第一章概率基礎(chǔ)復(fù)習(xí)

大數(shù)據(jù)應(yīng)用之概率統(tǒng)計(jì)第一章概率基礎(chǔ)自2004年概率統(tǒng)計(jì)部份章節(jié)下放到高中數(shù)學(xué)教程以來，高考的文理科應(yīng)用類題型已連續(xù)14年出現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)題，2004年，2005年，2012年，三年考題為古典概型題。涉及到的知識(shí)點(diǎn)為和事件、差事件、積事件、對(duì)立事件及事件的獨(dú)立性等，求設(shè)備在某時(shí)段內(nèi)出故障的概率及該時(shí)段內(nèi)至少有一臺(tái)設(shè)備出故障的概率，比賽中甲勝或乙勝的概率，考生基本能掌握，全省文理科平均分在2分到4分之間。2006年，2007年，2009年為產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn)題型，涉及到的知識(shí)點(diǎn)為分層抽樣的方法，概率的計(jì)算，成品接收和拒收的概率，隨機(jī)變量分布列，離散型數(shù)學(xué)期望和方差，二項(xiàng)分布～?？忌鷮?duì)該類題型掌握較好，全省平均分在2.5分到6分之間。2008年及2011年為保險(xiǎn)公司新險(xiǎn)種的最低保費(fèi)及參加甲、乙兩種保險(xiǎn)的概率問題，由于題目新穎和已知條件多，考生理解不了題意，全省平均分不到2分。2010年題目為電路分析的可靠性問題，題型較新穎，涉及到難度較大的對(duì)立事件和部份物理知識(shí)，全省文科平均分為1.3分，理科平均分為2.6分。2013年考題涉及到商品的需求量和供給量建立利潤的函數(shù)關(guān)系分段表達(dá)式，并求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望，難度不大但題目較新全省文科平均分為1.38分，理科平均分為2.82分，2014年、2016年考題為統(tǒng)計(jì)題，涉及到回歸方程、中位數(shù)和結(jié)合實(shí)際問題評(píng)價(jià)優(yōu)良性等的分析，2015年考題涉及到大數(shù)據(jù)處理的用戶對(duì)公司產(chǎn)品質(zhì)量、使用效果、服務(wù)水平滿意度評(píng)分的頻率直方圖、莖葉圖、平均值及離散程度作定性或定量分析，并評(píng)價(jià)用戶對(duì)地區(qū)、公司之間的滿意度等級(jí)，難度不大且符合大眾化需求，2017年考題為概率統(tǒng)計(jì)題，考察學(xué)生用大數(shù)據(jù)處理對(duì)商品需求量、供給量、期望利潤的理解及教育部國家考試中心提出的重統(tǒng)計(jì)、弱概率、較新穎且與時(shí)俱進(jìn)的目標(biāo)。由于大學(xué)教學(xué)的內(nèi)容與高中教學(xué)的內(nèi)容有交叉重復(fù)部份，如何對(duì)這部份的內(nèi)容進(jìn)行講授和要求值得討論及研究。針對(duì)高中教學(xué)的應(yīng)試性及高考試題的綜合性，應(yīng)用性，創(chuàng)新性和廣泛性，建議大學(xué)教學(xué)及研究生教學(xué)過程中，對(duì)部份精典題如2006年的產(chǎn)品抽驗(yàn)、接收及拒收的題目；2008年保險(xiǎn)公司的最低保費(fèi)問題；2010年的電路分析可靠性問題；2013年的利潤分段函數(shù)關(guān)系及期望利潤問題；2016年的最優(yōu)管理決策題，2017年的概率統(tǒng)計(jì)題等等，以補(bǔ)充和完善高中數(shù)學(xué)學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)的不足及充分體現(xiàn)大學(xué)及研究生教學(xué)的全面性及綜合性。例1、設(shè)甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時(shí)內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為0.05，甲、丙都需要照顧的概率為0.1，乙、丙都需要照顧的概率為0.125.求（1）甲、乙、丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的概率分別為多少？(2)計(jì)算這個(gè)小時(shí)內(nèi)至少有一臺(tái)機(jī)器需要照顧的概率.解：該題所涉及到的知識(shí)點(diǎn)是獨(dú)立事件、對(duì)立事件及和事件，有一定的應(yīng)用背景；（1）設(shè)、、分別表示機(jī)器甲、乙、丙在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照顧的事件，依題意，事件、、相互獨(dú)立，且：，，解上述方程組得，，，(2)或：，該題看似簡單，但卻有一定的綜合性，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，有一定的實(shí)用價(jià)值。*例2、某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件.一用戶在購進(jìn)這批產(chǎn)品前先提取3箱，再從每箱中任取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn).設(shè)取出的第一、二、三箱分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品.（1）用表示抽檢6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望；（2）若抽檢的6件產(chǎn)品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產(chǎn)品，求這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率.解：該題涉及到產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)的超幾何分布及離散型隨機(jī)變量的分布列和隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差；（1）可能的取值為0，1，2，3.