2024年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)題型訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)與切線(xiàn)（解析版）【藝體生專(zhuān)供】新高考

專(zhuān)題23導(dǎo)數(shù)與切線(xiàn)

一、考向解讀

考向：導(dǎo)數(shù)中的一個(gè)重要考點(diǎn)即是切線(xiàn)，經(jīng)常以小題或者大題第一問(wèn)出現(xiàn)，屬于導(dǎo)數(shù)中

為數(shù)不多較為簡(jiǎn)單的考點(diǎn)，必定要掌握！

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與切線(xiàn)

導(dǎo)師建議：抓住切線(xiàn)的本質(zhì)是一條直線(xiàn)，利用點(diǎn)斜式考慮問(wèn)題，主要解決切點(diǎn)和斜率！

二、知識(shí)點(diǎn)匯總

1.導(dǎo)數(shù)的概念

(1)函數(shù)尸於)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)：(函數(shù)尸於)在X=X()處的瞬時(shí)變化率)

空Hxo+Ax)—,1...AyX%o+Ax)-/(xo)

M―一旭b瓦，記作了(詞或y|x=xo，即Bn/(xo)一小鼻心二小叫瓦?

⑵導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)人x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)/(次)的幾何意義是在曲線(xiàn)y=/(x)上點(diǎn)P(xo,州)處的切線(xiàn)的斜率.相

應(yīng)地，切線(xiàn)方程為y—yo=/(xo)(x—xo).

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

?=%?(?eQ*)f(x)=n-xn~i

J(x)—sinx/(x)=cosX

fix)=cosXf(x)=-sinx

fix)=ax(a>Q)f(x)=axlna

Hx)=e"/W=ex

fix)=logaX((2>0,且存1)/(“)—xlna

1

y(x)=lnx/W=~

3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(i)g)土ga)1=/a)土g，a)；

(2)[/(x).g(x)y=/(x)g(x)+%)g，(x)；特別的Mx)]，=4Xx)；

3_/(x)g(x)—Ax)g'(x)

(g(x)和).

⑶￡(%)」—[g(x)]2

4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)M=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'-Ux,即y對(duì)x的導(dǎo)

數(shù)等于y對(duì)M的導(dǎo)數(shù)與M對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

【常用結(jié)論】

1.“在”點(diǎn)(%，%)處的切線(xiàn)(已知切點(diǎn))

①斜率=左=/5)

②切線(xiàn)y-%=/'(Xo)(X-Xo)

2.“過(guò)”點(diǎn)(為,%)的切線(xiàn)(不知道切點(diǎn))

①設(shè)切點(diǎn)(%,%);

②寫(xiě)切線(xiàn)方程y-/(%)=/@)(》-%)

③代點(diǎn)可得：y「/(Xo)=7'(Xo)(X1-Xo)上;

④解得為,回代②得切線(xiàn).

三、題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練

目錄一覽

①求曲線(xiàn)的斜率

②求在曲線(xiàn)上某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程

③求過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)方程

④已知切線(xiàn)(斜率)求參數(shù)

⑤兩條切線(xiàn)平行、垂直、公切線(xiàn)問(wèn)題

高考題精選

題型精練，鞏固基礎(chǔ)

①求曲線(xiàn)的斜率

一、單選題

1.曲線(xiàn)y=/—3x在點(diǎn)（1,-2）處的切線(xiàn)的傾斜角為（）

A.工B.工C.上D.工

6433

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】因?yàn)閥'=4/_3,所以y'L=l,故所求切線(xiàn)的傾斜角為］.

故選：B.

2.函數(shù)y=e、x在x=0處的切線(xiàn)的斜率為（）

A.0B.1C.2D.e

【答案】A

【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.

【詳解】函數(shù)尸e―x的導(dǎo)數(shù)y'=e“_l,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知：

在x=0處的切線(xiàn)的斜率為6。一1=1一1=0.

故選:A.

3.函數(shù)〃尤）=岑（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）圖象在點(diǎn)（0,/（0））處的切線(xiàn)的傾斜角是（）

,兀c?！?兀2兀

A.—B.-C.—D.—

4243

【答案】C

【分析】求出/''（0）,從而可得在點(diǎn)（0,7（。））處的切線(xiàn)的傾斜角.

-sinx-e%-e%-cosx-sinx-cosx

【詳解】尸（x）=

所以在點(diǎn)（0,7（0））處的切線(xiàn)的傾斜角是手.

故選:C.

4.函數(shù)/（x）=e"（sinx+cosx）在％=0處切線(xiàn)的斜率為（

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的值即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=e"(sinx+cosx),

則/'(%)-e"(sinx+cosx+cosx-sinx)=2excosx,

所以廣(0)=2,也即函數(shù)/(x)=e飛inx+cosx)在x=0處切線(xiàn)的斜率左=2,

故選：B.

