河南省博愛(ài)英才學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考試試題文

PAGE河南省博愛(ài)英才學(xué)校2025屆高三數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)考試試題文一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．1．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為 A．2 B．3 C．4 D．62．復(fù)數(shù)的虛部是 A． B． C． D．3．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0．01，則數(shù)據(jù)的方差為 A．0．01 B．0．1 C．1 D．104．模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者依據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的模型：，其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)記著已初步遏制疫情，則約為 A．60 B．63 C．66 D．695．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A． B． C． D．6．在平面內(nèi)，是兩個(gè)定點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)．若，則點(diǎn)的軌跡為 A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線7．在中，，，,則A． B． C． D．8．右圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是A． B． C． D．9．已知，則A． B． C． D．10．點(diǎn)到直線距離的最大值為 A．1 B． C． D．211．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是上一點(diǎn)，且，若的面積為，則（）A． B． C． D．12．設(shè)，，，則 A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________．14．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若，則S4=___________．15．若滿足約束條件，則的最大值是________．16．函數(shù)的最小值為_(kāi)__________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第1721題為必選題，每個(gè)試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）設(shè)等比數(shù)列滿，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求．18．（12分）某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿足或不滿足的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率；（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？附：．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．20．（12分）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．21．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且c＝2，C＝eq\f(π,3).(1)若△ABC的面積等于eq\r(3)，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求A的值．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值．23．[選修4?5：不等式選講]（10分）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．答案1．C 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A7．A 8．C 9．B 10．B 11．A 12．A13．y=3x 14． 15．7 16．?417（2024年高考全國(guó)三卷17題）18（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為，因此男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.8．女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的比率為，因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿足的概率的估計(jì)值為0.6．（2）．由于，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.19．解：（1）連結(jié).因?yàn)镸，E分別為的中點(diǎn)，所以，且.又因?yàn)镹為的中點(diǎn)，所以.由題設(shè)知，可得，故，因此四邊形MNDE為平行四邊形，.又平面，所以MN∥平面.（2）過(guò)C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.從而CH⊥平面，故CH的長(zhǎng)即為C到平面的距離，由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.從而點(diǎn)C到平面的距離為.20．解：（1）由題設(shè)及正弦定理得．因?yàn)閟inA0，所以．由，可得，故．因?yàn)?，故，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，從而．因此，面積的取值范圍是．21（1）【解析】∵c＝2，C＝eq\f(π,3)，∴由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)＝a2＋b2－ab，∵△ABC的面積等于eq\r(3)，∴eq\f(1,2)absinC＝eq\r(3)，∴ab＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,ab＝4))，解得a＝2，b＝2.（2）【解析】∵sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，∴sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，∴sinBcosA＝2sinAcosA，①當(dāng)cosA＝0時(shí)，A＝eq\f(π,2)；②當(dāng)cosA≠0時(shí)，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2－ab＝4,b＝2a))，解得a＝eq\f(2\r(3),3)，b＝eq\f(4\r(3),3)，∴b2＝a2＋c2，∵C＝eq\f(π,3)，∴A＝eq\f(π,6).綜上所述，A＝eq\f(π,2)或A＝eq\f(π,