二次根式 講義-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)原卷版

考點04.二次根式（精講）

【命題趨勢】

二次根式在各地中考中，每年考查2道題左右，分值為8分左右，對二次根式的考查主要集中在對其

取值范圍、化簡、計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計算則多以解

答題形式考察。此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是

也多屬于中考必考題。

【知識清單】

1：二次根式的相關(guān)概念（☆☆）

（1）二次根式的概念：形如、份（a>0）的式子叫做二次根式。其中符號“，”叫做二次根號，二次根號

下的數(shù)叫做被開方數(shù)。

注意：被開方數(shù)。只能是非負(fù)數(shù)。即要使二次根式如有意義，則生0。

（2）最簡二次根式：被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的，二次根式,

叫做最簡二次根式。

（3）同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式。

2：二次根式的性質(zhì)與化簡（☆☆☆）

（1）二次根式的性質(zhì)：

a（a>0）

1）雙重非負(fù)性：（?>0）；2）（V?）2=a（a>0）;3）行=|a[=<0（a=0）；

-a（a<0）

（2）二次根式的化簡方法：

1）利用二次根式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡；

2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進(jìn)行化簡。

（3）化簡二次根式的步驟：1）把被開方數(shù)分解因式；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）

積的算術(shù)平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個

因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2。

3：二次根式的的運算（☆☆☆）

(1)加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后,再將被開方數(shù)相同的二次根式合并。

口訣：一化、二找、三合并。

(2)乘法法則：兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：&/=疝SNO.bNO)。

除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：_^=^(a>0,b>0)_o

(3)

(4)分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程。

分母有理化因式:

1_4a_4a

1)分母為單項式時,分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分;即:

4a4a->[aa

2)分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分:

??14a+4b&+揚(yáng)

oJ.________=___________________-__________

4a.-4b-揚(yáng))(&+振)a-b

(5)混合運算順序：二次根式的混合運算順序與實數(shù)的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括

號的先算括號內(nèi)的。在運算過程中，乘法公式和有理數(shù)的運算律在二次根式的運算中仍然適用。

【易錯點歸納】

1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如："、-后都

是二次根式。

2.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件:①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不應(yīng)含有根號);

②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1。

3.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，右前無&化簡出來就不可能是一個負(fù)數(shù)。

4.利用二次根式性質(zhì)時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個范圍內(nèi)對根式進(jìn)行化

簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的

取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進(jìn)行化簡。

5.化簡(或計算)后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式。

6.二次根式進(jìn)行加減運算時，根號外的系數(shù)因式必須為假分?jǐn)?shù)形式。

【核心考點】

核心考點1.二次根式的相關(guān)概念

1_x

例1;（2023?四川綿陽?中考真題）使式子+尸石在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的整數(shù)有（)

Jx+3

A.5個B.3個C.4個D.2個

變式1.（2023?浙江金華?統(tǒng)考中考真題）要使用與有意義，則x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

變式2.（2023?江蘇?校考模擬預(yù)測）己知x、y為實數(shù)，且y=4-2023+校3-x-1,則爐的值是

例2：（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）下列二次根式中，與0是同類二次根式的是（）

A.-^4B.y/^C.-^8D.J12

變式1.（2023?廣東?九年級校考階段練習(xí)）下列各式中，不是二次根式的是（）

A.735B.血C.值D.

變式2.（2020?山東濟(jì)寧市?中考真題）下列各式是最簡二次根式的是（）

A.V13B.712C.而D.

變式3.（2023?河南駐馬店?九年級校考階段練習(xí)）請寫出一個大于2且小于3的二次根式：

例3：（2023?重慶?九年級?？计谥校┤绻詈喍胃绞c石和是同類二次根式，那么。的值是（）

A.4B.5C.6D.8

變式1.（2023?湖南衡陽?九年級統(tǒng)考期中）最簡二次根式而I與36是同類二次根式,則a的值為

例4：（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）請寫出一個正整數(shù)機(jī)的值使得痂是整數(shù)；m.

變式1.（2023上?廣東惠州?九年級?？计谥校┮阎檎麛?shù)，且辰也為正整數(shù)，貝U。的最小值為

核心考點2.二次根式的性質(zhì)與化簡

例5：（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）計算必了等于（）

A.±2B.2C.4D.0

變式1.（2023」可北保定?統(tǒng)考二模）若舊=24，回=6后，貝；

變式2.（2022?廣西桂林?中考真題）化簡疵的結(jié)果是（）

A.26B.3C.20D.2

變式3.（2023?安徽蚌埠?統(tǒng)考三模）已知一組數(shù)百，76,3,20,厲,36,后,2或…,排列方

式如下：也,灰,3,2A/3;而,3VL后,276;....若3的位置記為（1,3）,3亞的位置記為（2,2）,

則3店的位置記為.

