6.2.3組合6.2.4組合數(shù)課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理§6.2.3組合與組合數(shù)一、知識(shí)回顧2.排列數(shù)3.排列數(shù)公式

從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)

數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)

表示.(m、n∈N*，m≤n)

規(guī)定：0!=1=n!=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1

特別地，

全排列知識(shí)回顧

1.排列思考：這兩個(gè)問題有何不同？

答案：甲乙、甲丙、乙丙，共有3種.問題2從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？將具體問題背景舍去，上述問題可以概括為：

從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素,按照一定的順序排成一列.從已知的3個(gè)不同元素中每次取出2個(gè)元素合成一組排列問題組合問題組合與元素順序無關(guān)排列與元素順序有關(guān)一、新知1－組合組合和排列的關(guān)系n個(gè)不同元素m個(gè)元素m個(gè)元素的全排列第一步組合第二步排列構(gòu)造排列可以分成兩步完成，先取后排；組合是排列

中的一個(gè)步驟.因此組合是選擇的結(jié)果，排列是選擇后再排序的結(jié)果.思考

通過以上例子，你能歸納排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？甲乙甲乙，乙甲甲丙甲丙，丙甲乙丙乙丙，丙乙組合排列

排列組合

“組合”與“排列”的聯(lián)系與區(qū)別排列組合相同點(diǎn)不同點(diǎn)完成這件事情共分幾步從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素元素的順序有關(guān)元素的順序無關(guān)第一步、取第二步、排僅一步、取AB和BA是不同的排列一、新知1－組合AB和BA是不同的排列例1

平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).(1)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?分析:(1)確定一條有向線段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮它們的順序，是排列問題.解分析:(2)確定一條線段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需考慮它們的順序，是組合問題.解(2)以A,B,C,D4個(gè)點(diǎn)中任意2個(gè)為端點(diǎn)的線段有：解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4個(gè).2.已知平面內(nèi)A,B,C,D這4個(gè)點(diǎn)中任何3個(gè)點(diǎn)都不在一條直線上，寫出以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形.3.現(xiàn)有1,3,7,13這4個(gè)數(shù).

(1)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加，可以得到多少個(gè)不相等的和?

(2)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減，可以得到多少個(gè)不相等的差?解：(1)不相等的和為4,8,14,10,16,20，共6個(gè).(2)不相等的差為－2,2,－6,6,－12,12,－4,4,－10,10，共10個(gè).組合數(shù)排列數(shù)

組合的第一個(gè)字母元素總數(shù)取出元素?cái)?shù)m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.一、新知2－組合數(shù)

例如:

從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，表示為

.

從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)，表示為

.

①從3個(gè)不同元素a,b,c中取出2個(gè)元素組合ab排列acbcabbaaccabccb由此可得ab,ac,bc3個(gè)不同的組合組合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得②從4個(gè)不同元素a,b,c,d中取出3個(gè)元素

n個(gè)不同元素m個(gè)元素m個(gè)元素的全排列第一步組合第二步排列

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到：

一、新知2－組合數(shù)解：

例1

計(jì)算：觀察（1）和（2），（3）和（4）的結(jié)果你有什么發(fā)現(xiàn)？組合數(shù)性質(zhì)：

直觀解釋：

該性質(zhì)反映了組合數(shù)的對(duì)稱性.其組合意義是從n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的組合與任取(n-m)個(gè)元素的組合是一一對(duì)應(yīng)(一種取法對(duì)應(yīng)一種剩法).

因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后，就剩下(n-m)個(gè)元素，因此從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的方法，與從n個(gè)不同元素中取出(n-m)個(gè)元素的方法是一一對(duì)應(yīng)的，因此取法是一樣多的，就是說從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，都對(duì)應(yīng)著從n個(gè)不同元素中取出(n-m)個(gè)元素的唯一的一個(gè)組合，反過來也一樣.即從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)等于從n個(gè)不同元素中取出(n-m)個(gè)元素的組合數(shù)，也就是.一、新知3－組合數(shù)的性質(zhì)解：2.計(jì)算課本P25

直觀解釋：

該性質(zhì)也可以根據(jù)組合數(shù)的定義與分類加法計(jì)數(shù)原理直接得出，在確定從(n+1)個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的方法時(shí)，對(duì)于某一元素，只存在著取與不取兩種可能.

如果取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取出(m-1)個(gè)元素，所以共有種取法；如果不取這一元素，則需從剩下的n個(gè)元素中再取出m個(gè)元素，所以共有種取法.由分類加法計(jì)數(shù)原理，得.一、新知3－組合數(shù)的性質(zhì)

例3

一個(gè)口袋內(nèi)裝有不同編號(hào)的7個(gè)白球和1個(gè)黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有黑球，有多少種取法？課本P25證明：例4

求證：

排列問題組合問題若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關(guān).若交換任意兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無