2024年新高考數(shù)學考前基礎訓練（一）

新高考數(shù)學考前基礎訓練（一）

姓名：__________—班級：_______________

一、單選題

1.已知全集。=1<,集合A={x|log2X<2},則即A=（）

A.(4,+oo)B.[4,+oo)C.(-oo,0)[4,+8)D.(-oo,0]k(4,+oo)

2.若復數(shù)z滿足（3+4i）z=|4+3i],則z的虛部為（）

A.-4B.--

5

4

C,-4iD.——i

5

3.下列求導運算正確的是（）

A。'一小B.[ln(3x+l)r=-^-

3x+l

C.（A：--）'=1一"yD.-

XX2x2/

4.,+的二項展開式中x的系數(shù)為（）

A.-40B.40C.-80D.80

5.下列命題中是真命題的個數(shù)是（）

①命題"VxeR,尤2+1>0”的否定是“切eR,考+1<0”

②設a,6是向量，命題“若4=6,則同=忖”的逆命題是真命題

③命題°：了=刨二^是奇函數(shù)；命題g：y=尤+工的最小值是2,則P人（「4）是真命題

COSXx

④若直線機_L平面。，平面al?平面夕，則加//夕

A.0B.1C.2D.3

6.已知〃=2一"，Z?=ln3,c=^log23,則()

A.a<c<bB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

7.若一個圓臺的兩個底面半徑分別為1和2,側(cè)面積為3缶，則它的體積為（）

-7兀C-tD-7兀

A.3KB.—

3

8.已知數(shù)列{為}是公差為2的等差數(shù)列，若4+2,%+2,%4成等比數(shù)列，則[4=（）

A.9B.12C.18D.27

二、多選題

9.下列計算中正確的是()

V3

A.sin15sin30sin75=—B.sin20°cos40°-cos160°sin40°

82

1-tan15

C.l-2cos2—=D.=6

1221+tan15

10.已知向量〃=(—l,2),b=(6,—2),則()

A.(2a+±aB.\a-b\=A/65

C.a與否的夾角為:兀D.a在b上的投影向量為-1

44

11.下列關(guān)于概率統(tǒng)計的說法中正確的是()

A.某人在10次答題中，答對題數(shù)為X,X~3(10,0.7),則答對7題的概率最大

B.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,l),若尸(X21)=p,貝i]P(-l<X<0)=l-2p

C.已知回歸直線方程為9=病+9,若樣本中心為(-3,24),貝上=一5

D.兩個變量的相關(guān)系數(shù)為,，則廠越小，x與y之間的相關(guān)性越弱

22

12.設橢圓C:土+匕=1的左、右焦點分別為片，鳥，尸是C上的動點，則下列說法正確的是

2516

()

A.|「匐的最大值為8

4

B.橢圓C的離心率e=g

C.耳面積的最大值等于12

D.以線段片為為直徑的圓與圓(x-4)2+(y-3y=4相切

三、填空題

13.已知a,b表示兩條直線，a,￡,y表示三個不重合的平面，給出下列命題：

①若afl尸a,/3C\y=b,且a〃6,則a//；

②若a,b相交且都在a,0外,alia,blip,則a〃夕;

③若a//a,alI/3,則a//夕；

④若qua,allP，aC\/3=b,則a//6.

其中正確命題的序號是.

14.兩本相同的圖畫書和兩本不同的音樂書全部分給三個小朋友，每人至少一本，且兩本圖

試卷第2頁，共4頁

畫書不分給同一個小朋友，則不同的分法共有種.

15.為深入學習宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進新征程，強國伴我行”二十大主題知

識競賽.其中高一年級選派了10名同學參賽，且該10名同學的成績依次是：70,85,86,

88,90,90,92,94,95,100.則下列說法正確的序號為.(寫出全部正確的序號)①

中位數(shù)為90,平均數(shù)為89；②極差為30,方差為58.③70百分位數(shù)為92；④去掉一個最低

分和一個最高分，平均數(shù)變大，方差變小

16.已知雙曲線C：W-4=l(a>0,10)的左右焦點分別為￡、F”曲線C上的點M滿足，

ab

TT

印母=則雙曲線的離心率為.

10,AMFXF2=-,

四、解答題

17.已知數(shù)列｛七｝的前”項和為=2,Sn=an+]-2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)令么=1+log",求數(shù)列｛an-bn｝的前n項和卻

18.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,bcosC=ccos(A+C)+2acosB.

