2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線和圓的方程新高考專用(解析版)

考點(diǎn)19直線和圓的方程(核心考點(diǎn)講與練)

點(diǎn)

一、直線與方程

1.直線的傾斜角

⑴定義：X軸畫與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與X軸平行或

重合的直線的傾斜角為霎度角.

(2)規(guī)定：當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為°；

(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是［0,“).

2.直線的斜率

(1)定義：直線y="x+6中的系數(shù)“叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在.

y'2-y\

(2)計(jì)算公式：若由AU,刃,以至,㈤確定的直線不垂直于x軸，則"==鯉三垃.

JI

若直線的傾斜角為0(fW萬)，則若tan9.

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率kx+b

與X軸不垂直的直線

點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y一再二就

與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直

p--x-.

兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)

y^-yi-A2_-線

不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均

截距式縱、橫截距4+三

a.-b----

不垂直的直線

Ax+By+C-0

一般式所有直線

X（一+-W0）

二、兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行與垂直的判定

⑴兩條直線平行

對(duì)于兩條不重合的直線h,12,其斜率分別為左，左，則有k=k\;?特別地，當(dāng)直線

21,心的斜率都不存在時(shí),，與4平行.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線Z"2斜率都存在，設(shè)為A,左，則Idlvk3-1,當(dāng)一條直線斜率為零,

另一條直線斜率不存在時(shí)，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

A\x+B\y+G=0,

直線7i4x+B1y+G=0和44x+&y+G=0的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組＜

Ax+G=0

的解一一對(duì)應(yīng).

相交Q方程組有唯二解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解；

平行Q方程組無解；

重合Q方程組有無數(shù)個(gè)解.

3.距離公式

(1)兩點(diǎn)間的距離公式

平面上任意兩點(diǎn)A(X1,%),2(X2,㈤間的距離公式為|戶1知=、/(X2-泡)2+(理-再)：

特別地，原點(diǎn)0(0,0)與任一點(diǎn)P(x,。的距離，

(2)點(diǎn)到直線的距離公式

_14照+Byo+

平面上任意一點(diǎn)&(照，jb)到直線1：Ax+By+C=0的距離d-----/—.

y/7+￡

⑶兩條平行線間的距離公式

_、_|G-C|

一般地，兩條平行直線hAx+By+G=0,hAx+By+G=0間的距禺d-,~

、/1+4

三、圓的方程

1.圓的定義和圓的方程

定義在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于轉(zhuǎn)的點(diǎn)的集合叫做圓

圓心以a,6)

標(biāo)準(zhǔn)(x-a)2+(y-6)2=r(r>0)

半徑為r

充要條件：萬+3-4戶>0

方程

x+y+Dx+Ey+F=0

一般圓心坐標(biāo)：-

(4+彥-4F>0)

半徑r-同療+?-4尸

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)〃(劉，㈤與圓C：(x-a)2+(廣6)、步之間存在著下列關(guān)系：

(1)MC\>〃在圓外,即(xo-a)2+(%-6)—>7"=〃在圓外；

(2)|MC\=在圓上，即(荀-a)②+(%-6)2=產(chǎn)=〃在圓上；

⑶|MC\<r=〃在圓內(nèi)，即(司-a)2+(%-6)2</=〃在圓內(nèi).

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(x-a)2+(y-6)2=/,直線/：而+破+c=0,圓心以a,6)到直線1的距離為d,

(x-a)'+(y-b)1-r,

由<

Ax+By+C=0

消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為/.

方法位置

幾何法代數(shù)法

關(guān)系

相交d<r/>0

相切d-rA=Q

相離d>rzl<0

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

R-r<

幾何特征d>R+rd-R+rd-R-rd<R-r

d<R+r

代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解

公切線條數(shù)43210

⑴求出斜率k=tana的取值范圍.

⑵利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角。的取值范圍.求傾斜角時(shí)要注意斜率

是否存在.

