2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：直線和圓的方程新高考專用(解析版)

考點19直線和圓的方程(核心考點講與練)

點

一、直線與方程

1.直線的傾斜角

⑴定義：X軸畫與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定與X軸平行或

重合的直線的傾斜角為霎度角.

(2)規(guī)定：當直線/與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為°；

(3)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍是［0,“).

2.直線的斜率

(1)定義：直線y="x+6中的系數(shù)“叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線斜率不存在.

y'2-y\

(2)計算公式：若由AU,刃,以至,㈤確定的直線不垂直于x軸，則"==鯉三垃.

JI

若直線的傾斜角為0(fW萬)，則若tan9.

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率kx+b

與X軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率y一再二就

與兩坐標軸均不垂直的直

p--x-.

兩點式過兩點

y^-yi-A2_-線

不過原點且與兩坐標軸均

截距式縱、橫截距4+三

a.-b----

不垂直的直線

Ax+By+C-0

一般式所有直線

X（一+-W0）

二、兩條直線的位置關(guān)系

1.兩條直線平行與垂直的判定

⑴兩條直線平行

對于兩條不重合的直線h,12,其斜率分別為左，左，則有k=k\;?特別地，當直線

21,心的斜率都不存在時,，與4平行.

(2)兩條直線垂直

如果兩條直線Z"2斜率都存在，設(shè)為A,左，則Idlvk3-1,當一條直線斜率為零,

另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.

2.兩直線相交

A\x+B\y+G=0,

直線7i4x+B1y+G=0和44x+&y+G=0的公共點的坐標與方程組＜

Ax+G=0

的解一一對應(yīng).

相交Q方程組有唯二解，交點坐標就是方程組的解；

平行Q方程組無解；

重合Q方程組有無數(shù)個解.

3.距離公式

(1)兩點間的距離公式

平面上任意兩點A(X1,%),2(X2,㈤間的距離公式為|戶1知=、/(X2-泡)2+(理-再)：

特別地，原點0(0,0)與任一點P(x,。的距離，

(2)點到直線的距離公式

_14照+Byo+

平面上任意一點&(照，jb)到直線1：Ax+By+C=0的距離d-----/—.

y/7+￡

⑶兩條平行線間的距離公式

_、_|G-C|

一般地，兩條平行直線hAx+By+G=0,hAx+By+G=0間的距禺d-,~

、/1+4

三、圓的方程

1.圓的定義和圓的方程

定義在平面內(nèi)，到定點的距離等于轉(zhuǎn)的點的集合叫做圓

圓心以a,6)

標準(x-a)2+(y-6)2=r(r>0)

半徑為r

充要條件：萬+3-4戶>0

方程

x+y+Dx+Ey+F=0

一般圓心坐標：-

(4+彥-4F>0)

半徑r-同療+?-4尸

2.點與圓的位置關(guān)系

平面上的一點〃(劉，㈤與圓C：(x-a)2+(廣6)、步之間存在著下列關(guān)系：

(1)MC\>〃在圓外,即(xo-a)2+(%-6)—>7"=〃在圓外；

(2)|MC\=在圓上，即(荀-a)②+(%-6)2=產(chǎn)=〃在圓上；

⑶|MC\<r=〃在圓內(nèi)，即(司-a)2+(%-6)2</=〃在圓內(nèi).

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系

設(shè)圓C：(x-a)2+(y-6)2=/,直線/：而+破+c=0,圓心以a,6)到直線1的距離為d,

(x-a)'+(y-b)1-r,

由<

Ax+By+C=0

消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為/.

方法位置

幾何法代數(shù)法

關(guān)系

相交d<r/>0

相切d-rA=Q

相離d>rzl<0

2.圓與圓的位置關(guān)系

設(shè)兩個圓的半徑分別為R,r,R>r,圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：

位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

R-r<

幾何特征d>R+rd-R+rd-R-rd<R-r

d<R+r

代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解

公切線條數(shù)43210

⑴求出斜率k=tana的取值范圍.

⑵利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角。的取值范圍.求傾斜角時要注意斜率

是否存在.

2.已知兩直線的一般方程

兩直線方程hAix+Biy+Ci-O,h：Azx+B2y+C2=0中系數(shù)Ai,Bi,Ci,A2,82,C?與

垂直、平行的關(guān)系：

+3182=0=/i_1_，2；

A1B2-A2B1=0且A1C2-A2c厚Oo/i//h.

