專題21 圖形的旋轉(zhuǎn)（36題）2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（解析版）

第第頁專題21圖形的旋轉(zhuǎn)（36題）一、單選題1．（2024·湖北·中考真題）平面坐標系中，點的坐標為，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，則點的對應(yīng)點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查坐標系下的旋轉(zhuǎn)．過點和點分別作軸的垂線，證明，得到，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：過點和點分別作軸的垂線，垂足分別為，∵點的坐標為，∴，，∵將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∴，，∴點的坐標為，故選：B．2．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點A的坐標為，點C的坐標為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴，，∴軸，∴點的坐標為，故選：C．3．（2024·天津·中考真題）如圖，中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點分別為，延長交于點，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，結(jié)合，即可得證，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補證明兩直線平行，來分析不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運算或線段的運算得出A和C選項是錯誤的．【詳解】解：記與相交于一點H，如圖所示：∵中，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴∵∴在中，∴故D選項是正確的，符合題意；設(shè)∴∵∴∴∵不一定等于∴不一定等于∴不一定成立，故B選項不正確，不符合題意；∵不一定等于∴不一定成立，故A選項不正確，不符合題意；∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴∴故C選項不正確，不符合題意；故選：D4．（2024·四川自貢·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到位置，則點B坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查坐標與圖形，三角形全等的判定和性質(zhì)．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，推出，即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∵將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到，∴，∴，，∴點B坐標為，故選：A．5．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．當落在上時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可得出，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，∵，∴，∴，∴，故選：B．6．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在矩形中，，，點M是邊的中點，點N是邊上任意一點，將線段繞點M順時針旋轉(zhuǎn)，點N旋轉(zhuǎn)到點，則周長的最小值為（

）A．15 B． C． D．18【答案】B【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，確定點的軌跡是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合證明，推出，得到點在平行于，且與的距離為5的直線上運動，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于點，此時周長取得最小值，由勾股定理可求解．【詳解】解：過點作，交于，過點作垂足為，∵矩形，∴，∴，∴四邊形和都是矩形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，∴，∴，∴，∴點在平行于，且與的距離為5的直線上運動，作點關(guān)于直線的對稱點，連接交直線于點，此時周長取得最小值，最小值為，∵，，∴，故選：B．7．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，中，，．將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點與點B是對應(yīng)點，點與點C是對應(yīng)點．若點恰好落在BC邊上，下列結(jié)論：①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項，即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，∴，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∴，①點B在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是；①說法正確；②∵，∴；②說法正確；③∵，∴，∴；③說法正確；④∵，，∴，∴．④說法正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A．8．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，點B，C的對應(yīng)點分別為點D，E，連接，點D恰好落在線段上，若，，則的長為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得，，，推出是等腰直角三角形，，過點A作于點H，得到，利用勾股定理求出的長．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)得，，∴，，，∴是等腰直角三角形，，過點A作于點H，∴，∴，∴，故選：A．9．（2024·重慶·中考真題）如圖，在正方形的邊上有一點，連接，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接并延長與的延長線交于點．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，證明，則，設(shè)，得到，則，故，同理可求，則，因此．【詳解】解：過點F作延長線的垂線，垂足為點H，則，由旋轉(zhuǎn)得，∵四邊形是正方形，∴，，，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∴，，設(shè)，則，∴，∴，而，∴，∴，∵，∴，同理可求，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確添加輔助線，構(gòu)造“一線三等角全等”是解題的關(guān)鍵．10．（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，軸，垂足為點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點的對應(yīng)點落在直線上，再將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，使點的對應(yīng)點也落在直線上，如此下去，……，若點的坐標為，則點的坐標為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識點．找出點的坐標規(guī)律以及旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．通過求出點的坐標，、、的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點逐步推導(dǎo)出后續(xù)點的位置和坐標，然后結(jié)合圖形求解即可．【詳解】軸，點的坐標為，，則點的縱坐標為3，代入，得：，則點的坐標為．，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，，，，，．設(shè)點的坐標為，則，解得或（舍去），則，點的坐標為．故選C．11．（2024·四川南充·中考真題）如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成．在正方形中，．下列三個結(jié)論：①若，則；②若的面積是正方形面積的3倍，則點F是的三等分點；③將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的最大值為．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)，設(shè)，得到，進而得到，求出的值，判定①，根據(jù)的面積是正方形面積的3倍，求出，進而得到，判斷②；旋轉(zhuǎn)得到，進而得到點在以為直徑的半圓上，取的中點，連接，得到，判斷③．【詳解】解：在中，，∴設(shè)，則：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故①正確；若的面積是正方形面積的3倍，則：，∴，即：，∴或（舍去），∴，∴點F是的三等分點；故②正確；∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴點在以為直徑的半圓上，取的中點，連接，則：，，

