2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第三章 圓3 垂徑定理教案 （新版）北師大版

2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章圓3垂徑定理教案（新版）北師大版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為北師大版2023九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第三章“圓”中的第3節(jié)“垂徑定理”。內(nèi)容包括：垂徑定理的探索與證明，垂徑定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，以及通過(guò)垂徑定理解決圓形圖形的相關(guān)問(wèn)題。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生在八年級(jí)時(shí)已學(xué)習(xí)過(guò)圓的基本性質(zhì)和直徑的相關(guān)知識(shí)，為理解垂徑定理奠定了基礎(chǔ)。此外，學(xué)生在九年級(jí)上冊(cè)中學(xué)習(xí)了相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，這有助于他們理解垂徑定理的證明過(guò)程及在圓形問(wèn)題中的應(yīng)用。本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上，深化學(xué)生對(duì)圓的性質(zhì)的理解，并提高他們解決實(shí)際問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下能力：通過(guò)探究垂徑定理，提升學(xué)生的幾何直觀與邏輯推理能力；強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)幾何關(guān)系的能力；提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠理解圓的性質(zhì)，運(yùn)用垂徑定理分析并解決相關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)他們的空間觀念和問(wèn)題解決能力，進(jìn)一步深化對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)難點(diǎn)及解決辦法本節(jié)課的重點(diǎn)在于垂徑定理的證明及其應(yīng)用。難點(diǎn)在于理解垂徑定理與圓的性質(zhì)之間的聯(lián)系，并能將其靈活應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

重點(diǎn)解決辦法：

1.通過(guò)動(dòng)態(tài)幾何軟件或?qū)嵨锬Ｐ脱菔?，幫助學(xué)生直觀理解垂徑定理的形成過(guò)程，加深記憶。

2.設(shè)計(jì)不同難度的練習(xí)題，由淺入深地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題，鞏固知識(shí)點(diǎn)。

難點(diǎn)突破策略：

1.引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫圖、分析、討論的方式，發(fā)現(xiàn)并理解垂徑定理與圓的性質(zhì)之間的關(guān)系。

2.利用小組合作學(xué)習(xí)，讓學(xué)生互相交流解題思路，共同突破難點(diǎn)。

3.教師針對(duì)學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)性地解決問(wèn)題。

4.結(jié)合生活實(shí)例，讓學(xué)生體會(huì)垂徑定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)興趣，降低學(xué)習(xí)難度。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)生動(dòng)的語(yǔ)言和直觀的圖形，向?qū)W生講解垂徑定理的證明過(guò)程和性質(zhì)應(yīng)用。

2.討論法：組織學(xué)生分組討論，共同探索垂徑定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和問(wèn)題解決能力。

3.實(shí)驗(yàn)法：利用幾何畫板等教學(xué)軟件，讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，觀察垂徑定理在圖形中的表現(xiàn)，提高學(xué)生的實(shí)踐操作能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：通過(guò)PPT展示定理的推導(dǎo)過(guò)程，以及相關(guān)例題的解答步驟，增強(qiáng)視覺(jué)效果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用幾何畫板等軟件，動(dòng)態(tài)演示垂徑定理的圖形變化，幫助學(xué)生更好地理解定理的內(nèi)涵。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：提供在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，讓學(xué)生在課后自主查閱相關(guān)資料，拓展學(xué)習(xí)深度和廣度。教學(xué)過(guò)程第一環(huán)節(jié)：導(dǎo)入新課

1.復(fù)習(xí)提問(wèn)：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了圓的哪些性質(zhì)？（學(xué)生回答）很好，今天我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的一個(gè)重要性質(zhì)——垂徑定理。

2.引入新課：請(qǐng)大家觀察黑板上這個(gè)圓，如果我們?cè)趫A中畫一條弦，再畫一條垂直于這條弦的直徑，你們覺(jué)得這兩者之間會(huì)有什么關(guān)系呢？（引導(dǎo)學(xué)生思考并回答）

