圓和旋轉(zhuǎn)壓軸題解題技巧與近幾年中考試題

如何短時(shí)間突破數(shù)學(xué)壓軸題

還有不到一個(gè)月的時(shí)間就要進(jìn)行期中考試了，期中考試的重要性不必多說(shuō)。各區(qū)期中考

試的范圍相信學(xué)生們都已經(jīng)非常清楚。

個(gè)人覺(jué)得現(xiàn)在大部分學(xué)生的困難在于旋轉(zhuǎn)、圓，由于時(shí)間比較緊張，給大家一些復(fù)習(xí)資料和

學(xué)習(xí)方法，希望能夠幫到大家。

一、旋轉(zhuǎn)：

縱觀幾年的數(shù)學(xué)試卷，最難的幾何題幾乎都是旋轉(zhuǎn)，在此給出旋轉(zhuǎn)中最常見的幾何模型

和一些解題技巧。

旋轉(zhuǎn)模型：

1、三垂直全等模型

三垂直全等構(gòu)造方法：從等腰直角三角形的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)出發(fā)向過(guò)直角頂點(diǎn)的直線作垂線。

2、手拉手全等模型

手拉手全等基本構(gòu)圖:

EE

3、等線段、共端點(diǎn)

(1)中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)180。)(2)等腰直角三角形(旋轉(zhuǎn)90。)

C

D'

(3)等邊三角形旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)60。)(4)正方形旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)90。)

4、半角模型

半角模型所有結(jié)論：在正方形ABCD中，已知E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足

ZEAF=45°,AE.Af分別與對(duì)角線8。交于點(diǎn)M、N.求證：

(1)BE+DF=EF-,

;

⑵ABE+^AAOF=SAAEF

(3)AH=AB；

(4)C^EC=2AB-,

(5)BM?+DN2=MN2；

(6)△DNFsAANMsAAEFs△BEM；相似比為1：6(由△AMN與△AEF的高之比AO：

AH=AO：AB=1：J,而得到);

(7)5AAMN=S四邊形MNFE-,

(8)AAOM^AADF,AAONsAABE；

(9)/AEN為等腰直角三角形，ZAEN=45°.(1.ZEAF=45°；2.AE：AN=T：)

解題技巧：

1.遇中點(diǎn)，旋180°,構(gòu)造中心對(duì)稱

例：如圖，在等腰△A8C中，A8=AC,ZABC=a,在四邊形3OEC中，DB=DE,

ZBDE=2a,M為CE的中點(diǎn)，連接AM,DM.

⑴在圖中畫出△￡>￡■”關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱的圖形;

(2)求證：AM±DM;

(3)當(dāng)a=時(shí)，AM=DM.

［解析］⑴如圖所示；

⑵在⑴的基礎(chǔ)上，連接40,AF

由⑴中的中心對(duì)稱可知，ADEM迫AFCM,

：.DE=FC=BD,DM=FM,ADEM=ZFCM,

ZABD=ZABC+ZCBD=a+3600-ZBDE-ADEM-NBCE

=36Q°-a-ZDEM-ZBCE,

ZACF=360°-NACE-ZFCM=360°-a-ZBCE-ZFCM

：.ZABD=ZACF,

八ABD名△ACT,：.AD=AF,

DM=FM,：.AMVDM.

⑶a=45°.B

2.遇90°。旋90°,造垂直;

例：請(qǐng)閱讀下列材料：

已知：如圖1在RtAABC中，ZBAC=90。，A8=AC,點(diǎn)。、E分別為線段8c上

兩動(dòng)點(diǎn)，若/ZME=45。.探究線段30、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的思路是：把AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AA8EL連結(jié)ED,

使問(wèn)題得到解決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決下列問(wèn)題：

⑴猜想80、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；

⑵當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2,其它條件

不變，⑴中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明.

［解析］(1)DE2=BD2+EC2

證明：根據(jù)AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AABE'

：.AAEC9\ABE'

：.BE'=EC,AE'=AE,ZC=NABE',ZEAC=NE'AB

在RtAABC中

?/AB=AC

ZABC=ZACB=45°

ZABC+ZABE'=90°

即/EBD=90°

E'Bi+BDi=E'Di

又：ZDA￡=45°

/?ZBAD+ZEAC=45°

/.ZE'AB+ZBAD=45°

即ZE'AD=45°

AAED0AAM

DE=DE'

