2024年江蘇省南通市崇川區(qū)、如皋市九年級中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年初中畢業(yè)、升學(xué)模擬考試試卷

數(shù)學(xué)試題

注意事項

考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項：

1.本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘，考試結(jié)束后，請將本試卷和答題紙

一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、智學(xué)號用0?5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題紙

指定的位置.

3.答案必須按要求填涂、書寫在答題紙上，在試卷、草稿紙上答題一律無效.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，恰有

一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.在-4,-3,-2,一1四個數(shù)中，比一2大的數(shù)是（）

A.—4B.-3C.—2D.—1

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了負(fù)數(shù)大小比較，兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而??；根據(jù)負(fù)數(shù)大小的比較法則，計算

出負(fù)數(shù)的絕對值，根據(jù)絕對值的大小即可確定負(fù)數(shù)的大小，從而求解.

ft?.：v|-4|=4,|-3|=3,|-2|=2,|-1|=1,

而4〉3>2>1,

-4<-3<-2<-1,

即比-2大的數(shù)是-1；

故選：D.

2.據(jù)報道，2024年4月26日05時04分，在軌執(zhí)行任務(wù)的神舟十七號航天員乘組打開艙門，迎接神舟十

八號航天員乘組入駐距離地表約400000米的中國空間站一“天宮”.數(shù)400000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.4xlO6B.4xl05C.40x1（/D.4xl06

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了把絕對值大于1的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，關(guān)鍵是確定〃與。的值.科學(xué)記數(shù)法的表示

形式為ax10"的形式，其中l(wèi)W|a|<10,〃為整數(shù)，它等于原數(shù)的整數(shù)數(shù)位與1的差.根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的

表示形式表示即可.

解：400000=4x105?

故選：B.

3.下列幾何體中，三視圖都是圓的是()

A.圓柱B.圓錐C.球D.正方體

【答案】C

【解析】

【分析】本題考杳了幾何體的三視圖.熟練掌握幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.

分別判斷各選項的三視圖，然后作答即可.

解：由題意知，圓柱的三視圖為圓和長方形，故A不符合要求；

圓錐的三視圖為帶圓心的圓和三角形，故B不符合要求；

球的三視圖均為圓，故C符合要求；

正方體的三視圖均為正方形，故D不符合要求；

故選：C.

4.下列運算正確的是()

A.a6-i-a3=a3B.a2,—a1=aC.a3-a2=a6D.(—/)=(_/)

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查合并同類項，同底數(shù)塞的乘除法，積的乘方，掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

根據(jù)合并同類項運算法則，同底數(shù)轅的除法運算法則，同底數(shù)塞的乘法運算法則，積的乘方運算法則，進(jìn)

行判斷即可.

解：A./+/=/,止確，故此選項符合題意；

B."與"不是同類項，無法合并，故此選項不符合題意；

C.ay-a2=a\故此選項不符合題意；

D.=_〃6,(—/)2=〃6,

???(一。2丫故此選項不符合題意；

故選：A.

5.下列調(diào)查中，適宜全面調(diào)查的是()

A.了解某班學(xué)生的視力情況

B.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力

C.調(diào)查某城市老年人2020年的日均鍛煉時間

D.某鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的意義結(jié)合具體的問題情境逐項進(jìn)行判斷即可.

解：A.了解某班學(xué)生的視力情況，適合使用全面調(diào)查，因此選項A符合題意；

B.調(diào)查某批次汽車的抗撞擊能力，不可以使用全面調(diào)查，適用抽樣調(diào)查，因此選項B不符合題意；

C.調(diào)查某城市老年人2020年的日均鍛煉時間，適用抽樣調(diào)查，因此選項C不符合題意；

D.某鞋廠檢測生產(chǎn)的鞋底能承受的彎折次，適用抽樣調(diào)查，因此選項D不符合題意：

故選：A.

【點睛】本題考杳全面調(diào)查與抽樣調(diào)杳，理解抽樣調(diào)查與全面調(diào)查的意義以及具體的問題情境是正確判斷

的關(guān)鍵.