3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法：

(1)幾何法：利用d與廠的關(guān)系.

⑵代數(shù)法：聯(lián)立方程隨后利用△判斷.

(3)點與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.

4.求圓的弦長的常用方法

⑴幾何法：設(shè)圓的半徑為r,弦心距為d,弦長為I,則4)2=戶一屋.

⑵代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：

設(shè)直線與圓的交點為A(xi,yi),B(M,y》,

貝!I|A5|=Jl+1由-=yj（1+」）］（XI+M）4x同.

50）判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般

不采用代數(shù)法.

⑵當兩圓相交時求其公共弦所在直線方程或是公共弦長，只要把兩圓方程相減消掉二次項

所得方程就是公共弦所在的直線方程，再根據(jù)其中一個圓和這條直線就可以求出公共弦長.

6.在解決直線與圓的位置關(guān)系時要充分考慮平面幾何知識的運用，如在直線與圓相交的有關(guān)

線段長度計算中，要把圓的半徑、圓心到直線的距離、直線被圓截得的線段長度放在一起綜

合考慮，不要單純依靠代數(shù)計算，這樣既簡單又不容易出錯.

I---------------------------------------------------------------

式向右直線的傾斜角與斜率

一、單選題

1.（2022?山東淄博.模擬預(yù)測）若圓C：Y+y2一2x+4y+I=0的弦的中點為4（2,-3）,

則直線MV的方程是（）

A.2x-y-7=0B.x-y-5=0C.x+y+l=0D.x-2y—8=0

【答案】B

【分析】由題可知。1，肱V,則可求得肱V斜率，進而求得直線方程.

【詳解】由圓方程可知圓心C0,-2）,貝必孰=T,由題可知C4_L^V,所以L=1,又MN

過點A（2,-3）,根據(jù)點斜式公式可知直線MN的方程是x-y-5=0.

故選：B.

2.（2021天津市第七中學(xué)月考）已知直線I的方程為x+j3y+4=Q,則直線/的傾斜角為

（）

A.30°B.60°C,120°D.150°

【答案】D

【分析】由直線方程可得斜率左=-3，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.

3

【詳解】由題設(shè)，直線/斜率左=-無，若直線/的傾斜角為&，貝！Jtana=-3,

33

ae[0,7r),

?*.a——.

6

故選：D

3.(2022.天津南開一模)已知函數(shù)〃尤)=；J['g(x)=kx+A.若函數(shù)

[2%-6x+3,x>0,

Mx)=〃x)-g(x)的圖象經(jīng)過四個象限,則實數(shù)4的取值范圍是()

A.B.(-10,-2)C.(—2,+oo)

D.(-oo,-10)uQ,+oo^

【答案】A

【分析】作出函數(shù)了⑺的圖象，作出直線>=履+1,由圖象知只要直線》=丘+1與y=/(x)

的圖象在y軸左右兩側(cè)各有兩個交點，則〃(幻=〃乃-8(幻的圖象就經(jīng)過四個象限(x<o時，

〃(X)的函數(shù)值有正有負，彳>0時，"(X)的函數(shù)值有正有負)，因此求得直線的斜率，再

求得直線與y=21-6X+3相切的切線斜率(注意取舍)即可得結(jié)論.

【詳解】作出函數(shù)所)的圖象，如圖,

作出直線y=履+1,它過定點P(o，D,由圖可得，只要直線y=履+1與y=/(%)的圖象在>軸

左右兩側(cè)各有兩個交點，則〃3=/(元)-g(x)的圖象就經(jīng)過四個象限(x<0時，心)的函

數(shù)值有正有負，x>0時，力(X)的函數(shù)值有正有負)，

1-01

x<0時，f(x)=|x+3|與x軸的公共點為M(T0),kPM=--^-,

U—3)3

%>0時，/(%)=2M-6%+3,

fy=kx+1c

由1；=2/—6%+3得2%(6+切+2=0,

△=(6+左)2-16=0,解得左=—2或左=—10,由圖象知，切線尸N的斜率為—2,

所以-2<左<：時滿足題意.

故選：A.