⑴求8；

(2)若》=3,sinC=2sinA,求△ABC的面積.

19.如圖，在三棱柱ABC-A用G中，平面平面480,48=40=80=441=2,

AB=屈.

G

⑵求二面角A-C耳-8的正弦值.

20.在平面直角坐標系中，動點尸到點尸(4,0)的距離等于點P到直線x+4=0的距離.

(1)求動點尸的軌跡方程；

⑵記動點尸的軌跡為曲線C,過點廠的直線/與曲線C交于A8兩點，M(TO),直線40

的斜率為左，直線3M的斜率為網(wǎng).證明：匕+心為定值.

21.為了引導學生閱讀世界經(jīng)典文學名著，某學校舉辦“名著讀書日”活動，每個月選擇一天

為“名著讀書日”，并給出一些推薦書目.為了了解此活動促進學生閱讀文學名著的情況，該

校在此活動持續(xù)進行了一年之后，隨機抽取了校內(nèi)100名學生，調(diào)查他們在開始舉辦讀書活

動前后的一年時間內(nèi)的名著閱讀數(shù)量，所得數(shù)據(jù)如下表：

多于5本少于5本合計

活動前3565100

活動后6040100

合計95105200

(1)試通過計算，判斷是否有99.9%的把握認為舉辦該讀書活動對學生閱讀文學名著有促進作

用；

(2)已知某學生計劃在接下來的一年內(nèi)閱讀6本文學名著，其中4本國外名著,2本國內(nèi)名著，

并且隨機安排閱讀順序.記2本國內(nèi)名著恰好閱讀完時的讀書數(shù)量為隨機變量X,求X的數(shù)

學期望.

n(ad-bc)2

參考公式：K2=n=a+b+c+d

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d)'

臨界值表:

2

P(K>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

2

22.已知函數(shù)/。)=廠—辦+4,其中aeR.

e無

⑴當a=0時，求曲線y=f(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)當a>0時，若了。)在區(qū)間［0,甸上的最小值為工，求a的值.

e

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.D

【分析】首先解對數(shù)不等式求出集合A,再根據(jù)補集的定義計算可得.

【詳解】由logzxV2,gplog2x<log24,所以0<xW4,

所以A={x|log2尤&2}={x[0<xW4},又全集U=R,所以漕4=（-8,0]2（4,+8）.

故選：D

2.B

【分析】根據(jù)復數(shù)模的運算和商的運算化簡復數(shù)，然后根據(jù)虛部的概念求解即可.

------55（3-4i）34

【詳解】因為（3+4i）z=14+3i|=E=5,所以2=0=（3+:）（3，旬=1。

4

所以Z的虛部為-二.

故選：B

3.A

【分析】利用導數(shù)的運算法則及求導公式，逐項求解判斷.

1-11-31

【詳解】對于A,（―尸）'=（彳2）=一彳苫2=一—=,A正確；

對于B,[ln（3尤+1）]'=孚?=3，B錯誤；

3x+l3x+l

對于c,（x--y=i+-4,c錯誤；

XX

對于D,（―/=--（-/,D錯誤.

2x2x2x2=2x2

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，可求出x的系數(shù).

【詳解】二項式上+.1的展開式的通項公式是小=C；X5T]￡|=q-2rx5-2r,r=0,l,2,,5,

令5-2r=l,解得r=2,

心+i=C>22產(chǎn)2*2=40X,

即x的系數(shù)為40.

故選：B.

答案第1頁，共16頁

5.B

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,可判斷①;逆命題“若同=M，則a=6"，

向量的模相等，向量不一定相等，還有方向，可判斷②；先判斷命題2與4的真假，在判斷

0人（「q）的真假，可判斷③；直線機可能平行平面夕，也可在平面夕內(nèi)，可判斷④.

【詳解】在①中，命題"VxwR,x2+l>0”的否定是“%eR,x：+lVO"，即①錯誤;

在②中，命題“若貝南|=W"的逆命題為“若同=瓦則a=6”,

若同=忖，只能說明。與6的模長相等，方向不知，是假命題，即②錯誤;

在③中，對于命題P：>=/（尤）=吧上⑻=-也,

COSXCOSX

定義域為］+關(guān)于原點對稱，

sin(-x)-sinxsin%”、

-------=------=~fM,

cos(-x)COSXCOSX

所以/"）為奇函數(shù)，命題P為真命題；

對于命題4：當X>0時>=苫+！221。?工=2,

當x<0時y=x+，2_2j（_x）?（-L）=_2,

XVX

所以y=x+L沒有最小值，所以命題q為假命題，則F為真命題,

X

所以。人（「4）是真命題，即③正確;

在④中，若直線加，平面a,平面C平面口，則m//月或機u平面夕，即④錯誤;

故只有③是真命題.