②求在曲線(xiàn)上某一點(diǎn)的切線(xiàn)方程

5.函數(shù)/(幻==一的圖象在點(diǎn)(0,7(0))處的切線(xiàn)方程為()

X+1

A.7x+y+5=0B.7x+y-5=0C.7x-y-5=0D.7x—y+5=0

【答案】c

【分析】首先求出函數(shù)/(x)在x=0處的切線(xiàn)斜率，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程即可.

【詳解】f'(x)=2(二1)一斤一5)=,貝?。輳V(0)=7,而/(0)=-5,故函數(shù)7?(幻=生不在(0,-5)處的

(x+l)(x+l)X+1

切線(xiàn)方程為y+5=7x,則7x-y-5=0.

故選：C

6.曲線(xiàn)y=/+l在點(diǎn)(-1,a)處的切線(xiàn)方程為()

A.3元-y+3=0B.3x-y+l=0

C.3尤+y+l=0D.3x+y+3=0

【答案】A

【分析】根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線(xiàn)方程.

3

【詳解】t/=(-l)+i=o,故切點(diǎn)為

y=3x2,yu=3,即切線(xiàn)的斜率為3,

所以切線(xiàn)方程為y=3(x+l),即3x-y+3=0.

故選：A

7.函數(shù)"x)=ln(3x-2)-2x的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是()

A.x+y+l=0B.x+2y+3=0

C.x-2y-3-0D.x-y-3-0

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.

□

【詳解】r（x）=」-2,則切線(xiàn)的斜率是r（i）=i,/（i）=-2,

則切線(xiàn)方程是k（一2）=卜（元一1）,即x-y_3=0.

故選：D

8.已知〃x）=xex+3sinx,則曲線(xiàn)＞=/（尤）在點(diǎn)（0,/（0））處的切線(xiàn)方程為（）

A.y=xB.y=3xc.y=2xD.y=4x

【答案】D

【分析】求出在點(diǎn)（0，/（0））處的導(dǎo)數(shù)即為切線(xiàn)的斜率，直接寫(xiě)出切線(xiàn)方程即可.

【詳解】因?yàn)?（x）=xe*+3sinx,所以/（0）=0,/'（x）=e*+xe*+3cosx,

所以切線(xiàn)的斜率％=/'（。）=1+3=4,

所以曲線(xiàn)V=/（x）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線(xiàn)方程為V=4x,

故選：D.

9.若y（x）=[+3/⑶，則曲線(xiàn)“X）在X=2處的切線(xiàn)方程為（）

A.5%+2y+4=0B.5%+2y-4=0

C.5x-2y+4=0D.5x-2y-4=0

【答案】A

2

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，取x=3,解得r⑶=_》4貝！|〃司=3V_二Qv，求得〃2）=-7,尸⑵=-十S

可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線(xiàn)斜率，利用直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式得答案.

2

【詳解】〃幻=++3獷'⑶，/'（x）=x+3r（3）,

令x=3J'（3）=3+3/'⑶，解得廣（3）=-；.

所以=4-算，/（x）=x-?，貝!J〃2）=-7"。）=一|

所以曲線(xiàn)“X）在x=2處的切線(xiàn)方程為"7=-3（X一2）,即5x+2y+4=0.

故選：A.

10.若點(diǎn)A（a,a）,5僅,e"）（a,beR）,則A、B兩點(diǎn)間距離|明的最小值為（）

A.1B.且C.J2D.2

2

【答案】B

【分析】根據(jù)切線(xiàn)方程的求解，轉(zhuǎn)化成兩條直線(xiàn)間的距離即可求解.

【詳解】點(diǎn)4（%）在直線(xiàn)y=x,點(diǎn)B僅，巧在y=e，上，y=e\y=e\設(shè)第=e，的切線(xiàn)的切點(diǎn)為（如%）,

令y，=lne而=ln%=0,所以y=e，在點(diǎn)（0,1）處的切線(xiàn)為y=x+l,此時(shí)切線(xiàn)y=x+l與直線(xiàn)y=x平行,

直線(xiàn)y=x與y=x+l之間的距離」="為|明的最小值，

V1+12

故選：B

③求過(guò)一點(diǎn)的切線(xiàn)方程

11.已知函數(shù)〃%）=依3+X+1的圖像在點(diǎn)（I"⑴）的處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2,11）,則"=（）.

35

A.—B.—C.1D.2

24

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線(xiàn)的方程經(jīng)過(guò)的點(diǎn)求解即可.

【詳解】解：函數(shù)/（力=/+》+1的導(dǎo)函數(shù)為/（%）=3加+1,

r（l）=3a+l,而“l(fā)）=a+2,

切線(xiàn)方程為y_q_2=（3a+i）a-1）.

