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文檔簡介
2025年四川省峨眉第二中學高三年級數(shù)學試題第四次調(diào)研試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.322.四人并排坐在連號的四個座位上,其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是()A.12 B.16 C.20 D.83.已知函數(shù),,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或84.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P25.已知復數(shù)是純虛數(shù),其中是實數(shù),則等于()A. B. C. D.6.一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合,如果圓錐的表面積與半球的表面積相等,那么這個圓錐軸截面底角的大小是()A. B. C. D.7.“哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學難題之一,其內(nèi)容是:一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和,也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學家哥德巴赫提出的,我國數(shù)學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和,則拆成的和式中,加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為()A. B. C. D.8.設為虛數(shù)單位,復數(shù),則實數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.29.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應填寫()A. B. C. D.10.已知三棱錐的體積為2,是邊長為2的等邊三角形,且三棱錐的外接球的球心恰好是中點,則球的表面積為()A. B. C. D.11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.6312.棱長為2的正方體內(nèi)有一個內(nèi)切球,過正方體中兩條異面直線,的中點作直線,則該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長為()A. B. C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則________.14.在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點D,且,則的最小值為________.15.設,滿足約束條件,若目標函數(shù)的最大值為,則的最小值為______.16.已知x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,則三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,已知橢圓的左、右頂點分別為、,焦距為2,直線與橢圓交于兩點(均異于橢圓的左、右頂點).當直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時,四邊形的面積為6.(1)求橢圓的標準方程;(2)設直線的斜率分別為.①若,求證:直線過定點;②若直線過橢圓的右焦點,試判斷是否為定值,并說明理由.18.(12分)如圖所示,四棱柱中,底面為梯形,,,,,,.(1)求證:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.19.(12分)已知數(shù)列的前項和為,且滿足().(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(),數(shù)列的前項和.若對恒成立,求實數(shù),的值.20.(12分)已知直線:與拋物線切于點,直線:過定點Q,且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點的坐標;(2)設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點,為棱上任意一點,且不與點、點重合..(1)求證:平面平面;(2)是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點的位置;若不存在,請說明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點、分別為,的中點,且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.2.A【解析】
先將除A,B以外的兩人先排,再將A,B在3個空位置里進行插空,再相乘得答案.【詳解】先將除A,B以外的兩人先排,有種;再將A,B在3個空位置里進行插空,有種,所以共有種.故選:A本題考查排列中不相鄰問題,常用插空法,屬于基礎題.3.B【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值,可得結果.【詳解】函數(shù),若,則的圖象關于對稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題,屬基礎題4.C【解析】
將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù),屬于基礎題.5.A【解析】
對復數(shù)進行化簡,由于為純虛數(shù),則化簡后的復數(shù)形式中,實部為0,得到的值,從而得到復數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù),所以,得所以.故選A項本題考查復數(shù)的四則運算,純虛數(shù)的概念,屬于簡單題.6.D【解析】
設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選:D本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.7.A【解析】
列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子,找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有,利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),根據(jù)古典概型知,所求概率為.故選:A.本題主要考查了古典概型,基本事件,屬于容易題.8.A【解析】
根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡,由復數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復數(shù),由復數(shù)乘法運算化簡可得,所以由復數(shù)定義可知,解得,故選:A.本題考查了復數(shù)的乘法運算,復數(shù)的意義,屬于基礎題.9.B【解析】
模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應填寫“”故選:B本題主要考查程序框圖,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.10.A【解析】