4.（2022.山東濰坊.二模）已知直線4：x-3y=0,l2:x+ay-2=。，若4U,則。=（）

A.±B.--C.3D.-3

33

【答案】A

【分析】兩直線斜率均存在時，兩直線垂直，斜率相乘等于-1,據(jù)此即可列式求出。的值.

【詳解】=:.

3a3

故選：A.

22

5.（2022?北京豐臺?二模）已知雙曲線C:~~^=1（a>0,b>0）的左、右頂點分別為

ab

A,4,左、右焦點分別為可，工.以線段44為直徑的圓與雙曲線c的一條漸近線交于

點M,且點用在第一象限,與另一條漸近線平行.若由M|=J區(qū),則的面積

是（）

A3指B7百c3百口7g

?F,F?~T~?—

【答案】C

【分析】求得以線段A4為直徑的圓的方程為Y+V=/，與漸近線y=7聯(lián)立求出點M

a

的坐標，根據(jù)與另一條漸近線平行可求出。力，。的關(guān)系，然后根據(jù)閨加|=萬，即可求

出a,b,c的值，從而可得出答案.

【詳解】解：由題意4（一。，。），43。）,E（-c,O），l（c,O）,

則以線段A4為直徑的圓的方程為V+y="2

a1

x2+y2=a2x=——x=-----

c

聯(lián)立b,解得c或＜

y=-xatab

ay=-y=—

lCc

又因點M在第一象限，所以〃

h

因為與直線y=—-x平行,

a

ab

bbb

所以滔J即

aa-ca

-----a

所以c=2a,貝肥2=02-/=34,

所以標=3,

貝[]/=12,〃=9,

所以“當|[,4（"o），B（26o）,

所以sMAF。-也=.

故選：C.

6.（2022.湖南衡陽.二模）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲

線反射后，反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點

的切線，平分該點與兩焦點連線的夾角.請解決下面問題：已知月、巴分別是雙曲線

2

c：尤2_5=1的左、右焦點，點P為C在第一象限上的點，點/在耳P延長線上，點Q的坐

標為，且PQ為/月尸區(qū)的平分線，則下列正確的是（）

A.四一2

B.\PFl+PF2\=2^

C.點P到x軸的距離為6

D.NF2PM的角平分線所在直線的傾斜角為150

【答案】AD

2

【分析】證明出雙曲線U尤2一千=1在其上一點幾）的切線的方程為%X-寫=1,將

點。的坐標代入切線方程，求出點尸的坐標，可判斷ABC選項的正誤，?計算出PQ的斜率，

可計算出NF2PM的角平分線所在直線的斜率，可判斷D選項的正誤.

2

【詳解】先證明結(jié)論雙曲線C：f-5=1在其上一點戶（X。，兒）的切線的方程為

9-罟=1

,AQA—±

由已知宕-萼=1,聯(lián)立2可得犬-2尤。尤+*=0,即（尤_/）2=0,解得戶％,

2x2-^=l

[2

2

所以，雙曲線C:尤2-5=1在其上一點尸（五,九）的切線的方程為工/-與=1.

本題中，設(shè)點P（x。，幾）,則直線P。的方程為龍川-券=1,

將點代入切線方程可得與=石，所以尸（6,2），即點尸到X軸的距離為2,C錯;

在雙曲線C中，a=l,b=^2,則c==6,則川-60）、耳母，。）,

所以，閥仁他^石=4,|P閭=府+22=2,所以,高=2,A對；

居=（-2^,-2）,電=（0,-2）,所以,兩+心=12后T）,

則|尸耳+PF2\=h百j+（_4丫=277，:B錯；

因為ZF2PM的角平分線交X軸于點N,則ZQPF2+ZNPF2=/大尸片+ZF2PM）=90,

kpc=----尸=y/31x/3

所以，PNC。，PQA6，則-廠=-+，

73-T3

故/鳥PM的角平分線所在直線的傾斜角為150,D對.

故選：AD.

三、填空題

7.（2021年1月新高考八省聯(lián)考卷）若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形

的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為.

【答案】g和—3.

【分析】根據(jù)題意，設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為。,得到左=tan]，得出對角線所

在直線的斜率為tan(&+￡)，結(jié)合兩角和的正切公式，求得tana=2，再結(jié)合兩直線的位

43

置關(guān)系，即可求解.

