2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)9種常見考法歸類（新高考地區(qū)專用）含解析

考點(diǎn)27復(fù)數(shù)9種常見考法歸類

高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

（-）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

（-）共朝復(fù)數(shù)

（三）復(fù)數(shù)相等

（四）復(fù)數(shù)分類

考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模

（一）求復(fù)數(shù)的模

（-）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)

（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題

考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

（-）復(fù)數(shù)的運(yùn)算

（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題

考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義

（-）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（向量）有關(guān)的運(yùn)算

（二）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限

（三）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)

考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的綜合問題

考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的新定義問題

考點(diǎn)八歐拉公式及其應(yīng)用

考點(diǎn)九復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的交匯

解題策略

1.復(fù)數(shù)的概念

概念定義

把形如。+歷(°,66R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母

復(fù)數(shù)

z表示，即2="+歷，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部

復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C={a+歷|a,bGR}

復(fù)數(shù)

a+bi=c+di<=^a=c,b=d,其中a,b,c,d￡R

相等

復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,匕￡R)的分類：

|實(shí)數(shù)。=0),

分類復(fù)數(shù)i虛數(shù)(厚0)(當(dāng)〃=0時(shí)為純虛數(shù))

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為

共甄

共輾復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共朝復(fù)數(shù)也叫做共軌虛數(shù).復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)

復(fù)數(shù)

數(shù)用Z表示，即如果z=a+bi(a,b^R),那么z=a—?dú)v

建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，尤軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

復(fù)平面

顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

復(fù)數(shù)z=a+bi(4,i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的向量為龍，則向量龍的模叫做

復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|〃+bi|.即|z|=1。+bi[=y/屏+或2,其中

的模a,b￡R.復(fù)數(shù)z=a+Z?i(〃，b￡R)的模就是復(fù)數(shù)z=〃+歷在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)Z(a,匕)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

2.解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,bGR),則該復(fù)數(shù)的實(shí)部為

a,虛部為6；

(2)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共朝復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即得

原復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)zi=a+歷與Z2=c+di共軌uw=c,b——d(a,b,c,dGR).

(3)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)

化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.所以解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,

bCR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

①復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件:①z=a+biERH)=O(a,beR)；②zeRT=N；③zeR^2>0.

②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)ua=O且b/)(a,beR);@z是純虛數(shù)0+N=O(z，O);③z是純虛數(shù)

~2<0.

3.解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法

復(fù)數(shù)問題標(biāo)準(zhǔn)化、實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.復(fù)數(shù)概念中應(yīng)注意的幾點(diǎn)：①對(duì)于復(fù)數(shù)相

+ni,如果加，wGC(或沒有明確界定相，?GR),則不可想當(dāng)然地判定機(jī)，wGR；②易誤認(rèn)為y軸上的點(diǎn)與

純虛數(shù)一一對(duì)應(yīng)(注意原點(diǎn)除外)；③對(duì)于a+歷(a,bGR)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了。=0而漏掉了厚0.

4.復(fù)數(shù)的幾何意義

[復(fù)數(shù)z=a+M(a,6CR,i為虛數(shù)單位)]

一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)

|復(fù)平面內(nèi)的總卜一一對(duì)應(yīng)

(a,b)[平面向量應(yīng)(起點(diǎn)為原點(diǎn)。)]

為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)Z=a+歷說成點(diǎn)Z或說成向量龍，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).

5.對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的再理解

(1)復(fù)數(shù)Z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量/相互聯(lián)系，即2=。+歷(°,bGR)f,b)^OZ-,

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解

題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

6.兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模|z「Z2|的幾何意義

|z|的幾何意義：令2=》+.0，ydR),則歷尸“^+產(chǎn),由此可知表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是|z|

的幾何意義；|Z1—Z2I的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)Zl,Z2的兩點(diǎn)之間的距離.即設(shè)復(fù)數(shù)

Zj=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A(a,b),5(c,d),則|zx-z21=

一般地，設(shè)復(fù)數(shù)Z1=a+萬,Z2=c+力(。也c,deR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A(a,b),B(c,d)，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)Z的軌跡如下：

①若|z-z/=r,則為圓;

②若/J<|z-4|<2，則為圓環(huán)，但不包括邊界;

③若|z-2j=|z-Z?|,則為垂直平分線;

④若|Z-Z]|+|z-Z2l=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，為橢圓；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，為線段；當(dāng)常數(shù)小

于AB時(shí)，不存在；

⑤若lz-4I-|z-Zzl=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，不存在；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，為一條射線；當(dāng)常

數(shù)小于AB時(shí)，為雙曲線的一支.

