2023年高中數(shù)學基礎知識梳理及基礎題型歸納-立體幾何模塊-第五節(jié)空間幾何體的表面積和體積

第五節(jié)空間幾何體的表面積和體積【知識點20】空間幾何體的表面積一般地，我們可以把多面體展開成平面圖形，求出展開圖中各個小多邊形的面積，然后相加即為多面體的表面積．1.直棱柱和正棱錐的表面積(1)直棱柱的側(cè)面積①側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．②直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的長等于直棱柱的底面周長c，寬等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的側(cè)面積是S直棱柱側(cè)＝ch.③底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．(2)正棱錐的側(cè)面積①如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的正投影是底面中心，那么稱這樣的棱錐為正棱錐．正棱錐的側(cè)棱長都相等．②棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的，展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積．如果正棱錐的底面周長為c，斜高(即側(cè)面等腰三角形底邊上的高)為h′，它的側(cè)面積是S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′.2.正棱臺的表面積正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分叫做正棱臺．與正棱錐的側(cè)面積公式類似，若設正棱臺的上、下底面的周長分別為c′，c，斜高為h′，則其側(cè)面積是S正棱臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′.3.圓柱、圓錐、圓臺的表面積【推導圓柱側(cè)面積及表面積】S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．【推導圓錐側(cè)面積及表面積】底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側(cè)＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．【推導圓臺側(cè)面積及表面積】由題圖知，圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，則eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl，表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝πrl，表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2，下底面面積：S下底＝πr2，側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)，表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)【典型例題】【類型一】求多面體的側(cè)面積和表面積【例1】正四棱臺兩底面邊長分別為a和b(a<b)．(1)若側(cè)棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為45°，求棱臺的側(cè)面積；(2)若棱臺的側(cè)面積等于兩底面面積之和，求它的高．【變式1】已知正四棱臺的高是12cm，兩底面邊長之差為10cm，表面積為512cm2，求底面的邊長．【反思】(1)求棱錐、棱臺及棱柱的側(cè)面積和表面積的關鍵是求底面邊長，高，斜高，側(cè)棱．求解時要注意直角三角形和梯形的應用．(2)正棱柱、正棱錐、正棱臺的所有側(cè)面都全等，因此求側(cè)面積時，可先求一個側(cè)面的面積，然后乘以側(cè)面的個數(shù)．(3)棱臺是由棱錐所截得到的，因此棱臺的側(cè)面積也可由大小棱錐側(cè)面積作差得到．【變式2】已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高為3，求它的表面積．【變式3】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，三棱錐D1—AB1C的表面積與正方體的表面積的比為________．【思考1】如圖，已知正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO＝3，求此正三棱錐的表面積．【類型二】與三視圖結(jié)合綜合問題【例2】某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的表面積為.【變式1】一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A.B.C.D.【變式2】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是A.B.C.D.【變式3】已知一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:），其中俯視圖為正三角形,則該幾何體的體積為_______【思考2】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.【思考3】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為A.60B.30C.20D.10【變式1】如圖是一個幾何體的三視圖，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為（）A.8B.4C.D.【類型三】求旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3】圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是________cm2.(結(jié)果中保留π)【變式1】圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，求圓臺較小底面的半徑．【反思】(1)求圓柱、圓錐和圓臺的側(cè)面積和表面積，只需求出上、下底半徑和母線長即可，求半徑和母線長時常借助軸截面．(2)解答旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積問題可先把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即在展開圖內(nèi)求母線的長，再進一步代入側(cè)面積公式求出側(cè)面積，進而求出表面積．(3)旋轉(zhuǎn)體的軸截面是化空間問題為平面問題的重要工具，因為在軸截面中集中體現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)體的“關鍵量”之間的關系．在推導這些量之間的關系時要注意比例性質(zhì)的應用．【變式2】若圓錐的母線長為2cm，底面圓的周長為2πcm，則圓錐的表面積為________cm2.【變式3】以圓柱的上底中心為頂點，下底為底作圓錐，假設圓柱的側(cè)面積為6，圓錐的側(cè)面積為5，求圓柱的底面半徑．【變式4】若一個圓臺的軸截面如圖所示，則其側(cè)面積等于______．【變式5】．一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，則它們的表面積之比為________．【類型四】與三視圖結(jié)合的綜合問題【例4】一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖與側(cè)視圖都是斜邊長為的直角三角形，俯視圖是半徑為，圓心角為的扇形，則該幾何體的表面積是（）A.B.C.D.【變式1】如圖是一個封閉幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【類型五】簡單組合體的表面積【例5】牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體，尺寸如圖所示(單位：m)，請你幫助算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少篷布？(精確到0.01m2)【反思】(1)組合體的側(cè)面積和表面積問題，首先要弄清楚它是由哪些簡單幾何體組成，然后再根據(jù)條件求各個簡單組合體的基本量，注意方程思想的應用．