【詳解】設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為。,其斜率k=tani,

則其中一條對角線所在直線的傾斜角為a+f,其斜率為tan(a+￡),

44

冗

tanor+tan—tana+]1

根據(jù)題意值tan(a+f)=2,可得-----------an^=?,解得tana=z,

41-tanata/3

4

即正方形其中一邊所在直線的斜率為:，

又由相鄰邊與這邊垂直，可得相鄰一邊所在直線的斜率為-3.

故答案為：(和-3.

8.(2022廣東潮州二模)設(shè)函數(shù)〃司=云亮,點在圖象上，

點4為坐標原點，設(shè)向量，=(1，。)，若向量?！?4)4+44++A-A，且。,是明與，的夾

角，貝han的最大值是______.

【答案】2

16

【分析】先利用平面向量的線性運算化簡7,再利用直線的斜率公式求出tan0”的表達式，

再利用基本不等式求其最值.

【詳解】

由向量的線性運算，得

%=44+44++A-iA=AA，

因為點4［,2］在函數(shù)〃工）=耳的圖象上,

4為坐標原點，向量，=（1，0）,?！笆?與i的夾角，

2L2L-0

所以，皿…4"+64_2〃

n-04"+64

二Iw1」

2“+的一2扃16

（當且僅當2"=5r，即”=3時取等號）,

即tan?！钡淖畲笾凳牵?

16

故答案為：

10

四、解答題

22

9.（2022.北京豐臺.二模）已知橢圓C：齊=l（a>6>0）經(jīng)過點尸（2,1）,P到橢圓C的

兩個焦點的距離和為4拒.

⑴求橢圓C的方程；

⑵設(shè)。（4,0）,R為尸。的中點，作尸。的平行線/與橢圓C交于不同的兩點A,3,直線4。

與橢圓C交于另一點M,直線BQ與橢圓C交于另一點N,求證：M,N,R三點共線.

22

【答案】⑴￡+9=1⑵證明見解析

o2

【分析】（1）根據(jù)橢圓定義，可求得。值，將尸點坐標代入，即可求得〃，即可得答案.

（2）由題意可得R點坐標和直線PQ的斜率，即可設(shè)直線I的方程為y=—^x+m,

1

4為%）向%2，%），河（%分），陽天,以），可得直線4。的方程為廣—1（工-4），與橢圓聯(lián)

立，即可求得以，/表達式，同理可得以，當表達式，即可求導(dǎo)直線MN的斜率，再求得直

線的斜率，分析即可得證.

（1）

根據(jù)橢圓的定義可得24=4&,解得a=20,

又過點尸（/2,1）\,所以24+京1=1，解得八2,

22

所以橢圓C的方程為￡+3=1.

o2

（2）因為尸（2,1）,。（4,0）,

所以中］1-01

k

2-42

設(shè)直線/的方程為產(chǎn)一根，4（王，弘）,3（工2，%），"（乙,先）,陽尤”“），

k為

所以%頗二，八8Q

七一4%—4'

%%(I),

所以直線4。的方程為＞=（X-4）,直線8。的方程為y=

再一4工2-4

（I）

y二2

%一4"國-4+412+8(%-4)y+8=0,

聯(lián)立直線A。與橢圓,消去x可得

2,,2

%J1必弘

-----1------=1

I82

8(演—4)

2L_22

￡+3=1

所以％+%=_、2,又代入,

玉一4o2

+4

%

8(占一4)?X8—3%!

整理可得心=一切=，代入直線AQ,可得4二

24-8再3—玉3—玉

%8—3X2

同理可得以=

-

3x23—x2

所以

2221一g%+機

xJ-1x2+mj-x2

3-x?3—玉3(%-%)+占％-尤2%3,3

=----------------------------------=----1-——m

x2一玉22

3—%3-再

.V1_1

~~X1+小

23—玉237

又=--m=kMN

3—%]

所以N,R三點共線

考向二＞兩直線的位置關(guān)系

1.（2021黑龍江省實驗中高三檢測）已知直線4:x+my+7=0和

［：⑴-2）x+3y+2m=0互相平行，則實數(shù)冽=（）

A.-3B.-1C.一1或3D.1或一3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意,結(jié)合兩直線的平行，得到1x3—砒n-2）=。且2m—7x3w0,即可

求解.