2.已知兩直線的一般方程

兩直線方程hAix+Biy+Ci-O,h：Azx+B2y+C2=0中系數(shù)Ai,Bi,Ci,A2,82,C?與

垂直、平行的關(guān)系：

+3182=0=/i_1_，2；

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2c厚Oo/i//h.

3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：

(1)幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

⑵代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用△判斷.

(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.

4.求圓的弦長(zhǎng)的常用方法

⑴幾何法：設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長(zhǎng)為I,則4)2=戶一屋.

⑵代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式：

設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為A(xi,yi),B(M,y》,

貝!I|A5|=Jl+1由-=yj（1+」）］（XI+M）4x同.

50）判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般

不采用代數(shù)法.

⑵當(dāng)兩圓相交時(shí)求其公共弦所在直線方程或是公共弦長(zhǎng)，只要把兩圓方程相減消掉二次項(xiàng)

所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個(gè)圓和這條直線就可以求出公共弦長(zhǎng).

6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時(shí)要充分考慮平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，如在直線與圓相交的有關(guān)

線段長(zhǎng)度計(jì)算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長(zhǎng)度放在一起綜

合考慮，不要單純依靠代數(shù)計(jì)算，這樣既簡(jiǎn)單又不容易出錯(cuò).

I---------------------------------------------------------------

式向右直線的傾斜角與斜率

一、單選題

1.（2022?山東淄博.模擬預(yù)測(cè)）若圓C：Y+y2一2x+4y+I=0的弦的中點(diǎn)為4（2,-3）,

則直線MV的方程是（）

A.2x-y-7=0B.x-y-5=0C.x+y+l=0D.x-2y—8=0

【答案】B

【分析】由題可知。1，肱V,則可求得肱V斜率，進(jìn)而求得直線方程.

【詳解】由圓方程可知圓心C0,-2）,貝必孰=T,由題可知C4_L^V,所以L=1,又MN

過點(diǎn)A（2,-3）,根據(jù)點(diǎn)斜式公式可知直線MN的方程是x-y-5=0.

故選：B.

2.（2021天津市第七中學(xué)月考）已知直線I的方程為x+j3y+4=Q,則直線/的傾斜角為

（）

A.30°B.60°C,120°D.150°

【答案】D

【分析】由直線方程可得斜率左=-3，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.

3

【詳解】由題設(shè)，直線/斜率左=-無，若直線/的傾斜角為&，貝！Jtana=-3,

33

ae[0,7r),

?*.a——.

6

故選：D

3.(2022.天津南開一模)已知函數(shù)〃尤)=；J['g(x)=kx+A.若函數(shù)

[2%-6x+3,x>0,

Mx)=〃x)-g(x)的圖象經(jīng)過四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

A.B.(-10,-2)C.(—2,+oo)

D.(-oo,-10)uQ,+oo^

【答案】A

【分析】作出函數(shù)了⑺的圖象，作出直線>=履+1,由圖象知只要直線》=丘+1與y=/(x)

的圖象在y軸左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則〃(幻=〃乃-8(幻的圖象就經(jīng)過四個(gè)象限(x<o時(shí)，

〃(X)的函數(shù)值有正有負(fù)，彳>0時(shí)，"(X)的函數(shù)值有正有負(fù))，因此求得直線的斜率，再

求得直線與y=21-6X+3相切的切線斜率(注意取舍)即可得結(jié)論.