由于第一箱中沒有二等品，故計(jì)算時(shí)可不考慮第一箱，則，，，.0123所以的分布列，，。（2）這批產(chǎn)品被用戶拒絕的概率為：。該題是產(chǎn)品抽樣的一個(gè)綜合應(yīng)用，求分布列有一定的困難，尤其是第一箱可排除沒有及時(shí)分析出，有一定適用性。*例3、購買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)元，若投保人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金．假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立．已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為．（Ⅰ）求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率；（Ⅱ）設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)（單位：元）．解：本題用二項(xiàng)分布給出保險(xiǎn)公司保險(xiǎn)險(xiǎn)種出險(xiǎn)的概率和平均出險(xiǎn)的人數(shù)及險(xiǎn)種的盈利的期望值，有一定應(yīng)用背景，為精算師必備知識(shí)；設(shè)投保的10000人中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布。（1）由題意至少有一人出險(xiǎn)的概率為，其對(duì)立事件，（2）的數(shù)學(xué)期望（平均出險(xiǎn)的人數(shù)），即，設(shè)表該保險(xiǎn)險(xiǎn)種的盈利，則，由題意，則有，即每個(gè)投保人應(yīng)繳納最低保險(xiǎn)費(fèi)15元。*例4、如圖，由到的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為,,,,電流能通過,,的概率都是，電流能通過的概率為0.9，電流能否通過各元件相互獨(dú)立，已知,,中至少有一個(gè)能通過電流的概率為0.999。（1）求；（2）求電流能在與之間通過的概率；（3）表示,,,中能通過電流的元件個(gè)數(shù)，求的期望.解：該題利用獨(dú)立事件、對(duì)立事件及和事件，討論電路的可靠性問題及元件正常工作的期望數(shù)；設(shè)表示電流通過元件的事件，（可用代替）表示中至少有一個(gè)能通過電流的事件表示電流能在與之間通過的事件（1）解：相互獨(dú)立故（2）解法一：解法二、，，，解法三、，，（3）解：依題意，所以。*例5，某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下作垃圾。(1)若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(元)關(guān)于當(dāng)天需求量（枝）的函數(shù)解析式。(2)花店記錄了100天的玫瑰花需求量，整理如下表。日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310（1）設(shè)花店在100天內(nèi)每天購進(jìn)17枝玫瑰花，求100天的日利潤的平均數(shù)。（2）若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量的發(fā)生概率，求當(dāng)天利潤不少于75元的概率。解：該題用數(shù)據(jù)分析的方法評(píng)估自主創(chuàng)業(yè)的成效；（1）當(dāng)日需求量時(shí)，利潤；當(dāng)時(shí)，則有：（2）1)時(shí)，天數(shù)為16+15+13+10=54，利潤為85×54。時(shí)，利潤為16×75。時(shí)，利潤為20×65。時(shí)，利潤為10×55。100天平均利潤為：2）利潤不少于75元要求日需求量注：利潤的分布列為利潤55657585858585概率0.100.200.160.160.150.130.10 。*例6(1)：該題用數(shù)據(jù)分析的方法建立數(shù)學(xué)模型作需求量、供給量及銷售收入、利潤的分析，有應(yīng)用背景；解：當(dāng) 當(dāng) 所以 （2)解：由，即有，解得， 故利潤不少于57000元， 由直方圖知需求量的頻率為0.7，所以下一個(gè)季度內(nèi)的利潤不少于57000元的概率的估計(jì)值為0.7，（3)解：依題意可得利潤（需求量函數(shù)）的分布列為：（，及），450005300061000650000.10.20.30.4所以 。 *例7、某公司計(jì)劃購買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購買機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元。現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)分別為16、17、18、19、20、21，其機(jī)器的頻數(shù)分別為6、16、24、24、20、10，（可得其柱狀圖）記表示1臺(tái)機(jī)器在使用三年期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，表示1臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元），表示購機(jī)的同時(shí)購買易損零件數(shù)。（）若，求與的函數(shù)解析式；（）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5，求的最小值；（）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購買19個(gè)易損零件還是購買20個(gè)易損零件？解：該題用數(shù)據(jù)分析的方法建立數(shù)學(xué)模型作管理決策；（），（）當(dāng)時(shí)，需更換的易損零件數(shù)的頻率，當(dāng)時(shí)，其需更換的易損零件數(shù)頻率，的最小值為19，（）若，，若，，故時(shí)，，時(shí)，，比較兩個(gè)平均數(shù)，購1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購19個(gè)易損零件，購買易損零件上所需的費(fèi)用節(jié)省。*例8、設(shè)、是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（）=1/4，P（∣）=1/3,P（∣）=1/2,令若發(fā)生若不發(fā)生若發(fā)生若不發(fā)生求：（1）的聯(lián)合分布侓；（2）的邊緣分布侓、邊緣分布函數(shù)及相關(guān)系數(shù)；（1）解或：的聯(lián)合分布律為：YXYX1010