因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)（2,11）,所以11—a—2=（3a+l）（2—1）,

解得a=2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線(xiàn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12.若曲線(xiàn)y=?的一條切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（8,3）,則此切線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（4,2）B.（9,3）C.（4,2）或（9或）D.（4,2）或（16,4）

【答案】D

【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)方程，由切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（8,3）,代入曲線(xiàn)方程

中，即可求切點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為y'=2^'2^—=，工。+8=6,

；.(%_4)5—16)=0,

/.無(wú)。=4或16,.?.切點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)或(16,4),

故選:D

【點(diǎn)睛】此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求出切線(xiàn)斜率，注意區(qū)分直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)和在某

點(diǎn)處的切線(xiàn)的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題.

13.過(guò)點(diǎn)(0,-1)作曲線(xiàn)f(x)=xlnx的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程為

A.x+y+l=0B.尤-y-l=0

C.x+2y+2=0D.2x-y-l=0

【答案】B

【解析】設(shè)切點(diǎn)為(%,%),再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即得切線(xiàn)的斜率，再寫(xiě)出切線(xiàn)的方程即得解.

【詳解】/'(X)=lnx+1,

設(shè)切點(diǎn)為(%，%),，%=與山/，

%+1

:.=lnxO+1,

%

/.xOlnxO+l=xOlnxO+xO,:.xO=l,/.yO=O,

所以％=/'(%)=1,

切線(xiàn)方程為y=x-l,即x-y-l=O,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌

握水平.

14.若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=2+ln無(wú)相切，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

A.—B.—C.2D.e

2e

【答案】B

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，求出切線(xiàn)的斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)方程，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程，即可

求出切點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,2+lnx°),由y'=,，

x

切線(xiàn)方程為y-2-ln%=L(龍-/)，

原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程,

得2+ln/=l,解得尤。」.

e

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

15.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=(x-4)e,.的切線(xiàn)，則切線(xiàn)有()條

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】設(shè)切點(diǎn)為(為,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線(xiàn)方程，將(0,0)代入方程，即可求得答案.

【詳解】由y=(x-4)e*可得y=(x-3)e]

過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線(xiàn)y=(x-4)e'的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為(%,%),則切線(xiàn)斜率為k=(x°-3)e'。,

切線(xiàn)方程為V-%=(%-3)3(彳-%),又%=(5-4)十，

所以一(將一4)1。=(%-3)e-(-x0),即X；-4%+4=0,

所以演=2,即切線(xiàn)有I條.

故選：B.

16.曲線(xiàn)y”尤在方；處的切線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()

c兀

7D.-

A?喑2

【答案】A

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】y=tanx=s^nx-ny=cos2x+sin2x1

COSXcos2xcos2X

因此該曲線(xiàn)在方處的切線(xiàn)的斜率為-7

4

所以切線(xiàn)方程為：y—tanf=2(x——1=2%—

442

TT

令x=0,得y=l-,,

1jr

令y=0,#x=-(--l),

因此三角形的面積為〈x：x(g-l)x1一g=生留，

222216

故選：A

④已知切線(xiàn)(斜率)求參數(shù)

17.已知函數(shù)〃x)=ei+依2+1的圖象在％=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+3yT=0垂直，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩直線(xiàn)垂直的斜率關(guān)系即可求出。的值.

【詳解】由/(x)=e，-+ax?+1,得/(x)=ei+2ax,

因?yàn)楹瘮?shù)AxXei+^+l的圖象在x=l處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x+3y-l=0垂直，

所以尸(1)=1+2。=3,則a=l.

故選：A.

18.若曲線(xiàn)y=@*在點(diǎn)(1,。)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)/"+y+5=0平行，則實(shí)數(shù)。=()

A.!B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在x=l處的導(dǎo)數(shù)值，再由兩條直線(xiàn)平行與斜率的關(guān)系列式求解.

qlnx+tz,1-lnx-tz-.

【詳解】由＞=------，得y'=——j一，y

XX

曲線(xiàn)丫=生匕在點(diǎn)(l,a)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)/：x+y+5=0平行，

X

:A—a=—l9即〃=2.

故選：D.

19.若函數(shù)/a)=e'+lnx+a的圖象在點(diǎn)(11(1))處的切線(xiàn)方程為＞=6-1,貝心=()

A.1B.0C.-1D.e

【答案】B

【分析】求導(dǎo)得到左=/'(l)=e+l,再利用*l)=e+a=I=e,求出。的值.

【詳解】因?yàn)?(x)=e'+J,所以尸6=e+l,故左=e+l

又/(l)=e+a=Z-l=e,所以q=0.