例6：（2023上?湖北?九年級專題練習(xí)）閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現(xiàn)隱含條件并回答下面的問題:

化簡：（Jl-3x）-|l-x|

解:隱含條件1—3x20,解得：x<1,01-x>O,

回原式=（1—3x）—（1—x）=1—3x—1+x=—2x,

【啟發(fā)應(yīng)用】（1）按照上面的解法，試化簡向牙-（月可2；

【類比遷移】（2）實數(shù)d6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：4^+^a+b）2-\b-a\;

—a------------------L

（3）已知a,b,c為一ABC的三邊長.化簡：J（a+b+c）~++J（b-a-c）2+J（c-b-a）。.

變式1.（2023上?吉林長春?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若“<0,則化簡病的結(jié)果為

變式2.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的方程x?-（2"2）x+K-1=0有兩個實數(shù)根，則

萬I）?的化簡結(jié)果是（）

A.-1B.1C.-l—2kD.2k-3

變式3.（2023上?山西晉城?九年級統(tǒng)考期中）當(dāng)。=6時，求a+Jl—2a+02的值.如圖

（1）的解法是錯誤的.⑵當(dāng)a<4時，求J/-8a+l6T5-4的值.

例7.（2023?廣東??？寄M預(yù)測）若|1001-4+Ja—1002=a,則a—10012=.

變式1.（2023?河南周口?校考模擬預(yù)測）若也屬于真分?jǐn)?shù)，任意寫出一個符合條件的機(jī)的值_____

6

例8.（2023上?山西長治?九年級?？计谥校╅喿x與思考

下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

雙層二次根式的化簡

二次根式的化簡是一個難點，稍不留心就會出錯，我在上網(wǎng)還發(fā)現(xiàn)了一類帶雙層根號的式子，就是根號內(nèi)

又帶根號的式子、它們能通過完全平方公式及二次根式的性質(zhì)消掉外面的一層根號.

例如：要化簡g+20，可以先思考（1+應(yīng)了=12+2、心忘+（0了=3+2應(yīng)（根據(jù)1）.

13+20=jF+2xlx應(yīng)+（0）2=+=1+應(yīng).通過計算，我還發(fā)現(xiàn)設(shè)

++=m+n四（其中w,a,b都為正整數(shù)），則有a+80=+2/+2W〃>/鼠0

a=rrr+2/z2,b—.

這樣，我就找到了一種把部分向麻化簡的方法.

任務(wù)：（1）文中的"根據(jù)1"是，b=.

⑵根據(jù)上面的思路，化簡：714-675.（3）已知Ja+4石=x+yG，其中。，尤，y均為正整數(shù)，求。的值.

變式1.（2023上?湖北?九年級?？贾軠y）小（-4）2+昉'+"+26_"_2百=.

核心考點3.二次根式的的運算

例9：（2023?青海西寧?統(tǒng)考中考真題）下列運算正確的是（）

2

A.72+73=75B.J（-5）2=-5C.（3-72）2=11-6>/2D.6+月x6=3

變式1.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）下列計算正確的是（）

A.（旬°=應(yīng)B.26+36=5木C：.冊=4五D.石（2后-2）=6-2百

變式2.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）估計石x（

的值應(yīng)在（）

A.4和5之間B.5和6之間C：.6和7之間D.7和8之間

會一0+2T

例10：（2023?上海?統(tǒng)考中考真題）計算：我T

君+ij非+i=（）

變式1.（2021?湖南常德市?中考真題）計算：

、2）2

A.0B.1C：.2D.

2

變式2.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）計算:V27--X2V2-6A/2.

2

例11：（2023?河南駐馬店?模擬預(yù)測）斐波那契（約n70-1250）是意大利數(shù)學(xué)家，他研究了一列數(shù)，被稱

為"斐波那契數(shù)列”.他發(fā)現(xiàn)該數(shù)列中的每個正整數(shù)都可以用無理數(shù)的形式表示，如第〃為正整數(shù)）個數(shù)

凡可表示為不且連續(xù)三個數(shù)為t，an,am之間存在以下關(guān)系%7+a,=

（?>2）.①第1個數(shù)％=1；②第2個數(shù)：%=2；③"斐波那契數(shù)列"中的前8個數(shù)是1,1,2,3,5,8,

13,21；④若把"斐波那契數(shù)列”中的每一項除以4所得的余數(shù)按相對應(yīng)的順序組成一組新數(shù)列，在新數(shù)列

中，第2017項的值是1.以上說法正確的有.（請把你認(rèn)為正確的序號全都填上去）

變式1.（2022?四川達(dá)州,統(tǒng)考中考真題）人們把W0.618這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法

2

中的"0.618法”就應(yīng)用了黃金比.設(shè)°=正1,6=且里，記'=」一+」，邑=3+三，…，

221+a1+b1+a-1+b2

。100100????

