2025版高考數(shù)學一輪總復習課后限時集訓30正弦定理余弦定理含解析

課后限時集訓(三十)正弦定理、余弦定理建議用時：40分鐘一、選擇題1．(2024·大連測試)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，則cosC＝()A．eq\f(\r(3),3) B．±eq\f(\r(6),3)C．－eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(6),3)D[由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，∴sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(2×sin60°,3)＝eq\f(\r(3),3).又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(\r(6),3).故選D.]2．(2024·南昌模擬)在△ABC中，已知C＝eq\f(π,3)，b＝4，△ABC的面積為2eq\r(3)，則c＝()A．2eq\r(7) B．2eq\r(3)C．2eq\r(2) D．eq\r(7)B[由S＝eq\f(1,2)absinC＝2a×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2eq\r(3).]3．(多選)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，以下四個結(jié)論中，正確的是()A．若a＞b＞c，則sinA＞sinB＞sinCB．若A＞B＞C，則sinA＞sinB＞sinCC．a(chǎn)cosB＋bcosA＝cD．若a2＋b2＞c2，則△ABC是銳角三角形ABC[對于A，由于a＞b＞c，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得sinA＞sinB＞sinC，故A正確；對于B，A＞B＞C，由大邊對大角可知，a＞b＞c，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，可得sinA＞sinB＞sinC，故B正確；對于C，依據(jù)正弦定理可得acosB＋bcosA＝2R(sinAcosB＋sinBcosA)＝2Rsin(B＋A)＝2Rsin(π－C)＝2RsinC＝c(其中R為△ABC的外接圓半徑)，故C正確；對于D，a2＋b2＞c2，由余弦定理可得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＞0，由C∈(0，π)，可得C是銳角，但A或B可能為鈍角，故D錯誤．]4．(2024·全國卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，則cosB＝()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×eq\f(2,3)＝9，AB＝3，所以cosB＝eq\f(9＋9－16,2×9)＝eq\f(1,9)，故選A.]5．(多選)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則()A．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，則C＝eq\f(π,3)B．若2cosC(acosB＋bcosA)＝c，則C＝eq\f(π,6)C．若邊BC的高為eq\f(\r(3),6)a，則當eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值時，A＝eq\f(π,3)D．若邊BC的高為eq\f(\r(3),6)a，則當eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值時，A＝eq\f(π,6)AC[因為在△ABC中，0＜C＜π，所以sinC≠0.對于A，B，利用正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，整理得2cosCsin(A＋B)＝sinC，即2cosCsin[π－(A＋B)]＝sinC，即2cosCsinC＝sinC，又sinC≠0，所以cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f(π,3)，故A正確，B錯誤．對于C，D，由等面積法得eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),6)a2＝eq\f(1,2)bcsinA，所以a2＝2eq\r(3)bcsinA，又b2＋c2＝a2＋2bccosA＝2eq\r(3)bcsinA＋2bccosA，則eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)＝eq\f(b2＋c2,bc)＝2eq\r(3)sinA＋2cosA＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤4，當且僅當A＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即A＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z時，eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)取得最大值4，又0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).故C正確，D錯誤．]6．(多選)(2024·山東煙臺期中)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，則下列結(jié)論正確的是()A．sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6B．△ABC是鈍角三角形C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D．若c＝6，則△ABC的外接圓的半徑為eq\f(8\r(7),7)ACD[因為(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可設eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝9x，,a＋c＝10x，,b＋c＝11x))(其中x＞0)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4x，,b＝5x，,c＝6x，))所以由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，所以A正確．由上可知邊a最短，邊c最長，所以角A最小，角C最大．又cosA＝eq\f(c2＋b2－a2,2cb)＝eq\f(6x2＋5x2－4x2,2×6x×5x)＝eq\f(3,4)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(4x2＋5x2－6x2,2×4x×5x)＝eq\f(1,8)，所以cos2A＝2cos2A－1＝eq\f(1,8)，所以cos2A＝cosC，由三角形中角C最大且角C為銳角，可得△ABC是銳角三角形，且2A∈(0，π)，C∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以2A＝C，所以B錯誤，C正確．設△ABC的外接圓的半徑為R，則由正弦定理得2R＝eq\f(c,sinC)，又sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(3\r(7),8)，所以2R＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))，解得R＝eq\f(8\r(7),7)，所以D正確．故選ACD.]二、填空題7．在△ABC中，A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝________.1[由a＝eq\r(3)c得sinA＝eq\r(3)sinC，即sineq\f(2π,3)＝eq\r(3)sinC，∴sinC＝eq\f(1,2)，又0＜C＜eq\f(π,3)，∴C＝eq\f(π,6)，從而B＝eq\f(π,6)，∴b＝c，因此eq\f(b,c)＝1.]8．(2024·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，則B＝________.eq\f(3π,4)[∵bsinA＋acosB＝0，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,－cosB).由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝eq\f(3π,4).]9．(2024·北京高考適應性考核)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，則cosA＝________，△ABC的面積為________．eq\f(3,4)eq\f(15\r(7),4)[依題意得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(3,4)，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，所以△ABC的面積為eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(15\r(7),4).]