新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)講解與練習(xí)：拋物線(二)

新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)專題講解與練習(xí)

專題60拋物線(二)

一、單項(xiàng)選擇題

1.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且傾斜角為120。的直線與拋物線C交于A

,B兩點(diǎn)，若AF,BF的中點(diǎn)在y軸上的射影分別為M,N,且|MN|=4小，則拋物線C的

準(zhǔn)線方程為()

3

A.x=-1B.x=-2C.x=—D.x=—3

2.已知拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線C的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)M(l,yo)

在拋物線C上，|MF|=翠，則tanNFAM=()

2554

A-5B2C-4D5

3.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A@,a)

(a>0)在C上，|AF|=3.若直線AF與C交于另一點(diǎn)B,則|AB|的值是()

A.12B.10C.9D.4.5

4.若拋物線y=4x2上一點(diǎn)到直線y=4x—5的距離最短，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A41)B.(0,0)C.(1,2)D.(1,4)

5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(xi,yi),B(X2,y2),則

票|的值一定等于

A.-4B.4C.p2D.一p?

6.已知拋物線C：y2=4x與直線y=2x—4交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B下方)，焦點(diǎn)為F,則

cosZAFB=

4334

A-5B5C-D--5

2

7.（2018?課標(biāo)全國(guó)I）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)（一2,0）且斜率為]

的直線與C交于M,N兩點(diǎn)，則由I.卡=（）

A.5B.6C.7D.8

8.（2021?石家莊市質(zhì)

檢）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)M（2,2陋）的直線1交拋物線于

另一點(diǎn)N,則|NF|：|FM|等于（）

A.1：2B.1：3C.l：y[2D.1：^3

9.（2021?衡水中學(xué)調(diào)

研）已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P（4,0）的直線與拋物線相交于A（xi,yi）,B（X2,y2）兩個(gè)不

同的點(diǎn)，則yJ+yz?的最小值為（）

A.12B.24C.16D.32

10.（2021?石家莊市模

擬）過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線1與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M（3,0）.若AMAB的

面積為RL則|AB|=（）

A.2B.4C.2小D.8

二、多項(xiàng)選擇題

11.（2021?山東高考實(shí)戰(zhàn)演練仿真

卷）已知拋物線x?=4y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A（xi,yi）,B（X2,y2）,點(diǎn)A

,B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為Ai,Bi,以下四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

A.xiX2=_4B.|AB|=yi+y2+1

C.ZA1FB1=^D.AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離的最小值為2

12.（2021?山東高考統(tǒng)一模

擬）設(shè)M,N是拋物線y2=x上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn).若直線OM與ON的斜率之

積為一；，則（）

A.|OM|+|ON|N4、「B.以MN為直徑的圓的面積大于4兀

C.直線MN過定點(diǎn)（2,0）D.點(diǎn)O到直線MN的距離不大于2

三、填空題與解答題

13.（2021?山東高考統(tǒng)一模

擬）已知拋物線y2=2px（p>0）與直線1：4x—3y—2p=0在第一、四象限分別交于A,B兩點(diǎn)

,F是拋物線的焦點(diǎn)，若府尸川Ffi|,則入=.

14.（20204|^州質(zhì)

檢）設(shè)拋物線y2=16x的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)P（l,0）的直線1與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，且2強(qiáng)

=云，則|AF|+2|BF|=.

15.（2021?四川遂寧市高三三

診）已知點(diǎn)M（0,2）,過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線AB交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若直面?

而1=0,則點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為.

16.（2021?廣西柳州模

擬）已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn).

⑴若#=3由，求直線AB的斜率；

（2）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,求四邊形OACB面積的最

小值.

國(guó)重點(diǎn)班?選做題.

17.（2021?八省聯(lián)

考）已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A（2,2）,B,C,直線AB,AC是圓（x—2>+y2=1的兩條

切線，則直線BC的方程為（）

A.x+2y+l=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

x21

18.（2019?課標(biāo)全國(guó)HI）已知曲線C：y=下，D為直線y=—/

上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.（l）證明：直線AB過定點(diǎn)；

（2）若以E（0,|）為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.

參考答案

1.答案D解析設(shè)A（xi,yi）,B（X2,y2）,由拋物線C的焦點(diǎn)為g,0）,知AF,BF的

中點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為9苧，則|MN|=專一斗=；卜2—yi|=44，所以|y2—yi|=84.由

題意知直線AB的方程為丫=—?。▁—習(xí)，與拋物線方程y2=2px聯(lián)立消去x,得y=一

4?仔即/y?+2py—小p2=0,所以yi+y2=-一1’yiy2=~P2,于是由Iy2—yi|

=84，得（yz+yip—4yiy2=192,所以］—用）+4p2=192,解得p=6,§=3，所以拋物

線C的準(zhǔn)線方程為X=-3.故選D.