DE2=BDz+EC2

⑵關(guān)系式z)E2=8r)2+EC2仍然成立

證明：將AAOB沿直線對(duì)折，得A4FO,連FE

：.MFD絲kABD

：.AF=AB,FD=DB

ZFAD=ZBAD,ZAFD=ZABD

又：A8=AC,/?AF=AC

"：ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+45°

ZEAC=ABAC-ZBAE=90°-(ZDAE-ZDAB)=45°+/DAB

：.ZFAE=ZEAC

又：AE=AE

：.\AFE學(xué)\ACE

：.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°

ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°

/.ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°

/.在RtADFE中

DF2+FE2=DE2即DEI=BD1+EC2

3.遇60°,旋60°,造等邊；

例：已知:在AABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問(wèn)題：

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，a=b=3,且NACB=60°,則

CD=；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí)，a=b=6,且/ACB=90°,則

CD=；

(3)如圖3,當(dāng)NACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相

圖1圖2圖3

解：⑴34；.................................r

(2)3x/6372；.................................2'

(3)以點(diǎn)D為中心，將ADBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,則點(diǎn)B落在點(diǎn)A,點(diǎn)C落在點(diǎn)E.聯(lián)結(jié)

AE,CE,

；.CD=ED,ZCDE=60°,AE=CB=a,

??.△CDE為等邊三角形，

->.CE=CD..................................4'

當(dāng)點(diǎn)E、A、C不在一條直線上時(shí)，有CD=CE〈AE+AC=a+b；

當(dāng)點(diǎn)E、A、C在一條直線上時(shí)，CD有最大值，CD=CE=a+b；

此時(shí)NCED=NBCD=NECD=60°,AZACB=120°,................7'

因此當(dāng)/ACB=120°時(shí)，CD有最大值是a+b.

4.遇等腰，旋頂角。

綜上四點(diǎn)得出旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征：等線段，共頂點(diǎn)，就可以有旋轉(zhuǎn)。

圖形旋轉(zhuǎn)后我們需要證明旋轉(zhuǎn)全等，而旋轉(zhuǎn)全等中的難點(diǎn)在于倒角，下面給出旋轉(zhuǎn)倒角

模型。

二、圓

1、所給條件為特殊角或者普通角的三角函數(shù)時(shí)；

(1)特殊角問(wèn)題或者銳角三角函數(shù)問(wèn)題，必須有直角三角形才行，如果題目條件中

給的特殊角并沒(méi)有放入直角三角形中時(shí)，需要構(gòu)造直角三角形。

構(gòu)造圓中的直角三角形，主要有以下四種類型：

①利用垂徑定理；②直接作垂線構(gòu)造直角三角形；

③構(gòu)造所對(duì)的圓周角;④連接圓心和切點(diǎn);

(2)另外，在解題時(shí)，還應(yīng)該掌握的一個(gè)技巧就是，利用同弧或等弧上的圓周角相等,

把不在直角三角形的角，等量代換轉(zhuǎn)移進(jìn)直角三角形中.

在圓中，倒角的技巧有如下圖幾種常見的情形：

2、所給條件為線段長(zhǎng)度、或者線段的倍分關(guān)系時(shí)；

(1)因?yàn)閳A中能產(chǎn)生很多直角三角形，所以可以考慮利用勾股定理來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度，在

利用勾股定理來(lái)計(jì)算線段長(zhǎng)度時(shí)，特別是在求半徑時(shí)，經(jīng)常會(huì)利用半徑來(lái)表示其他線

段的長(zhǎng)度，常見情形如下；

(2)圓中能產(chǎn)生很多相似三角形，所以經(jīng)常也會(huì)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)計(jì)算線

段長(zhǎng)度，常見的圓中相似情形如下:

△ADEsAACB△ADEsLBCE△ABD^ACAD^ACBA

△ABC^△ADB△BDC△ABO^AADB^ABDO△ABCsAOBD

注：圓中的中檔題目，學(xué)校會(huì)留很多，在此就不放了，來(lái)兩道有意思的題目。

8.如圖,A5是。直徑，弦CD交AB于E,NAEC=45。，43=2.設(shè)㈤*,CE?+DE?=y.

下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系是的（）

答案：A

8.如圖，以G（O,1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩

點(diǎn)，與y軸交于C、。兩點(diǎn)，點(diǎn)E為。G上一動(dòng)點(diǎn)，CF1AE

于歹.當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，點(diǎn)/所經(jīng)過(guò)的

路徑長(zhǎng)為

里小小至

A.：兀B.：兀C.［兀D.：兀

2346

答案：B

24.如圖.點(diǎn)B，C是蛀唉AD的三等分點(diǎn),以BC為直徑作€＞。，點(diǎn)P是圓上異于

B,C的任意一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,PD.