故選：B

20.已知曲線(xiàn)丫=號(hào)且在點(diǎn)(0,4)處的切線(xiàn)方程為v=x+),則4+6=()

A.2B.eC.3D.2e

【答案】A

一，Y+9—（1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)>'=，令x=0結(jié)合切線(xiàn)的斜率求出a，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入切

e

線(xiàn)方程求出6即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式

,_2e“-（2x+〃）e"-2x+2-a

，

y=ee

當(dāng)x=0時(shí),y'=2-。，

?e-2—Q=1,即a=l.

（o,i）滿(mǎn)足方程y=%+3

即〃=1,

:.a+b=2.

故選:A.

21.若曲線(xiàn)y=Y+依+0在點(diǎn)尸（0,加處的切線(xiàn)方程為x-y+l=0,貝/，6的值分別為（）

A.1,1B.-1,1C.1,-1D.-1,-1

【答案】A

【分析】利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線(xiàn)斜率，結(jié)合切點(diǎn)在切線(xiàn)上可得.

【詳解】解：因?yàn)閥=2%+%所以川.。=〃

曲線(xiàn)y=%2+ox+b在點(diǎn)（0*）處的切線(xiàn)X—y+l=0的斜率為1,

..a=l,又切點(diǎn)（。,〃）在切線(xiàn)%-丁+1=。上，

0—Z?+l=0:.b=\.故選：A.

22.已知根〉0,n>0,直線(xiàn)y=,x+加+1與曲線(xiàn)y=ln%—〃+2相切，則工+工的最小值是（）

emn

A.16B.12C.8D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知方程求出僅〃的關(guān)系，再根據(jù)不等式中“1”的整體代換即可得出答案.

【詳解】對(duì)y=lnx-〃+2求導(dǎo)得y」，

X

由y'='=，得x=e,貝!!!?e+m+l=lne—〃+2,即加+〃=1,

xee

^fl^—+-=（m+H）f—+->|=2+—+—>2+2=4,

mn\mn）mn

當(dāng)且僅當(dāng)〃?=〃=：時(shí)取等號(hào).故選：D.

⑤兩條切線(xiàn)平行、垂直、公切線(xiàn)問(wèn)題

23.曲線(xiàn)＞=工與曲線(xiàn)＞=-%2的公切線(xiàn)方程為()

X

A.y=-4x+4B.y=4x-4

C.y=-2x-b4D.y=2x-4

【答案】A

【分析】畫(huà)出圖象，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】畫(huà)出y=Ly=-尤2以及四個(gè)選項(xiàng)中直線(xiàn)的圖象如下圖所示，由圖可知A選項(xiàng)符合.

X

故選：A

A,1

24.函數(shù)/(%)=改+9的圖象在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)也是拋物線(xiàn)/=＞的切線(xiàn)，則?！?()

%3

A.1B.3C.6D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)/■(%)與拋物線(xiàn)在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)的斜率，根據(jù)已知兩切線(xiàn)相同即可得出答案.

【詳解】f^=ax+-,貝!|尸(無(wú))=“-與，則在點(diǎn)(L3)處的切線(xiàn)的斜率為匕=1(1)=，4=“-。，

無(wú)2=gy，則y'=6x,則在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)的斜率為a=6,

1-.1

函數(shù)/(%)=改+9的圖象在點(diǎn)(1,3)處的切線(xiàn)也是拋物線(xiàn)-=：y的切線(xiàn)，

則左1=%2，即Q—b=6,

故選：C.

25.已知函數(shù)〃x)=xlnx,g(x)^ax2-x.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,O)存在一條直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=/(x)和y=g(x)都

相切，則"=()

A.-1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】先求得/⑺在A(LO)處的切線(xiàn)方程，然后與g(X)=^2—工聯(lián)立，由△=()求解

【詳解】解析：???/(%)=九Inx,???r(x)=l+lnx,??.7”)=l+lnl=l,???左=1,???曲線(xiàn)y=/(x)在A(1,O)

處的切線(xiàn)方程為V=%-1,由1’2得?-2%+1=0,由△=4—4i=。，解得〃=1.

[y=ax-x

故選：B

26.若函數(shù)“尤)=2alnx+l與8(”=公+1的圖像存在公共切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)。的最大值為()

2

A.eB.2eC.—eD.e2

2

【答案】A

【分析】分別設(shè)公切線(xiàn)與g(x)=f+l和〃x)=2alnx+l的切點(diǎn)(無(wú)“尤;+1),(%,241nx2+1),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾

何意義列式，再化簡(jiǎn)可得。=2只-2*111X2,再求導(dǎo)分析/心)=2/-2婿111X。>0)的最大值即可

【詳解】g'(x)=2x,尸(無(wú))=干，

設(shè)公切線(xiàn)與g(x)=犬+1的圖像切于點(diǎn)(%,尤;+1),

與曲線(xiàn)f(x)=2alnx+l切于點(diǎn)(%2,2alnx2+l),

所以2尤3=(2°111々+1)-(龍；+1)=2aln/x；,

x2x2—xxx2—x1

故a=y,所以2占=2^^,

龍2.玉

所以石=2X2-2X2-Inx2,

因?yàn)閍=x1x2,故4=2%；-2x|Inx2,

設(shè)h(x)=2x2-2x2-Inx(x>0),

貝()〃(x)=2Ml—21nx),令//(%)=Onx=&

當(dāng)〃(九)>0時(shí)，XG(0,5/e),當(dāng)〃(%)<0時(shí)，XG(A/C,+CO),

所以"(x)在(0,&)上遞增，在(加\+8)上遞減，

所以/z(x)1mx=7i(Ve)=e,

所以實(shí)數(shù)a的最大值為e,

故選:A.

⑥多選題與填空題

二、多選題

13

27.在曲線(xiàn)/（x）=:上切線(xiàn)的傾斜角為（乃的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(1,1)B.(—1,-1)C.P2D.

【答案】AB

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點(diǎn)

3

【詳解】切線(xiàn)的斜率％=3不=-1,

設(shè)切點(diǎn)為（%，%）,貝!ir（Xo）=T,

又（（無(wú)）=一］

所以，

所以％=1或%=-1,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（L1）或

故選：AB.

28.過(guò)點(diǎn)尸（-2,1）的直線(xiàn)與函數(shù)/（勸=丁+1的圖象相切于點(diǎn)2（%,%）,則％的值可以是（）

A.0B.2C.3D.-3

【答案】AD

【分析】根據(jù)過(guò)函數(shù)圖象上一點(diǎn)處的切線(xiàn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系求解.

【詳解】因?yàn)?（x）=V+l,所以尸（x）=3f,

由題意得直線(xiàn)PQ的斜率k=/U）=口，

即3"點(diǎn)，解得V?；颉?

故選:AD.

29.已知曲線(xiàn)〃尤）=2（x+l『+l,則曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸（0,3）的切線(xiàn)方程為（）

A.6x+y-3=0B.6x-y+3=0

C.5x-2y+6=0D.3x—2y+6=0

【答案】BD

【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出切線(xiàn)斜率，利用點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線(xiàn)，將網(wǎng)。,3)代入，解方程計(jì)

算出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出切線(xiàn)方程.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為卜0,2(%+1)3+1),

2,2

f'(x)=6(x+l),切線(xiàn)斜率為k=/(x0)=6(x0+l)

切線(xiàn)方程為y-[2(%+iy+1]=6(%+1『(xf)

曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(。,3),代入得3-[25+1)3+1卜6伍+1)2(-天)

可化簡(jiǎn)為(%+1丫-3%伉+1)2=1,即-2X；_3X；=0,解得%=。或％

貝(I曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸(0,3)的切線(xiàn)方程為6x-y+3=0或3x-2y+6=0

故選：BD

30.函數(shù)“x)=d+x-2的圖象在點(diǎn)p處的切線(xiàn)平行于直線(xiàn)y=4x-l,則尸點(diǎn)的坐標(biāo)可以為()

A.(1,0)B.(2,8)C.(-1,-4)D.(1,4)

【答案】AC

【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于4解方程，求得尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】依題意，令八尤)=3爐+1=4,解得x=±l

/(1)=0,/(-1)=-4,

故P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)和(-1,T),

故選：AC

31.已知函數(shù)〃尤)=』-l+lnx,則()

X

A.“外在x=l處的切線(xiàn)為x軸B."%)是(0,+⑹上的減函數(shù)

C.尤=1為八%)的極值點(diǎn)D.“X)最小值為0

【答案】ACD

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，判斷B;根據(jù)

導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)極值的關(guān)系，判斷C,繼而判斷D.

【詳解】由題意知〃無(wú))=1-1+依,(彳＞0),故[⑺=_5+：=*

故"X)在x=l處的切線(xiàn)的斜率為了'⑴=0,而/⑴=l-l+lnl=0,

故在x=l處的切線(xiàn)方程為、-0=0(無(wú)-1),即y=0,

所以〃x)在x=l處的切線(xiàn)為x軸，A正確；

當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(x)<。，當(dāng)x>l時(shí)，/^)>0,

故/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；

由此可得x=l為〃尤)的極小值點(diǎn)，C正確；

由于在(0,+8)上〃x)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，故函數(shù)的極小值也為函數(shù)的最小值，

最小值為/。)=。，D正確，

故選：ACD

32.已知函數(shù)f(x)=xln(l+x),則()

A.f(x)在(0,+00)單調(diào)遞增

B./⑺有兩個(gè)零點(diǎn)

C.曲線(xiàn)y=Ax)在點(diǎn)V：)處切線(xiàn)的斜率為T(mén)—ln2

D.f(x)是奇函數(shù)