∴，∴，即：的最大值為；故③正確；故選D．【點睛】本題考查解直角三角形，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解一元二次方程，求圓外一點到圓上一點的最值，熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．12．（2024·北京·中考真題）如圖，在菱形中，，為對角線的交點.將菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，兩個菱形的公共點為，，，.對八邊形給出下面四個結(jié)論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點到該八邊形各頂點的距離都相等；④點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)菱形，，則，，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到點一定在對角線上，且，，繼而得到，，結(jié)合，繼而得到，可證，，同理可證，證，繼而得到，得到，可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據(jù)題意，得，結(jié)合，，得到，可判定②該八邊形各內(nèi)角不相等；判定②錯誤，證，進一步可得，可判定點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【詳解】向兩方分別延長，連接，根據(jù)菱形，，則，，∵菱形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴點一定在對角線上，且，，∴，，∵，∴，∴，，同理可證，∵，∴，∴，∴，∴該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，∴④正確；根據(jù)題意，得，∵，，∴，∴該八邊形各內(nèi)角不相等；∴②錯誤，根據(jù)，∴，∴，∵，故，∴點到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤∴③錯誤，故選B．二、填空題13．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，當時，的度數(shù)是．【答案】或【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分兩種情況分別畫出圖形，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與角的和差運算可得答案；【詳解】解：如圖，當時，延長交于，∵，，∴,∴；如圖，當時，延長交于，∵，，∴,∴，故答案為：或14．（2024·吉林長春·中考真題）一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現(xiàn)將該三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在直線上，則點A經(jīng)過的路徑長至少為．（結(jié)果保留）【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,即，再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心，以為半徑的圓弧的長即可解答．【詳解】解：∵將該三角板繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在直線上，∴,即，∴點A經(jīng)過的路徑長至少為．故答案為：．15．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在中，，，，，線段繞點旋轉(zhuǎn)，點為的中點，則的最大值是．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出取最大值時B、P、M三點的位置關(guān)系．取的中點M，連接、，利用解三角形求出，利用三角形中位線定理推出，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值．【詳解】解：取的中點M，連接、．∵，，，∴，∴，∴，∵P、M分別是的中點，∴．如圖，當在下方時，如果B、P、M三點共線，則有最大值，最大值為，故答案為：．16．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，直線與軸、軸分別相交于點，，將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標為．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，延長交y軸于點E，先求出點A和點B的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明四邊形是正方形，進而求出和的長度即可求解．【詳解】解：如圖，延長交y軸于點E，中，令，則，令，解得，，，，，繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，四邊形是正方形．，，點的坐標為．故答案為：．17．（2024·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，，，點是的中點，連接，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到．連接，當時，．【答案】/【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)的綜合，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得的值，作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得是等腰直角三角形，可求出的長，在直角中，根據(jù)勾股定理可求出的長度，由此即可求解．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵點是的中點，∴，∴在中，，∵將繞點旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，，，如圖所示，過于點，∵∥，∴，∴是等腰直角三角形，且，∴，在中，，∴，故答案為：．18．（2024·四川瀘州·中考真題）定義：在平面直角坐標系中，將一個圖形先向上平移個單位，再繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，這樣的圖形運動叫做圖形的變換．如：點按照變換后得到點的坐標為，則點按照變換后得到點的坐標為．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形．根據(jù)題意，點向上平移2個單位，得到點，再根據(jù)題意將點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，點向上平移2個單位，得到點，

∴，，∴，，∴，根據(jù)題意，將點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴，作軸于點，∴，，∴，∴點的坐標為，故答案為：．19．（2024·江蘇蘇州·中考真題）直線與x軸交于點A，將直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則直線對應(yīng)的函數(shù)表達式是．【答案】【分析】根據(jù)題意可求得與坐標軸的交點A和點B，可得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到，則，求得，即得點C坐標，利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式．【詳解】解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象，如圖所示∶