故選：B.

6.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定幕值和對數(shù)值的范圍即得.

【詳解】因0<2.<2-=；,即oe（0$,

又ln3>lne=l,gpZ?e（l,+co）,

而1=1log24>|log23>|log22=1,即ce（；,1）,

乙乙乙乙乙

故avcv）.

故選：A.

答案第2頁，共16頁

7.B

【分析】由側(cè)面積求得母線長，再求出圓臺的高，然后由體積公式計算.

【詳解】記母線長為/,高為"

由側(cè)面積為5=兀(1+2)/=3岳，/=夜，則高為/z=J(0)2_Q_I)2=1，

177r

所以體積為V=］無(F+lx2+22)xl=7，

故選：B.

8.D

【分析】利用等比中項列式，借助等差數(shù)列通項公式求解即得.

【詳解】由q+2,%+2,%成等比數(shù)歹U，得(%+2)2=(q+2)x%，

所以(q+8)2=(q+2)(q+26),解得％=1,

所以為=1+2x13=27.

故選：D

9.ABC

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式及兩角和的正弦公式，利用二倍角余弦公式及兩角差的正

切公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求解.

【詳解】對于A,原式

=sin15sin30sin(90-75)=sinl5sin30cos15=^sin230=—xf—j=-,故A正確;

2212j8

對于B,=sin20°cos40°-cos(180°-20°)sin40°=sin20°cos40°+cos20°sin40°

=sin(20°+40°)=sin60°=^,

故B正確;

對于C,原式=1一11+80(2*^1[]=-8$看=一￥，故C正確；

對于D,原式=網(wǎng)曳二l^_=tan(45-15)=tan30=—,故D錯誤.

1+tan45tan15')3

故選：ABC.

10.ABD

【分析】A選項，根據(jù)(2a+b)s=0得到垂直關(guān)系；B選項，求出0-6=(-7,4),根據(jù)模長

答案第3頁，共16頁

公式求出答案；C選項，根據(jù)cos〈a,6〉=-正得到答案；D選項，利用|a|cos〈a,辦金■二-坊

2\b\4

得到D正確.

【詳解】A選項，因為。=(-1,2),1=(6,-2).

所以2“+〃=(4,2).則(2〃+/?).〃=一lx4+2x2=0.所以(2〃+。)±a.故A正確：

B選項，因為a-。=(-7,4).所以卜—。|二J(—7)2+4?=.故B正確；

C選項，因為"力=扁=斥之=-1.且〈。，機[。,江

--3兀

所以〈./〉=￥.故c錯誤；

4

a在》上的投影向量為IaIcos〈a,Z?〉=石乂x、，=-Jb.故D正確.

\b\[2J2V104

故選：ABD.

11.AC

【分析】對于A,可利用不等式法求解；對于B,根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可驗算；對

于C,將樣本中心坐標代入回歸方程即可驗算；對于D,由相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.

【詳解】對于A,X~5(10,0.7),故洋X=左)=CfoO.7亭0.31W,

fCioO-y^OJ10^>Cf'O.7M-O.3H^小…皿生…

令A言。方。嚴公o?！薄?'(Z丘,Z)，解得6.7Q7.7,故k=7,故A正確;

對于B,?.P(X21)=0,r.P(-l<X<O)=P(O<X<l)=g-p,故B錯誤；

對于C,回歸直線必過樣本中心，可得24=-33+9，解得石=-5，故C正確；

對于D,兩個變量MY的相關(guān)系數(shù)為廣,卜|越小，x與y之間的相關(guān)性越弱，故D錯誤.

故選：AC.

12.ACD

【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長短半軸長及半焦距，再逐項計算判斷得解.