第二環(huán)節(jié)：探究垂徑定理

1.分組討論：請(qǐng)同學(xué)們分成小組，利用手中的圓和直尺、圓規(guī)等工具，畫圖探究垂徑定理。

2.小組匯報(bào)：請(qǐng)各小組代表匯報(bào)你們探究的結(jié)果。

3.教師總結(jié)：根據(jù)大家的探究結(jié)果，我們可以得出垂徑定理：在一個(gè)圓中，如果一條弦垂直于另一條弦，那么這兩條弦互相平分。

4.證明垂徑定理：引導(dǎo)學(xué)生利用幾何知識(shí)，通過(guò)添加輔助線、證明三角形全等或相似，來(lái)證明垂徑定理。

第三環(huán)節(jié)：應(yīng)用垂徑定理

1.例題講解：請(qǐng)同學(xué)們打開課本，看例題3.3.1。我們一起來(lái)看如何運(yùn)用垂徑定理解決這個(gè)問(wèn)題。

2.學(xué)生練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成課本上的練習(xí)題3.3.2。

3.答疑解難：針對(duì)學(xué)生在練習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題，進(jìn)行解答和指導(dǎo)。

第四環(huán)節(jié)：鞏固拓展

1.拓展題目：請(qǐng)同學(xué)們嘗試解決以下拓展題目（出示PPT上的題目）。

2.小組討論：各小組討論解題思路，共同解決問(wèn)題。

3.全班交流：請(qǐng)各小組匯報(bào)解題過(guò)程和答案，大家共同討論，總結(jié)解題方法。

第五環(huán)節(jié)：課堂小結(jié)

1.學(xué)生總結(jié)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲？

2.教師總結(jié)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了垂徑定理，并學(xué)會(huì)了如何運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題。希望大家在課后加強(qiáng)練習(xí)，熟練掌握垂徑定理。

第六環(huán)節(jié)：作業(yè)布置

1.完成課本習(xí)題3.3.3、3.3.4。

2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課內(nèi)容。

3.查閱資料，了解垂徑定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用。教學(xué)資源拓展拓展資源：

1.相關(guān)書籍：《幾何明珠》、《圓的密碼》等，這些書籍中詳細(xì)介紹了圓的性質(zhì)及其在實(shí)際中的應(yīng)用，有助于學(xué)生更深入地理解垂徑定理。

2.視頻資料：可以查找一些教學(xué)視頻，如《幾何原本》中關(guān)于圓的性質(zhì)的講解，幫助學(xué)生直觀地理解垂徑定理的證明過(guò)程。

3.實(shí)物模型：準(zhǔn)備一些圓形實(shí)物模型，如圓盤、硬幣等，讓學(xué)生觀察并動(dòng)手操作，加深對(duì)垂徑定理的理解。

拓展建議：

1.閱讀建議：鼓勵(lì)學(xué)生閱讀相關(guān)書籍，了解圓的性質(zhì)在歷史發(fā)展中的重要作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.觀看建議：指導(dǎo)學(xué)生觀看教學(xué)視頻，注意觀察垂徑定理的證明過(guò)程，學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何知識(shí)分析問(wèn)題。

3.實(shí)踐建議：

a.利用實(shí)物模型，讓學(xué)生自己動(dòng)手畫圓、畫弦、畫垂徑，觀察垂徑定理在實(shí)際中的表現(xiàn)。

b.組織學(xué)生進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，如測(cè)量圓形花壇的直徑、半徑等，將垂徑定理應(yīng)用于實(shí)際生活。

c.鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活中的圓形物體，并運(yùn)用垂徑定理分析其性質(zhì)，提高學(xué)生的觀察能力和實(shí)踐能力。板書設(shè)計(jì)1.標(biāo)題：垂徑定理