設(shè)與y軸的交點為點B，令，得；令，即，∴，，∴，，即∵直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到直線，∴，，∴，則點，設(shè)直線的解析式為，則，解得，那么，直線的解析式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)與坐標軸的交點、直線的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是找到旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的直角邊長．20．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標系中，等邊三角形ABC的頂點的坐標為，點均在軸上．將繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標為．【答案】【分析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．作，求出，的值即可得到答案．【詳解】解：作，交y軸于點F，由題可得：，是等邊三角形，，∴是的角平分線，，，在中，，即，解得，，，，，故答案為：．三、解答題21．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，三個頂點的坐標分別是．(1)將向下平移2個單位長度得，畫出平移后的圖形，并直接寫出點的坐標；(2)將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得．畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并求點運動到點所經(jīng)過的路徑長．【答案】(1)作圖見解析，(2)作圖見解析，【分析】本題考查了作圖—平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，弧長公式，解題的關(guān)鍵熟練掌握平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，（1）利用平移的性質(zhì)作出對應(yīng)點，再連線即可，（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別作出對應(yīng)點，再連線，運動到點所經(jīng)過的路徑長即為弧長即可可求解【詳解】（1）解：如下圖所示：由圖可知：；（2）解：如上圖所示：運動到點所經(jīng)過的路徑為：22．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，．(1)尺規(guī)作圖：作邊上的中線（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的圖中，將中線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．求證：四邊形是矩形．【答案】(1)作圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（1）作出線段的垂直平分線EF，交于點O，連接，則線段即為所求；（2）先證明四邊形為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；（2）證明：如圖，∵由作圖可得：，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形．23．（2024·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景，探究動點運動的幾何問題，如圖，在中，點M，N分別為，上的動點（不含端點），且．【初步嘗試】（1）如圖1，當為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，請思考并證明：【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究：如圖2，在中，，，于點E，交于點F，將繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在中，，，連接，，請直接寫出的最小值．【答案】（1）見詳解，（2）四邊形為平行四邊形，（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角的性質(zhì)可得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，證明，即可得證；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，從而可得，由平行線的判定可得，證明，可得，利用等量代換可得，再由平行線的判定可得，根據(jù)平行四邊形的判定即可得證；（3）過點A作，使，連接、，，延長，過點G作于點O，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，證明，可得，從而可得當點G、M、C三點共線時，的值最小，最小值為的值，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義可得，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得，從而可得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明∵為等邊三角形，∴，∵繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：四邊形為平行四邊形，理由如下，∵，，∴，∵繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，則四邊形為平行四邊形；（3）解：如圖，過點A作，使，連接、，，延長，過點G作于點O，∵，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴當點G、M、C三點共線時，的值最小，最小值為的值，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴的最小值為．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理得出當點G、M、C三點共線時，的值最小，最小值為的值是解題的關(guān)鍵．24．（2024·四川廣安·中考真題）如圖，矩形紙片的長為4，寬為3，矩形內(nèi)已用虛線畫出網(wǎng)格線，每個小正方形的邊長均為1，小正方形的頂點稱為格點，現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對矩形紙片進行剪裁，使其分成兩塊紙片．請在下列備用圖中，用實線畫出符合相應(yīng)要求的剪裁線．注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況．【答案】見解析【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等圖形的定義與性質(zhì)，同時考查了學(xué)生實際的動手操作能力，根據(jù)全等圖形的性質(zhì)分別畫出符合題意的圖形即可.【詳解】解：如圖，25．（2024·山東煙臺·中考真題）在等腰直角中，，，D為直線上任意一點，連接．將線段繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)得線段，連接．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，當點D在線段上時，線段與的數(shù)量關(guān)系為________；【類比探究】（2）當點D在線段的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段與的數(shù)量關(guān)系并證明；【聯(lián)系拓廣】（3）若，，請直接寫出的值．【答案】（1）；（2），補圖及證明見解析；（3）或【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關(guān)鍵．（1）過點作延長線于點，利用一線三垂直全等模型證明，再證明即可；（2）同（1）中方法證明，再證明即可；（3）分兩種情況討論：過點作延長線于點，求出，即可．【詳解】解：（1）如圖，過點作延長線于點，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）補全圖形如圖：，理由如下：過點作交于點，由旋轉(zhuǎn)得，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；（3）如圖，當在的延長線上時，過點作于點，連接，由（2）得，，∴，∴，∴．當在的延長線上時，過點作于點，如圖，連接，同理可得：，∴，，∴，∴，∴；綜上：或26．（2024·黑龍江大興安嶺地·中考真題）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．(1)畫出關(guān)于y軸對稱的，并寫出點的坐標；(2)畫出繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，并寫出點的坐標；(3)在（2）的條件下，求點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留）【答案】(1)作圖見解析，(2)作圖見解析，(3)【分析】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出即可；關(guān)于y軸對稱點的坐標橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點、以點為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，然后順次連接即可；（3）先求出，再由旋轉(zhuǎn)角等于，利用弧長公式即可求出．【詳解】（1）解：如圖，為所求；點的坐標為，（2）如圖，為所求；，（3），點B旋轉(zhuǎn)到點的過程中所經(jīng)過的路徑長．27．（2024·甘肅臨夏·中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形背景素材六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經(jīng)典的幾何問題，旨在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題．這個問題由歐幾里得在其名著《幾何原本》中詳細闡述．已知條件點與坐標原點重合，點在軸的正半軸上且坐標為操作步驟①分別以點，為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；②以點為圓心，長為半徑作圓；③以的長為半徑，在上順次截?。虎茼槾芜B接，，，，，得到正六邊形．問題解決任務(wù)一根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）任務(wù)二將正六邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，直接寫出此時點所在位置的坐標：______．【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．任務(wù)一：根據(jù)操作步驟作出，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系，分別作出，即得出，最后順次連接即可；任務(wù)二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，即得出，即此時點所在位置的坐標為．【詳解】解：任務(wù)一：如圖，正六邊形即為所作；任務(wù)二：如圖，由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴．故答案為：．28．（2024·安徽·中考真題）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，格點（網(wǎng)格線的交點）A、B，C、D的坐標分別為，，，．