（1）當(dāng)PB-；PC時(shí)，求ianNAPB的值：

（2）當(dāng)P是熊上異于B,C的任意一點(diǎn)時(shí)，求tanNAPB?tan/DPC的值.

7.如圖，已知一塊國(guó)心角為270。的扇形鐵皮，用它作一個(gè)圖鏈形的煙囪帽（拷埴忽略不

計(jì)），回轆底面圓的直徑是60cm,則這塊扇形鐵皮的半徑是（）

A.40cmB.50cmC.60cmD.80cm

17.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組將邊長(zhǎng)為5的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半

徑的扇形（忽略鐵絲的祖細(xì)），則所得的扇形ABD的面積為.

21.如圖，在AABC中，以BC為■徑的圓交AC于點(diǎn)D,ZABD-ZACB.

（I）求證，AB是圓的切簽：

（2）若點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，已知BET?UnZAEB-|.AB：BC-2?3.求圓的盅徑.

11.如圖，AB是。。的直往,弦CD_LAB,ZCDB-3O0.CD-2J5.則陰影部分的面積為（）

15.如圖，在半徑為3的＞30中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E,連接AC.BD.gAC-2.則tanD?

A

D

23.如圖.AC是0。的越前BC是0。的弦，點(diǎn)P是⑥。外一點(diǎn),連挎PB、AB.ZPBA-ZC.

(1)求證，PB是00的例統(tǒng)，

(2)連接0P,若0P〃B3且0P-8,?0的半徑為2p,求BC的長(zhǎng).

9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)攙于00.F是力;上一點(diǎn)，且廣一/.連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)或于點(diǎn)

GZzUrm

E.連接AC.若/ABO1050ZBAC-25%則NE的度數(shù)為()

A.45°B.50*C.550

24.如圖，以RlZkABC的直角道AB為直徑作?0.交斛邊AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為0B的中點(diǎn)，連格CE并延長(zhǎng)

交?0于點(diǎn)F,點(diǎn)F恰好常在公的中點(diǎn)，連攙AF并延長(zhǎng)與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,連挎0F.

Ao

(i)求證cOF-|BG,

(2)SAB-4,求DC的長(zhǎng).

10.如圖.RtZiABC的斜邊AB與重角甥的直徑恰好重合,B點(diǎn)與0刻度姣的一端重合，ZABC-40%射線C

D線點(diǎn)CM動(dòng)，與量華器外沿交于點(diǎn)D,若射線CD格△ABC分割巴以BC為邊的等腰三角形，則點(diǎn)D在篁角器0

上對(duì)應(yīng)的度數(shù)是()I

A.40*B.70?C.70?；?0?D.80?或140。

17.如圖，C為半0S內(nèi)一點(diǎn)，。為0s心，直徑AB長(zhǎng)為2cm,ZBOC-60%ZBCO-90%格Z\B0C統(tǒng)明心0

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△Bgci點(diǎn)C在OA上，則邊BC掃遼區(qū)域(圖中陽(yáng)影部分)的面積為^_cm2.

23.如圖.△ABB1接于?。，AC為00的直徑.PB是o。的切戰(zhàn),B為切點(diǎn).OP_LBC,垂足為E,交00

于D,連持BD.

(1)求證，BD平分NPBC,

(2)若?0的半徑為1?PD-3DE.求0E及AB的長(zhǎng).

11.如圖，AB是00的直徑，C.D是00上的兩點(diǎn)，若NBCD=283則NABD二

21.如圖.直角ZiABC內(nèi)攙于@0,點(diǎn)D是直角Z^ABC斜邊AB上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作AB的垂姣交AC于E,

過(guò)點(diǎn)C作NECP^NAED,CP交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連結(jié)PO交00于急F.

(I)求證，PC是00的切妓，

(2)若PC-3,PF-L求AB的長(zhǎng).

12.如圖.AB是OO的直徑，C,D是00上的點(diǎn)，且OC〃BD,AD分別與BC,0C相交千點(diǎn)E.F,則下

列結(jié)論，

①AD_LBD,?ZAOC-ZAEC,③CB平分NABDi④AF-DF,?BD-20F,⑥△CEFKABED,其中一

定成立的是()

A.②④⑤⑥B.①③@?C.②③④⑥D(zhuǎn).①③④⑤

16.如圖，AABC是等邊三角形，AB-2.分別以A?B.C為05心,以2為半徑作況i,則圖中陰鬣部分的面積

是

21.如圖，過(guò)正方形ABCD頂點(diǎn)B,C的€>0與AD相切于點(diǎn)P,與AB、CD分別相交于點(diǎn)E、F,連挎EF.P

(1)求正PF平分NBFD.￡

(2)^UnZFBC-|.DF-J5.求EF的長(zhǎng)./

17.如圖，€>0的半年為2,05心0到直妓1的距薔為4,有一內(nèi)角為M。的菱形，當(dāng)耋形的一邊在直選】

上，另有兩邊所在的直線恰好與③。相切,此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)為.