-引出主題，明確本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。

2.關(guān)鍵概念：

-圓

-弦

-直徑

-垂徑定理

-突出重點(diǎn)，明確基本概念。

3.垂徑定理內(nèi)容：

-在圓中，如果一條弦垂直于另一條弦，則這兩條弦互相平分。

-精煉準(zhǔn)確地表達(dá)垂徑定理的內(nèi)容。

4.證明過(guò)程：

-利用圖形展示證明步驟，簡(jiǎn)潔明了。

-突出關(guān)鍵步驟和幾何證明方法。

5.應(yīng)用實(shí)例：

-通過(guò)示例題目的解答，展示垂徑定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-簡(jiǎn)潔呈現(xiàn)解題步驟和答案。

6.課堂小結(jié)：

-總結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)。

-概括性語(yǔ)言，條理分明。

7.藝術(shù)設(shè)計(jì)：

-使用不同顏色的粉筆，區(qū)分概念、定理、例題等不同部分。

-運(yùn)用箭頭、框線等元素，使板書結(jié)構(gòu)清晰、層次分明。

-增加趣味性圖案，如圓形、弦線等，增強(qiáng)視覺(jué)效果。

板書設(shè)計(jì)旨在通過(guò)清晰的結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)潔的內(nèi)容和藝術(shù)性的呈現(xiàn)，幫助學(xué)生更好地理解和記憶垂徑定理，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)反思今天我們?cè)诰拍昙?jí)學(xué)習(xí)了垂徑定理，整個(gè)教學(xué)過(guò)程下來(lái)，我覺(jué)得有幾個(gè)地方值得反思。

首先，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們?cè)谔骄看箯蕉ɡ淼倪^(guò)程中，對(duì)于畫圖和觀察幾何關(guān)系還存在一定的困難。這讓我意識(shí)到，在之后的教學(xué)中，我需要更加注重培養(yǎng)大家的幾何直觀能力，可以通過(guò)多做一些實(shí)際操作，比如用圓規(guī)和直尺親自畫圖，幫助同學(xué)們更好地理解幾何關(guān)系。

其次，討論環(huán)節(jié)中，有些同學(xué)并不是很積極，可能是因?yàn)樗麄儗?duì)垂徑定理還不夠熟悉，或者是對(duì)自己的解題思路不夠自信。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我打算在接下來(lái)的課程中，多設(shè)置一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，鼓勵(lì)大家大膽發(fā)言，逐步提高他們的自信心。

另外，我發(fā)現(xiàn)通過(guò)多媒體設(shè)備和教學(xué)軟件的演示，同學(xué)們對(duì)垂徑定理的理解更加深刻。這說(shuō)明現(xiàn)代化教學(xué)手段在幾何教學(xué)中的優(yōu)勢(shì)非常明顯。因此，我會(huì)在后續(xù)的教學(xué)中，繼續(xù)充分利用這些資源，讓同學(xué)們?cè)谝曈X(jué)和感官上更好地理解和記憶幾何知識(shí)。

還有一點(diǎn)讓我印象深刻的是，當(dāng)同學(xué)們將垂徑定理應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題中時(shí)，他們表現(xiàn)出了很高的興趣。這說(shuō)明我們教學(xué)中的實(shí)例選擇非常重要，要盡量貼近生活，讓同學(xué)們感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值。

在講解垂徑定理的應(yīng)用時(shí)，我發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)在解題步驟上還存在一定的困惑。這可能是因?yàn)槲覍?duì)解題步驟的講解還不夠細(xì)致。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我計(jì)劃在之后的課程中，對(duì)解題步驟進(jìn)行更加詳細(xì)的講解，并鼓勵(lì)同學(xué)們?cè)谡n后多做一些相關(guān)練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。重點(diǎn)題型整理題型一：證明垂徑定理

題目：在圓O中，AB是直徑，C是弦，且AB垂直于C。證明：AC=BC。

解答：由于AB是直徑，根據(jù)圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角。因此，∠ACB=90°。又因?yàn)锳B垂直于C，所以∠AOC=∠BOC=90°。在直角三角形AOC和BOC中，它們有一個(gè)共同的角∠O，且AO=BO（直徑相等），因此根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，AC=BC。