【詳解】由題意，直線4：尤+切+7=0和4：（根一2）x+3y+2m=0互相平行，

可得1x3—（m—2）=0且2〃?一7x3/0,

21

即〃，一2〃2—3=0且"ZW萬,解得〃2=—1或m=3.

故選：C.

4355直線與圓的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2022河南河南?三模（理））已知M小為圓。：/+產(chǎn)一2-4'=。上兩點，且四明=4,

Iuuiruuai|

點P在直線/:尤一產(chǎn)3=0上,則+叫的最小值為（）

A.272-2B.2A/2

C.2V2+2D.2V2-V5

【答案】A

【分析】先求得線段中點。的軌跡，結(jié)合向量的模、圓與直線的位置關(guān)系等知識求得

?UUUFUUlDi

pM+叫的最小值.

【詳解】設(shè)線段MN的中點為。,

圓C:/+V-2x-4y=0的圓心為C（l,2）,半徑為右.

C到直線的距離為J（右=1,

所以|CD|=1,故。點的軌跡是以C為圓心，半徑為1的圓，設(shè)。點的軌跡為圓。，

圓D上的點到直線/的最短距離為t=心薩-1=72-1.

IUUITuuiu?uumIIuum?

所以PM+PNH2PD\=2\PD\>2t=2^J2-2.

故選：A

2.（2022?全國.模擬預(yù)測（理））已知圓C：X2+/-2X-3=0,若直線/：依-y+1-a=0

與圓C相交于A,8兩點，則|明的最小值為（）

LL5

A.2A/2B.2A/3C.3D.-

【答案】B

【分析】求出直線所過定點，當直線與定點和圓心連線垂直時，弦長最小，由此可得結(jié)論.

【詳解】易知直線"一丫+1-。=0,過定點尸（1,1）,

圓的標準方程是（x-l）2+y2=4,圓心為C（l,0）,半徑為r=2,

而H=l<2,所以1ABimm=2而=2也7=2也.

故選：B.

3.（2021內(nèi)蒙古赤峰二中高三第一次月考）圓尤之+/=1與直線y=依-3有公共點的充

要條件是（）

A.k<-2y/2^k>2-j2B.k<-2A/2

C.k>2D.k4-2叵或k>2

【答案】A

【分析】先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求得％得取值范圍，即可得答案.

【詳解】若直線與圓有公共點，

|-3|,_____

則圓心（0,0）到直線近一丁一3=。的距離4=而不<1,即“2+]?3,

二左2+129,即左2?8,

???左〈—2夜或左22行，

.?.圓好+/=1與直線y=丘—3有公共點的充要條件是卜<-2V2或左》2行.

故選：A

4.(2022廣西南寧市高三摸底測試)已知直線y=x+〃?與圓(x-2)2+(y-3)2=2相切，則

m的值為()

A.3或一1B.1或—3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點到直線的距離公式列式計算即得.

【詳解】圓(x-2)2+(y-3)2=2的圓心為(2,3)，半徑為后，因直線丁=工+機與圓

。一2)2+(、-3)2=2相切，

|2-3+m|

則點(2,3)到直線x-y+m^O的距離為d=V2,整理得|m-11=2,解得

切=3或切=一1,

所以，〃的值為3或-1.

故選：A

5.(2022年(新高考)數(shù)學(xué)高頻考點)圓/+>2+必_⑵+1=0關(guān)于直線ax-by+6=0(a>0,

26

6>0)對稱，則一+7的最小值是()

a0

「203216

A.25/2B.—C.—D.—

~333

【答案】C

【分析】將圓的方程化為標準方程，求出圓心坐標，由題意可得圓心在直線辦-勿+6=。

上,從而可得a+3b=3,所以2+y=|(a+3Z?)(-+7)，化簡后利用基本不等可求得答

c1bsab

案

【詳解】由圓尤2+儼+以-12y+l=0知，其標準方程為(x+2)2+。-6尸=39,

*.*圓N+,2+公-12y+1=0關(guān)于直線ax-by+6=0(a>0,。>0)對稱，

,該直線經(jīng)過圓心(-2,6),即-2〃-6。+6=0,

a+3b=3(〃>0,Z?>0),

262.13.2八3。3b八、

?,?—+7=7(^+3Z?)(—+—)=—(1+—+一+9)

ab5ab3ba

>-(10+2fc--)=?，當且僅當至=",即a=b時取等號,

3\ba3ab

故選：C.