6.如圖，小明用一副三角板拼成一幅“帆船圖”.NB=NE=90。,ZC=30°,N尸=45。，

ED/!AB,則NFQC的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.75°D,80°

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識.熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，平行線的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

由三角形內(nèi)角和定理可求N4=60。，ZEDF=45\由ED〃AB,可得NED4=N4=60。，根據(jù)

AFDC=180°-ZEDA-ZEDF,計算求解即可.

解：由題意知，=180°-Z5-ZC=60°,AEDF=180°-ZE-ZF=45°,

?/ED//AB,

Z.EDA-Z.A=60°?

???ZFDC=180°-/EDA-NEDF=75°,

故選：c.

7.《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的48C）,

“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度.如圖，點4,B,E在同一水平線上，

N4BC=NAEF=90。,4尸與8C相交于點。.測得力8=60cm,BD=20cm,4E=9m,則樹高

EF是（）

F

￡RA

A.2.5mB.3mC.4.5mD.5m

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查相似三角形判定與性垢的應(yīng)用，證明可得藕即可求解.

解：VZABC=Z-AEF=90°,/DAB=4FAE,

：?"DBs“FE,

.ABDB6020

..---------?即nil----=----,

AEEF900EF

EF=3m,

故選：B.

8.已知4。/），B（b,c）,將線段48平移得到線段C。，其中，點力的對應(yīng)點為點C,若C（〃+2,〃）,

D（m,c-3）,則加一〃的值為（）

A.—1B.IC.-5D.5

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了坐標(biāo)平面中圖形的平移；由力與C對應(yīng)，5與。對應(yīng)，可確定平移，從而由平移可確

定機(jī)與〃，則可求得結(jié)果.確定出平移是解題的關(guān)鍵.

解：與C對應(yīng)，8與O對應(yīng)，

???平移是向右平移2個單位長度，向下平移3個單位長度，

:.m=b+2fn=b-3,

:.m-n=b+2-(b-3)=5-

故選：D.

9.如圖，在菱形48CQ中，4B=a,點P是AB上一點、（不與端點重合），點4關(guān)于直線OP的對稱點

為E,連接4E,CE,則/力EC的度數(shù)為（）

A.60°+-。B.165°——aC.450+-aD.180°——a

3322

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理即菱形的性質(zhì)，理解對稱的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

由對稱得O4=OE從而得到=由菱形性質(zhì)得DE=OC,從而得到NOEC=/OCE,

由四邊形4ECQ內(nèi)角和為360。等量代換即可得到結(jié)果.

解：連接。E,如圖：

由點4關(guān)于直線。尸的對稱點為E,得：

DA=DE，

:VADE為等腰三角形，故/DAE=ZDEA,

由菱形/8CO可得4D=QC,ZB=ZADC,

DE=DC,

:"DEC=NDCE,

在四邊形4七CD中，由內(nèi)角和為360。得，

ZADC+/DAE+ZDEA+ZDEC+4DCE=360°,

由ND4E=NDEA,/DEC=/DCE得,

4OC+248=360。，

ZB=/ADC,

.?.a+2N4EC=360。，即N4EC=180°—,

2

故選：D.

10.定義：如果兩個實數(shù)用，〃滿足'+1=1,則稱〃3〃為一對“互助數(shù)”已知。，b為實數(shù)，且4+6

mn

。一6是一對“互助數(shù)”.若力一〃=0-3,則p的值可以為（）

9

A.—B.6C.-D.3

22

【答案】A

【解析】

【分析】此題考查了新定義實數(shù)問題，解不等式組,分式的化簡等知識，

首先根據(jù)題意得到‘I+」7=1,求出2〃=〃2.b\由/—〃=p—3得到Q=年，然后代入

Q+ba-b

a2-2a-b2>0,解不等式組求解即可.

?：a+b,。一力是一對“互助數(shù)”

11?