400=]+儲°°+]+加°°，貝n'JS]+S2++^100=-----------

變式2.（2023?四川內(nèi)江?九年級?？计谥校┒x：我們將（，?+而）與（右-9）稱為一對"對偶式"，因為

（&+JF）（而-揚(yáng)）=（Cf-（JFy=a-b,可以有效的去掉根號，若J18-x-=l,則

J18—x+Jl1—x=?

例12：（2022?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）《數(shù)書九章》是中國南宋時期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，書中提出了

已知三角形三邊a、b、c求面積的公式，其求法是："以小斜募并大斜哥減中斜累，余半之，自乘于上，以

小斜基乘大斜累減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即為

S=g.現(xiàn)有周長為18的三角形的三邊滿足a/：c=4：3:2,則用以上給出的公式

求得這個三角形的面積為

變式1.（2022?山東聊城,中考真題）射擊時，子彈射出槍口時的速度可用公式v=0晟進(jìn)行計算，其中。為

子彈的加速度，$為槍筒的長.如果a=5xl（）5m/s2,5=0.64m,那么子彈射出槍口時的速度（用科學(xué)記數(shù)

法表示）為（）

A.0.4xl02m/sB.0.8xl02m/sC.4xl02m/sD.8xl02m/s

例13：（2023?重慶??？既＃┠硵?shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)二次根式的時候發(fā)現(xiàn)：有時候兩個含有二次根式的代

數(shù)式相乘，積不含有二次根式，例如，（如-2）（行+2）=1,6.&=a,（2后-0）（26+&）=10.通過

查閱相關(guān)資料發(fā)現(xiàn)，這樣的兩個代數(shù)式互為有理化因式.小組成員利用有理化因式，分別得到了一個結(jié)論:

甲：3，=3；乙：設(shè)有理數(shù)處“滿足：濡+1+3l=-6拒+4,則“+6=6；

丙：^022-72021>72020-^019；丁：已知石三一而二二4,則所1+舊^=6；

戊：~^+廣1廠+廠1廠++—"-33-而.以上結(jié)論正確的有（

3+V35V3+3V57V5+5V799V97+9779966

A.甲丙丁B.甲丙戊C.甲乙戊D.乙丙丁

變式1.（2023?重慶?九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：

材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有

理化因式.

例如：品$3,（A/6-A/2）（V6+A/2）=6-2=4,我們稱有的一個有理化因式是君，卡-血的一個有

理化因式是痛+聲.

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中

不含根號，這種變形叫做分母有理化.

斯力n1lx-V3

例如：1TET丁

請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題:

⑴萬的有理化因式為,近+6的有理化因式為;（均寫出一個即可）

311

（2）將下列各式分母有理化（要求；寫出變形過程）：①右；②m；

⑶計算：金十七石+舟石+…+而天匕礪的結(jié)果.

變式2.（2023?北京西城?九年級?？计谥校╅喿x下述材料：

我們在學(xué)習(xí)二次根式時，熟悉的分母有理化以及應(yīng)用.其實，有一個類似的方法叫做“分子有理化",

與分母有理化類似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，從而消掉分子中的根式，比如：

V7+v6J7+J6

分子有理化可以用來比較某些二次根式的大小，也可以用來處理一些二次根式的最值問題.例如：

比較近-6和布-q的大小.可以先將它們分子有理化如下：幣—底=不'+瓜,娓一加=娓;下,

因為用+瓜>瓜+也,所以5-娓〈娓-非.

再例如：求>=Jx+2-J尤-2的最大值.做法如下:

4

解：由尤+220,X—2N0可知xN2,而y=Jx+2-Jx-2=

Jx+2+Jx-2

當(dāng)x=2時，分母^/^+G工有最小值2,所以y的最大值是2.

解決下述問題：⑴比較3近-4和2古-M的大??；（2）求、=&^7+后！-?的最大值和最小值.

例14：（2023上?福建泉州?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知。，6為兩個正實數(shù)，

a+b一（6）+（揚(yáng)）2G.揚(yáng)一（后4b）>0,a+bN2而,即：等2疝，當(dāng)且僅當(dāng)"。=，’時，

等號成立.我們把等叫做正數(shù)。，6的算術(shù)平均數(shù)，把府叫做正數(shù)“，b的幾何平均數(shù)，于是上述不等

式可表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù).它在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)

用，是解決最值問題的有力工具.示例：當(dāng)x>0時，求y=x+Ll的最小值；

解：y=（^+-）+1>2./%--+1=3,當(dāng)％=L即X=1