函數(shù)的對稱性、周期性、圖像和零點(diǎn)講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第頁函數(shù)的對稱性、周期性、圖像和零點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)1、掌握函數(shù)的對稱性、周期性等性質(zhì)，熟悉?？碱}型2、掌握函數(shù)的圖象變換的基本模型，能應(yīng)用基本模型解決實(shí)際問題重點(diǎn)1、函數(shù)的周期、對稱問題的綜合2、函數(shù)圖像變換的基本模型的分析難點(diǎn)1、函數(shù)的周期、對稱問題的綜合2、函數(shù)圖像變換的基本模型的分析（一）函數(shù)的對稱性和周期性知識梳理一、對稱性（一）一個(gè)函數(shù)圖象本身的對稱性（自對稱性）1、軸對稱的圖象關(guān)于直線對稱推論1、的圖象關(guān)于直線對稱推論2、的圖象關(guān)于直線對稱推論3、的圖象關(guān)于直線對稱2、中心對稱的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論1、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱（二）兩個(gè)函數(shù)的圖象對稱性（互對稱性）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、與圖象關(guān)于軸對稱2、與圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱3、與圖象關(guān)于軸對稱4、與其反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱※5、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論1、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論2、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論3、函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱二、函數(shù)的周期性對于函數(shù)，如果存在一個(gè)常數(shù)，使得對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么這個(gè)函數(shù)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做的周期，對于一個(gè)周期函數(shù)來說，如果在所有的周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的最小正周期.※※補(bǔ)充常用性質(zhì)：①若，則，即；②若，則，即；③若，則，即.④若或，⑤如果奇函數(shù)滿足則可以推出其周期是，且可以推出對稱軸為，根據(jù)可以找出其對稱中心為（以上）如果偶函數(shù)滿足則亦可以推出周期是，且可以推出對稱中心為，根據(jù)可以推出對稱軸為（以上）.⑥如果奇函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以為周期的周期性函數(shù).如果偶函數(shù)滿足（），則函數(shù)是以為周期的周期性函數(shù).例題精講【例1】關(guān)于給出下列五個(gè)命題：①若，則是周期函數(shù)；②若，則為奇函數(shù)；③若函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，則為偶函數(shù)；④函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱；⑤若，則的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱填寫所有正確命題的序號_________【例2】已知定義在R上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且滿足，，則的值為（）A．-2B.-1C.0D.1【例3】（1）設(shè)的定義域是全體實(shí)數(shù)，且的圖像關(guān)于直線和對稱，其中，則是（）A、一個(gè)以為周期的周期函數(shù)B、一個(gè)以為周期的周期函數(shù)C、一個(gè)非周期函數(shù)D、以上均不對（2）已知函數(shù)滿足，當(dāng)（1）時(shí)，的值為（3）若函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)的最小正周期是【例4】已知函數(shù)既為偶函數(shù)，又是以6為周期的周期函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，__________【例5】已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．【例6】已知定義在上的函數(shù)滿足：且，，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為．【例7】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)．若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則．【例8】設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t在區(qū)間上的值域?yàn)椋纠?】設(shè)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)，，，滿足如下性質(zhì)：若存在最大（小值，則最大（小值與無關(guān)．試求的取值范圍．．【例10】將奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（即）對稱這一性質(zhì)進(jìn)行拓廣，有下面的結(jié)論：①函數(shù)滿足的充要條件是的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱.②函數(shù)滿足為奇函數(shù)的充要條件是的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱（注：若不屬于的定義域時(shí)，則不存在）.利用上述結(jié)論完成下列各題：（1）已知（）為實(shí)數(shù)，試問函數(shù)的圖像是否關(guān)于某一點(diǎn)成中心對稱？若是，求出對稱中心的坐標(biāo)并說明理由；若不是，請說明理由.（2）若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，求的值.鞏固訓(xùn)練 1、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，則的值為A． B．0 C．1 D．22、若對正常數(shù)和任意實(shí)數(shù)，等式成立,則下列說法正確的是()A函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為B函數(shù)是奇函數(shù),但不是周期函數(shù)C函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期為D函數(shù)是偶函數(shù),但不是周期函數(shù)3、設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?，，且?dāng)時(shí)，，則有A． B． C． D．4、（1）若函數(shù)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象的對稱軸方程是A． B． C． D．（2）已知函數(shù)，則該函數(shù)的對稱軸方程為．5、設(shè)函數(shù)滿足對任意，都有成立，，（1），則．6、已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，如果，且，則下列說法正確的是A．的值為正數(shù) B．的值為負(fù)數(shù) C．的值正負(fù)不能確定 D．的值一定為零7、定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期．若將方程在閉區(qū)間，上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為A．0 B．1 C．3 D．58、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．（1）求的值；（2）若在上為減函數(shù)，求a的取值范圍．（二）函數(shù)的圖像和零點(diǎn)知識梳理注意：一切變換針對于變量本身（1）平移變換：ⅰ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅱ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；（2）伸縮變換：?。瘮?shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅱ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；（3）對稱變換：?。