（2）X的邊緣分布侓為X的分布函數(shù)為110 10YY的邊緣分布侓為Y10Y的協(xié)方差，01XY01XY，的相關(guān)系數(shù)。*例9、設(shè)，求常數(shù)，解：由規(guī)范性，先對(duì)后對(duì)積分，則，求邊緣密度函數(shù)，解：當(dāng)時(shí)，故，又當(dāng)時(shí)，故，（3）求邊緣分布函數(shù)，解：（4）判定是否相互獨(dú)立，解：由，則不相互獨(dú)立，（5）求的協(xié)方差，解：，，，，（5）求的相關(guān)系數(shù)，解：，，，，，（7）求解：。 *例10、某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013代號(hào)1234567收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）求關(guān)于的線性回歸方程；（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年居民家庭人均純收入.（1）解：由平均值公式， ，，， ， ， 回歸方程， （2）由（1）回歸方程知，，故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元。 將2015年的年份代號(hào)代入（1）中的回歸方程，得：，故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.8千元.*例11、某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民，根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分（評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高），繪制出莖葉圖：甲部門：44，57，59，60，61，61，62，63，63，65，66，66，67，69，70，70，71，72，73，73，73，74，74，74，75，75，75，75，75，76，76，77，77，77，78，78，79，80，80，82，85，85，86，86，90，92，92，92，93，96.乙部門：35，39，40，44，44，48，51，52，52，54，55，56，56，57，57，57，58，59，60，61，61，62，63，64，66，68，68，70，70，71，71，73，74，74，79，81，82，83，83，84，85，90，91，91，94，95，96，100，100，100（1）分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分的中位數(shù)；（2）分別估計(jì)市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)分高于90的概率；（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門評(píng)價(jià)。解：（1）由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數(shù)為75，所以該市的市民對(duì)甲部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是75。50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數(shù)為，所以該市的市民對(duì)乙部門評(píng)分的中位數(shù)的估計(jì)值是67。 （2）由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分高于90的次數(shù)為5次，所以評(píng)分高于90的比率為。 由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)乙部門的評(píng)分高于90的次數(shù)為8次，所以評(píng)分高于90的比率為。（3）解：由所給莖葉圖知，50位市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高，（對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低）。 由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較為一致，（對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)差異較大）。注：設(shè)對(duì)甲部門的評(píng)分為，對(duì)乙部門的評(píng)分為，經(jīng)計(jì)算后也得到以上結(jié)論：，*例12、某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分為地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579（1）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分的平均值及分散程度，（2）根據(jù)兩地區(qū)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，將用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：低于70分，不滿意；70分到89分，滿意；不低于90分，非常滿意，記事件：“地區(qū)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度等級(jí)高于地區(qū)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度等級(jí)”，假設(shè)兩地區(qū)用戶的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求事件的概率。