22_________

【詳解】橢圓C:j+J=l的長半軸長。=5,短半軸長6=4,則半焦距0=必，=3,

2516

對于A,|P￡|的最大值為a+c=8,A正確；

答案第4頁，共16頁

c3

對于B,橢圓C的離心率0=上=3,B錯誤；

a5

對于C,設點尸(加,%),則l%Lx=4,而IF工|=2c=6,

因此耳面積的最大值等于gx6x4=12,C正確；

對于D,以線段為直徑的圓為/+9=9的圓心。(0,0),半徑4=3,

圓(x—4)2+(y-3>=4的圓心C(4,3),半徑弓=2,\OC\=5=rl+r2,則圓。與圓C外切，D

正確.

故選：ACD

13.④

【分析】根據(jù)線線、線面、面面之間的位置關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解析：①錯誤，a與乃也可能相交；

②錯誤，a與￡也可能相交；

③錯誤，a與/也可能相交；

④正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知.

故答案為：④

14.15

【分析】按照分組的結(jié)果分類討論，利用分類加法原理求解即可.

【詳解】不妨記兩本相同的圖書為元素L1,兩本不同的音樂書為元素3,4,根據(jù)題意，分類

討論：

若分組情況為13,1,4時，此時分配給三個小朋友的方法有A；=6種情況；

若分組情況為14,1,3時，此時分配給三個小朋友的方法有A；=6種情況；

若分組情況為34,1,1時，此時分配給三個小朋友的方法有C；=3種情況；

綜上，不同的分法共有6+6+3=15種.

故答案為：15

15.①②④

【分析】

根據(jù)題意，通過中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差、百分位數(shù)的計算，逐項判斷即可.

【詳解】對于①,10個分數(shù)從小到大進行排列后，

答案第5頁，共16頁

第5個和第6個數(shù)的平均值為=90，

即中位數(shù)為90,

這10個數(shù)的平均值為

70+85+86+88+90+90+92+94+95+100℃

--------------------------------------二89,

10

故①正確；

對于②，這10個數(shù)的極差為100-70=30,

方差為

(70-89)2+(8589)2+頷-&9)+岱8-89)2+(90-891+(90-89丫+(92-891+(94-897+(95-89)2+(100-89丫

10

=58

故②正確;

對于③，由于10x70%=7,

92+94

所以70百分位數(shù)是第7個數(shù)和第8個數(shù)的平均數(shù)，即一^=93,

2

故③錯誤；

對于④，去掉一個最低分和一個最高分的平均數(shù)為

85+86+88+90+90+92+94+95

=90>89,平均數(shù)變大,

8

方差為

（85-90）2+（86-90）+（88-90）2+（90-90『+（90-90）2+（92-90）2+（94-90）2+（95-90）2

8

11.25<58,方差變小，故④正確，

故答案為：①②④.

16.V3+1/1+V3

【分析】利用，可得，，結(jié)合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】因為耳所以崢，訝，

答案第6頁，共16頁

又的用=2c,所以|〃￡|=辰，\MF2\=C,

ff[\^\MF1\-\MF2\=y/3c-c=2a,

c2r~

貝||0=,=萬1=J3+1,即雙曲線的離心率為有+l.

故答案為：A/3+1.

17.d)??=2"

(2)7；=n-2"+1

【分析】(1)由5“,?！钡年P(guān)系分〃是否等于1進行討論即可求解；

(2)首先得c.=a”也=(1+〃>2",進一步結(jié)合錯位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.

【詳解】(1)ai=2,Sn=a?+l-2

當〃=1時，%=%—2,「.%—4,a2=2,,

當"22時，Sn_x=an-2,兩式相減得a“+i=2q(〃22),

2neN

?■-??+i=??(*)

%=2x0,.?.4=2(〃eN*),

a“

數(shù)列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

an=2"

(2)由(1)可知2=l+log24,=1+〃，記c”=生丸=。+〃>2”,

123

.-.7；,=2-2+3-2+4-2++(1+/7)-2\

答案第7頁，共16頁

27；,=2-22+3-23+4-24++(1+M)-2,,+1,

兩式相減得

22(1-2"-1)

-T=4+22+23++2”-(1+〃)-22=4+_(1+77)々"I-n-T+i

n1-2

+

：.Tn=n-T\

18.⑴不

⑵述.