【詳解】作出函數(shù)所)的圖象，如圖,

作出直線y=履+1,它過定點(diǎn)P(o，D,由圖可得，只要直線y=履+1與y=/(%)的圖象在>軸

左右兩側(cè)各有兩個(gè)交點(diǎn)，則〃3=/(元)-g(x)的圖象就經(jīng)過四個(gè)象限(x<0時(shí)，心)的函

數(shù)值有正有負(fù)，x>0時(shí)，力(X)的函數(shù)值有正有負(fù))，

1-01

x<0時(shí)，f(x)=|x+3|與x軸的公共點(diǎn)為M(T0),kPM=--^-,

U—3)3

%>0時(shí)，/(%)=2M-6%+3,

fy=kx+1c

由1；=2/—6%+3得2%(6+切+2=0,

△=(6+左)2-16=0,解得左=—2或左=—10,由圖象知，切線尸N的斜率為—2,

所以-2<左<：時(shí)滿足題意.

故選：A.

4.（2022.山東濰坊.二模）已知直線4：x-3y=0,l2:x+ay-2=。，若4U,則。=（）

A.±B.--C.3D.-3

33

【答案】A

【分析】?jī)芍本€斜率均存在時(shí)，兩直線垂直，斜率相乘等于-1,據(jù)此即可列式求出。的值.

【詳解】=:.

3a3

故選：A.

22

5.（2022?北京豐臺(tái)?二模）已知雙曲線C:~~^=1（a>0,b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為

ab

A,4,左、右焦點(diǎn)分別為可，工.以線段44為直徑的圓與雙曲線c的一條漸近線交于

點(diǎn)M,且點(diǎn)用在第一象限,與另一條漸近線平行.若由M|=J區(qū),則的面積

是（）

A3指B7百c3百口7g

?F,F?~T~?—

【答案】C

【分析】求得以線段A4為直徑的圓的方程為Y+V=/，與漸近線y=7聯(lián)立求出點(diǎn)M

a

的坐標(biāo)，根據(jù)與另一條漸近線平行可求出。力，。的關(guān)系，然后根據(jù)閨加|=萬，即可求

出a,b,c的值，從而可得出答案.

【詳解】解：由題意4（一。，。），43。）,E（-c,O），l（c,O）,

則以線段A4為直徑的圓的方程為V+y="2

a1

x2+y2=a2x=——x=-----

c

聯(lián)立b,解得c或＜

y=-xatab

ay=-y=—

lCc

又因點(diǎn)M在第一象限，所以〃

h

因?yàn)榕c直線y=—-x平行,

a

ab

bbb

所以滔J即

aa-ca

-----a

所以c=2a,貝肥2=02-/=34,

所以標(biāo)=3,

貝[]/=12,〃=9,

所以“當(dāng)|[,4（"o），B（26o）,

所以sMAF。-也=.

故選：C.

6.（2022.湖南衡陽.二模）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲

線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)

的切線，平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.請(qǐng)解決下面問題：已知月、巴分別是雙曲線

2

c：尤2_5=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為C在第一象限上的點(diǎn)，點(diǎn)/在耳P延長(zhǎng)線上，點(diǎn)Q的坐

標(biāo)為，且PQ為/月尸區(qū)的平分線，則下列正確的是（）

A.四一2

B.\PFl+PF2\=2^

C.點(diǎn)P到x軸的距離為6

D.NF2PM的角平分線所在直線的傾斜角為150

【答案】AD

2

【分析】證明出雙曲線U尤2一千=1在其上一點(diǎn)幾）的切線的方程為%X-寫=1,將

點(diǎn)。的坐標(biāo)代入切線方程，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，可判斷ABC選項(xiàng)的正誤，?計(jì)算出PQ的斜率，

可計(jì)算出NF2PM的角平分線所在直線的斜率，可判斷D選項(xiàng)的正誤.

2

【詳解】先證明結(jié)論雙曲線C：f-5=1在其上一點(diǎn)戶（X。，兒）的切線的方程為

9-罟=1

,AQA—±

由已知宕-萼=1,聯(lián)立2可得犬-2尤。尤+*=0,即（尤_/）2=0,解得戶％,

2x2-^=l

[2

2

所以，雙曲線C:尤2-5=1在其上一點(diǎn)尸（五,九）的切線的方程為工/-與=1.