瘮?shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅱ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；ⅲ．函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象；（4）翻折：自變量加絕對值即把軸下方部分翻折到上方即可，自變量加絕對值需把軸左側(cè)部分清除，并畫出與右側(cè)部分圖像對稱的圖像.i函數(shù)的圖象函數(shù)圖象；ii函數(shù)的圖象函數(shù)圖象；（5）順序：針對于變量的運(yùn)算，在變換過程中由外層運(yùn)算向內(nèi)層運(yùn)算進(jìn)行.但注意，由于習(xí)慣把單獨(dú)放在等式左邊，所以針對于的變換如在右側(cè)進(jìn)行的話，規(guī)則相反.如：可由函數(shù)（針對于的變換結(jié)束）（針對于的變換結(jié)束）四、函數(shù)的零點(diǎn)：對于函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么就把叫做函數(shù)的零點(diǎn).注：零點(diǎn)是數(shù)；用二分法求零點(diǎn)的理論依據(jù)是：（零點(diǎn)定理）（請認(rèn)真查閱課本學(xué)習(xí)求零點(diǎn)的精確度關(guān)于次數(shù)的問題）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；②那么，一定存在，使得.（反之，未必）例題精講【例11】分別畫出以下函數(shù)的圖像：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【例12】函數(shù)（其中的圖象不可能是A．B． C． D．【例13】設(shè)函數(shù),將向左平移個(gè)單位得到函數(shù),將向上平移個(gè)單位得到函數(shù),若的圖像恒在的圖像的上方,則正數(shù)的取值范圍為_____________.【例14】（1）記，已知函數(shù)是偶函數(shù)(為實(shí)常數(shù))，則函數(shù)的零點(diǎn)為.(寫出所有零點(diǎn))（2）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，且．下列說法不正確的是A． B． C． D．【例15】（1）已知偶函數(shù)滿足：，并且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是.（2）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【例16】（1）若函數(shù)無零點(diǎn)，則的取值范圍為．（2）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是為（3）設(shè)為非零實(shí)數(shù)，偶函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（4）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)關(guān)于的方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)、需要滿足的條件為____________．【例17】已知函數(shù)，關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．其中真命題的序號為．【例18】（1）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于________（2）定義在上的函數(shù)滿足：=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，，=2\*GB3②，設(shè)關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)從小到大依次記為，則______．【例19】（1）已知函數(shù)，若，且，則．（2），若互不相同，且，則的取值范圍是.【例20】（1）定義在上的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對任意的滿足（常數(shù)），則函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．（2）已知函數(shù)滿足：①對任意，恒有成立；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，．若，則滿足條件的最小的正實(shí)數(shù)是．【例21】關(guān)于函數(shù)給出下列四個(gè)命題：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減且沒有最值；②方程一定有解；③如果方程有解，則解的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)；④是偶函數(shù)且有最小值．則其中真命題是．（只要寫標(biāo)題號）【例22】已知函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，對于給定的非零常數(shù)，總存在非零常數(shù)，恒有成立，則稱函數(shù)是上的級類周期函數(shù)，周期為．（1）已知，是上級類周期函數(shù)，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，若是上周期為4的級類周期函數(shù)，且的值域?yàn)橐粋€(gè)閉區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍．鞏固訓(xùn)練1、函數(shù)的圖象為（）．A．B．C．D．2、設(shè)，則函數(shù)的圖像大致形狀是()OaOabyxbaOxybaOxybaOxy(A)(B)(C)(D)3、已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（）A．B．C．D．

4、若直線與曲線有四個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A．B．C．D．5、已知與都是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.6、已知，若是函數(shù)的零點(diǎn)，則四個(gè)數(shù)按從小到大的順序是（用符號連接起來）．7、若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.8、關(guān)于的方程至少有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．9、在平面直角坐標(biāo)系中，對于函數(shù)的圖像上不重合的兩點(diǎn)，若關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱點(diǎn)對是函數(shù)的一組“奇點(diǎn)對”（規(guī)定與是相同的“奇點(diǎn)對”）．函數(shù)的“奇點(diǎn)對”的組數(shù)是．10、定義函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)的和為．11、已知，若，與軸交點(diǎn)為，為曲線，在上任意一點(diǎn)，總存在一點(diǎn)異于使得且，則．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練一、填空題1、函數(shù)的零點(diǎn)為．2、定義在上的函數(shù)滿足：，當(dāng)，時(shí)，，則．3、定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，時(shí)，，則當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的最小值為．4、已知函數(shù)對于恒有，若與函數(shù)的圖像的點(diǎn)交為，，，，，，，則．5、函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，若（1），則（1）（2）．6、已知函數(shù)，其中且，若函數(shù)的圖象上有且只有一對點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是．二、選擇題7、為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)A．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度 B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度 D．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度8、已知函數(shù)，則A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱 C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增9、已知是定義在上的偶函數(shù)，，且當(dāng)，時(shí)，，則下列說法不正確的是A．是以4為周期的周期函數(shù) B．當(dāng)，時(shí)，