2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明章末檢測課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修1-2

PAGE章末檢測(二)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．下列三句話按“三段論”模式排列依次正確的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③y＝cosx(x∈R)是周期函數(shù)．A．①②③ B．③②①C．②③① D．②①③解析：明顯②是大前提，①是小前提，③是結(jié)論．答案：D2．用反證法證明命題“eq\r(2)＋eq\r(3)是無理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()A．假設(shè)eq\r(2)是有理數(shù) B．假設(shè)eq\r(3)是有理數(shù)C．假設(shè)eq\r(2)或eq\r(3)是有理數(shù) D．假設(shè)eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)解析：假設(shè)應(yīng)為“eq\r(2)＋eq\r(3)不是無理數(shù)”，即“eq\r(2)＋eq\r(3)是有理數(shù)”．答案：D3．下列推理過程屬于演繹推理的為()A．老鼠、猴子與人在身體結(jié)構(gòu)上有相像之處，某醫(yī)藥先在猴子身上試驗(yàn)，試驗(yàn)勝利后再用于人體試驗(yàn)B．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三條中線交于一點(diǎn)聯(lián)想到四面體四條中線(四面體每一個(gè)頂點(diǎn)與對面重心的連線)交于一點(diǎn)D．通項(xiàng)公式形如an＝cqn(cq≠0)的數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{－2n}為等比數(shù)列解析：A是類比推理，B是歸納推理，C是類比推理，D為演繹推理．答案：D4．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”可類比猜想：“正四面體的內(nèi)切球切于四個(gè)面________．”橫線處可填的內(nèi)容是()A．各正三角形內(nèi)一點(diǎn)B．各正三角形的某高線上的點(diǎn)C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點(diǎn)解析：正三角形的邊對應(yīng)正四面體的面，邊的中點(diǎn)對應(yīng)正四面體的面正三角形的中心．答案：C5．視察下面圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A．■ B．△C．□ D．○解析：由每一行中圖形的形態(tài)及黑色圖形的個(gè)數(shù)，則知A正確．答案：A6.如圖，有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，…，依此類推，假如一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9答案：C7．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b∈R)”，其反設(shè)正確的是()A．a(chǎn)，b至少有一個(gè)不為0 B．a(chǎn)，b至少有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b全不為0 D．a(chǎn)，b中只有一個(gè)為0解析：“a，b全為0”的反設(shè)應(yīng)為“a，b不全為0”，即“a，b至少有一個(gè)不為0”．答案：A8．我們把平面幾何里相像形的概念推廣到空間：假如兩個(gè)幾何體大小不肯定相等，但形態(tài)完全相同，就把它們叫做相像體．下列幾何體中，肯定屬于相像體的有()①兩個(gè)球體；②兩個(gè)長方體；③兩個(gè)正四面體；④兩個(gè)正三棱柱；⑤兩個(gè)正四棱錐．A．4個(gè) B．3個(gè)C．2個(gè) D．1個(gè)解析：類比相像形中的對應(yīng)邊成比例知，①③屬于相像體．答案：C9．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b11＝1，則有()A．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n解析：令n＝10時(shí)，驗(yàn)證即知選B.答案：B10．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等于()A．f(1)＋2f(1)＋…＋nfB．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))C.eq\f(nn＋1,2)D.eq\f(nn＋1,2)f(1)解析：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y(tǒng)＝1，得f(2)＝2f(1)，令x＝1，y＝2，f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)，……f(n)＝nf(1)，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝(1＋2＋…＋n)f(1)＝eq\f(nn＋1,2)f(1)．所以A，D正確．又f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝f(1＋2＋…＋n)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))，所以B也正確．故選C.答案：C11．我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)A(－3,4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點(diǎn)法式)方程為：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡得x－2y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)A(1,2,3)，且法向量為m＝(－1，－2,1)的平面的方程為()A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0解析：所求的平面方程為－1×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0.化簡得x＋2y－z－2＝0.答案：A12．已知函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x，a，b是正實(shí)數(shù)，A＝f(eq\f(a＋b,2))，B＝(eq\r(ab))，C＝f(eq\f(2ab,a＋b))，則A，B，C的大小關(guān)系為()A．A≤B≤C B．A≤C≤BC．B≤C≤A D．C≤B≤A答案：A二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知x，y∈R，且x＋y>2，則x，y中至少有一個(gè)大于1，在用反證法證明時(shí)，假設(shè)應(yīng)為________．解析：“至少有一個(gè)”的反面為“一個(gè)也沒有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．答案：x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)14．已知圓的方程是x2＋y2＝r2，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.類比上述性質(zhì)，可以得到橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質(zhì)為________．解析：圓的性質(zhì)中，經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線方程就是將圓的方程中的一個(gè)x與y分別用M(x0，y0)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)替換．故可得橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1類似的性質(zhì)為：過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.答案：經(jīng)過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝115．如圖，第n個(gè)圖形是由正n＋2邊形“擴(kuò)展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n－2(n>2)個(gè)圖形中共有________個(gè)頂點(diǎn)．