(1)以點D為旋轉(zhuǎn)中心，將旋轉(zhuǎn)得到，畫出；(2)直接寫出以B，，，C為頂點的四邊形的面積；(3)在所給的網(wǎng)格圖中確定一個格點E，使得射線平分，寫出點E的坐標．【答案】(1)見詳解(2)40(3)(答案不唯一)【分析】本題主要考查了畫旋轉(zhuǎn)圖形，平行四邊形的判定以及性質(zhì)，等腰三角形的判定以及性質(zhì)等知識，結(jié)合網(wǎng)格解題是解題的關(guān)鍵．（1）將點A，B，C分別繞點D旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)點，即可得出．（2）連接，，證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)以及網(wǎng)格求出面積即可．（3）根據(jù)網(wǎng)格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)即可求出點E的坐標．【詳解】（1）解：如下圖所示：

（2）連接，，∵點B與，點C與分別關(guān)于點D成中心對稱，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．（3）∵根據(jù)網(wǎng)格信息可得出，，∴是等腰三角形，∴也是線段的垂直平分線，∵B，C的坐標分別為，，∴點，即．（答案不唯一）29．（2024·北京·中考真題）已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線交射線于點.

(1)如圖1，當點在射線上時，求證：是的中點；(2)如圖2，當點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明?！敬鸢浮?1)見詳解(2)，理由見詳解【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求得，則，故，再根據(jù)等角的余角相等即可得到，故，最后等量代換出，即點是的中點；（2）在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，可證明，則，，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得到，則，而，故可等量代換出．【詳解】（1）證明：連接，

