北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊1.2一定是直角三角形嗎？同步練習(xí)（附答案解析）

北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊1.2一定是直角三角形嗎？同步練習(xí)班級(jí)：姓名：一、選擇題1．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A＝∠C－∠B B．a(chǎn)2＝b2－c2C．a(chǎn)：b：c＝2：3：4 D．a(chǎn)＝34，b＝52．下列各組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，73．古埃及人曾經(jīng)用如圖所示的方法畫直角：用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，這樣做的道理是()A．直角三角形兩個(gè)銳角互余B．三角形內(nèi)角和等于180°C．三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊D．如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，以下說法不正確的是（）A．若∠B+∠C=∠A，則△ABC是直角三角形B．若a2=(b+c)(b?c)，則C．若∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是直角三角形D．若a=32，b=42，5．在⊿ABC中，若a=n2?1,b=2n,c=A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形6．有五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25.現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，下面擺放正確的是（）A． B．C． D．7．已知△ABC的三邊長a，b，c滿足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，則△ABC的形狀是（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形8．如圖，正方形ABCD的邊長為15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，連接GH，則線段GH的長為（）833 B．12﹣32 C．145二、填空題9．如圖，在△ABC中，已知∠A為鈍角，邊AB，AC的中垂線分別交BC于點(diǎn)D，E．若BD2+CE2=DE2，則∠A=．10．如圖，在△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，已知AB=15，AD=12，AC=13，CD=5，則BC的長為.11．已知在△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，則AC邊上的中線BD的長為.12．如圖所示的一塊地，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，AB=13，BC=12，求這塊地的面積為.13．如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，連接AB、BC，則∠ABC的度數(shù)為．三、解答題14．如圖，在四邊形ABCD中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=3，E為AB上一點(diǎn)，AE=4，ED=5，求證：AD=CD．15．如圖，在一條筆直的東西方向的公路上有A、B兩地，相距500米，且離公路不遠(yuǎn)處有一塊山地C需要開發(fā)，已知C與A地的距離為300米，與B地的距離為400米，在施工過程中需要實(shí)施爆破，為了安全起見，爆破點(diǎn)C周圍半徑260米范圍內(nèi)不得進(jìn)入．（1）山地C距離公路的垂直距離為多少米？（2）在進(jìn)行爆破時(shí)，A、B兩地之間的公路是否有危險(xiǎn)需要暫時(shí)封鎖？若需要封鎖，請求出需要封鎖的公路長．16．如圖，有一張四邊形紙片ABCD，∠ABC=90°．經(jīng)測得AB=9cm，BC=12cm，CD=8cm，AD=17cm．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離．（2）求這張紙片的面積．17．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，AC=4，BC=3，AD=165（1）求CD，BD的長；（2）試說明△ABC是直角三角形.18．校園內(nèi)有一處池塘，數(shù)學(xué)實(shí)踐小組的同學(xué)想利用所學(xué)知識(shí)測量池塘兩端A，B兩點(diǎn)之間的距離，他們的操作過程如下：①沿AB延長線的方向，在池塘邊的空地上選點(diǎn)C，使BC=6米；②在AC的一側(cè)選點(diǎn)D，恰好使BD=8米，CD=10米；③測得AD=17米.請根據(jù)他們的操作過程，求出A，B兩點(diǎn)間的距離.

1．【答案】C【解析】【解答】解：A、由條件可得∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，可求得∠C=90°，故△ABC為直角三角形；B、由條件可得到a2+c2=b2，滿足勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形；C、不妨設(shè)a=2，b=3，c=4，此時(shí)a2+b2=13，而c2=16，即a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形；D、由條件有a2+c2=(3故答案為：C.【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法：①有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，②較小兩邊的平方和等于最大邊長的平方的三角形是直角三角形，從而即可一一判斷得出答案.2．【答案】C【解析】【解答】解：選項(xiàng)A，22+32=13≠42；選項(xiàng)B，32+42=25≠62；選項(xiàng)C，52+122=169=132；選項(xiàng)D，42+62=52≠72.【分析】由勾股定理的逆定理可得，只有選項(xiàng)C能夠成直角三角形，故答案為：C.3．【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離為m，