解析：設(shè)第n個(gè)圖形中有an個(gè)頂點(diǎn)，則a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，an－2＝n2＋n.答案：n2＋n16．若定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x)對于D上的n個(gè)值x1，x2，…，xn，總滿意eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，稱函數(shù)f(x)為D上的凸函數(shù)．現(xiàn)已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)，則△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：因?yàn)閒(x)＝sinx在(0，π)上是凸函數(shù)(小前提)，所以eq\f(1,3)(sinA＋sinB＋sinC)≤sineq\f(A＋B＋C,3)(結(jié)論)，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).因此sinA＋sinB＋sinC的最大值是eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)三、解答題(共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)用綜合法或分析法證明：(1)假如a，b>0，則lgeq\f(a＋b,2)≥eq\f(lga＋lgb,2)；(2)eq\r(6)＋eq\r(10)>2eq\r(3)＋2.證明：(1)當(dāng)a，b>0時(shí)，有eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)≥lgeq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)≥eq\f(1,2)lgab＝eq\f(lga＋lgb,2).(2)要證eq\r(6)＋eq\r(10)>2eq\r(3)＋2，只要證(eq\r(6)＋eq\r(10))2>(2eq\r(3)＋2)2，即2eq\r(60)>2eq\r(48)，這是明顯成立的，所以，原不等式成立．18．(12分)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，{an}有如下性質(zhì)：(m，n，p，q∈N*)①通項(xiàng)an＝am＋(n－m)d；②若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；③若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap；④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫出相類似的性質(zhì)．解析：在等比數(shù)列{bn}中，公比為λ(λ≠0)，前n項(xiàng)和為Sn′，{bn}有如下性質(zhì)：(m，n，p，q∈N*)①通項(xiàng)bn＝bm·λn－m；②若m＋n＝p＋q，則bm·bn＝bp·bq；③若m＋n＝2p，則bm·bn＝beq\o\al(2,p)；④Sn′，S2n′－Sn′，S3n′－S2n′(Sn′≠0)構(gòu)成等比數(shù)列．19．(12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯(cuò)誤之處．(1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于360°.證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個(gè)角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四邊形的內(nèi)角和為360°.(2)已知eq\r(2)和eq\r(3)都是無理數(shù)，試證：eq\r(2)＋eq\r(3)也是無理數(shù)．證明：依題設(shè)eq\r(2)和eq\r(3)都是無理數(shù)，而無理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù)，所以eq\r(2)＋eq\r(3)必是無理數(shù)．(3)已知實(shí)數(shù)m滿意不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反證法證明：關(guān)于x的方程x2＋2x＋5－m2證明：假設(shè)方程x2＋2x＋5－m2＝0有實(shí)根．由已知實(shí)數(shù)m滿意不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－eq\f(1,2)，而關(guān)于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判別式Δ＝4(m2－4)，∵－2<m<－eq\f(1,2)，∴eq\f(1,4)＜m2＜4，∴Δ<0，即關(guān)于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0無實(shí)根．解析：(1)犯了偷換論題的錯(cuò)誤，在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形．(2)運(yùn)用的論據(jù)是“無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)”，這個(gè)論據(jù)是假的，因?yàn)閮蓚€(gè)無理數(shù)的和不肯定是無理數(shù)，因此原題的真實(shí)性仍無法判定．(3)利用反證法進(jìn)行證明時(shí)，要把假設(shè)作為條件進(jìn)行推理，得出沖突，本題在證明過程中并沒有用到假設(shè)的結(jié)論，也沒有推出沖突，所以不是反證法．20．(12分)已知實(shí)數(shù)x，且有a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求證：a，b，c中至少有一個(gè)不小于1.證明：假設(shè)a，b，c都小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，則a＋b＋c＜3.∵a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋eq\f(7,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3，且x為實(shí)數(shù)，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3≥3，即a＋b＋c≥3，這與a＋b＋c＜3沖突．∴假設(shè)不成立，原命題成立．∴a，b，c中至少有一個(gè)不小于1.21．(12分)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意4Sn＝aeq\o\al(2,n＋1)－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：a2＝eq\r(4a1＋5)；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)n，有eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)<eq\f(1,2).解析：(1)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝aeq\o\al(2,2)－5，aeq\o\al(2,2)＝4a1＋5，又an>0，∴a2＝eq\r(4a1＋5).(2)當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝aeq\o\al(2,n)－4(n－1)－1，∴4an＝4Sn－4Sn－1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)－4，即aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4an＋4＝(an＋2)2，又an>0，∴an＋1＝an＋2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差為2的等差數(shù)列．又a2，a5，a14成等比數(shù)列．∴aeq\o\al(2,5)＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)知，4a1＝aeq\o\al(2,2)－5＝4，∴a1＝1，又a2－a1＝3－1＝2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.(3)證明：eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(