7.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

(1)運(yùn)算法則：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dGR),貝I

①zi±Z2=(a±c)+(b+d)i.

②Z1Z2={ac—bd)+(ad+bc)i.

ziac+bdbe—ad

③Z2=C2+/+d+屋i(Z2?0).

注：①復(fù)數(shù)的計(jì)算除了掌握基本運(yùn)算法則外，最好熟記一些常見算式運(yùn)算的結(jié)果，這對(duì)提高運(yùn)算的速

度和準(zhǔn)確度都有很大的幫助.②除法的關(guān)鍵是“分母實(shí)數(shù)化”.

(2)復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

y

加復(fù)數(shù)Z1+Z2是以波1,龍2為鄰邊的平行四邊形的z心，孰

法

對(duì)角線0Z所表示的向量應(yīng)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)01x

]Z（c,d）

減復(fù)數(shù)Z1—Z2是從向量應(yīng)2的終點(diǎn)指向向量歷1的終2

法（a,b）

點(diǎn)的向量方之所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)X

(3)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律：對(duì)任意Zi,Z2,z3ec,有

交換律Z1+Z2二=Z2+Z1

結(jié)合律（Zl+Z2）+Z3二=Z1+（Z2+Z3）

(4)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：對(duì)于任意Zl,Z2,Z3WC,有

交換律Z1Z2—Z2Z1

結(jié)合律（Z1Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

分配律Z1（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3

(5)共輾與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運(yùn)算性質(zhì)有:

①Z]±Z2=Z]±Z2；②Z1XZ2=Z]XZ2；③Z.N=|z'=|司2；④卜J一㈤閆Z[±Z2同zj+㈤;

⑤|平2月小閭；?—二?

Z2Zl|

(6)常用結(jié)論

①(a±6i)2=cr±2abi~b2(a,bGR)；

②(a+bi)(a—6i)=q2+62(a,6GR)；

?..1+i.1—i.

③(1±i)―9=±2i；-：r=i,1.——i.

1—11+1

@i4n=l,i4"+l=i,i4"+2=—1,i4"+3=—i其中〃GN*'i4"+i4"+l+i4"+2+i4"+3=0(〃GN*).

8.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略

在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則（實(shí)部與實(shí)部相加減，

復(fù)數(shù)的加減法

虛部與虛部相加減）計(jì)算即可

復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，

復(fù)數(shù)的乘法

不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可

除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的舞寫成最

復(fù)數(shù)的除法

簡形式

在含有z,z,憶|中至少兩個(gè)的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z=a+bi,a,bER,變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的充

要條件得出關(guān)于a,b的方程組，求出a,b,從而得出復(fù)數(shù)z.

9.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程依2+%+。=0（際0）的求根公式為

,,,—b±\lb2—4ac

（1）當(dāng)/NO時(shí)，x=-----9-----；

—b川一（左一4aRi

（2）當(dāng)/<0時(shí)，尤=2a

注：實(shí)系數(shù)方程的虛數(shù)根必共軌成對(duì)出現(xiàn)

10.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是：

依據(jù)題意設(shè)出方程的根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.對(duì)于一元二次方程，也可以利用

求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負(fù)數(shù)是能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)系也是成立的（依然滿足韋達(dá)

定理）.注意求方程中參數(shù)的取值時(shí)，不能利用判別式求解.

注：由于虛數(shù)單位i的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無實(shí)數(shù)根.

W考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

（一）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

1.（2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若（z+i）i=4-7i,則復(fù)數(shù)Z的虛部為（）

A.-5B.5C.7D.-7

2.（2023?河南安陽?統(tǒng)考三模）已知（l+2i）（a+i）的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（）

A.-B.--C.gD.--

3322

1-4i3

3.（2023?河南駐馬店?統(tǒng)考二模）復(fù)數(shù)z=--的實(shí)部與虛部之和為（）

1-i

A.-4B.-1C.1D.4

（二）共施復(fù)數(shù)

4.（2023春?四川雅安?高三雅安中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）i3+i，的共輾復(fù)數(shù)為（）.

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

5.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z（3+i）=|（2+i）j,

則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)虛部為（）

A.-B.4C.--D.--

2222

1+Z

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，.是實(shí)數(shù)，貝匹=（）

1+1

A.—iB.iC.12iD.2i

（三）復(fù)數(shù)相等

7.（2023?上海徐匯?位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知ZEC,則2=五”是“ZER”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.非充分非必要條件

8.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知xeR,yeR,且X+i=y+M,i是虛數(shù)單位，則％+>=.