【答案】AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及奇偶性

的定義，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：/(x)=xln(l+x),定義域?yàn)?—1,+8),貝(J/'(x)=ln(x+l)+士，

由y=ln(x+l),y=缶=1-占都在單調(diào)遞增，故V=f(無(wú))也在單調(diào)遞增，

又八0)=0,故當(dāng)了《一1,0)時(shí)，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xw(O,—)時(shí)，/(x)>0,/(%)單調(diào)遞增;

故A正確；

對(duì)B：由A知，/(x)在(-1,0)單調(diào)遞減，在(0,+s)單調(diào)遞增，又"0)=0,

故了(無(wú))只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；

對(duì)C尸(-g)=ln：-l=-lTn2,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，C正確；

對(duì)D：/(%)定義域?yàn)?-1,+/),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故/■("是非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.

故選：AC.

33.函數(shù)〃x)=lnx+l,g(x)=e￡-l,下列說(shuō)法正確的是()

A.存在實(shí)數(shù)抗，使得直線(xiàn)y=x+7〃與y=相切也與y=g(x)相切

B.存在實(shí)數(shù)%,使得直線(xiàn)>=丘-1與y=/(x)相切也與y=g(x)相切

C.函數(shù)g(x)-“X)在區(qū)間c,+，(上單調(diào)

D.函數(shù)g(x)-/(X)在區(qū)間[g+oo)上有極大值，無(wú)極小值

【答案】ABC

【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為尸(為，必)，。(均必)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，化簡(jiǎn)得(薩-1)氏-1)=0,解得尤2=。

或七=1,得到公切線(xiàn)的斜率為％=1或左=e,得出切線(xiàn)方程可判定A、B正確；令//(x)=g(x)-〃x),求

得〃(x)=e=j令°(x)=e，-：,x>0,利用導(dǎo)數(shù)求得所以°(x)單調(diào)遞增，得到"⑴單調(diào)遞增，結(jié)合

〃'(|)>0,得出〃(力在區(qū)間弓,+8)上單調(diào)遞增，可判定C、D錯(cuò)誤.

【詳解】設(shè)直線(xiàn)分別與V="%)與尸g(x)分別相切于點(diǎn)P(占,%),。(々，％)，

則)=/(玉)=比芯+1，%=e'2—1且/'(x)=g,g'(x)=ex,

Inx,+l-e%2+1

所以j且1

xi-x2

化簡(jiǎn)得(小-1)(受-1)=0,解得々=0或X2=l,

當(dāng)％=。時(shí)，可得g'(0)=0,即切線(xiàn)的斜率為左=1,且g(o)=o,即切點(diǎn)坐標(biāo)為Q(o,o),

此時(shí)切線(xiàn)的方程為y=x；

當(dāng)％=1時(shí)，可得g")=e,即切線(xiàn)的斜率為左=e,且g6=e-l,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為。(l，e-l),此時(shí)切線(xiàn)的方程為.v-(e-l)=e(x-l),即、="-1,

故公切線(xiàn)方程為>=*或>="-1,所以選項(xiàng)A、B正確；

令/z(x)=g(x)-/(x)=e￡-lnx-2,可得，

令=e*-！，尤>0,可得夕'(x)=e*+[>0,

XX

所以°(尤)單調(diào)遞增，即“(X)單調(diào)遞增，

又由“(2)=￡-3,因?yàn)椤敢欢?gt;0,所以涇)>0,

32o3

O9

即X嗚收）時(shí),hr（x）>0,所以〃（x）=g（x）-/（x）在區(qū)間號(hào)+8）上單調(diào)遞增，

所以C正確；

由C知，函數(shù)”（X）單調(diào)遞增，所以函數(shù)Mx）無(wú)極值，所以D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

34.若存在過(guò)點(diǎn)0（0,0）的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)/（%）=丁-3/+2x和y=/+。都相切，則。的值可以是（）

A.1B.—C.—D.-----

643264

【答案】AB

【分析】根據(jù)題意，分點(diǎn)。是切點(diǎn)與點(diǎn)。不是切點(diǎn)，兩種情況討論，然后結(jié)合切線(xiàn)方程的求解方法，得到

相應(yīng)的切線(xiàn)方程，從而得到。的值.

【詳解】由題意可得，f'（x）=3x2-6x+2,

因?yàn)椋?,。）在直線(xiàn)1上，當(dāng)0（0,0）為的切點(diǎn)時(shí)，

則廣（0）=2,所以直線(xiàn)1的方程為y=2x,

又直線(xiàn)1與y=—+a相切，

所以％之+。一2%=0滿(mǎn)足A=4-4a=0,得a=l；

當(dāng)。（0,0）不是“冷的切點(diǎn)時(shí)，

設(shè)切點(diǎn)為（％，片-3x：+2%）（飛20）,

則/伍）=3片一6%+2,

所以'-3x；+2*=3*一6%+2,得

/2

所以所以直線(xiàn)/的方程為y=一;尤?