:.-------1--------=1

a+ba-b

去分母得，a-b+a+b=^a-\-b)^a-b)

2a=a2-b2

a2-h2=p-3

2a=p-3

.a-Ezl

2

2a=a2-b2

?e?a2-2a=b2>0

：-a1-2a+\>\

「一j-2(p-3”0

整理得，p2-10p+21>0

.-.(p-3)(p-7)>0

p-3>0Jp-3Vo

A或<

p-7>0^[p-7<0

[p>7[p<7

???解得p27或p?3

但當(dāng)p=3時，。=0,b=0,不符合題意，

所以pN7或pv3,

???p的值可以為?

故選：A.

二、填空題(本大題共8小題，第1L12題每小題3分，第13?18題每小題4分，共30分，

不需寫出解答過程，請把最終結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上)

11.分解因式：3以2+6也?3砂2=.

【答案】3。(x+y)2.

【解析】

【分析】先提取公因式3a,再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

解：3ax2+6axy+3ay2

=3a(x2+2xy+y2)

=3aIx+y)2.

故答案為3a(x+y)2.

【點睛】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

12.若圓錐的母線為6,底面圓的半徑為3,則此圓錐的側(cè)面積為.

【答案】18乃

【解析】

【分析】利用圓錐的底面半徑為3,母線長為6,直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可.

解：依題意知母線長=6,底面半徑尸3,

則由圓錐的側(cè)面積公式得5=瓦”=仆3x6=187r.

故答案為：18乃.

【點睛】此題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵.

13.計算：2sin60°-3tan30°=.

【答案】0

【解析】

【分析】求出特殊角的三角函數(shù)值，再計算即可.

解：2sin60O-3tan30°

_9V3>/3

=2x------3x——

23

=癢百

=0

故答案為：0.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的計算，解題關(guān)鍵是熟記特殊角三角函數(shù)值，準(zhǔn)確進(jìn)行計算.

14.若〃，b為連續(xù)整數(shù)，且廊<b，則.

【答案】11

【解析】

【分析】本題考查估算無理數(shù)大小，學(xué)會利用逼近法估算無理數(shù)大小是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)中考?？碱}

型.

根據(jù)聞的整數(shù)部分是5,可知5<而<6，由此可解決問題.

解：?:岳〈屈〈辰,

5<^30<6，

a=5,b=6,

??a+b=11?

故答案為：11.

15.如圖，在“3C中，AB=AC,ZJ=42°,分別以點A,8為圓心，大于1/8的長為半徑畫弧，

2

兩弧分別相交于“，N兩點，畫直線交于點E,連接8E,則NE8C的度數(shù)為

AB

【答案】27

【解析】

【分析】本題考查了線段垂直平分線的畫法及等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角

形性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先利用畫法確定垂直平分48,再利用等邊對等角及三角形內(nèi)角和性質(zhì)解題即

可.

解：?.,分別以點A,8為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于M,N兩點,

2

???垂直平分力5,

AE=EB，

???N/=N48E=42。，

VAB=AC,N4=42。，

???ZABC=NACB=----------=69°，

2

???NEBC=NABC-NABE=27°，

故答案為：27.

16.中國古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載“直W積八百六十四步，只云闊不及長一十二步,

問闊及長各幾步”？翻譯成數(shù)學(xué)問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的

長與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)長為x步，則依題意列方程為.

【答案】x(x-12)=864

【解析】

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，熟練掌握矩形的面積公式，設(shè)未知數(shù)，列方程，是解

決問題的關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的長為x,寬為x-12,利用矩形面積公式列方程即可.

???矩形長為x,寬比長少12,

，寬為x-12,

???矩形面積為864,

/.x(x-12)=864,

故答案：x(x-12)=864.