9.（2023?全國?校聯(lián)考三模）已知I,=?-沅則Q+Z?的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

2

10.（2023?天津津南?天津市咸水沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知;~~；=l-i（?eR）,貝=

11.（2023?上海?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)（1-3加-1）+（1-5利-61=3（其中i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)冽=

12.（2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？既＃┮阎猘,beR,復(fù)數(shù)z=。+仇滿足z（l+i）=（1—2產(chǎn)，則〃+（）

C.-3

13.（2023?陜西安康?陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=2+i,且磔二+8=0,其中。，。為實(shí)

數(shù)，則（）

A.〃=—1,b=—4B.a=—ljb=4C.a=l,b=—4D.a=l,b=4

（四）復(fù)數(shù)分類

14.（2023?山東濰坊?三模）已知”,beR,i為虛數(shù)單位，則“復(fù)數(shù)z=是純虛數(shù)”是“同+網(wǎng)/0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

15.（2023?四川成都?三模）已知復(fù)數(shù)z=（a+i）（2+i）是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)a的值為.

16.（2023?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)出■是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為（）

2

2

3+

（2023?全國?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)〃R,貝廠加=2”是“丁一十相（3+4i）為純虛數(shù)”的

A.充分不必要條件必要不充分條件

C.充要條件既不充分也不必要條件

18.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z=2+（療+2〃?_i5）i為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)根的值是

19.（2023春?全國?高三競賽）復(fù)數(shù)z=（a+i『eR,且1＜忖＜3,則實(shí)數(shù)”.

20.【多選】（2023?吉林?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)Z]=M-l+（m+l）i,Z2=cos26+isin6,下列說法正確的是

（）

A.若4純虛數(shù)，則機(jī)=1

B.若Z2為實(shí)數(shù)，則夕=E,keZ

、4

C.右4=4,則機(jī)=0或加=一1

D.若420,則根的取值范圍是（-w,—l]u[l,+oo）

考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)

21.（2023?湖北?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+4i,則z的共軌復(fù)數(shù)的虛部為（）

A.2B.-4C.4D.-2

22.（2023?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且目=2,卜+目=2,貝匹

的值為（）

A.1-V3iB.1+拘

C.V2-V2iD.V2+V2i

23.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z+2』=2+i，其中i為虛數(shù)單位，

則Z=（）

22

A.3—2iB.2+3iC.—iD.—hi

33

24.（2023春?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足2（z+2）-（z-5）=8-2i,則其實(shí)

部Rez=.

7Z

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)三為純虛數(shù)，且丁一二1,則z=（）

l+i1+1

A.1-iB.l+i

C.—l+i或l—iD.—l—i或l+i

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模

（一）求復(fù)數(shù)的模

26.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)z“Zz為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）

A.如果Z]-Z2>0,那么Z]>Z2

B.如果㈤=卜|,那么Z1Z=Z2Z2

C.如果3>1,那么㈤>以,|

Z2

D.如果z；+z；=o,那么Z[=Z2=。

27.（2023?廣東?高三專題練習(xí)）己知a,Z?GR,（l-2i）a=l+M,貝山+例=（）

A.5B.275C.3D.石

28.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)a+3i=4+歷，則手&=（）

5+121

A.AB,1C.2D.H

13131313

29.（2023?全國?模擬預(yù)測）己知復(fù)數(shù)z滿足（l+2i）z=i23,則同=（）

A.-B.旦C.-D.也

5555

30.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z2=-2i，則慟=（）

A.1B.&C.6D.2

31.（2023?江西九江?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z-（2+i）=7—4i,則|z|=（〕

A.1B.&C.2D.2夜

32.（2023?河南?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z2+z+l=0,貝!J|z|=（）

A.1B.1C.V2D.1或0

（二）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)

33.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知acR,i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=i（a-i）,目=2,貝/=

34.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=o+i（其中a>0,i為虛數(shù)單位），若復(fù)數(shù)z的

模為0，則實(shí)數(shù)。=（）

A.1B.2C.3D.4

35.（2023?陜西西安?西安一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足z=1[aeR）,若閆=而，則復(fù)數(shù)z

為（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3-i或-l-3iD.3-i或3+i

13

36.（2023?河北石家莊?正定中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)復(fù)數(shù)z=l+?i（aeR）,z2=-^-,且卜區(qū)同，貝匹的

