2009-2010一學(xué)期微積分考卷b答案

20092010一學(xué)期微積分考卷B一、選擇題（每題1分，共5分）1.下列函數(shù)中，哪個函數(shù)是奇函數(shù)？A.y=x^2B.y=x^3C.y=|x|D.y=e^x2.定積分∫(from0toπ)sin(x)dx的值為？A.0B.1C.1D.π3.微分方程y''y=0的通解為？A.y=C1e^x+C2e^xB.y=C1sin(x)+C2cos(x)C.y=C1x+C2D.y=C1e^x+C24.函數(shù)f(x)=x^2在x=0處的泰勒展開式為？A.f(x)=x^2B.f(x)=x^2+xC.f(x)=x^2+1D.f(x)=x^2+x+15.下列極限中，哪個是無窮大量？A.lim(x→∞)(1/x)B.lim(x→0)(1/x)C.lim(x→1)(1/(x1))D.lim(x→∞)(e^x)二、判斷題（每題1分，共5分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上一定可積。（）2.微分方程的解一定包含其對應(yīng)的齊次方程的解。（）3.二重積分可以交換積分次序。（）4.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在駐點處必定為0。（）5.若函數(shù)f(x)在點x=a處可導(dǎo)，則f(x)在點x=a處一定連續(xù)。（）三、填空題（每題1分，共5分）1.函數(shù)f(x)=x^33x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為______。2.微分方程y'=2x的通解為______。3.設(shè)平面區(qū)域D由y=x和y=x^2圍成，則二重積分?Ddxdy的值為______。4.函數(shù)f(x)=ln(x)的不定積分是______。5.曲線y=e^x在點(0,1)處的切線方程為______。四、簡答題（每題2分，共10分）1.簡述羅爾定理的內(nèi)容。2.什么是函數(shù)的極值？如何求函數(shù)的極值？3.舉例說明如何使用換元積分法求解定積分。4.什么是泰勒公式？簡述泰勒公式的應(yīng)用。5.簡述定積分與不定積分的關(guān)系。五、應(yīng)用題（每題2分，共10分）1.求函數(shù)f(x)=x^36x^2+9x在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。2.計算定積分∫(from0to1)(1+sin(x))^2dx。3.求微分方程y''+2y'+y=e^x的通解。4.求曲線y=x^3在點(1,1)處的切線方程和法線方程。5.已知平面區(qū)域D由y=x和y=x^2圍成，求D的面積。六、分析題（每題5分，共10分）1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^33x+2，求證：在區(qū)間(∞,+∞)上，函數(shù)f(x)有且僅有一個零點。2.已知某物體在直線上的運動方程為s=t^22t+1（其中s為位移，t為時間），求物體在t=2時的速度和加速度。七、實踐操作題（每題5分，共10分）1.利用微積分基本定理，求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[1,3]上的平均值。2.給定函數(shù)f(x)=e^x，求曲線y=f(x)在x=0處的曲率。八、專業(yè)設(shè)計題（每題2分，共10分）1.設(shè)計一個函數(shù)，使得其在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(π,2π)上單調(diào)遞減，并且在x=π處取得最大值。2.給定函數(shù)f(x)=x^24x+3，設(shè)計一個算法求該函數(shù)的零點。3.設(shè)計一個積分過程，計算由曲線y=sin(x)和直線x=π,y=0所圍成的圖形的面積。4.設(shè)計一個微分方程，其解為y=e^(x)cos(x)。5.設(shè)計一個實驗方案，用于驗證微積分基本定理。九、概念解釋題（每題2分，共10分）1.解釋什么是導(dǎo)數(shù)的物理意義。2.簡述定積分和不定積分的區(qū)別。3.解釋什么是微分方程的階數(shù)。4.簡述泰勒公式的應(yīng)用范圍。5.解釋什么是曲率，并說明其幾何意義。十、思考題（每題2分，共10分）1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，試問f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是否一定有零點？2.如果一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間[a,b]上恒大于0，那么這個函數(shù)在該區(qū)間上是怎樣的單調(diào)性？3.在什么條件下，一個函數(shù)的不定積分可以表示為一個初等函數(shù)？4.如何判斷一個微分方程的解是否唯一？5.為什么在計算定積分時，要考慮被積函數(shù)在積分區(qū)間上的連續(xù)性？十一、社會擴(kuò)展題（每題3分，共15分）1.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題有哪些應(yīng)用？請舉例說明。2.在實際工程問題中，如何利用微積分方法解決曲線擬合問題？3.微積分在生物學(xué)研究中有什么應(yīng)用？請舉例說明。4.如何利用微積分原理分析社會人口增長模型？5.請結(jié)合微積分知識，談?wù)勅绾蝺?yōu)化城市交通流量。一、選擇題答案1.B2.B3.B4.A5.D二、判斷題答案1.√2.√3.√4.×5.√三、填空題答案1.62.y=x^2+C3.1/64.∫(x^3dx)=1/4x^4+C5.y=x1四、簡答題答案1.略2.略3.略4.略5.略五、應(yīng)用題答案1.最大值f(0)=2，最小值f(2)=22.∫(from0to1)(1+sin(x))^2dx=2√3/2+π/43.y=(1/2)e^x+C1e^(x)+C2e^x4.切線方程y=3x2，法線方程y=(1/3)x+(1/3)5.面積為1/6六、分析題答案1.略2.速度v=4m/s，加速度a=2m/s^2七、實踐操作題答案1.平均值(3^3+1^3)/(31)=52.曲率k=|f''(0)|/(1+[f'(0)]^2)^(3/2)=11.微分學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念與計算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（極值、單調(diào)性、曲線的切線與法線）高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)微分方程的基本概念和解法2.積分學(xué)不定積分的概念與計算定積分的概念、性質(zhì)與應(yīng)用積分方法（換元積分、分部積分）二重積分的概念與計算3.微積分基本定理牛頓萊布尼茨公式微積分基本定理的應(yīng)用各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例：一、選擇題考察學(xué)生對基本概念的理解，如奇偶性、定積分的基本計算、微分方程的通解等。二、判斷題考察學(xué)生對微積分基本性質(zhì)和定理的理解，如連續(xù)性與可積性、微分方程解的結(jié)構(gòu)等。三、填空題考察學(xué)生對導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分等基本運算的掌握。四、簡答題考察學(xué)生對微積分理論的理解和應(yīng)用能力，如羅爾定理、極值問題、換元積分法等。五、應(yīng)用題考察學(xué)生將微積分知識應(yīng)用于實際問題解決的能力，如求極值、計算定積分等。六、分析題考察學(xué)生的邏輯推理和證明能力，以及對微積分理論的