則此三角形三邊的長分別為3m、4m、5m，

∵(3m)2+(4m)2=(5m)2，

∴以3m、4m、5m為邊長的三角形是直角三角形.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：∵∠B+∠C=∠A，∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠A=180°,∴∠A=90°,∴△ABC是直角三角形，故A正確；∵a2∴∴∴△ABC是直角三角形，故B正確；∵∠A:∠B:∠C=1:2:3，∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=∴△ABC是直角三角形，故C正確；∵a=32，b=4∴∴∴△ABC不是直角三角形，故D錯(cuò)誤；故答案為：D

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180°及直角三角形的定義，有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形可判斷A、C；利用勾股定理的逆定理：三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，這個(gè)三角形是直角三角形，可判斷B、D，從而得出答案.5．【答案】D【解析】【解答】解：∵（n2-1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形為直角三角形，

故答案為：D.

【分析】由于該三角形三邊滿足較小兩邊的平方和等于最大邊的平方，故該三角形是直角三角形。6．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵152+202≠242，72+202≠252，∴A中的兩個(gè)三角形都不是直角三角形，A不符合題意；

B、∵152+202≠242，72+242=252，∴B中的一個(gè)三角形是直角三角形，一個(gè)不是直角三角形，B不符合題意；

C、∵152+202=252，72+242=252，∴C中的兩個(gè)三角形是直角三角形，C符合題意；

D、∵152+242≠252，72+202≠252，∴D中的兩個(gè)三角形不是直角三角形，D不符合題意.故答案為：C.【分析】利用題中給出的數(shù)據(jù)，計(jì)算并判斷較短兩邊的平方和是否等于最長邊的平方即可求解.7．【答案】A【解析】【解答】解：∵（a-b）（c2-a2-b2）=0，∴a-b=0或c2-a2-b2=0，∴a=b或a2+b2=c2，∴△ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形，故答案為：A．

【分析】根據(jù)（a-b）（c2-a2-b2）=0，得出a=b或a2+b2=c2，求出a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行判斷。8．【答案】D【解析】【解答】解：延長BG交CH于點(diǎn)E，如圖：∵四邊形ABCD為正方形，邊長為15，∴AB=BC=CD=15，∠ABC=∠BCD=90°，∵AG=12，BG=9，AB=15，∴AG2+B∴AG即△ABG為直角三角形，則∠AGB=90°，同理：∠CHD=90°，在△ABG和△CDH中，AB=CD∴△ABG≌△CDH(SSS)，∴∠BAG=∠HCD，∵∠AGB=90°，∠BCD=90°，∴∠BAG+∠ABG=90°，∠HCD+∠BCE=90°，∴∠ABG=∠BCE，又∵∠ABC=90°，∠AGB=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∠ABG+∠CBE=90°，∴∠BAG=∠CBE，在△ABG和△BCE中，∠ABG=∠BCE∴△ABG≌△BCE(ASA)，∴BG=CE=9，AG=BE=12，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE?BG=12?9=3，同理：HE=3，∵∠BEC=90°，∴∠GEH=90°，在Rt△GEH中，GE=3，HE=3，由勾股定理得：GH=G故答案為：D．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理及其逆定理求解。延長BG交CH于點(diǎn)E，先利用勾股定理的逆定理證∠AGB=90°，∠CHD=90°，再證△ABG和△CDH全等得∠BAG=∠HCD，進(jìn)而可得∠ABG=∠BCE，∠BAG=∠CBE，由此可得△ABG和△BCE全等，進(jìn)而得BG=CE=9，AG=BE=12，∠BEC=∠AGB=90°，據(jù)此得GE=BE?BG=12?9=3，HE=3，然后在Rt△GEH中由勾股定理可求出GH的長．9．【答案】13【解析】【解答】解：連接AD和AE，如下圖：∵邊AB，AC的中垂線分別交BC于點(diǎn)D，E