17.如圖，o403C的頂點A在反比例函數(shù)y=?■的圖象上，頂點8在x軸的負(fù)半軸上，點石為邊8c的

x

中點，若反比例函數(shù)^二巳的圖象經(jīng)過點C,￡則加與〃的關(guān)系為.

x

-留

【答窠】m=-2n

【解析】

【分析】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形綜合，利用平行四邊形和反比洌函數(shù)的點的特征是解題的關(guān)

鍵.利用平行四邊形性質(zhì)設(shè)出點A和點C坐標(biāo)，再表示出點E坐標(biāo)，代入^二巳即可解決.

x

解：???oZ03C中，AC//OB,

???點A和點?？v坐標(biāo)相同，

???點A在反比例函數(shù)y='上，點C在反比例函數(shù)y=弓上，

xx

設(shè)/—9a|,則a,

\a)\a；

..AC=-----

aa

---,0,

yaa)

???點￡為邊8C的中點,

nnm

Jaa4+0

??.點E坐標(biāo)為

22

2n-ma?

即上

2ar2Jf

■1點E在反比例函數(shù)y=—±?

x

2n-ma

/.-----x—=n,

2a2

化簡得團(tuán)二一2〃，

故答案為：m=-2/z.

18.如圖，在四邊形48CQ中，BC1BD,BC=2,BD=4.垂足為點“，連接

CM,若4A/=3,則CW+4）的最小值為.

【答案】向

【解析】

【分析】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點間線段最短；過0作4M的平行線，過力作5。

的平行線，兩平行線交于點E,則可得四邊形人“￡>￡是矩形，豆DEJ.BD,AM=DE=3,

AD=ME,^\CM+AD=CM+ME；連接CE,則當(dāng)點M與CE、8。的交點重合時，CM+ME最

小，從而CM+力。最??；過C作交EO延長線于點尸，則可得四邊形8c77）是矩形，則

CF=BD=4,DF=BC=2,從而得EF=5,由勾股定理即可求得CE的長，從而求得最小值.利用

矩形的性質(zhì)求CM+AD的最小值轉(zhuǎn)化為CM+ME的最小值是解題的關(guān)鍵.

解：如圖，過。作的平行線，過彳作3。的平行線，兩平行線交于點E,

即力”〃。及AE//MD,

??四邊形AMDE是平行四邊形；

???AMLBD,

???四邊形是矩形，

DE_LBD,AM=DE=3?AD=ME，

:.CM^AD=CM^ME.

連接CE,則當(dāng)點〃與C￡；8。的交點直合時，CM+ME最小，從而CM+/D最小,且最小值為線段

CE的長；

過C作C/〃8。，交EO延長線于點R

則ADBC=4BCF=NBDF=90°,

???四邊形5CED是矩形，

：.CF=BD=^NP=90。，DF=BC=2,

:.EF=DE+DF=5；

在RtZkEFC中，由勾股定理得。七=Jc/^+E尸2=J]6+25=標(biāo)，

CM+AD最小值為向.

故答案為：-

三、解答題(本大題共8小題，共90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說

明、證明過程或演算步驟)

l-2x>-l,①

19.(1)解不等式組：,l+2x小

------->x-l;②

3

(2)化簡求值：2(x-l)(x+3)-(x+2)2,其中.丫=癡.

【答案】(1)x<l；(2)x2-10，-4

【解析】

【分析】本題考查了解一元一次不等式組，整式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵.

(1)分別求出兩個不等式的解集，再求出其公共部分即可；

(2)分別用多項式乘多項式的法則、完全平方公式展開，再合并同類項得化簡式子，最后代入求值即

可.

l-2x>-l,①

解：⑴{l+2x?否

----->x-l;②

3

解不等式①得：X<1,

解不等式②得：x<4,

???不等式組的解集為xVl；

(2)解：原式=2，+2%-3)-，+?+4)

=2x2+4x-6-x2-4x-4

=/一10，

當(dāng)工=卡時，原式=6-10=-4.

20.如圖，點/,F,C,。在一條直線上，AB//DE,BC//EF,AB=DE.

(1)求證：BC=EF；

(2)若4。=14,C斤=6,求C。的長.

【答案】(1)見解析(2)4

【解析】

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，

(1)首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到力5"DE,BC//EF,然后證明出△8C4ga￡FO(AAS),即可得到

BC=EF；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到//二CO,然后利用線段的和差求解即可.

小問1]

vAB//DE,BC//EF,

；.NA=ND，4BCA=4EFD.