由<,49得X?H—x+u—09

y=x2+a4

由題意得A=^-4a=0,所以a=[.

1664

綜上得。=1或"士.

64

故選:AB

三、填空題

35.曲線(xiàn)小)=》+3》在點(diǎn)已了倒處的切線(xiàn)斜率為,

【答案】0

【分析】求出點(diǎn)［I"1］：的導(dǎo)數(shù)，即該點(diǎn)處切線(xiàn)斜率.

【詳解】解:由題知〃冷=x+cosx,

所以尸(x)=l-sinx,所以*j=0,

故在點(diǎn)。佃1處的切線(xiàn)斜率為0.

故答案為：0

36.曲線(xiàn)y=丹在點(diǎn)(1,-2)處的切線(xiàn)方程為.

【答案】y=-3%+1

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】因?yàn)閥=言，所以y=一1定，

x-2(x-2)

3

所以曲線(xiàn)了=三在點(diǎn)(1,-2)處的切線(xiàn)的斜率左=-03=-3,

Y-4-1

所以曲線(xiàn)＞=若在點(diǎn)(1,-2)處的切線(xiàn)方程為y-(-2)=-3x(x-l),

整理得y=-3x+i,

故答案為：y=-3x+l

37.由線(xiàn)y=2x-ln2x在x處的切線(xiàn)方程是.

【答案】y=i

【分析】首先求導(dǎo)得y'=2-：,求出切點(diǎn)為切線(xiàn)斜率為o,則得到切線(xiàn)方程.

【詳解】％=1時(shí),y=i,則切點(diǎn)為=

2k27x

故切線(xiàn)斜率￡^一-7/——1一-0、

2

所以切線(xiàn)方程:化簡(jiǎn)得y=L

故答案為：y=L

38.函數(shù)〃x)=%-，在x=l處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x平行，貝IJ〃=.

【答案】1

【分析】求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)斜率，結(jié)合直線(xiàn)平行建立方程求解即可.

【詳解】因?yàn)?所以尸(無(wú))=1+/,

所以函數(shù)=在X=1處的切線(xiàn)斜率為廣⑴=1+4,

因?yàn)樵撉芯€(xiàn)與直線(xiàn)y=2尤平行，故1+。=2,解得。=1

故答案為：1

39.若函數(shù)〃x)=x-alnx的圖象在點(diǎn)(I"⑴)處的切線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),則。=.

【答案】-1

【分析】先求導(dǎo),然后分別求出/'(I),/。)，表示出切線(xiàn)方程，最后將點(diǎn)(2,3)代入切線(xiàn)方程即可求出

答案.

【詳解】由題可知((x)=l-，，則尸⑴=1-匹

又"1)=1,所以〃尤)的圖象在點(diǎn)(L〃l))處的切線(xiàn)方程為y—i=(i-4)(x—l),即y=(l—。)x+a.因?yàn)辄c(diǎn)

(2,3)在切線(xiàn)上，所以3=2-2a+a,解得a=-1.

故答案為：-1.

40.過(guò)點(diǎn)4(-3,0)作曲線(xiàn)y=(lr)e,的切線(xiàn)，則切線(xiàn)方程是.

【答案】x-ey+3=O

【分析】確定點(diǎn)A(TO)不在曲線(xiàn)上，設(shè)切點(diǎn)為(%,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線(xiàn)方程，將A(-3,0)

代入，求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得答案.

【詳解】由題意可知，當(dāng)x=-3時(shí),」=41，0,故點(diǎn)A(-3,0)不在曲線(xiàn)y=(l-x)e"上,

由y=(l-x)e'nT^/=-xev,

過(guò)點(diǎn)A(TO)作曲線(xiàn)y=(l-x)e'的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為(%,%),

則切線(xiàn)斜率為左=r°e'。，則切線(xiàn)方程為丫-%=-%6'。(尤-尤。)，

將4(-3,0)坐標(biāo)代入得：-%=-%-(-3-尤。)，

即=-Xoe為(3+5),即若+2X(,+1=0,;.X。=-1,貝！)>0=26一‘

故切線(xiàn)方程是=e-(x+l),即x-ey+3=0,

故答案為：x-ey+3=0

41.已知函數(shù)/(x)=e'與函數(shù)g(x)=lnx+b存在一條過(guò)原點(diǎn)的公共切線(xiàn)，則匕=.