二、多選題

6.（2022?遼寧鞍山?二模）已知M為圓C：（x+丁+/=2上的動點，尸為直線/：x-y+4=0

上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/與圓C相切B.直線/與圓C相離

C.IPM的最大值為逑D.IPM的最小值為比

22

【答案】BD

【分析】根據(jù)圓心C到直線/得距離d>r,可知直線/與圓C相離；

?"、M均為動點,對|PM|先固定點P可得1PM可尸C|-r,再看附|不難發(fā)現(xiàn)|PC|2d,

^\PM\>\PC\-r>d-r.

【詳解】圓C：（*+仔+/=2得圓心C（TO）泮徑一夜

..?圓心C（T,。）至?。葜本€I-x-y+4=0得距離d=%+（_］）；=~^>r

,直線/與圓C相離

A不正確，B正確；

\PM\>\PC\-r>d-r=^-

C不正確，D正確；

故選：BD.

7.（2022?海南?？谀M預(yù)測）已知a>0,圓C：（尤-a）2+（y-lna）2=l,則（）

A.存在3個不同的。，使得圓C與x軸或y軸相切

B.存在2個不同的a，使得圓C在x軸和y軸上截得的線段相等

c.存在2個不同的a，使得圓C過坐標原點

X

D.存在唯一的a，使得圓C的面積被直線y=-平分

e

【答案】ACD

【分析】本題考查圓的方程與性質(zhì)以及函數(shù)圖象.

當圓心縱（橫）坐標的絕對值等于半徑時，圓與x。）軸相切，可判定A;當圓心到x軸或y軸

距離相等時，在軸上截得的線段相等，可判定B;對于C,只要圓心到原點距離等于半徑即

可；當直線過圓心時，平分圓的面積，可判定D.

【詳解】由條件可知，圓C的半徑為1,圓心坐標為（。，Ina）,即圓心在曲線y=Inx上運

動.

對于A,當a=l時，圓C與y軸相切，當lna=±l,即a=e或1時，圓C與x軸相切，所

e

以滿足要求的。有3個，A正確；

對于B,若圓C在x軸和y軸上截得的線段相等，則圓心到x軸和y軸的距離相等，故圓心

在y=±x上，又圓心在y=liu-上，作圖可知曲線y=liu-與y=x沒有公共點，與y=-x有一個

交點，所以滿足要求的。僅有一個，B錯誤；

對于c,若圓C過坐標原點，則〃+（Ina）2=1,如下圖可知，曲線y=liu,與x?+y?=1有兩

個交點，所以滿足要求的。有2個，C正確；

對于D,若圓C的面積被直線y=二平分，則直線y=-經(jīng)過圓心(。，Ina),計算可知曲線

ee

x

y=Iru在x=e處的切線恰好為y=-,即滿足要求的a僅有一個，故D正確.

e

故選：ACD.

【點睛】已知圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2,有如下結(jié)論：

⑴當時=r或同=r時，圓C與y軸或x軸相切;

⑵當1aH同時，圓心到兩軸距離相等，若與兩軸相交，則截得的線段相等；

⑶若圓C過原點，貝4。2+/=產(chǎn)；

⑷若直線過圓心，則平分圓的面積.

8.(2022.重慶.二模)已知點。(。,0),4(4,4),過直線04上一點B作圓C:(彳-4+/=4的

切線，切點分別為P，。，則()

A.以線段PQ為直徑的圓必過圓心C

B.以線段尸。為直徑的圓的面積的最小值為2萬

C.四邊形BPCQ的面積的最小值為4

D.直線PQ在蒼y軸上的截距的絕對值之和的最小值為4

【答案】BC

【分析】利用直線與圓之間的關(guān)系，列出點到直線距離公式，逐個選項進行判斷即可

【詳解】由題知，可設(shè)點網(wǎng)知M)，則以BC為直徑的圓方程為(xf)(x-4)+(yr0)y=。,

兩圓做差可得直線PQ：(%-4)(x-4)+/y=4,易得直線PQ過定點/(3,1)，故圓心C到直

線P。的距離不是定值，PC，。。不恒成立，故A選項不正確；

因為直線P。過定點“(3」),故當時|PQ|最小，|加|扁=2"工=20,故最小

半徑為0,所以線段尸。為直徑的圓的最小面積為27，13選項正確；

四邊形破CQ的面積s=忸斗|PC|=2忸P卜27lBC|2-4,

I2cllm小20,故心”=2^/^4=4,C選項正確；

當升=3時，直線尸Q：r+3y=0過原點。，兩截距均為0,故D選項不正確.