(1)解：兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的莖葉圖如下A地區(qū)B地區(qū)4683513466426245588664373346998652181237552913由莖葉圖可知：A地區(qū)用戶滿意度的平均值高于B地區(qū)； A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分較集中。（ ，） (2)解法1：設(shè)表示A地區(qū)用戶非常滿意，表示A地區(qū)用戶滿意；表示B地區(qū)用戶滿意,表示B地區(qū)用戶不滿意 則相互獨(dú)立,所求概率為 解法2：設(shè)表示A地區(qū)用戶非常滿意，表示A地區(qū)用戶滿意；表示B地區(qū)用戶滿意或不滿意,表示B地區(qū)用戶不滿意，則相互獨(dú)立,所求概率為 *例13、某省高三20萬考生英語聽力考試成績服從正態(tài)分布，現(xiàn)從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取50名考生的成績，發(fā)現(xiàn)全部介于之間，將成績按如下方式分成6個(gè)組，其成績區(qū)間與頻數(shù)分別是：第1組、4人，第2組、10人，第3組、16人，第4組、10人，第5組、6人，第6組、4人。（1）給出按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，估算該校50名考生成績的眾數(shù)和中位數(shù)，求這50名考生成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)，（3）從這50名考生成績?cè)趦?nèi)的人中任意抽取2人，該2人成績排名（從高到低）在全省前260名的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望。若，則，。解：頻率分布直方圖的橫坐標(biāo)為成績，分別是6、10、14、18、22、26、30，縱坐標(biāo)為頻率除以組距，分別是0.02、0.05、0.08、0.05、0.03、0.02，直方圖知，該校50名考生聽力成績的眾數(shù)為：，中位數(shù)為：，（2）由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為（0.03+0.02）4=0.2，人數(shù)為0.250=10，即該校50名考生成績?cè)趦?nèi)的人數(shù)為10人，（3）因?yàn)?，則，，所以，該省前260名的英語聽力考試成績?cè)?6分以上，該校50名成績中在26分以上的有0.02450=4人，隨機(jī)變量可取0，1，2，于是，，，的數(shù)學(xué)期望。*例14、為檢驗(yàn)?zāi)撤N零件的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)過程的異常情況，每天從該生產(chǎn)線隨機(jī)抽取16個(gè)零件并測(cè)量其尺寸，根據(jù)長期的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)尺寸服從正態(tài)分布，（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表一天從該生產(chǎn)線隨機(jī)抽取16個(gè)零件的尺寸在之外的零件數(shù)，求及數(shù)學(xué)期望；（2）在一天內(nèi)抽驗(yàn)的零件中，如果出現(xiàn)零件尺寸在之外，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，1、試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的合理性；2、設(shè)檢驗(yàn)員一天從該生產(chǎn)線隨機(jī)抽取16個(gè)零件尺寸為9.95，10.12，9.96，9.96，10.01，9.92，9.98，10.01，10.26，9.91，10.13，10.02，9.22，10.04，10.05，9.95，經(jīng)計(jì)算樣本均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，表抽取的第個(gè)零件的尺寸，用樣本均值作為總體均值的估計(jì)值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程是否應(yīng)除掉在之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)及估計(jì)，（精確到0.01），若，則，。解：（1）、抽取一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，之外的概率為0.0026，故，即服從的二項(xiàng)分布，，數(shù)學(xué)期望；（2）1、若生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件的尺寸在之外的概率為0.0026，一天抽16個(gè)零件，一個(gè)零件的尺寸在之外的概率為，這個(gè)概率很小，一旦發(fā)生這種情況，則認(rèn)為這條生產(chǎn)線這一天的生產(chǎn)過程出現(xiàn)異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，監(jiān)控生產(chǎn)過程是合理的；2、由樣本均值，總體均值的估計(jì)值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，樣本值中有一個(gè)值在之外，應(yīng)該刪除，剩下數(shù)據(jù)的均值為，，剩下數(shù)據(jù)的方差為，總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。