本題中，設(shè)點(diǎn)P（x。，幾）,則直線P。的方程為龍川-券=1,

將點(diǎn)代入切線方程可得與=石，所以尸（6,2），即點(diǎn)尸到X軸的距離為2,C錯(cuò);

在雙曲線C中，a=l,b=^2,則c==6,則川-60）、耳母，。）,

所以，閥仁他^石=4,|P閭=府+22=2,所以,高=2,A對(duì)；

居=（-2^,-2）,電=（0,-2）,所以,兩+心=12后T）,

則|尸耳+PF2\=h百j+（_4丫=277，:B錯(cuò)；

因?yàn)閆F2PM的角平分線交X軸于點(diǎn)N,則ZQPF2+ZNPF2=/大尸片+ZF2PM）=90,

kpc=----尸=y/31x/3

所以，PNC。，PQA6，則-廠=-+，

73-T3

故/鳥PM的角平分線所在直線的傾斜角為150,D對(duì).

故選：AD.

三、填空題

7.（2021年1月新高考八省聯(lián)考卷）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2,則該正方形

的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為.

【答案】g和—3.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為。,得到左=tan]，得出對(duì)角線所

在直線的斜率為tan(&+￡)，結(jié)合兩角和的正切公式，求得tana=2，再結(jié)合兩直線的位

43

置關(guān)系，即可求解.

【詳解】設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為。,其斜率k=tani,

則其中一條對(duì)角線所在直線的傾斜角為a+f,其斜率為tan(a+￡),

44

冗

tanor+tan—tana+]1

根據(jù)題意值tan(a+f)=2,可得-----------an^=?,解得tana=z,

41-tanata/3

4

即正方形其中一邊所在直線的斜率為:，

又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為-3.

故答案為：(和-3.

8.(2022廣東潮州二模)設(shè)函數(shù)〃司=云亮,點(diǎn)在圖象上，

點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量，=(1，。)，若向量?！?4)4+44++A-A，且。,是明與，的夾

角，貝han的最大值是______.

【答案】2

16

【分析】先利用平面向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)7,再利用直線的斜率公式求出tan0”的表達(dá)式，

再利用基本不等式求其最值.

【詳解】

由向量的線性運(yùn)算，得

%=44+44++A-iA=AA，

因?yàn)辄c(diǎn)4［,2］在函數(shù)〃工）=耳的圖象上,

4為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，=（1，0）,。“是7與i的夾角，

2L2L-0

所以，皿…4"+64_2〃

n-04"+64

二Iw1」

2“+的一2扃16

（當(dāng)且僅當(dāng)2"=5r，即”=3時(shí)取等號(hào)）,

即tan。”的最大值是］.

16

故答案為：

10

四、解答題

22

9.（2022.北京豐臺(tái).二模）已知橢圓C：齊=l（a>6>0）經(jīng)過點(diǎn)尸（2,1）,P到橢圓C的

兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為4拒.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)。（4,0）,R為尸。的中點(diǎn)，作尸。的平行線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,3,直線4。

與橢圓C交于另一點(diǎn)M,直線BQ與橢圓C交于另一點(diǎn)N,求證：M,N,R三點(diǎn)共線.

22

【答案】⑴￡+9=1⑵證明見解析

o2

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義，可求得。值，將尸點(diǎn)坐標(biāo)代入，即可求得〃，即可得答案.

（2）由題意可得R點(diǎn)坐標(biāo)和直線PQ的斜率，即可設(shè)直線I的方程為y=—^x+m,

1

4為%）向%2，%），河（%分），陽天,以），可得直線4。的方程為廣—1（工-4），與橢圓聯(lián)

立，即可求得以，/表達(dá)式，同理可得以，當(dāng)表達(dá)式，即可求導(dǎo)直線MN的斜率，再求得直

線的斜率，分析即可得證.