2.答案D解析過點(diǎn)M向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為N,則|MN|=yo+^=

^故yo=2p.又M(l,yo)在拋物線上，故yo=*于是2P=5，解得p=J,

5IANI4

.'.|MN|=a，/.tanNFAM=tanNAMN=j^M=5.故選D.

3.答案C解析結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得￡+5=3,解得P=4,所以拋物線方程為y2=

8x,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2^2),所以直線AB的方程為y=-2[i(x—2),代入拋物線

方程，計(jì)算B的坐標(biāo)為(4,—4、”)，所以|AB|=N(xl—x2)2+(yl—y2)2=9.故選

C.

4.答案A解析設(shè)與直線y=4x—5平行的直線為y=4x+m,由平面幾何的性質(zhì)可知，

拋物線y=4x2上到直線y=4x—5的距離最短的點(diǎn)即為直線y=4x+m與拋物線相切的

點(diǎn).而對(duì)y=4x2求導(dǎo)得y，=8x,又直線y=4x+m的斜率為4,所以8x=4,得x=g,

此時(shí)丫=4乂8=1,即切點(diǎn)為1),故選A.

5.答案A解析①若焦點(diǎn)弦AB_Lx軸，則XI=X2=2,則xiX2=^,yiy2=-p2,則興!

=一4.②若焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)直線AB：y=k[x—5),聯(lián)立y?=2px得lAc?

一(k2P+2p)x+。券=0,則xiX2=^\?；yi2=2pxi,y22=2px2,y12y22=4p2xiX2=p4.X

,；yiy2<0,...yiy2=—p2.故票|=一4.故選A.

6.答案D解析,拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,.?.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0).又,直線y

=2x—4與C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B下方)，，A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,—2),(4,

FXFft—84

4),則FA=(O,-2),FS=(3,4),/.cosZAFB=-：—=后=一不故選D.

|FA|.|Ffi|iU)

22

7.答案D解析過點(diǎn)(一2,0)且斜率為]的直線的方程為y=§(x+2),由

y=7(x+2)

得x?—5x+4=0,設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),則yi>0,y2>0,根據(jù)根與

、y2=4x,

系數(shù)的關(guān)系，得XI+X2=5,XIX2=4.易知F(l,0),所以由=(xi—1,yi),H^=(X2—1,

y2),所以而I,FT^=(xi—1)-(X2-l)+yiy2=xiX2—(xi+x2)+l+4-\/xlx2=4—5+l+8=8.

故選D.

8.答案A解析方法一：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),M(2,2也)，.?.直

lfy2=4x,

線1的方程為y=2啦(x—l).由彳r得2X2—5X+2=0,解得*=2或*=

ly=2^/2(x—1),

113

點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為亍?.?拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=-1,.?.[NF|=],|MF|=3,/.

|NF|：|MF|=1：2.故選A.

方法二：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),M(2,2陋)，...直線1的方程為y=2、「

y2=4x,廣l

(x-1).由廠，、得y?—/y—4=0,解得y=2吸或y=—也，點(diǎn)N的

(y=2y/2(x—1),

縱坐標(biāo)為一也.過點(diǎn)M作MM'軸，垂足為M',過點(diǎn)N作NN'軸，垂足為N',

則△乂乂'F^ANNZF,?.|NF|：|MF|=|NN,|：|MMZ|=|-^2|：2^2=1：2.故選A.

方法三：：M(2,2限)是拋物線上的點(diǎn)，且拋物線y2=4x的準(zhǔn)線方程為x=—1,，|MF|

1123

=3?又麗+麗=0=1，，|NF|=5，，|NF|：|MF|=1：2.故選A.

9.答案D解析當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為x=4,

x=4,

由,得yi=-4,y2=4,?'-yi2+y22=32.

Ly2=4x,---

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k(x—4),

[y2=4x,4

由J，/“、得ky2—4y—16k=0,.*.yi+y2=r,yiy2=-16,

、y=k(x—4),K

222

.*.yi+y2=(yi+y2)—2yiy2=rf+32>32.

KN

22

綜上可知,yi+y2>32.

22

/.yi+y2的最小值為32.故選D.

10.答案D

解析拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F為(1,0),可設(shè)直線1的方程為x=ty+l,

代入拋物線方程，可得y?—4ty—4=0,

設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),可得yi+y2=4t,yiy2=—4,

則|AB|=yl+t2,|yi—y2|=^/l+t2?yj(yl+y2)2—4yly2=^/l+t2?W6t2+16,

△MAB的面積為；|MF|?|yi—y2|=^X2|yi—y2|=4"\/2,

即6t2+16=4祀,解得t=±l,則|AB|=dl+l?#16+16=8.故選D.

11.答案ACD

解析拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB為y=kx

+1.