三、解答題10．[結(jié)構(gòu)不良試題](2024·北京西城區(qū)統(tǒng)一測試)已知△ABC滿意________，且b＝eq\r(6)，A＝eq\f(2π,3)，求sinC的值及△ABC的面積．從①B＝eq\f(π,4)，②a＝eq\r(3)，③a＝3eq\r(2)sinB這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答．[解]當選擇條件①時，∵B＝eq\f(π,4)，A＝eq\f(2π,3)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(a,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),\f(\r(2),2))，解得a＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(9－3\r(3),4).當選擇條件②時，∵a＜b，∴A＜B，又A為鈍角，∴無解．當選擇條件③時，由題意得B為銳角．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(3\r(2)sinB,\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),sinB)，得sinB＝eq\f(\r(2),2)，∴a＝3，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).∴S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(9－3\r(3),4).11．(2024·全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋A))＋cosA＝eq\f(5,4).(1)求A；(2)若b－c＝eq\f(\r(3),3)a，證明：△ABC是直角三角形．[解](1)由已知得sin2A＋cosA＝eq\f(5,4)，即cos2A－cosA＋eq\f(1,4)＝0.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(1,2)))2＝0，cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)證明：由正弦定理及已知條件可得sinB－sinC＝eq\f(\r(3),3)sinA.由(1)知B＋C＝eq\f(2π,3)，所以sinB－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝eq\f(\r(3),3)sineq\f(π,3).即eq\f(1,2)sinB－eq\f(\r(3),2)cosB＝eq\f(1,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,3)))＝eq\f(1,2).由于0<B<eq\f(2π,3)，故B＝eq\f(π,2).從而△ABC是直角三角形．1．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓的面積為3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋eq\r(3)sinAsinC，則△ABC的最大邊長為()A．2 B．3C．eq\r(3) D．2eq\r(3)C[由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋eq\r(3)sinAsinC得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C＝1＋eq\r(3)sinAsinC，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝eq\r(3)sinAsinC，由正弦定理得b2－a2－c2＝eq\r(3)ac，即c2＋a2－b2＝－eq\r(3)ac，則cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(－\r(3)ac,2ac)＝－eq\f(\r(3),2)，則B＝150°，即最大值的邊為b，∵△ABC的外接圓的面積為3π，設外接圓的半徑為R，∴πR2＝3π，得R＝eq\r(3)，則eq\f(b,sinB)＝2R＝2eq\r(3)，即b＝2eq\r(3)sinB＝2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\r(3)，故選C.]2．(2024·廣西桂林模擬)在△ABC中，若eq\f(bcosC,ccosB)＝eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)，則△ABC的形態(tài)是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形D[由已知eq\f(1＋cos2C,1＋cos2B)＝eq\f(2cos2C,2cos2B)＝eq\f(cos2C,cos2B)＝eq\f(bcosC,ccosB)，所以eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)或eq\f(cosC,cosB)＝0，即C＝90°或eq\f(cosC,cosB)＝eq\f(b,c)，由正弦定理，得sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，因為B，C均為△ABC的內(nèi)角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故選D.]3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，BC邊上的中線AM的長為eq\r(7).(1)求角A和角B的大?。?2)求△ABC的面積．[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－eq\r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq\r(3)bc，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又0＜A＜π，∴A＝eq\f(π,6).由sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，得eq\f(1,2)sinB＝eq\f(1＋cosC,2)，即sinB＝1＋cosC，則cosC＜0，即C為鈍角，∴B為銳角，且B＋C＝eq\f(5π,6)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－C))＝1＋cosC，化簡得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C＋\f(π,3)))＝－1，解得C＝eq\f(2π,3)，∴B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2－2b·eq\f(a,2)·cosC＝b2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(b2,2)＝(eq\r(7))2，解得b＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).1．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿意cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsinC，且sinA＋sinC＝1，則△A．等邊三角形B．等腰直角三角形C．頂角為150°的等腰三角形D．頂角為120°的等腰三角形D[∵cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sinAsin∴(1－sin2A)－(1－sin2B)＋(1－sin2C)＝1＋sinAsinC，∴可得sin2A＋sin2C－sin2B＝－sinAsinC，∴依據(jù)正弦定理得a2＋c2－b2＝－ac，∴由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(－ac,2ac)＝－eq\f(1,2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝120°，∵sin2B＝sin2A＋sin2C＋sinAsinC.∴變形得eq\f(3,4)＝(sinA＋sinC)2－sinAsinC，又∵sinA＋sinC＝1，得sinAsinC＝eq\f(1,4)，∴上述兩式聯(lián)立得sinA＝sinC＝eq\f(1,2)，∵0°＜A＜60°，0°＜C＜60°，∴A＝C＝30°，∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形，故選D.]2．[結(jié)構(gòu)不良試題](2024·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)a的值；(2)sinC和△ABC的面積．條件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)；條件②：cosA＝eq\f(1,8)，cosB＝eq\f(9,16).[解]選條件①：c＝7，cosA＝－eq\f(1,7)，且a＋b＝11.(1)在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b