（1）

根據(jù)橢圓的定義可得24=4&,解得a=20,

又過點(diǎn)尸（/2,1）\,所以24+京1=1，解得八2,

22

所以橢圓C的方程為￡+3=1.

o2

（2）因?yàn)槭?,1）,。（4,0）,

所以中］1-01

k

2-42

設(shè)直線/的方程為產(chǎn)一根，4（王，弘）,3（工2，%），"（乙,先）,陽尤”“），

k為

所以%頗二，八8Q

七一4%—4'

%%(I),

所以直線4。的方程為＞=（X-4）,直線8。的方程為y=

再一4工2-4

（I）

y二2

%一4"國(guó)-4+412+8(%-4)y+8=0,

聯(lián)立直線A。與橢圓,消去x可得

2,,2

%J1必弘

-----1------=1

I82

8(演—4)

2L_22

￡+3=1

所以％+%=_、2,又代入,

玉一4o2

+4

%

8(占一4)?X8—3%!

整理可得心=一切=，代入直線AQ,可得4二

24-8再3—玉3—玉

%8—3X2

同理可得以=

-

3x23—x2

所以

2221一g%+機(jī)

xJ-1x2+mj-x2

3-x?3—玉3(%-%)+占％-尤2%3,3

=----------------------------------=----1-——m

x2一玉22

3—%3-再

.V1_1

~~X1+小

23—玉237

又=--m=kMN

3—%]

所以N,R三點(diǎn)共線

考向二＞兩直線的位置關(guān)系

1.（2021黑龍江省實(shí)驗(yàn)中高三檢測(cè)）已知直線4:x+my+7=0和

［：⑴-2）x+3y+2m=0互相平行，則實(shí)數(shù)冽=（）

A.-3B.-1C.一1或3D.1或一3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意,結(jié)合兩直線的平行，得到1x3—砒n-2）=。且2m—7x3w0,即可

求解.

【詳解】由題意，直線4：尤+切+7=0和4：（根一2）x+3y+2m=0互相平行，

可得1x3—（m—2）=0且2〃?一7x3/0,

21

即〃，一2〃2—3=0且"ZW萬,解得〃2=—1或m=3.

故選：C.

4355直線與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2022河南河南?三模（理））已知M小為圓。：/+產(chǎn)一2-4'=。上兩點(diǎn)，且四明=4,

Iuuiruuai|

點(diǎn)P在直線/:尤一產(chǎn)3=0上,則+叫的最小值為（）

A.272-2B.2A/2

C.2V2+2D.2V2-V5

【答案】A

【分析】先求得線段中點(diǎn)。的軌跡，結(jié)合向量的模、圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)求得

?UUUFUUlDi

pM+叫的最小值.

【詳解】設(shè)線段MN的中點(diǎn)為。,

圓C:/+V-2x-4y=0的圓心為C（l,2）,半徑為右.

C到直線的距離為J（右=1,

所以|CD|=1,故。點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓，設(shè)。點(diǎn)的軌跡為圓。，

圓D上的點(diǎn)到直線/的最短距離為t=心薩-1=72-1.

IUUITuuiu?uumIIuum?

所以PM+PNH2PD\=2\PD\>2t=2^J2-2.

故選：A

2.（2022?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)（理））已知圓C：X2+/-2X-3=0,若直線/：依-y+1-a=0

與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，則|明的最小值為（）

LL5

A.2A/2B.2A/3C.3D.-

【答案】B

【分析】求出直線所過定點(diǎn)，當(dāng)直線與定點(diǎn)和圓心連線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)最小，由此可得結(jié)論.

【詳解】易知直線"一丫+1-。=0,過定點(diǎn)尸（1,1）,

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-l）2+y2=4,圓心為C（l,0）,半徑為r=2,

而H=l<2,所以1ABimm=2而=2也7=2也.

故選：B.