∴BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC

∵BD2+CE2=DE2

∴AD2+AE2=DE2∴三角形ADE是直角三角形，∠DAE=90°

∴∠B+∠DAB+∠C+∠EAC+90°=180°

∴2（∠B+∠C）=90°∴∠B+∠C=45°

∴∠A=180°-45°=135°

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=AD，AE=EC，∠B=∠DAB，∠C=∠EAC；根據(jù)勾股定理的逆定理，可得三角形ADE是直角三角形；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠B+∠C的值，進(jìn)而求出∠A的值.10．【答案】14【解析】【解答】解：∵52+122=132

∴三角形ADC是直角三角形，∠ADC=90°

∴∠ADB=∠ADC=90故答案為：14.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆應(yīng)用，三角形三條邊a、b、c滿足a211．【答案】6.5【解析】【解答】解：∵52+122=132

故答案為：6.5.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆應(yīng)用，三角形三條邊a、b、c滿足a2+b2=12．【答案】24【解析】【解答】解：連接AC，∵在△ACD中，∠ADC=90°，CD=3，AD=4，∴AC=CD2又∵AB=13，BC=12，∴ACA∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°∴S∴S故答案為：24.【分析】連接AC，首先利用勾股定理算出AC的長，再利用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式及S四邊形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求出答案.13．【答案】45°【解析】【解答】解：連接AC，由題意可得：

AB=12+32=10，BC=12+22=5，AC=1214．【答案】證明：∵AD=3，AE=4，ED=5，∴AD∴△ADE是直角三角形，∠A=90°，又∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴AD=CD【解析】【分析】根據(jù)給定的三角形的三邊長分別為3、4、5，是非常熟悉的符合勾股定理的數(shù)，可判定垂直，∠A=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可推導(dǎo)出AD=CD。15．【答案】（1）解：由題意得AB=500m，AC=300m，BC=400m，如圖，過C作CD⊥AB，∵300∴AC∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，∴1∴1解得：CD=240，答：山地C距離公路的垂直距離為240m；（2）解：公路AB有危險(xiǎn)需要暫時(shí)封鎖，理由如下：如圖，以點(diǎn)C為圓心，260m為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E、F，連接CE，CF，則EC=FC=260，∵CD⊥AB，∴DE=DF，由（1）可知，CD=240，∵240<260，∴有危險(xiǎn)需要暫時(shí)封鎖，在Rt△CDE中，DE===100，∴EF=2DE=200，即需要封鎖的公路長為200m．【解析】【分析】本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；（1）過C作CD⊥AB，因?yàn)?002+4002（2）以點(diǎn)C為圓心，260m為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E、F，連接CE，CF，由等腰三角形的性質(zhì)可得：DE=DF，比較CD與CE的大小可判斷是否有危險(xiǎn)需要暫時(shí)封鎖，再利用勾股定理得DE=C16．【答案】（1）解：連結(jié)AC．在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=9cm，BC=12cm，∴AC=A即A、C兩點(diǎn)之間的距離為15cm（2）解：∵CDA∴C∴△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，∴四邊形紙片ABCD的面積====54+60（7分）=114(c【解析】【分析】（1）連結(jié)AC，先根據(jù)勾股定理求出AC，進(jìn)而即可求解；

（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理得到△ACD是直角三角形且∠ACD=90°，進(jìn)而根據(jù)“四邊形紙片ABCD的面積=S17．【答案】（1）解：因?yàn)镃D⊥AB，所以∠ADC=∠BDC=90°.所以△ADC和△BDC都是直角三角形.在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，所以CD=A在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2，所以BD=B所以CD的長為125，BD的長為（2）解：由（1）可得AB=AD+BD=165+9在△ABC中，因?yàn)锳C2+BC2=32+42=25，AB2=52=25，所以AC2+BC2=AB2....分所以△ABC為直