(shù)列．．（此數(shù)列稱為數(shù)列）．利用特征值和特征向量方法，求此數(shù)列的通項公式．解對于斐波那契數(shù)列滿足的遞推關系，可轉化為如果構造向量，則用矩陣運算表示關系，即從而．這樣求斐波那契數(shù)列通項公式的問題轉化為求矩陣的次冪．由于矩陣的特征值為，對應的特征向量為，記，則有，從而有由初始條件，比較得該數(shù)列的通項公式．第五章二次型習題5.11．寫出下列二次型的矩陣．（1）；（2）；（3）．解依據(jù)平方項系數(shù)為，交叉項系數(shù)的一半為，容易得到（1）和（2）的矩陣（1）；（2）；（3）記，這里不對稱，但有是二次型的矩陣．2．寫出以下列對稱矩陣為矩陣的二次型．（1）；（2）；（3）；（4）．解直接寫出二次型表達式，（1）；（2）；（3）；（4）．說明第（4）題，可以先記，則有上述運算過程實際上是向量（作為特殊矩陣）的運算，學習線性代數(shù)課程時必須熟練掌握3．求下列二次型的秩．（1）；（2）.解（1）二次型的矩陣為，顯然它的秩為1.（2）因為，所以二次型的矩陣為，它的秩為2.4．設為實對稱矩陣，且，求把二次型化為的線性替換.解設線性替換為，則有，由于，可取，這樣有5．已知二次型的秩為，求.解二次型的矩陣為，它的秩為2，則，解得．說明：也可以對矩陣作初等變換求解6．設對稱矩陣，求非奇異矩陣，使得．解觀察矩陣，考慮對應的二次型，所作的非退化線性替換為，即可取非奇異矩陣，使得．習題5.21．求一個正交替換化下列二次型為標準形．(1)；（原題與教材例題重復，已改）(2)．解（1）二次型的矩陣為，特征值為．令是對應的特征向量，它們已兩兩正交，單位化得，所以可取正交替換化二次型為標準形．（2）二次型的矩陣為，因為特征值為．是屬于的兩個正交的特征向量，是屬于的一個特征向量，將單位化，得，所以可取正交替換化二次型為標準形．2．用配方法化下列二次型為標準形，并指出所用替換的矩陣和二次型的秩．(1)；(2)．解(1)令，則有二次型為標準形，所用的非退化線性替換矩陣為，二次型的秩為3．(2)．由于該二次型的平方項系數(shù)全為零，故先作非退化線性替換則有再作非退化線性替換則有，化二次型為標準形所用的非退化線性替換矩陣為，二次型的秩為3．注意二次型的標準形不唯一，與所用的非退化線性替換有關3．用初等變換法化下列二次型為標準形，給出非退化線性替換的矩陣．(1)；(2)．解(1)二次型的矩陣為，構造矩陣所以，二次型的標準形為(2)二次型的矩陣為，構造矩陣所以，二次型的標準形為4．已知二次型的秩為，求，并用正交替換化下列（刪除下列）二次型為標準形．解二次型的矩陣為，二次型的秩為，故，．時，的特征值為，分別為對應的特征向量，正交化得，通過正交替換，二次型化為標準型習題5.31．求下列二次型的規(guī)范型，并指出其秩和正慣性指數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)二次型的矩陣為，特征值為．二次型為標準形．令，得二次型的規(guī)范型為．(2)由習題5.2第1題（2），可知二次型的標準形為，故規(guī)范型為．(3)二次型的矩陣為，特征值為．用正交替換可得標準形為．再作非退化線性替換，令，得二次型的規(guī)范型為．(4)由習題5.2第2題（（2），可知二次型為標準形，故規(guī)范型為．2．設為冪等矩陣,若滿足的秩為,求的正慣性指數(shù)．解因為，由習題4.4的第4題，的特征值只能為或1．又為實對稱，故矩陣正交相似于對角形矩陣．即存在正交矩陣使得，，所以的正慣性指數(shù)等于．3．設元二次型的秩和正慣性指數(shù)分別為，若，證明：存在非零向量使得．解因為二次型的秩和正慣性指數(shù)滿足，所以負慣性指數(shù)，存在非退化線性替換，使得取（第1個和第個分量為1，其余全為0），則，有結論成立習題5.41．判別下列實對稱矩陣是否正定?（1）；（2）；（3）；（4）．解計算各個矩陣的順序主子式判定正定性，（1）因為，所以正定．（2）因為，所以不正定．注意：也可以從說明不正定．（3）因為，所以正定．（4）因為（參見習題1.4第5題），所以正定．2．設分別為階正定矩陣，證明：是正定矩陣．證明方法一（順序主子式方法）對于分塊矩陣顯然是對稱的，又它的第階順序主子式，就是正定矩陣的個順序主子式，當然大于零．