3.（2021內(nèi)蒙古赤峰二中高三第一次月考）圓尤之+/=1與直線y=依-3有公共點(diǎn)的充

要條件是（）

A.k<-2y/2^k>2-j2B.k<-2A/2

C.k>2D.k4-2叵或k>2

【答案】A

【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得％得取值范圍，即可得答案.

【詳解】若直線與圓有公共點(diǎn)，

|-3|,_____

則圓心（0,0）到直線近一丁一3=。的距離4=而不<1,即“2+]?3,

二左2+129,即左2?8,

???左〈—2夜或左22行，

.?.圓好+/=1與直線y=丘—3有公共點(diǎn)的充要條件是卜<-2V2或左》2行.

故選：A

4.(2022廣西南寧市高三摸底測(cè)試)已知直線y=x+〃?與圓(x-2)2+(y-3)2=2相切，則

m的值為()

A.3或一1B.1或—3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式列式計(jì)算即得.

【詳解】圓(x-2)2+(y-3)2=2的圓心為(2,3)，半徑為后，因直線丁=工+機(jī)與圓

。一2)2+(、-3)2=2相切，

|2-3+m|

則點(diǎn)(2,3)到直線x-y+m^O的距離為d=V2,整理得|m-11=2,解得

切=3或切=一1,

所以，〃的值為3或-1.

故選：A

5.(2022年(新高考)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn))圓/+>2+必_⑵+1=0關(guān)于直線ax-by+6=0(a>0,

26

6>0)對(duì)稱，則一+7的最小值是()

a0

「203216

A.25/2B.—C.—D.—

~333

【答案】C

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)，由題意可得圓心在直線辦-勿+6=。

上,從而可得a+3b=3,所以2+y=|(a+3Z?)(-+7)，化簡(jiǎn)后利用基本不等可求得答

c1bsab

案

【詳解】由圓尤2+儼+以-12y+l=0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+。-6尸=39,

*.*圓N+,2+公-12y+1=0關(guān)于直線ax-by+6=0(a>0,。>0)對(duì)稱，

,該直線經(jīng)過圓心(-2,6),即-2〃-6。+6=0,

a+3b=3(〃>0,Z?>0),

262.13.2八3。3b八、

?,?—+7=7(^+3Z?)(—+—)=—(1+—+一+9)

ab5ab3ba

>-(10+2fc--)=?，當(dāng)且僅當(dāng)至=",即a=b時(shí)取等號(hào),

3\ba3ab

故選：C.

二、多選題

6.（2022?遼寧鞍山?二模）已知M為圓C：（x+丁+/=2上的動(dòng)點(diǎn)，尸為直線/：x-y+4=0

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/與圓C相切B.直線/與圓C相離

C.IPM的最大值為逑D.IPM的最小值為比

22

【答案】BD

【分析】根據(jù)圓心C到直線/得距離d>r,可知直線/與圓C相離；

?"、M均為動(dòng)點(diǎn),對(duì)|PM|先固定點(diǎn)P可得1PM可尸C|-r,再看附|不難發(fā)現(xiàn)|PC|2d,

^\PM\>\PC\-r>d-r.

【詳解】圓C：（*+仔+/=2得圓心C（TO）泮徑一夜

..?圓心C（T,。）至?。葜本€I-x-y+4=0得距離d=%+（_］）；=~^>r

,直線/與圓C相離

A不正確，B正確；

\PM\>\PC\-r>d-r=^-

C不正確，D正確；

故選：BD.

7.（2022?海南?？谀M預(yù)測(cè)）已知a>0,圓C：（尤-a）2+（y-lna）2=l,則（）

A.存在3個(gè)不同的。，使得圓C與x軸或y軸相切

B.存在2個(gè)不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等

c.存在2個(gè)不同的a，使得圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)

X

D.存在唯一的a，使得圓C的面積被直線y=-平分

e

【答案】ACD

【分析】本題考查圓的方程與性質(zhì)以及函數(shù)圖象.