16.如圖，半徑為1的半圖形紙片，按如圖方式折登,使時(shí)析后半圖也的中點(diǎn)M與圖心。重自，則圖中陰

影部分的面積是.

22.如圖，00是AABC的外接圖，AE平分NBAC交00于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E做直線1〃BC.

(I)判斷直線I與◎。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由：

(2)若NABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F.求證：BE-EFi

(3)在(2)的條件下，若DE=4,DF-3,求AF的長(zhǎng).

10.如圖，點(diǎn)A、B、C是圓。上的三點(diǎn)，且四邊形ABC。是平行四邊形，OF_LOC交回0于點(diǎn)F,則NBAF

等于()

17.如圖，△ABC內(nèi)樗于00,AB是?。的直徑，ZB-30*.CE平分NACB交€)0于E,交AB于點(diǎn)D,連攙A

E,則SAADE】SACDB的值等于()

h|3D.2t3

22.加圖，半徑為3的OO與RtAAOB的斜邊AB壞于點(diǎn)D,交0B于點(diǎn)C,連接CD交?線0A于點(diǎn)E,若N

B-30%則姣段AE的長(zhǎng)為.

16.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于00,其邊長(zhǎng)為4,則00的內(nèi)接正三角形EFG的邊長(zhǎng)為

22.如圖，在ABCE中，點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn)，以AB為■徑的O。與CE相切于點(diǎn)D,AD〃OC,點(diǎn)F為0

CGOO的交點(diǎn)，連接AF.

(I)求證，CB是00的切線,

(2)eZECB-60%AB-6.求圖中陰影部分的面積.

10.如圖.AB是e。的切線,B為切點(diǎn)，AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,與OO分別相交于點(diǎn)D,C.SZACB-30%AB-

則陰彩部分的面積是()

23.如圖,A.P.B,C是圖上的四個(gè)點(diǎn).ZAPC-ZCPB-60%AP.CB的延長(zhǎng)線相交

于點(diǎn)D.

(I)求任：AABC是等邊三角形：

(2)若NPAO90,AB-2j3>求PD的長(zhǎng).

11.如圖，在Rl^ABC中,ZA-30#.BC-2J3.以直龜邊AC為直徑作0。交AB于點(diǎn)D,則圖中陰髭就分的面

積是()

21.正方形ABCD內(nèi)接于00.如圖所示，在劣弧不上取一點(diǎn)E,連攙DE、BE.過(guò)點(diǎn)D作DF〃BE交?0于

nD

點(diǎn)F,連播BF、AF,且AF與DE相交于點(diǎn)G.求證：

(1)四邊形EBFD是矩形，

(2)DG-BE.

16.如圖.苴戰(zhàn)y?W"3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B：點(diǎn)Q是以C(0.-I)為圓心、1為半役的國(guó)上、

一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)Q點(diǎn)的W栽交戰(zhàn)段AB于點(diǎn)P,則線鼠PQ的最小是

24.半徑為2.5的。。中，直徑AB的不同例有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P.已知BC,CA-4,3,點(diǎn)P在北上運(yùn)動(dòng)，過(guò)

nD

點(diǎn)C作CP的垂妓，與PB的延長(zhǎng)虢交于點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)點(diǎn)P局點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng),

(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到G的中點(diǎn)時(shí).求CQ的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng).

15.如圖所示，AABC是?。的內(nèi)接三角形，AD_LBC于D點(diǎn)，且AC=5,DC-3?AB=40，則。。的直徑等

干.

9.如圖，A是半徑為2。的?0外一點(diǎn)，0A-4,AB是。。的切統(tǒng)，點(diǎn)B是切點(diǎn)，弦BC〃0A,則BC的長(zhǎng)為

22.如圖，AB是00的直徑，NBAC的平分髭AQ交BC于點(diǎn)P,交。。于點(diǎn)Q,已知AC-6,NAQO30度.

（1）求AB的長(zhǎng)，

（2）求點(diǎn)P到AB的距離?

<3）求PQ的長(zhǎng).

12.加圖，D是半徑為R的?。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的切