天津市靜海一中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGEPAGE11天津市靜海一中2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：（每小題5分，共45分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).）1.已知，，則()A.， B.， C.， D.，2，【答案】D2.設(shè)是首項(xiàng)大于零等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B3.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的改變.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦.在全部重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是()A. B. C. D.【答案】A4.函數(shù)在，上的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】C5.已知函數(shù)，，則，，的大小關(guān)系是()A. B. C. D.【答案】C6.直線與圓截得的弦長(zhǎng)為4，則的最小值是()A.3 B.2 C. D.1【答案】B7.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①的周期為；②在上單調(diào)遞增；③函數(shù)在，上有3個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)的最小值為.其中全部正確結(jié)論的編號(hào)為()A.①④ B.②③ C.①③④ D.②④【答案】A8.已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為、，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若△的面積為，則的漸近線方程為()A. B. C. D.【答案】D9.已知函數(shù)的圖象上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.， C. D.【答案】C二、填空題（每小題5分，共25分）10.若，則復(fù)數(shù)的虛部為__.【答案】11.二項(xiàng)式，則該綻開式中的常數(shù)項(xiàng)是__.【答案】12.在三棱錐中，平面，是等腰三角形，其中，，，則三棱錐的外接球的表面積為__.【答案】13.已知，均為正數(shù)，且，則當(dāng)__時(shí)，代數(shù)式的最小值為__.【答案】(1).(2).14.在中，已知，，，為邊的中點(diǎn).若，垂足為，則的值為__.【答案】三、解答題（共50分）15.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】（1）由，可得，，，，由，可得：，由，可得：.（2），.16.某地有、、、四人先后感染了新冠狀病毒，其中只有到過疫區(qū).（1）假如、、受到感染的概率分別為，那么、、三人中恰好有一人感染新冠狀病毒的概率是多少？（2）若確定受感染，對(duì)于，因犯難以推斷他是受還是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是，同樣也假設(shè)受、和感染的概率都是，在這種假定之下，、、中干脆受感染的人數(shù)為一個(gè)隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【詳解】（1）、、三人中恰好有一人感染新冠狀病毒的概率是.（2）確定被感染，主要考慮和的感染狀況，隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，，，，的分布列為123數(shù)學(xué)期望.17.如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，或.【解析】【詳解】（1）證明：四邊形矩形，，又平面平面，平面平面，平面.取為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，，，，，2，，由，取，得，0，，又，2，，，，又平面，平面；（2），0，，，0，，，2，，，，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，設(shè)二面角的平面角為，則，二面角的正弦值.（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，，，，則，，，，，解得，，，，，，平面的法向量，，，，，，直線與平面所成角的正弦值為，，解得或，，或.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上異于點(diǎn)的隨意一點(diǎn)，的面積的最大值為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時(shí)與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】（1）當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，此時(shí)有，即，，，得或（舍，離心率.故橢圓的離心率為.（2）由題可知，直線的方程為，橢圓的方程為，聯(lián)立，得，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在直線上，可設(shè)點(diǎn)為，又，，即，，點(diǎn).圓同時(shí)與軸和直線相切，即，解得，故橢圓的方程為.19.已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，且，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求；（3）若數(shù)列的前項(xiàng)積為，求.（4）數(shù)列滿意，，其中，，求.（5）解決數(shù)列問題時(shí)，常常須要先探討生疏的通項(xiàng)公式，只有先把通項(xiàng)公式探討明白，然后盡可能轉(zhuǎn)化為我們熟識(shí)的數(shù)列問題，由此使問題得到解決.通過對(duì)上面（2）（3）（4）問題的解決，你認(rèn)為探討生疏數(shù)列的通項(xiàng)問題有哪些常用方法，要求介紹兩個(gè).【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）見解析.【解析】【詳解】（1），則，解得，故，，即，，解得或（舍去），，故.（2）故.（3），故；（4），即.（5）依據(jù)題意：（2）中應(yīng)用了裂項(xiàng)相消求和法，裂項(xiàng)相消求和法是將數(shù)列分解為一個(gè)數(shù)列的前后項(xiàng)，便利計(jì)算；（4）中應(yīng)用了分組求和法，分組求和法是將有規(guī)律的某一部分集中起來計(jì)算，易于計(jì)算.20.設(shè)函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)無零點(diǎn)；（3）確定的全部可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立.（4）數(shù)學(xué)題目雖然千變?nèi)f化，有許多形式雖然生疏新奇，但細(xì)致分析其條件后又可以轉(zhuǎn)換為若干熟識(shí)的老問題，使新問題得以解決.因此，會(huì)將新問題轉(zhuǎn)化為老問題的思想方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要方法之一.下面你將問題（3）中的條件“在區(qū)間內(nèi)恒成立”改變?yōu)閮煞N新形式（不作解答）.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增；（2）證明見解析；（3）；（4）見解析.【解析】【詳解】（1），..當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，由，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增.綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時(shí)，要證明：函數(shù)無零點(diǎn).即可證明：，即證明.令，.，函數(shù)在上單調(diào)遞增，（1）.當(dāng)時(shí)