*例15、某創(chuàng)業(yè)公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：萬元）對(duì)年銷售量（單位：）和年利潤（單位：萬元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。（）令，，，，，，，，，，，，，，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程？建立關(guān)于的回歸方程及求相關(guān)系數(shù)；（2）對(duì)關(guān)于的回歸方程作整體檢驗(yàn)；（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤與、的關(guān)系為，求當(dāng)年宣傳費(fèi)萬元時(shí)，求年銷售量的預(yù)報(bào)值和預(yù)報(bào)區(qū)間及年利潤的預(yù)報(bào)值；并求年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大？解：（1）、根據(jù)散點(diǎn)圖為拋物線更適合，適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型，，，所以關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程為；當(dāng)，，，，，，有一定誤差，但在可控范圍內(nèi)；由，則樣本相關(guān)系數(shù)；（2）、回歸平方和，，誤差平方和，，回歸方程高度顯著；（3）、當(dāng)年宣傳費(fèi)萬元時(shí)，由，年銷售量噸，由年利潤的預(yù)報(bào)值是百萬元，，，由實(shí)際問題最大值存在且駐點(diǎn)唯一，宣傳費(fèi)萬元時(shí)，年利潤的預(yù)報(bào)值最大，百萬元。2017年考研概率統(tǒng)計(jì)題參考解答1、設(shè)為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，則的充分必要條件是解:本題主要考查條件概率及事件的相互關(guān)系。,選。2、設(shè)為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，則下列結(jié)論中不正確的是服從分布服從分布服從分布服從分布解：本題主要考查個(gè)相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平方和服從分布，正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化過程及抽樣分布定理。對(duì)，，正確，對(duì)，，不正確，選。，正確，正確。3、設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，且與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立的充分必要條件是與相互獨(dú)立與互不相容與相互獨(dú)立與互不相容解:本題主要考查事件的運(yùn)算及獨(dú)立事件的相互關(guān)系。由已知又上兩式相等的充分必要條件是即與相互獨(dú)立，選。4、設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則。解：本題主要考查分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為密度函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及一般正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望。，5、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，，，若，則。解:本題主要考查隨機(jī)變量的概率分布及數(shù)學(xué)期望與方差，又，故。6、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且的概率分布為，，的概率密度為，(1)求(2)求的概率密度。解:本題主要考查隨機(jī)變量取值的概率和函數(shù)的分布。(1)，，(2)。7、某工程師為了了解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是已知的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布，該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)，(1)求的概率密度，(2)利用一階矩求的矩估計(jì)量，(3)求的最大似然估計(jì)量。解：本題主要考查函數(shù)的分布及矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；(1)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，(2)（令)令，得的矩估計(jì)量，其中，，(3)，，，得的最大似然估計(jì)量為：。2016年考研概率統(tǒng)計(jì)題參考解答1、設(shè)隨機(jī)變量，記則隨著的增加而增加隨著的增加而增加隨著的增加而減少隨著的增加而減少解：由，，其圖形關(guān)于為對(duì)稱，故排出，最大值為，增加，最大值減少，圖形越平坦，越大，選。注：用特值法，取，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，選。2、隨機(jī)試驗(yàn)有三種兩兩不相容的結(jié)果，且三種結(jié)果發(fā)生的概率均為，將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)做2次，表示2次試驗(yàn)中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，表示2次試驗(yàn)中結(jié)果發(fā)生的次數(shù)，則與的相關(guān)系數(shù)為解：由題意有，，，，，，，，則與的相關(guān)系數(shù)為，選。*3、設(shè)總體，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，樣本均值，參數(shù)的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間的置信上限為10.8，則的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為。