??AB=DE,

也△MQ(AAS).

:.BC=EF；

【小問2】

??△BCA義LEFD,

：.AC=DF.

：?AC-CF=DF-CF.

即AF=CD.

???4D=14,CF=6,

???4F+CD=14-6=8.

???20）=8.

：.CD=4.

21.移動支付由于快捷便利已成為大家平時生活中比較普遍的支付方式.某商店有“微信”和“支付寶”兩

種移動支付方式，甲、乙、丙三人在該商店購物時隨機(jī)從這兩種支付方式中選擇一種支付.

（1）甲選擇“微信”支付的概率為；

（2）求三人選擇同一種支付方式的概率.

【答案】⑴1

1

（2）-

4

【解析】

【分析】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以天重不漏的表示出所有等可能

的結(jié)果.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）利用樹狀圖法將所有的等可能得情況都列出，再由概率公式計算即可.

[小問1]

解：???某商店有“微信”和“支付寶”兩種移動支付方式，

???甲選擇“微信”支付的概率為

【小問2】

分別設(shè)“微信”和“支付寶”為4和8

畫樹狀圖如下：

開始

AB

八ZX

ABAB

/\/\/\/\

ABABABAB

??.一共有8種等可能得結(jié)果，其中三人選擇同一種支付方式的結(jié)果有2種

21

???二人選擇同?種支付方式的概率為A=二.

84

22.某校舉辦“綠色低碳，美麗中國”主題作品展活動，五名評委對每組同學(xué)的參賽作品進(jìn)行打分.對參加

比賽的甲、乙、丙三個組參賽作品得分（單位:分）的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，下面給出了部分信

息.

一甲組

???乙組

b.在給丙組參賽作品打分時，三位評委給出的分?jǐn)?shù)分別為85,92,95,其余兩位評委給出的分?jǐn)?shù)均高于

85：

c.甲、乙、丙三個組參賽作品得分的平均數(shù)與中位數(shù):

甲組乙組丙組

平均分88m90

中位數(shù)n9292

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）填空：加=,n=；

（2）若某組作品評委打分的5個數(shù)據(jù)的方差越小，則認(rèn)為評委對該組作品的評價越“一致”.據(jù)此推斷:

對于甲、乙兩組的參賽作品，五位評委評價更“一致”的是組（填“甲”或"乙”）；

（3）該?，F(xiàn)準(zhǔn)備推薦一個小組的作品到區(qū)里參加比賽，你認(rèn)為應(yīng)該推薦哪個小組，請說明理由?

【答案】（1）90,86

（2）乙（3）推薦丙小組，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查折線統(tǒng)計圖，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差；

（1）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義列式計算即可；

（2）根據(jù)方差的定義和意義求解即可；

（3）根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可.

[小問I]

乙組平均數(shù)m=--------------------=90,

甲組得分按從小到大排列為82,83,86,94,95,故中位數(shù)"=86,

故答案為：90,86；

【小問2】

222

甲組方差為;x[（88—82）2+（88—83『+（88_86）+（88_94）+（88-95）]=30,

22

乙組方差為;x[（90—92）2+（90—87）2+（90_95）2+（90-83）+（90-93）]=19.2,

，乙組方差更小，

??.對于甲、乙兩組的參賽作品，五位評委評價更“一致”的是乙組，

故答案為：乙.

【小問3】

推薦丙小組；

理由：乙、丙兩組的平均分高于甲組，

所以可以在乙組或丙組中選一組，

而乙組與丙組的平均分與中位數(shù)及最高分都相同，但丙組的最低分更高，

所以推薦丙組去.

23.如圖，4c是OO的直徑，PA,P8是O。的兩條切線，切點分別為.4,B,AELPB,垂足為￡

4K交。。于點0,連接OQ.