故選：BC

三、填空題

9.（2021浙江省高三高考數(shù)學(xué)預(yù)測卷（二））已知直線/：〃a-y=1,若直線I與直線

X-陽-1=0平行，則實數(shù)機的值為動直線/被圓C:Y+y2+2x-24=0截得弦

長的最小值為.

【答案】①.-1②.2后

【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解加；首先判斷直線/

過定點（0,-1）,利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當過點P（O,-1）且與尸C垂直的弦的弦長

最短.

【詳解】由題意得根X（T〃）-（_1）X1=。，所以加=±1

當m=1時，兩直線重合，舍去，故加=-1.

因為圓C的方程X2+/+2X-24=0可化為（x+1）2+丁=25,

即圓心為C（-L0）,半徑為5.

由于直線/:如—y—1=。過定點P（O,—1）,

所以過點P且與PC垂直的弦的弦長最短，

且最短弦長為2X52_（亞）2=2后.

故答案為：-1；2723

四,解答題

10.（2022.江西南昌.二模（文））在平面直角坐標系尤Oy中，已知曲線C的參數(shù)方程為

—2cos2oc

'.c（a為參數(shù)），以坐標原點。為極點，龍軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直

y-sin2a

線/的極坐標方程為。COS,+力+a=0.

（1）求曲線C的極坐標方程及直線I的直角坐標方程；

-TT

⑵若直線/與曲線c相交于A,8兩點，且4408=4,求a

【答案】⑴夕=2cos。,x-y+甚=0⑵”=一0

【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將曲線C的參數(shù)方程化為普通

x2+y2=p2

方程，再根據(jù)X=pcos?；癁闃O坐標方程，根據(jù)公式將直線/的極坐標方程化為直角坐標

y=夕sin。

方程；

（2）根據(jù)圓心角的性質(zhì)得到=g,即可得到圓心到直線的距離為坐,利用點到直

線的距離公式得到方程，解得。,再檢驗即可；

X—2cos2。

一「（。為參數(shù)）

{y=sin2。

所以「一l=,所以曲線C的普通方程為（了一1）2+丁=1,即f+/_2x=0,

[y=sm2a

Cx7+y2=p2

又<X=/7COS。，所以夕2—27COS。=0,

y=psind

所以曲線C的極坐標方程為夕=2cos"

因為直線/的極坐標方程為085卜+?"=0,

所以夕cos。一夕sin6+0a=0,

即直線I的直角坐標方程為x-y+缶=0.

7T

⑵解：設(shè)曲線c的圓心為C（L0）,半徑r=1,因為點。在圓上，且/AO3=I,

所以ZAC3=g,則點C（l,0）到直線/的距離為嚴,

所以4=^^=克,貝1]a=0或a=,

412

當a=0時，直線/過原點。，不符合題意；

所以a=-血.

廷可龕圓與圓的位置關(guān)系

1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測）已知圓。?:

x2+/-ta=0（?<0）截直線x+y=0所得線段的長度是2夜，則圓。|與圓。2：

（x—2）?+y2=4的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離

【答案】C

【分析】由題可知圓。1的圓心為a（@,0），半徑為6=-5，點a到直線x+y=。的距

22

離為d=-孚，因為弦長為2夜，則由弦長公式可求得a=-4，即可得圓心&（-2,0）,

半徑6=2.又因為圓。2的圓心&（2,0），半徑馬=2,則兩圓的圓心距為

盤到=4=4+々，故兩圓外切.

【詳解】由題可知圓。1的圓心為a（，o），半徑為1-，

則。1到直線x+y=o距離

bl_&(6

“=&=-『(0)

一色2日

則弦長=2{r_22=2

解得a=Y,則&(-2,0),彳=2,

又因為Q(2,0),4=2,

所以圓心距|qQ|=4=q+G，兩圓外切

故選：c.

2.（2021江蘇省鹽城市伍佑中學(xué)高三第一次階段考試）已知AM