當(dāng)圓心縱（橫）坐標(biāo)的絕對(duì)值等于半徑時(shí)，圓與x。）軸相切，可判定A;當(dāng)圓心到x軸或y軸

距離相等時(shí)，在軸上截得的線段相等，可判定B;對(duì)于C,只要圓心到原點(diǎn)距離等于半徑即

可；當(dāng)直線過圓心時(shí)，平分圓的面積，可判定D.

【詳解】由條件可知，圓C的半徑為1,圓心坐標(biāo)為（。，Ina）,即圓心在曲線y=Inx上運(yùn)

動(dòng).

對(duì)于A,當(dāng)a=l時(shí)，圓C與y軸相切，當(dāng)lna=±l,即a=e或1時(shí)，圓C與x軸相切，所

e

以滿足要求的。有3個(gè)，A正確；

對(duì)于B,若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心

在y=±x上，又圓心在y=liu-上，作圖可知曲線y=liu-與y=x沒有公共點(diǎn)，與y=-x有一個(gè)

交點(diǎn)，所以滿足要求的。僅有一個(gè)，B錯(cuò)誤；

對(duì)于c,若圓C過坐標(biāo)原點(diǎn)，則〃+（Ina）2=1,如下圖可知，曲線y=liu,與x?+y?=1有兩

個(gè)交點(diǎn)，所以滿足要求的。有2個(gè)，C正確；

對(duì)于D,若圓C的面積被直線y=二平分，則直線y=-經(jīng)過圓心(。，Ina),計(jì)算可知曲線

ee

x

y=Iru在x=e處的切線恰好為y=-,即滿足要求的a僅有一個(gè)，故D正確.

e

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】已知圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2,有如下結(jié)論：

⑴當(dāng)時(shí)=r或同=r時(shí)，圓C與y軸或x軸相切;

⑵當(dāng)1aH同時(shí)，圓心到兩軸距離相等，若與兩軸相交，則截得的線段相等；

⑶若圓C過原點(diǎn)，貝4。2+/=產(chǎn)；

⑷若直線過圓心，則平分圓的面積.

8.(2022.重慶.二模)已知點(diǎn)。(。,0),4(4,4),過直線04上一點(diǎn)B作圓C:(彳-4+/=4的

切線，切點(diǎn)分別為P，。，則()

A.以線段PQ為直徑的圓必過圓心C

B.以線段尸。為直徑的圓的面積的最小值為2萬

C.四邊形BPCQ的面積的最小值為4

D.直線PQ在蒼y軸上的截距的絕對(duì)值之和的最小值為4

【答案】BC

【分析】利用直線與圓之間的關(guān)系，列出點(diǎn)到直線距離公式，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可

【詳解】由題知，可設(shè)點(diǎn)網(wǎng)知M)，則以BC為直徑的圓方程為(xf)(x-4)+(yr0)y=。,

兩圓做差可得直線PQ：(%-4)(x-4)+/y=4,易得直線PQ過定點(diǎn)/(3,1)，故圓心C到直

線P。的距離不是定值，PC，。。不恒成立，故A選項(xiàng)不正確；

因?yàn)橹本€P。過定點(diǎn)“(3」),故當(dāng)時(shí)|PQ|最小，|加|扁=2"工=20,故最小

半徑為0,所以線段尸。為直徑的圓的最小面積為27，13選項(xiàng)正確；

四邊形破CQ的面積s=忸斗|PC|=2忸P卜27lBC|2-4,

I2cllm小20,故心”=2^/^4=4,C選項(xiàng)正確；

當(dāng)升=3時(shí)，直線尸Q：r+3y=0過原點(diǎn)。，兩截距均為0,故D選項(xiàng)不正確.

故選：BC

三、填空題

9.（2021浙江省高三高考數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)卷（二））已知直線/：〃a-y=1,若直線I與直線

X-陽-1=0平行，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為動(dòng)直線/被圓C:Y+y2+2x-24=0截得弦

長(zhǎng)的最小值為.