根據(jù)是中點這一條件,將棱錐的高轉(zhuǎn)化為球心到平面的距離,即可用勾股定理求解.【詳解】解:設點到平面的距離為,因為是中點,所以到平面的距離為,三棱錐的體積,解得,作平面,垂足為的外心,所以,且,所以在中,,此為球的半徑,.故選:A.本題考查球的表面積,考查點到平面的距離,屬于中檔題.11.B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時,則的最大值為15,故選B.考點:程序框圖.12.C【解析】
連結并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,推導出OH∥RQ,且OH=RQ=,由此能求出該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長.【詳解】如圖,MN為該直線被球面截在球內(nèi)的線段連結并延長PO,交對棱C1D1于R,則R為對棱的中點,取MN的中點H,則OH⊥MN,∴OH∥RQ,且OH=RQ=,∴MH===,∴MN=.故選:C.本題主要考查該直線被球面截在球內(nèi)的線段的長的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎知識,考查運算求解能力,屬于基礎題.14.9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡得,因此當且僅當時取等號,則的最小值為.點睛:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現(xiàn)錯誤.15.【解析】
先根據(jù)條件畫出可行域,設,再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點時取得最大值,從而得到一個關于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【詳解】解:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線過直線與直線的交點時,目標函數(shù)取得最大,即,即,而.故答案為.本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎題.16.3【解析】
先根據(jù)約束條件畫出可行域,再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x,y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,畫出可行域如圖所示.目標函數(shù)z=2x-y,即平移直線y=2x-z,截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A(12,z在點A處有最小值:z=2×1故答案為:32本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用,利用數(shù)形結合,結合目標函數(shù)的幾何意義是解決此類問題的基本方法.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)①證明見解析;②【解析】
(1)由題意焦距為2,設點,代入橢圓,解得,從而四邊形的面積,由此能求出橢圓的標準方程.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,推導出,,,,由此猜想:直線過定點,從而能證明,,三點共線,直線過定點.②由題意設,,,,直線,代入橢圓標準方程:,得,推導出,,由此推導出(定值).【詳解】(1)由題意焦距為2,可設點,代入橢圓,得,解得,四邊形的面積,,,橢圓的標準方程為.(2)①由題意,聯(lián)立直線與橢圓的方程,得,,解得,從而,,,同理可得,,猜想:直線過定點,下證之:,,,,三點共線,直線過定點.②為定值,理由如下:由題意設,,,,直線,代入橢圓標準方程:,得,,,,(定值).本題考查橢圓標準方程的求法,考查直線過定點的證明,考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法,考查橢圓、直線方程、韋達定理等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18.(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點為,連接,,,,根據(jù)線段關系可證明為等邊三角形,即可得;由為等邊三角形,可得,從而由線面垂直判斷定理可證明平面,即可證明.(2)以為原點,,,為,,軸建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得平面和平面的法向量,即可由法向量法求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:取中點為,連接,,,如下圖所示:因為,,,所以,故為等邊三角形,則.連接,因為,,所以為等邊三角形,則.又,所以平面.因為平面,所以.(2)由(1)知,因為平面平面,平面,所以平面,以為原點,,,為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標系,易求,則,,,,則,,.設平面的法向量,則即令,則,,故.設平面的法向量,則則令,則,,故,所以.由圖可知,二面角為鈍二面角角,所以二面角的余弦值為.本題考查線面垂直的判定,由線面垂直判定線線垂直,由空間向量法求平面與平面形成二面角的大小,屬于中檔題.19.(1)(2),.【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列的通項與前n項和的關系式,即求解數(shù)列的通項公式;(2)由(1)可得,利用等比數(shù)列的前n項和公式和裂項法,求得,結合題意,即可求解.【詳解】(1)由題意,當時,由,解得;當時,可得,即,顯然當時上式也適合,所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得,所以.因為對恒成立,所以,.本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解,等差數(shù)列的前n項和公式,以及裂項法求和的應用,其中解答中熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式,以及合理利用“裂項法”求和是解答的關鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.20.(1),(1,2);(2)存在,【解析】
(1)由直線恒過點點及拋物線C上的點到點Q的距離與到準線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點的坐標;(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點Q的坐標為拋物線的焦點坐標,由拋物線C上的點到點Q的距離與到其焦點F的距離之和的最小值為,可得,解得或(舍去),故拋物線C的方程為又由消去y得,因為直線與拋物線C相切,所以,解得,此時,所以點P坐標為(1,2)(2)設存在滿足條件的實數(shù),點,聯(lián)立,消去x得,則,依題意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在實數(shù)=滿足條件.本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合應用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應用一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解,此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足,導致錯解,能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分
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