最大值為（）

A.1B.2C.2y/3D.372

（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題

37.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)z,4,均為復(fù)數(shù)，且z產(chǎn)Z2,下列命題中正確的是（）

A.若Z[=Z2，則Zj=Z2

B.若區(qū)—z?卜[z]+z?[,則Z]Z2=0

C.若zz=zz2，則z=0

D.若|z-zj=|z-z/貝”在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上

38.（2023秋?江蘇?高三統(tǒng)考期末）若復(fù)數(shù)z滿足|z-l|W2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為

（）

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

39.（2023.江西贛州.統(tǒng)考二模）已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=l（i為虛數(shù)單位），則|z-i|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

40.（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)z是復(fù)數(shù)且|z-l+2i|=l,則目的最小值為（）

A.1B.73-1C.75-1D.小

41.（2023春?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學(xué)校考階段練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z+二eR,則|z+i|的最小值

為（）

A.立B.正C.72-1D.1

32

42.【多選】（2023?河北石家莊?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)4=1+27,復(fù)數(shù)z滿足|z-zj=2,則（）

A.z1-zi=5

B.A/5-2<|Z|<V5+2

C.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1,2）

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z（x,y）,則（x_iy+（y_2）2=4

43.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如果復(fù)數(shù)z滿足2+17卜2,那么|z-2+i|的最大值是.

44.（2023河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)2滿足|2+"=|2-力2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（不力,

則（）

A.x+y=0B.x—y=0C.x=0D.y=。

45.（2023?全國?高三專題練習(xí)）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z滿足|z-2|-|z+2|=2,則|z-i|的最小值為（）

A.且B.gC.6D.75

22

46.（2023.山東煙臺(tái).統(tǒng)考二模）若復(fù)數(shù)z滿足|z+3|-|z-3|=4,則|z+l|的最小值為（）.

A.3B.73C.2D.72

考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

（-）復(fù)數(shù)的運(yùn)算

47.（2023?天津河北?統(tǒng)考二模）i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3+筌4i=______.

1+1

48.（2023?山東聊城?統(tǒng)考三模）］1一口=（）

A.2-iB.2+iC.-2iD.2i

49.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）已知復(fù)數(shù)z滿足（z+2i）（z-2i）=2（i為虛數(shù)單位），貝”=（）

A.±V6iB.±y/2iC.2iD.土戈

7

50.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=l-i（i是虛數(shù)單位），則=一=（）

ZZ+1

A31.11.八13.11.

A.-+-1B.-+-1C.------1D.一一+-1

55555555

51.（2023?江蘇南通?三模）復(fù)數(shù)z=l+2i+3i?++2O22i2021+2023i2022）.

A.1012B.-1011C.1011D.2022

52.（2023?全國?高三專題練習(xí)）

53.（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知4=a+2iz2=2+bi,（a,1eR）,若+Z）+（Z2豆）i=4+13i,

則（）

A.。=2,Z?=3B.a=—2fb=—3

C.。=2,&=±3D.a=-2fZ?=±3

54.【多選】（2023?河北邯鄲?統(tǒng)考三模）已知復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)4對(duì)應(yīng)向量。4=（1,-百），復(fù)數(shù)z?滿足Iz?|=2,

I是Z1的共輾復(fù)數(shù)，則（）

A.\zl\=\OZl\B.

C.—=4D.|Z]Zzl=4

zi

（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題

55.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考三模）己知a,beR,虛數(shù)z=1+為是方程x?+ax+3=0的根，則目=（）

A.B.73C.2D.下

56.（2023?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）己知2-i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程/+法+。=0（dceR）

的一個(gè)根，則b+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

57.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若虛數(shù)z是關(guān)于％的方程d-2x+機(jī)=0（機(jī)eR）的一個(gè)根，且忖=JL則

m=（）

A.6B.4C.2D.1

58.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)40是關(guān)于犬的方程％2一2%+3=0的兩根，則乎?的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

59.（2023?全國?模擬預(yù)測）設(shè)i是虛數(shù)單位，已知2i-3是關(guān)于犬的方程2x2+p%+g=（）3qwR）的一個(gè)根，

貝,q=.