[y=kx+l,

由彳得x2—4kx—4=0,則xi+x2=4k,xiX2=—4,A正確;

lx2=4y,

|AB|=|AF|+|BF|=yi+l+y2+l=yi+y2+2,B不正確;

F^l=(xi,-2),由1=(x2,—2),/.F^l?I<1=XIX2+4=0,ZAiFBi

=$C正確；

AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離d=|(|AAi|+|BBi|)=^(yi+y2+2)=1(kxi+l+kx2+l

+2)=|(4k2+4)^2.

當(dāng)k=0時(shí)取得最小值2,D正確.故選ACD.

12.答案CD解析不妨設(shè)M為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，

1、歷、歷

①當(dāng)直線MN_Lx軸時(shí)，koM=-koN,由koM?koN=—得koM=2，koN=—2，所

以直線OM,ON的方程分別為：丫=坐*和丫=—當(dāng)x.與拋物線方程聯(lián)立，得M(2,g),

N(2,f),

所以直線MN的方程為x=2,此時(shí)|0M|+|0N|=2%,

以MN為直徑的圓的面積S=2n,故A、B不正確.

②當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,

與拋物線方程聯(lián)立消去x,得ky2—y+m=0,則A=l—4km>0.

設(shè)M(xi,yi),N(X2,y2),則yiy2=￡,因?yàn)閗oM?koN=—g,所以普。^|=一3，

則2y2yl=-X2Xi=-y22yl2,則丫曠2=—2,所以罕=-2,即m=-2k,

K

所以直線MN的方程為y=kx—2k,即y=k(x—2).

綜上可知，直線MN為恒過定點(diǎn)Q(2,0)的動(dòng)直線，故C正確；

易知當(dāng)OQLMN時(shí)，原點(diǎn)O到直線MN的距離最大，最大距離為2,

即原點(diǎn)O到直線MN的距離不大于2.故D正確.故選CD.

13.答案4

解析直線1：當(dāng)y=0時(shí)，x=g,...直線1過拋物線的焦點(diǎn)，A,F,B三點(diǎn)共線，

y2=2px,

聯(lián)立直線與拋物線方程得8x2—17px+2P2=0,

4x—3y—2p=0,

解得：XA=2p,XB=|,，|AF|=XA+^=|P，|BF|=XB+5=1P，入=^^=4

14.答案15解析設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2).VP(1,0),

.*.Bt*=(l—X2,—y2),PX=(xi—1,yi).V2B?=PX,.'.2(1—X2,—y2)=(xi—1,yi),

.*.xi+2x2=3,12y2=yi.將A(xi,yi),B(X2,y2)代入拋物線方程y?=16x,得y/=16xi,

y22=16x2.

XV—2y2=yi,/.4X2=XI.XVxi+2x2=3,解得X2=；,xi=2./.|AF|+2|BF|=xi+4+2(x2

+4)=2+4+2X(J+4^=15.

15.答案一1

2—0

解析因?yàn)辄c(diǎn)M(0,2),拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F(l,0),所以kMF=[J=—2,由A而干而

=0可得AMUM,所以直線AM的斜率kAM=W，所以直線AM的方程為y—2=1x,

即y=|x+2,

._1

由.丫一中+2,化簡(jiǎn)得*2—8*+16=0,解得x=4,可得點(diǎn)A(4,4),

.y2=4x

所以直線AF的斜率kAF=￡^=±,所以直線AF的方程為：y=|(x-l),

y2=4x,

聯(lián)立，4,、消去x可得：y2—3y—4=0,解得y=—1或y=4,

y=3(x—1),

所以點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為一1.

16.答案(1)小或一小(2)4

解析(1)依題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為F(l,0),設(shè)直線AB：x=my+l,將直線AB與

x=my+1,

拋物線聯(lián)立彳=>y2—4my—4=0.設(shè)A(xi,yi),B(X2,y2),則yi+y2=4m,yiy2

Ly2=4x?‘'’’

=-4.

建=3避=＞丫1=—3y2=＞m2=g,斜率為上=小或一5.

(2)SHa?oACB=2SAAOB=2X-|OF|,|yi—y2|=lyi-y2|=yj(yl+y2)2—4yly2=

、16m2+16/4,

當(dāng)m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值為4.

17.答案B

解析方法一(設(shè)而要求)：,.,A(2,2)在拋物線y2=2px上，：.4=4p,：.p=l,：.y2=2x,

過A(2,2)作圓C的切線，設(shè)切線斜率為k.

|2k-0-2k+2|

則切線方程為：y—2=k(x—2),即kx—y—2k+2=0.，.'.k=±\/3.

y/k2+l—

y—2=A/3(x—2),

當(dāng)k=45時(shí)，切線方程為：y—2=/(x—2),聯(lián)立＜

j2=2x,

—2=—\[3(x—2),

.*.kBC=—I，y-^|~^=-Kj—8:，),即3x+6y+4=0,故選B.

方法二(設(shè)而不求)：^?^A(2,2)在拋物線y2=2px上，...4=4p....p=l....y2=