【答案】①.-1②.2后

【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解加；首先判斷直線/

過定點(diǎn)（0,-1）,利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過點(diǎn)P（O,-1）且與尸C垂直的弦的弦長(zhǎng)

最短.

【詳解】由題意得根X（T〃）-（_1）X1=。，所以加=±1

當(dāng)m=1時(shí)，兩直線重合，舍去，故加=-1.

因?yàn)閳AC的方程X2+/+2X-24=0可化為（x+1）2+丁=25,

即圓心為C（-L0）,半徑為5.

由于直線/:如—y—1=。過定點(diǎn)P（O,—1）,

所以過點(diǎn)P且與PC垂直的弦的弦長(zhǎng)最短，

且最短弦長(zhǎng)為2X52_（亞）2=2后.

故答案為：-1；2723

四,解答題

10.（2022.江西南昌.二模（文））在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知曲線C的參數(shù)方程為

—2cos2oc

'.c（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，龍軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直

y-sin2a

線/的極坐標(biāo)方程為。COS,+力+a=0.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程及直線I的直角坐標(biāo)方程；

-TT

⑵若直線/與曲線c相交于A,8兩點(diǎn)，且4408=4,求a

【答案】⑴夕=2cos。,x-y+甚=0⑵”=一0

【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將曲線C的參數(shù)方程化為普通

x2+y2=p2

方程，再根據(jù)X=pcos?；癁闃O坐標(biāo)方程，根據(jù)公式將直線/的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)

y=夕sin。

方程；

（2）根據(jù)圓心角的性質(zhì)得到=g,即可得到圓心到直線的距離為坐,利用點(diǎn)到直

線的距離公式得到方程，解得。,再檢驗(yàn)即可；

X—2cos2。

一「（。為參數(shù)）

{y=sin2。

所以「一l=,所以曲線C的普通方程為（了一1）2+丁=1,即f+/_2x=0,

[y=sm2a

Cx7+y2=p2

又<X=/7COS。，所以夕2—27COS。=0,

y=psind

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為夕=2cos"

因?yàn)橹本€/的極坐標(biāo)方程為085卜+?"=0,

所以夕cos。一夕sin6+0a=0,

即直線I的直角坐標(biāo)方程為x-y+缶=0.

7T

⑵解：設(shè)曲線c的圓心為C（L0）,半徑r=1,因?yàn)辄c(diǎn)。在圓上，且/AO3=I,

所以ZAC3=g,則點(diǎn)C（l,0）到直線/的距離為嚴(yán),

所以4=^^=克,貝1]a=0或a=,

412

當(dāng)a=0時(shí)，直線/過原點(diǎn)。，不符合題意；

所以a=-血.

廷可龕圓與圓的位置關(guān)系

1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知圓。?:

x2+/-ta=0（?<0）截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是2夜，則圓。|與圓。2：

（x—2）?+y2=4的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】C

【分析】由題可知圓。1的圓心為a（@,0），半徑為6=-5，點(diǎn)a到直線x+y=。的距

22

離為d=-孚，因?yàn)橄议L(zhǎng)為2夜，則由弦長(zhǎng)公式可求得a=-4，即可得圓心&（-2,0）,

半徑6=2.又因?yàn)閳A。2的圓心&（2,0），半徑馬=2,則兩圓的圓心距為

盤到=4=4+々，故兩圓外切.

【詳解】由題可知圓。1的圓心為a（，o），半徑為1-，

則。1到直線x+y=o距離

bl_&(6

“=&=-『(0)

一色2日

則弦長(zhǎng)=2{r_22=2

解得a=Y,則&(-2,0),彳=2,

又因?yàn)镼(2,0),4=2,

所以圓心距|qQ|=4=q+G，兩圓外切

故選：c.

2.（2021江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)高三第一次階段考試）已知AM