2

【分析】（1）利用正弦定理進行邊角互化，整理化簡即可求得8；

（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合余弦定理，求得“，c,再結(jié)合三角形面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）^cosC=ccos（A+C）+2?cosB,gpbcosC+ccosB=2acosB,

27?（sinBcosC+sinCCOSB）=2acosB,

也即2Rsin（5+C）=2RsinA=2〃cos5,a=2acosB,解得cos5=],又3?0,兀），故B=

（2）b=3,sinC=2sinA,也即c=2a,由余弦定理可得cosB=--------------，即

2ac

1。2+4。2—92c

—=--------.——，a2=3,

24/

解得a=g,c=2g,故S=LcsinB=L百x2百x3=地.

ABC2222

19.（1）證明見解析

⑵孚

【分析】（1）利用直線與平面垂直證明兩直線垂直；（2）利用空間向量法求解二面角的正弦

值；

【詳解】（1）取AC的中點。，則BO1AC,且8。=血，

答案第8頁，共16頁

因為平面平面ABC,且平面A41cC平面ABC=AC,30u平面ABC,

所以301平面MGC,

因為AOu平面A41GC,，BO^\O,

所以43=#,30=胞,4。=若，

因為AO=1,陰=2,;.AO1A.O,

又因為AO_L80,AOc80=O,AQ,BOu平面\OB,:.AC±平面\OB,

又48u平面A.OB,:.ACLA^B.

(2)如圖所示，以。為原點，。4。民所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角

坐標系。-孫z,

可得A(1,O,O),C(-1,O,O),5(0,6,。),4(―1,君,6)，

因為AC=(―2,0,0),C4=(0,6,昌CB=(1,也,0),

設平面ACS1的法向量為m=(x,y,z),

n,?AC=0,—2,x=0,

則由＜得

6y+A/3Z=0,

nx?CB[=0,

令y=i,貝|]2=_1,二/=(0,1,_1)，

設平面耳2C的法向量為%=(jn,n,p),

答案第9頁，共16頁

nCB=0,m+6n=0,

則由＜；2得1

n2CB]=0,s[3n+布p=0,

令m=y/s,則九=—1,p=1,%=(>\/3,—1,1)，

記二面角A--5的平面角為a,

2_VW

因為|cosa|=?

72x75~5

顯然sina>0,所以sine=Jl-cos?a=

所以二面角A-Cg-B的正弦值為半.

20.⑴_/=16X；

(2)0.

【分析】（1）根據(jù)拋物線定義及焦準距即得動點的軌跡方程；

（2）先設出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后整理成一元二次方程，得出韋達定理，

再利用斜率定義，得到匕+自的表達式，整理成%,%的對稱式，代入韋達定理即得定值.

【詳解】（1）因動點尸到點歹（4,0）的距離等于點P到直線x+4=0的距離，故可知動點P的

軌跡是拋物線，

設其方程為V=2px,由題意得p=8,故動點P的軌跡方程為：C:y2=16x.

如圖，因直線/的斜率不能為零（否則直線/與拋物線只有一個公共點），又過點產(chǎn)（4,0）,

fy2=]6x

可設/:x=my+4,由＜消去x并整理得：y2-16my-64=0,

[%=my+4

答案第10頁，共16頁

fy+必=16m

顯然A>0,設A?,%）,8（%,%）,則由韋達定理,力及（*）

I%%=-64

則左+公=%+%=X+%="(〃?2+8)+%(力》+8)=2沖通+8(%+%)

12

'X]+4x2+4myl+8my2+8(myl+8)(my2+8)(myl+8)(my2+8)

.,2祖x（-64）+8x16加八

將（*）代入得：二+8）（外+8）=°，

故匕+區(qū)為定值。.

21.⑴有

⑵E（X）=?

【分析】（1）由表中數(shù)據(jù)計算卡方，對比臨界值即可得出結(jié)論；

（2）X的可能取值為2,3,4,5,6,由古典概型概率公式、組合數(shù)公式求出對應概率，進一步

由數(shù)學期望公式即可運算求解.

【詳解】⑴由表中數(shù)據(jù)可知，K2=200（35x40~6—°）2^^92?12,53>10.828,

105x95x100x100399

所以有99.9%的把握認為舉辦該讀書活動對學生閱讀文學名著有促進作用；

（2）由題意可知，X的可能取值為2,3,4,5,6,

則尸（X=2）=90尸（X=3）="<，尸（X=4）="<

小=5）爺=2,尸"6）爺斗

14

所以E（X）=2x93x—+4x—+5x—+6x—

155153T

22.⑴x-ey=0

(2)a=l

【分析】（1）由。=0,分別求出/