（1）求證：ZCOD=2ZP；

（2）若ZC=8,ZP=60°,求陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析（2）6>/3-y

【解析】

【分析】（1）由尸4與。O相切，可得NC4P=900.由NC4E+/E4P=90°=NP+N￡4P.可得

Z.CAE=ZP.由O4=OD,可得=則/COD=NCAE+/ODA=2/CAE=2NP,

（2）如圖，連接08,過點。作OH_L/E.則NC4E=N尸=60。.△04。為等邊三角

形.AD=OA=-AC=4/LODA=60°.AH=HD=-AD=2.OH=AHtan60。=26.證明

2f2

四邊形O5E”為矩形.則EH=O5=4,EB=OH=2也.ED=EH-DH=2,OB//EH,

NBOD=NODA=60°.根據(jù)S陰影=S除形。叱⑶一5扇形，計算求解即可.

[小問1]

解：?；產(chǎn)力與。O相切，

???NC4P=90。.

???AELPB,

：.ZAEP=90°.

???NCAE+/EAP=90°=ZP+NEAP.

???NCAE=/尸.

,/OA=OD,

???ZCAE=ZODA,

???Z.COD=NCAE+Z.ODA=2ZCAE=2ZP,

???NCOD=2NP；

【小問2】

解：如圖，連接08,過點。作O//J.4E.

???ZP=60°,

???ZCJE=ZP=60°.

??,OA=OD,

???△。彳。為等邊三角形.

AAD=OA=-AC=4Z.ODA=60°.

2t

VOHLAE.

???AH=HD=-AD=2.

2

???OH=4/tan60。=25

?：PB與OO相切，

???乙OBP=90°.

VOHLAE,AE上PB,

???四邊形03E"為矩形.

；.EH=OB=4,EB=OH=2道.

:?ED=EH—DH=2,OB//EHtZBOD=AODA=60°.

.c_cc_(2+4)、J/7604X42468萬

*,〉陰影一〉梯形—3扇形OB)~---X-7,m°--~—，

???陰影部分面積為66一絲.

3

【點睛】本題考杳了切線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正切，矩形的判定與性

質(zhì)，扇形面積等知識.熟練掌握切線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正切，矩形

的判定與性質(zhì)，扇形面積是解題的關(guān)鍵.

24.為了滿足市場需求，提高生產(chǎn)效率，某工廠決定購買10臺甲、乙兩種型號的機(jī)器人來搬運原材料，甲、

乙兩種型號的機(jī)器人的工作效率和價格如下表：

型號甲乙

效率(單位：千克/時)/n-30m

每臺價格(單位：萬元)46

已知甲型機(jī)器人搬運500千克所用時間與乙型機(jī)器人搬運750千克所用時間相等.

(1)求機(jī)的值；

(2)若該工廠每小時需要用掉原材料710千克，則如何購買才能使總費用最少？最少費用是多少？

【答案】(1)9()(2)當(dāng)購買方案為甲型6臺，乙型4臺時，最少費用為48萬元

【解析】

【分析】本題考查分式方程及一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握分式方程的解法及一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“搬運時間=搬運量+搬運效率”及“甲型機(jī)器人搬運500千克所用時間與乙型機(jī)器人搬運750

千克所用時間相等”列方程并求解即可；

(2)設(shè)總費用為w萬元，購買甲型號的機(jī)器人x臺，則乙型號的機(jī)器人為(10-%)臺，根據(jù)“每小時甲種

型號機(jī)器人搬運量+每小時乙種型號機(jī)器人搬運量2710”列不等式并求出x的解集；設(shè)購買機(jī)器人的總費

用為獷元，寫出"關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)它的增減性和X的取值范圍，確定當(dāng)X取何值時"的值最小,

求出其最小值及此時(10-X)的值即可.

[小問1]

由題意列方程，得t=

w-30m

解得陽=90.

檢驗：當(dāng)加=90時，rn(m-30)0.

所以原分式方程的解為加=90.

答：及的值為90：

【小問2】

設(shè)總費用為w萬元，購買甲型號的機(jī)器人x臺，則乙型號的機(jī)器人為。。-x)臺，

則w=4x+6(10—x)=—2x+60.

???60x+90(10-x)>710,

?/9

??x4—.

3

V-2<0,

???w隨X的增大而減小.