60.（2023?重慶?統(tǒng)考三模）設(shè)4，%?是方程/+%+1=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個(gè)解，則（）

A.|zj-z2|=V2B.|zj=V2C.z+z2=lD.z；=z：=l

考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義

（一）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（向量）有關(guān)的運(yùn)算

61.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,5）,貝iJi+W在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）

A.（3,-5）B.（3,5）C.（-3,-5）D.（-3,5）

62.（2023?山東聊城?統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2,1），則二=（）

z—1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

63.（2023春?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記OA，OC>表

示的復(fù)數(shù)分別為2+i,-l+2i,l-2i,記z為8c所表示的復(fù)數(shù)，則z-5=（）

A.25B.8C.5D.2+3z

64.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知z為復(fù)數(shù)，設(shè)z,三，iz在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,

C,其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A.|OA|=|OB|B.OALOC

c.|AC|=|BC|D.OB//AC

（二）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限

65.（2。23春?山西高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

66.（2023?江西景德鎮(zhèn)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)二三（aeR）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=2〃-i

a+i

在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

7—4i.2023/r?\

67.（2023.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知Z=7^+1….（5T）,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

（J）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

68.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)2=。+砥a,>eR）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為用，貝廣點(diǎn)M在第四象限”是

“仍<0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件D.充要條件

（三）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)

69.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=（l+i>（"?-2i）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，則實(shí)

數(shù)加的取值范圍為（）

A.m>2B.0<m<2

C.—2<m<2D.m<—2

70.（2023?河北唐山?開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)4與z=4-2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)

稱，貝（）

1-1

A.-l-3iB.-l+3iC.l-3iD.l+3i

2

71.（2023?河南濮陽?濮陽一高?？寄M預(yù)測）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z與T一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則2等

1—1

于（）

A.1+iB.-1-iC.1-iD.-1+i

72.（2023?江蘇淮安?江蘇省肝胎中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z=（l-i3）（〃+2i）（〃￡R,i為虛數(shù)單位）在復(fù)

平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線X-2y=o上，則〃=（）

A.—B.—C.6D.—6

33

考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的綜合問題

73.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=[^,則（）

A.|z|=5B.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

C.復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之積為2D.z=3+4i

74.【多選】（2023?吉林四平?四平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=l-i?023,則（）

A.z的虛部為§B.z=———

C.|z|=^D.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

75.【多選】（2023?山東青島?統(tǒng)考三模）關(guān)于x的方程爐=_4的復(fù)數(shù)解為z，Z?,則（）

A.Zj-z2=-4

B.與z?互為共軌復(fù)數(shù)

C.若4=2i,則滿足z.z=2+i的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限

D.若忖=1,則|z-z「zj的最小值是3

考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的新定義問題

76.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等或虛部相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)為同部復(fù)數(shù).已知

z=（l-i）3,則下列數(shù)是z的同部復(fù)數(shù)的是（）

A.2+iB.3—2iC.4—iD.—3+2i

77.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如果一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部相等，則稱這個(gè)復(fù)數(shù)為“等部復(fù)數(shù)”，若復(fù)數(shù)

Z=丁二（i為虛數(shù)單位）為“等部復(fù)數(shù)”，則實(shí)數(shù)。的值為（）

1-ai

A.-3B.-1C.0D.1

abz1-i

78.（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）規(guī)定運(yùn)算歷，若復(fù)數(shù)z滿足=i，則z的值為（：

cai+i1

A.1-iB.1+iC.2-iD.2+i

79.（2023?全國?高三專題練習(xí)）對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)對(duì)定義運(yùn)算兒，若

（l,—l）*（z,zi）=l-i,則復(fù)數(shù)三.

考點(diǎn)八歐拉公式及其應(yīng)用

80.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）歐拉公式短=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉

創(chuàng)立，依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.復(fù)數(shù)亙的虛部為JB.若則復(fù)數(shù)e"對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第二象限

1+iI2J

C.復(fù)數(shù)i.e"的模長等于1D.復(fù)數(shù)-1的共輾復(fù)數(shù)為'+1i

e22

81.（2023?四川成都?川大附中?？寄M預(yù)測）歐拉公式ea=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，xeR）是

由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)

聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.e疝為虛數(shù)B.函數(shù)“外=/不是周期函數(shù)

C.若川=三區(qū)，則X#D.曰至的共軌復(fù)數(shù)是在二回一旦尼i

82.（2023秋?貴州貴陽?高三統(tǒng)考期末）歐拉公式e，』=cosx+isinx是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式

將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要

的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)中不正確的是（）

A.e等對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限B./為純虛數(shù)