解：由，置信上限為，則：，置信下限為：，故的置信度為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間為。4、設(shè)為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，如果，則解：由題意，有，則：，，有，可推出，，選。*5、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且，，則解：，，選。6、設(shè)袋中有紅、白、黑球各1個(gè)，從中有放回地取球，每次取1個(gè)，直到三種顏色的球都取到時(shí)停止，則取球次數(shù)恰好為4的概率為。解：。7、設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布，令，（1）求的概率密度；（2）問與是否相互獨(dú)立？并說明理由；（3）求的分布函數(shù)。解：區(qū)域的面積為，故的概率密度為；（2）對(duì)于，，，，由于，故與不相互獨(dú)立。（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。*8、設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，令，（1）求的概率密度；（2）確定，使得為的無偏估計(jì)解：（1）總體的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為：，的概率密度為；（2），從而，令，得，故當(dāng)時(shí)，為的無偏估計(jì)。2015年考研概率統(tǒng)計(jì)題參考解答1、若為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則解：，則，選。2、設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則。解：，，故，選。3、設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則。解：由，則，又，則相互獨(dú)立，。4、設(shè)總體，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，為樣本均值，則。解：樣本方差，又，，故有：。5、設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，對(duì)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測(cè)，直到第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)時(shí)停止，記為觀測(cè)次數(shù)，（1）求的概率分布，（2）求。解：（1）每次觀測(cè)中，觀測(cè)值大于3的概率為，故的概率分布為：，，（2）。*6、設(shè)總體的概率密度為，其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本.（1）求的矩估計(jì)量；（2）求的最大似然估計(jì)量.解：（1）由于總體服從區(qū)間上的均勻分布，所以，或由，令，其中為樣本均值，得的矩估計(jì)量為，（2）記為樣本的觀測(cè)值，則似然函數(shù)為由此可知，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大，故的最大似然估計(jì)量為。2014年考研概率統(tǒng)計(jì)題參考解答*1、設(shè)總體的概率密度為，其中是未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，若是的無偏估計(jì)，則。解：，。2、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為，在給定的條件下，隨機(jī)變量服從均勻分布，求的分布函數(shù)（2）求。解：（1）由~，則，均勻分布的分布函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的分布函數(shù)為（2）隨機(jī)變量的概率密度為。*3、設(shè)總體的分布函數(shù)為，其中是未知參數(shù)且大于零，為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，（1）求，（2）求的最大似然估計(jì)量，（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任何，都有解：（1）總體的概率函數(shù)為，設(shè)為樣本觀測(cè)值，則似然函數(shù)為，為的最大似然估計(jì)量，取，由，及辛欽大數(shù)定理，對(duì)任何，即存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任何，都有。4、設(shè)隨機(jī)變量的概率分布相同，的概率分布為：，且的相關(guān)系數(shù)，求的聯(lián)合概率分布，（2）求。解：（1）由的概率分布為：，則，的概率分布為：X,Y0101（2）。2013年考研概率統(tǒng)計(jì)題參考解答1、（本題滿分11分）設(shè)是二維隨機(jī)變量，的邊緣概率密度為，在給定的條件下，的條件概率密度為求的概率密度；的邊緣概率密度；求。解：(I)。（II）當(dāng)時(shí)，所以的邊緣概率密度為（III）。數(shù)學(xué)一:(22).（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為令隨機(jī)變量求的分布函數(shù)；求概率.解：（1）由已知條件有的取值范圍是,則P()=1,設(shè)的分布函數(shù)為，有：當(dāng)時(shí)，=0，當(dāng)時(shí)，=1當(dāng)時(shí)，==+==，(2)或=+0==2012年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（1）設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的概率分布為（1）求；（2）求.解（1）.(2)由（Ｘ,