【答案】2

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別表示公切線(xiàn)方程，再由公切線(xiàn)過(guò)過(guò)原點(diǎn)得出人

【詳解】設(shè)該公切線(xiàn)過(guò)函數(shù)〃x)=e，、函數(shù)g(x)=lnx+6的切點(diǎn)分別為G，e,)，(X2，lnx2+b).

因?yàn)閞(x)=e],所以該公切線(xiàn)的方程為y=)+爐=e'x+e』f爐

同理可得，該公切線(xiàn)的方程也可以表示為V='(x-X2)+lnx2+b=--x+lnx2+b-l

J1

e'1=—

%1

因?yàn)樵摴芯€(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以e"(If)=0,解得玉=1,%」力=2.

e

Inx2+Z?-1=0

故答案為：2

42.曲線(xiàn)y=e，與y=ln尤的公共切線(xiàn)的條數(shù)為.

【答案】2

【分析】設(shè)公切線(xiàn)關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為(40)，(%,In%),則公切線(xiàn)方程為:

31

e玉=__

y=6%(無(wú)一xj+e^1

In%，則無(wú)2

%1

e(1-xJ=lnx2-1

(x2-1)Inx2-x2-1=0,則公切線(xiàn)條數(shù)為/z(x)=(x—l)lnx—x—l零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】設(shè)公切線(xiàn)關(guān)于兩函數(shù)圖像的切點(diǎn)為L(zhǎng)，e],(%,In%),則公切線(xiàn)方程為:

x1

e1=——

百—X1—(x-+InX?,

y=e+e則x2

X

2一eX|(1一玉)=ln%2-1

注意到馬31=1，%=—In%,則由9(1-%)=ln%2-1,可得

1+Inx2=x2Inx2-x2=^>(x2-1)Inx2-x2-1=0.

則公切線(xiàn)條數(shù)為方程(％-1)In%--1=。的根的個(gè)數(shù)，

即函數(shù)/z(x)=(x-l)lnX-X-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

1111

〃(%)=lnx一,令p(x)=lnx——,則//(%)=—+-y>0,

XXXX

得"(x)=p(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.因〃⑴=-1<o,^(e)=1-1>0,

則淞e(l,e),使得〃'(%)=In%0--=0.則九⑴在(0,與)上單調(diào)遞減，在伉，+<?)上單調(diào)遞增，

%0

故，(x)min=h(%)=(%-1)I11%-%-1=一,一七<0,

xo

又注意到A(e-2)=2(1-e-2)-e^2-1=1->0,

222222

/?(e)=2(e-1)-e-1=e-3>0,貝門(mén)/e(e-,%),3x4G(%,e),

使得〃(毛)=//優(yōu))=0,得/?(可有2個(gè)零點(diǎn)，即公共切線(xiàn)的條數(shù)為2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題涉及研究?jī)珊瘮?shù)公切線(xiàn)條數(shù)，難度較大.

本題關(guān)鍵為將求公切線(xiàn)條數(shù)轉(zhuǎn)化為求相關(guān)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，又由題演有范圍，故選擇消掉為，構(gòu)造與Z有關(guān)

的方程與函數(shù).

四、高考真題精選

一、單選題

1.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)函數(shù)=W的圖像在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線(xiàn)方程為()

A.y=-2x-lB.y=-2x+l

C.y=2x-3D.y-2x+l

【答案】B

【分析】求得函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)「(x),計(jì)算出/■⑴和廣。)的值，可得出所求切線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)

即可.

【詳解】/(X)=X4-2X3,^=r(l)=-2,

因此，所求切線(xiàn)的方程為丫+1=-2(尤-1),即y=-2x+l.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線(xiàn)方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題

2.(2020?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若直線(xiàn)/與曲線(xiàn)y=&和尤2+y2=g都相切，則/的方程為()

A.y=2x+lB.y=2x+gC.y=^x+lD.y=^-x+^-

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)出直線(xiàn)/的方程，再由直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)，即可得出答案.

【詳解】設(shè)直線(xiàn)/在曲線(xiàn)y=4上的切點(diǎn)為(尤。,仄)，則無(wú)。>0,

函數(shù)y=?的導(dǎo)數(shù)為丫'=/，則直線(xiàn)/的斜率左=去，

設(shè)直線(xiàn)/的方程為禽=2也(無(wú)一尤o),即x-2衣y+尤0=。，

cc141

由于直線(xiàn)/與圓d+y2=相切，則/*=-,

5，1+4%,5

兩邊平方并整理得5焉-4%-1=0,解得％=1,(舍)，

則直線(xiàn)/的方程為x-2y+l=0,即y=：x+：.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及直線(xiàn)與圓的位置的應(yīng)用，屬于中檔題.

3.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若過(guò)點(diǎn)(a,6)可以作曲線(xiàn)y=e、的兩條切線(xiàn)，則()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ehD.0<b<ea

【答案】D

【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線(xiàn)方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)