C.4工的模長等于!D./的共軌復(fù)數(shù)為工一也i

V3+i2e22

考點(diǎn)九復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的交匯

83.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，^（4eR）是純虛數(shù)，貝心=/是直線

4：以+4y+l=0與直線/2：兄+電+；=0平行的（）條件

A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要

84.（2023?全國?高三專題練習(xí)）定義函數(shù)/（x,〃）=（l+W（〃wN*）,已知"i,〃）=32i（i為虛數(shù)單位），則

A.180B.120C.90D.45

考點(diǎn)27復(fù)數(shù)8種常見考法歸類

番高頻考點(diǎn)

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

（-）復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部

（二）共軌復(fù)數(shù)

（三）復(fù)數(shù)相等

（四）復(fù)數(shù)分類

考點(diǎn)二待定系數(shù)求復(fù)數(shù)

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的模

（一）求復(fù)數(shù)的模

（-）由復(fù)數(shù)模求參數(shù)

（三）與復(fù)數(shù)模相關(guān)的軌跡（圖形）問題

考點(diǎn)四復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

（一）復(fù)數(shù)的運(yùn)算

（二）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題

考點(diǎn)五復(fù)數(shù)的幾何意義

（-）與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（向量）有關(guān)的運(yùn)算

（二）判斷復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限

（三）根據(jù)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的特點(diǎn)求參數(shù)

考點(diǎn)六復(fù)數(shù)的綜合問題

考點(diǎn)七復(fù)數(shù)的新定義問題

考點(diǎn)八歐拉公式及其應(yīng)用

考點(diǎn)九復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的交匯

三:解題策略

1.復(fù)數(shù)的概念

概念定義

把形如。+歷(〃，b￡R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母

復(fù)數(shù)

Z表示，即z=〃+歷，其中〃與b分別叫做復(fù)數(shù)Z的實(shí)部與虛部

復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C={a+歷|a,bGR}

復(fù)數(shù)

〃+歷=c+diQ=c,b=d,其中a,b,c,dWR

相等

復(fù)數(shù)z=〃+歷(〃,Z?￡R)的分類：

復(fù)數(shù)

|實(shí)數(shù)(b=0),

分類復(fù)數(shù)［虛數(shù)(。川)(當(dāng)。=0時(shí)為純虛數(shù))

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為

共轉(zhuǎn)

共輾復(fù)數(shù)，虛部不等于0的兩個(gè)共粗復(fù)數(shù)也叫做共輾虛數(shù).復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)

復(fù)數(shù)

數(shù)用Z表示，即如果z=a+bi(a,b^R),那么z=a—?dú)v

建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，尤軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.

復(fù)平面

顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)

復(fù)數(shù)z=〃+bi(4,i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的向量為龍，則向量龍的模叫做

復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=〃+bi的?；蚪^對(duì)值，記作|z|或|〃+bi|.即|z|=1。+Ai|=d句+抉,其中

的模

a,b《R.復(fù)數(shù)z=〃+歷(〃，b￡R)的模就是復(fù)數(shù)z=〃+為在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)Z(〃，。)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離

2.解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+歷(a,6GR),則

該復(fù)數(shù)的實(shí)部為。，虛部為6；

(2)求一個(gè)復(fù)數(shù)的共朝復(fù)數(shù)，只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，實(shí)部不變，虛部變

為相反數(shù)，即得原復(fù)數(shù)的共軌復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)zi=a+歷與Z2=c+di共輾d=c,b=—d(a,b,

Cfd￡R).

(3)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問

題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.所以解題時(shí)一

定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,6GR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

①復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的條件:①z=a+bieR<=4)=0(a,beR);②zeRT=N;③zeR<=^2>0.

②復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)ua=O且b加(a,beR);②z是純虛數(shù)

T+N=O(Z#));③z是純虛數(shù)金2<0.

3.解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法

復(fù)數(shù)問題標(biāo)準(zhǔn)化、實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方法.復(fù)數(shù)概念中應(yīng)注意的幾點(diǎn):

①對(duì)于復(fù)數(shù)m+m,如果根,"GC(或沒有明確界定m,n^R),則不可想當(dāng)然地判定根,“GR；

②易誤認(rèn)為y軸上的點(diǎn)與純虛數(shù)一一對(duì)應(yīng)(注意原點(diǎn)除外)；③對(duì)于a+歷(a,6GR)為純虛數(shù)

的充要條件，只注意了。=0而漏掉了厚0.

4.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+Z>i(°,CR,i為虛數(shù)單位)

一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)

|復(fù)平面內(nèi)的總(a㈤卜一一對(duì)應(yīng)》[平薪向量應(yīng)(起點(diǎn)為原點(diǎn)O)|

為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)Z