系數(shù)的擴充與復(fù)數(shù)的引入

系數(shù)的擴充和復(fù)數(shù)的導(dǎo)入知識導(dǎo)圖一、概念虛數(shù)單位引入一個新數(shù)i，i叫作虛數(shù)單位，并規(guī)定：a、i2=-1b、實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有的加、減運算律仍然成立。典例：i是虛數(shù)單位，計算i+i2+i3=()A、-1B、1C、-iD、i注意:i4n=1,i4n+2=-1;i4n+1=i，i4n+2=-i.變式訓(xùn)練：i是虛數(shù)單位，若集合S={-1,0,1},則（）A、i∈sB、i2∈sC、i3∈sD、2/i∈s復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)集我們把C=｛a+bi|a,b∈R}中的數(shù)，即形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)。全體復(fù)數(shù)所形成的集合C叫作復(fù)數(shù)集。注意：當且僅當b=0時，a+bi是實數(shù)。當且僅當a=b=0時，a+bi是實數(shù)0。當b≠0時，a+bi是虛數(shù)。當a=0且b≠0時，叫作純虛數(shù)。典例：下列命題中：a、若a∈R,則（a+1)i是純虛數(shù)；b、若a,b∈R且a>b，則a+i3>b+i2.C、若（x2-1)+(x2+3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=1.d、兩個虛數(shù)不能比較大小。其中，正確命題的個數(shù)為（）A、1B、2C、3D、4變式訓(xùn)練：對于復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R),下列結(jié)論正確的是（）a=0a+bi為純虛數(shù)b=0a+bi為實數(shù)a+(b-1)i=3+2ia=3,b=-3-1的平方等于i.復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),這一表示形式叫作復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。其中a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的實部與虛部。典例：設(shè)a,b∈R.a=0是復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù)的（）充分而不必備條件必要而不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C=｛a+bi|a,b∈R}中任取兩個數(shù)a+bi,c+di（a,b,c,d∈R），我們規(guī)定：a+bi與c+di相等的充要條件是a=c且b=d.典例：若x∈R，試確定實數(shù)a的值，使等式3x2-a/2x+(2x2+x)i=1+10i成立。變式訓(xùn)練：已知z1=(cosa-4/5)+i(sina-3/5),z2=cosb+isinb,且z1=z2求cos(a-b)的值。復(fù)數(shù)的分類實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集，即RC。這樣，復(fù)數(shù)z=a+bi可以分類如下： 實數(shù)（b=0)復(fù)數(shù)虛數(shù)（b≠0)(當a=0時為純虛數(shù)）典例：已知復(fù)數(shù)實數(shù)a取什么值時，z是（1）實數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？復(fù)數(shù)的乘法1、乘法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積（a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i2、運算律Z1.Z2=Z2.Z1（Z1.Z2）.Z3=Z1（Z2.Z3）Z1.（Z2+Z3）=Z1Z2+Z1Z3注意：z€R時，|z2|=|z|2=z2；z€C時，|z|2€R而z2€C，所以z2≠|(zhì)z|2。z€R時，z12+z22=0?z1=0且z2=0；z€C時，若z12+z22=0則z12=-z22,所以z1=+/-z2i.典例：若（1+i)(2+i)=a+bi,其中a,b€R,i為虛數(shù)單位，則a+b=.共軛復(fù)數(shù)一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫作互為共軛虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)為z的共軛復(fù)數(shù)為EQ\*jc0\*"Font:Arial"\*hps10\o\ad(\s\up9(---),z).注意：互為共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在復(fù)平面上關(guān)于實軸對稱。實數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身。若z≠0且z+EQ\*jc0\*"Font:Arial"\*hps10\o\ad(\s\up9(---),z)=0,則z為純虛數(shù)。典例：若復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位），EQ\*jc0\*"Font:Arial"\*hps10\o\ad(\s\up9(---),z)是z的共軛復(fù)數(shù)，則z2+EQ\*jc0\*"Font:Arial"\*hps10\o\ad(\s\up9(---),z)2虛部為（）A、0B、-1C、1D、-2復(fù)數(shù)的除法（a+bi)÷(c+di)=(ac+bd)/c2+d2+(bc-ad)/c2+d2i(c+di≠0).復(fù)數(shù)除法運算實際是乘法的逆運算。典例：已知i是虛數(shù)單位，則3+i/1-i=()A、1-2iB、2-iC、2+iD、1+2i復(fù)數(shù)的綜合運算若復(fù)數(shù)z滿足z(2-i)=11+7i(i為虛數(shù)單位），則z為（）A、3+5iB、3-5iC、-3+5iD、-3-5i變式訓(xùn)練：設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)5-6i/i=（)A、6+5i B、6-5iC、-6+5iD、-6-5i復(fù)數(shù)的方程問題若1+√2i是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個復(fù)數(shù)根，則（）b=2,c=3B、b=-2,c=3C、b=-2,c=-1D、b=2,c=-1變式訓(xùn)練：方程x2+6x+13=0的一個根是（）-3+2iB、3+2iC、-2+3iD、2+3i純虛數(shù)考察兩個共軛復(fù)數(shù)的差是（）實數(shù)B、純虛數(shù)C、零D、零或純虛數(shù)復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面內(nèi)，滿足條件|z-2i|+|z+1|=√5的點的軌跡是（）橢圓B、直線C、線段D、圓常用結(jié)論（1+/-i)2=+/-2i;(1+i)(1-i)=2;1/i=-i;1/1+i=1-i/2;1+i/1-i=i；1-i/1+i=-i；in+in+1+in+2+in+3=0(n€N*)記w=-1/2+√3/2i,則w2=-1/2-√3/2i,于是有:w2=