(2)在實際問題中，常通過計算物體的表面積來研究如何合理地用料，如何節(jié)省原材料等，在求解時應結(jié)合實際，明確實際物體究竟是哪種幾何體，哪些面計算在內(nèi)，哪些面實際沒有．【變式1】有兩個相同的直棱柱，高為eq\f(2,a)，底面三角形的邊長分別為3a,4a,5a(a>0)．用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面積最小的是一個四棱柱，求a的取值范圍．【變式2】如圖所示，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足為點D.以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積．【方法小結(jié)】1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和．棱柱的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱錐的表面積等于它的側(cè)面積加底面積；棱臺的表面積等于它的側(cè)面積加兩個底的面積．2．有關旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關知識求解．3．S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．【思考1】如圖(1)所示，已知正方體面對角線長為a，沿陰影面將它切割成兩塊，拼成如圖(2)所示的幾何體，那么此幾何體的表面積為________．【思考2】一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)當x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？求出最大值．【變式1】已知某圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則該圓臺較小底面的半徑為________．【知識點21】空間幾何體的體積一、一、柱體、錐體、臺體的體積公式1．柱體的體積公式V＝Sh(S為底面面積，h為高)．2．錐體的體積公式V＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)．3．臺體的體積公式V＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S為上、下底面面積，h為高)．4．柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系V＝ShV＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hV＝eq\f(1,3)Sh.二、球的表面積和體積公式1．球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑)．2．球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.三、球體的截面的特點1．球既是中心對稱的幾何體，又是軸對稱的幾何體，它的任何截面均為圓．2．利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的主要途徑．【類型一】柱體、錐體、臺體的體積【例1】(1)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為____________．(2)現(xiàn)有一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中．當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降________cm.【反思】(1)常見的求幾何體體積的方法①公式法：直接代入公式求解．②等積法：如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．③分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．(2)求幾何體體積時需注意的問題柱、錐、臺體的體積的計算，一般要找出相應的底面和高，要充分利用截面、軸截面，求出所需要的量，最后代入公式計算．【變式1】如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比．【變式2】已知一個三棱臺上、下底面分別是邊長為20cm和30cm的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且側(cè)面面積等于上、下底面面積之和，求棱臺的高和體積．【變式3】已知正三棱錐S—ABC，D，E分別為底面邊AB，AC的中點，則四棱錐S—BCED與三棱錐S—ABC的體積之比為________．【變式4】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示．則球的半徑是________cm.【變式5】如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為____cm3.【類型二】球的表面積與體積【例2】（外接球）(1)設長方體的長，寬，高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．(2)求球與它的外切等邊圓錐(軸截面是正三角形的圓錐叫等邊圓錐)的體積之比．【變式1】一倒置圓錐體的母線長為10cm，底面半徑為6cm.(1)求圓錐體的高；(2)一球剛好放進該圓錐體中，求這個球的半徑以及此時圓錐體剩余的空間．【反思】(1)正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，此時球的半徑為r1＝eq\f(a,2)，過在一個平面上的四個切點作截面如圖①.(2)球與正方體的各條棱相切球與正方體的各條棱相切于各棱的中點，過球心作正方體的對角面有r2＝eq\f(\r(2),2)a，如圖②.(3)長方體的外接球長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r3＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)，如圖③.(4)正方體的外接球正方體棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝eq\r(3)a.(5)正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球半徑R的關系為2R＝eq\f(\r(6),2)a.【練習1】長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(15)，則它的外接球表面積為________．【練習2】將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為________．【練習3】設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為________．【練習4】三棱錐中，互相垂直，，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【例3】在正三棱錐S-ABC中，SA=27，AB=6，則該三棱錐外接球的直徑為A.7B.8C.9D.10【反思】在一個多面體的面找外接圓的圓心，過該圓的圓心，作垂直于該面的垂線，球心O在垂線上，構造三角形，解三角形?！揪毩?】一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個正三角形,則這個幾何體的外接球的表面積為()A.B.C.D.【練習2】三棱錐中，平面，且，則該三棱錐的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【例4】（球的截面問題）已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球的表面積與球的體積．【反思】設球的截面圓上一點A，球心為O，截面圓心為O1，則△AO1O是以O1為直角頂點的直角三角形，在解答球心的截面問題時，常用該直角三角形求解，并常用過球心和截面圓心的軸截面．【練習3】用過球心的平面將一個球分成兩個半球，則兩個半球的表面積之和是原來整球表面積的______倍．【類型三】組合體的體積【例4】如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，會溢出杯子嗎？請用你的計算數(shù)據(jù)說明理由．反思與感悟代公式計算幾何體的體積時，注意柱體與錐體的體積公式的區(qū)別．【練習1】如圖(1)所示，一只裝了水的密封瓶子可以看成是由底面半徑為1cm和底面半徑為3