第個順序主子式開始，，其中為正定矩陣的個順序主子式，也大于零，所以是正定矩陣．方法二（定義法）對稱性顯然對任意的維非零實向量分別為維向量，且至少有一個不為零，即非負，且至少有一個大于零，所以有這樣，是正定矩陣．說明本題還有其它證明方法，請讀者思考．3．設階實對稱矩陣滿足，證明：是正定矩陣．證明因為矩陣滿足，所以矩陣的特征值滿足，即，又實對稱矩陣的特征值一定是實數(shù)，所以矩陣的特征值只可能為，全大于零，即是正定矩陣．4．證明：階實數(shù)矩陣可逆的充分必要條件是為正定矩陣．證明（必要性）設實矩陣可逆，首先，實對稱，又對任意的非零實向量，由于可逆，有實向量，從而，由正定的定義，可知為正定矩陣．（充分性）設為正定矩陣，則，，所以，故可逆．注充分性也可以用定義證明設為正定矩陣，則對任意的非零實向量，有，從而，故可逆．5．設為階對稱矩陣，若正定，半正定，證明：是正定矩陣．證明首先，是對稱矩陣．其次，對任意的非零實向量，因為正定，半正定，所以，有，且，從而即證是正定矩陣．總習題五一、問答題1.試從幾何的角度加以解釋二、三元二次型的幾何意義，并證明平面曲線是雙曲線.答從幾何的角度看，設二元二次型，它對應的方程的幾何圖像是二次曲線，而三元二次型對應方程的圖像是二次曲面．平面曲線對應的二次型，它的矩陣為，不難計算，特征值為，對應的特征向量分別為，單位化得，令，經(jīng)正交替換（實際上是一個旋轉變換）可化為標準形，由于正交替換不改變圖形的形狀，所以，原曲線方程變換后的方程為，即，它的圖像是一條雙曲線.2.對于實二次型，化二次型為標準形，用正交替換法，配方法，初等變換法化二次型為標準形，各有什么特點？答用正交替換法化二次型為標準形，所得標準形的各項系數(shù)為此二次型的矩陣的特征值．正交替換不改變向量的長度，從而不會改變圖形的形狀．而配方法、初等變換法化二次型為標準形一般不具備上述特點．配方法、初等變換法化二次型為標準形，避免了求矩陣的特征值，并且初等變換法在給出標準形的同時能給出所作的非退化線性變換的矩陣．但配方法、初等變換法通常會改變圖形的形狀，且有時也會出現(xiàn)計算步驟較多的情況．3.設是實對稱矩陣，對于任意的非零向量，稱為關于矩陣的瑞利商．請推導如下所謂瑞利原理：設實對稱矩陣的特征值按大小順序排成，分別為的屬于的特征向量，則，且．答對于二次型，存在正交替換，使得于是即由于是正交矩陣，所以，故上式即為當時，，則有．由于，所以，同理，瑞利原理成立．說明瑞利原理表明對任意的非零實向量，總是的上界，總是的下界，從而提供了一個估計矩陣的最小特征值的上界和最大特征值的下界的簡易方法．4.矩陣的等價、相似、合同三個概念的聯(lián)系和區(qū)別是什么？請搜尋等價、相似和合同關系的不變量．答由定義可見：（a）矩陣的等價關系存在于同型矩陣中．矩陣的相似、合同關系存在于同階方陣中．特別地，我們常對對稱矩陣研究合同關系．（b）等價的矩陣不一定相似或合同，但相似或合同的矩陣一定等價．（c）相似的矩陣不一定合同，合同的矩陣不一定相似．關于等價、相似和合同關系的不變量，我們有等價關系的不變量：秩．相似關系的不變量：秩；特征多項式；特征值．合同關系的不變量：秩；對稱性；對稱矩陣對應二次型的規(guī)范形；實對稱矩陣的二次型的正慣性指數(shù)和負慣性指數(shù)．二、單項選擇題1．設是正定矩陣，則非齊次線性方程組（）．(A)無解(B)可能有解(C)有無窮多組解(D)有唯一解解應選(D)．因為是正定矩陣，所以是可逆矩陣，由克萊姆法則可知方程組有唯一解，選(D)．2．實二次型為正定的充分必要條件是（）.(A)(B)的負慣性指數(shù)為零(C)(D)的特征值全大于零解應選(D)．由實二次型（實對稱矩陣）正定的等價條件是的特征值全大于零，選(D).建議讀者嘗試尋找其它三選項的反例．設則與的關系為（）.(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)相似但不合同(D)既不相似也不合同解應選(A)．記，則矩陣的秩為1，且特征值為，又可對角化，所以與合同且相似，故選(A)．4．設為階實對稱矩陣，矩陣合同的充分必要條件是（）(A)的秩相等(B)都合同于對角矩陣(C)的特征值相同