題型二：應(yīng)用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題

題目：一個(gè)圓形花壇直徑為10米，在花壇中心垂直于一條寬2米的路徑。求這條路徑將花壇分成的兩個(gè)部分的面積。

解答：路徑將花壇分成兩個(gè)半圓和一個(gè)矩形。由于路徑寬2米，所以矩形的寬也是2米。根據(jù)垂徑定理，路徑將半圓分成的兩部分面積相等，因此只需計(jì)算一個(gè)半圓的面積加上矩形的面積。半圓的半徑為5米，面積為π×52/2=39.27平方米。矩形的面積為長(zhǎng)（半圓的周長(zhǎng)）×寬，即2×π×5×2=62.83平方米。所以，整個(gè)路徑將花壇分成的兩個(gè)部分的面積為39.27+62.83=102.1平方米。

題型三：垂徑定理在多邊形中的應(yīng)用

題目：四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，且對(duì)角線AC垂直于BD。證明：AB=CD。

解答：連接BD，由于ABCD內(nèi)接于圓O，根據(jù)圓的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直。所以∠AOD=∠BOC=90°。根據(jù)垂徑定理，AD=BC。同理，由于AC垂直于BD，∠BAD=∠BCD，所以三角形ABD和三角形CDB全等，從而得出AB=CD。

題型四：垂徑定理與相似三角形結(jié)合

題目：在圓O中，AB是直徑，C在AB上，且OC垂直于AB。若OC=4，求AC的長(zhǎng)度。

解答：由于OC垂直于AB，根據(jù)垂徑定理，AC=BC。在直角三角形OCB中，OC=4，所以AB=2×OC=8。由于C在AB上，AC+BC=AB，因此AC=AB/2=4。

題型五：垂徑定理在圓形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

題目：設(shè)計(jì)一個(gè)直徑為20米的圓形花園，要在花園中建一條寬為4米的筆直小路，使小路將花園分成面積相等的兩部分。

解答：根據(jù)垂徑定理，要使小路將花園分成面積相等的兩部分，小路必須通過(guò)花園的中心。在花園中心O處，垂直于直徑AB建一條寬4米的小路。這樣，小路將花園分成兩個(gè)半徑為10米的半圓，面積相等。由于小路寬4米，所以每個(gè)半圓的半徑實(shí)際為10-2=8米。這樣設(shè)計(jì)的花園可以使兩部分面積相等。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：在本節(jié)課中，同學(xué)們的課堂表現(xiàn)整體良好。大家能夠認(rèn)真聽講，積極參與課堂討論，對(duì)于垂徑定理的探究表現(xiàn)出較高的興趣和熱情。特別是在小組討論環(huán)節(jié)，同學(xué)們能夠相互協(xié)作，共同探討，體現(xiàn)了良好的團(tuán)隊(duì)合作精神。

2.小組討論成果展示：各小組在討論垂徑定理的證明和應(yīng)用過(guò)程中，展示出了不同的解題思路和技巧。大家通過(guò)互相借鑒，共同提高，使得課堂氛圍更加活躍。在成果展示環(huán)節(jié)，同學(xué)們能夠清晰地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，為其他同學(xué)提供了很好的學(xué)習(xí)范例。

3.隨堂測(cè)試：在隨堂測(cè)試環(huán)節(jié)，大部分同學(xué)能夠正確回答關(guān)于垂徑定理的問(wèn)題，說(shuō)明大家對(duì)本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)掌握較好。但也有一小部分同學(xué)在應(yīng)用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)存在困難，需要加強(qiáng)練習(xí)。

4.作業(yè)完成情況：課后作業(yè)的完成情況總體較好，同學(xué)們能夠按照要求完成習(xí)題，并在作業(yè)中體現(xiàn)了對(duì)垂徑定理的理解和應(yīng)用。但仍有部分同學(xué)在解題過(guò)程中出現(xiàn)步驟不清晰、計(jì)算錯(cuò)誤等問(wèn)題，需要進(jìn)一步提高。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)，我認(rèn)為