，當(dāng)X=6時，w取得最小值，最小值為48萬元.

???當(dāng)購買方案為甲型6臺，乙型4臺時，最少費用為48萬元.

25.在數(shù)學(xué)活動課上，老師給同學(xué)們提供了一個矩形紙片48CO,其中力3=3,BC=4,要求各小組開

展“矩形的折疊”探究活動.

【操作猜想】

請判斷甲小組的猜想是否正確，并說明理由;

【深入探究】

(2)如圖2,乙小組按照甲小組的方式操作發(fā)現(xiàn)，當(dāng)NMWE=NC4。時，點￡恰好落在矩形的對角線4C

上.請求出圖中線段MN的長度;

【拓廣延伸】

(3)丙小組按照甲小組的過程操作，進(jìn)一步探究并提出問題當(dāng)NNME=NC4D時,過點E作Eb〃8C

則8N的長是多少？請解答這個問題.

圖2

【答案】(1)正確，理由見解析；(2)-；

2115

【解析】

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N8C4=NC4O,根據(jù)折疊得出

NBMN=4NME,證明N5O=N8A/N,根據(jù)平行線的判定得出得出A/.V〃/C：

(2)根據(jù)勾股定理得出=根據(jù)折疊得出=乙BMN=ZNME,根據(jù)平行

線的性質(zhì)得出NEA/N=NA/EC,ZBMN=ZBCA,證明NMEC=N8C4,得出A/E=MC,證明

MC=MB,同理證明附二NB,根據(jù)中位線的性質(zhì)得出結(jié)果即可；

(3)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點E在下方時，當(dāng)點E在ZC下方時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即

可.

解：(1)甲小組的猜想正確.

理由：???四邊形48C。為矩形，

???AD//BC,

???ZBCA=ACAD,

,折疊，

???NBMN=4NME,

又???NNME=NCAD,

???ZBCA=4BMN,

???MN//AC；

(2)在RtZ\43C中，48=3,BC=4,

?*-AC=4ABr+BCI=5^

???折疊，

:?ME=MB,乙BMN=4NME,

由（1）可知MN〃4C,

:?/EMN=ZMEC,/BMN=4BCA,

???/MEC=ZBCA,

:,ME=MC,

MC=MB,

同理M4=N3,

MN=-AC=~,

22

（3）當(dāng)點E在4c下方時，如圖I,延長用E交4c于點H,

同（2）可證NMHC=NA/CH.

:?MH=MC,

,:EF//BC,

：.NEFH=NMCH.

???4MHe=/EFH.

:.EH=EF,

由（1）可得NNME=NBCA,

tan4NME=tanZ.BCA.

■:NNEM=NB=90。,

.NEAB3

??莉一茄一r

設(shè)NE=3a,則EM=4。，

:?EH=EF=EN=3a,BM=EM=4a,

:,MH=EH+EM=1a,

???MC=MH=1a,

4〃+7。=4,

4

Cl=----9

:,BN=NE=3a=—；

11

②當(dāng)點E在4c下方時，設(shè)ME交4c于點H,如圖2.

__________E

圖2

同①可得=EH=EF=EN=3a.

:,MH=EM—EH=a.

:.a+4a=4,

4

5

??.BN=NE=3a=——；

5

綜上=?或四.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直

角三角形的相關(guān)計算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，并注意分類討論.

26.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，以/為頂點的拋物線》=/一1與直線＞二%卜+1)有兩個公共點”，M

其中，點M在X軸上.直線y=Z(x+l)與y軸交于點8,點8關(guān)于點4的對稱點為C.

（1）用含左的式子分別表示點8,'的坐標(biāo)為：B,N；

（2）如圖，當(dāng)左＞0時，連接CW,CN.求證：CO平分NMCN；

（3）若函數(shù)歹二一一1QN外的圖象記為％，將其沿直線1二%翻折后的圖象記為名,當(dāng)％,生兩部分

組成的圖象與線段M8恰有一個公共點時，請確定女的取值范圍.

【答案】（1）（0,%）,（%+1,r+24）