由題意得：，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點是的中點；（2）解：，在射線上取點H，使得，取的中點G，連接，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∵，∴，，∵是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，外角定理，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．30．（2024·山東·中考真題）一副三角板分別記作和，其中，，，．作于點，于點，如圖1．(1)求證：；(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點與點重合記為，點與點重合，將圖2中的繞按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，延長交直線于點．①當時，如圖3，求證：四邊形為正方形；②當時，寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明；當時，直接寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②當時，線段，，的數(shù)量關(guān)系為；當時，線段，，的數(shù)量關(guān)系為；【分析】（1）利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①證明，，可得，證明，可得四邊形為矩形，結(jié)合，即，而，可得，從而可得結(jié)論；②如圖，當時，連接，證明，可得，結(jié)合，可得；②如圖，當時，連接，同理，結(jié)合，可得【詳解】（1）證明：設(shè)，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）證明：①∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形，∵，即，而，∴，∴四邊形是正方形；②如圖，當時，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；②如圖，當時，連接，由（1）可得：，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，正方形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.31．（2024·四川眉山·中考真題）綜合與實踐問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學(xué)興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中心處，并繞點旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形重疊部分的面積變化情況．操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點處，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）若正方形邊長為4，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為______；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，重疊部分的面積為______．（2）若正方形的面積為，重疊部分的面積為，在旋轉(zhuǎn)過程中與的關(guān)系為______．類比探究：如圖1，若等腰直角三角板的直角頂點與點重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方形兩邊于，兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論，請你幫他進行證明．拓展延伸：如圖2，若正方形邊長為4，將另一個直角三角板中角的頂點與點重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，當三角板的直角邊交于點，斜邊交于點，且時，請求出重疊部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）4；4；（2）；類比探究：見解析；拓展延伸：【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的全等的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)的概念等知識點，正確作輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．操作發(fā)現(xiàn)：（1）根據(jù)圖形即可判斷重疊部分即為（對角線分成的四個三角形中的一個）求出面積即可；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，證明四邊形是正方形，求解面積即可；（2）如圖，過點作于點，于點．證明，從而證明，即可求得結(jié)論；類比探究：先證明，從而證明，即可證明結(jié)論；拓展延伸：過點作于點，于點．先證明，即可證明，，從而證明，根據(jù)，即可求得，由重疊部分的面積，即可求得結(jié)果．【詳解】解：操作發(fā)現(xiàn)：（1）四邊形是正方形，，當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當一條直角邊與正方形的一邊垂直時，如圖，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，，，四邊形是正方形，，四邊形的面積是4，故答案為：4，4；（2）如圖，過點作于點，于點．是正方形的中心，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，，，，．故答案為：；類比探究：證明：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，拓展延伸：過點作于點，于點．同（2）可知四邊形是正方形，，，，，，，，，，，由（1）可知，，，，，重疊部分的面積．32．（2024·廣西·中考真題）如圖1，中，，．的垂直平分線分別交，于點M，O，平分．(1)求證：；(2)如圖2，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為．連接，①求面積的最大值及此時旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)，并說明理由；②當是直角三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①，；②或【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，結(jié)合角平分線定義可得出，最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先求出，然后利用含的直角三角形性質(zhì)求出，，，利用勾股定理求出，，取中點，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，則，，，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短知，三角形三邊關(guān)系得出，故當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，最后根據(jù)三角形面積公式求解即可；②先利用三角形三邊關(guān)系判斷出，，則當為直角三角形時，只有，然后分A和重合，和C重合，兩種情況討論即可．【詳解】（1）證明：∵垂直平分，∴，∴，∵平分∴，∴，又；∴；（2）解：①∵，∴，∴，∴，又，∴，，∵垂直平分，∴，，∴，∴，取中點，連接，，作于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，為旋轉(zhuǎn)所得線段，∴，，，根據(jù)垂線段最短知，又，∴當M、O、三點共線，且點O在線段時，取最大值，最大值為，此時，∴面積的最大值為；②∵，，∴，同理∴為直角三角形時，只有，當A和重合時，如圖，∵∴，，∴，∵，∴，∴，∴、O、M三點共線，∴為直角三角形，此時旋轉(zhuǎn)角；當和C重合時，如圖，同理，，∴，∵，∴，∴，∴、O、M三點共線，又∴為直角三角形，此時旋轉(zhuǎn)角；綜上，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或時，為直角三角形．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，明確題意，正確畫出圖形，添加輔助線，合理分類討論是解題的關(guān)鍵．33．（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，某小組將一個含的三角尺利一個正方形紙板如圖1擺放，若，．將三角尺繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，觀察圖形的變化，完成探究活動．【初步探究】如圖2，連接，并延長，延長線相交于點交于點．問題1和的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是_________．【深入探究】應(yīng)用問題1的結(jié)論解決下面的問題．問題2如圖3，連接，點是的中點，連接，．求證．【嘗試應(yīng)用】問題3如圖4，請直接寫出當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，點經(jīng)過路線的長度．【答案】（1）；；（2）證明見解析；（3）【分析】（1）如圖，由四邊形是正方形，是等腰直角三角形，，證明，再進一步可得結(jié)論；（2）如圖，由，，再結(jié)合直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）如圖，證明在以為圓心，為半徑的上，過作于，當時，證明，可得，，證明四邊形是正方形，可得當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，在上運動，再進一步解答即可；【詳解】解：；；理由如下：如圖，∵四邊形是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴；（2）如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵點是的中點，∴，∵，∴，∵點是的中點，∴，∴；（3）如圖，∵，，∴在以為圓心，為半徑的上，過作于，當時，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，∴，而，，∴四邊形是正方形，∴當旋轉(zhuǎn)角從變化到時，在上運動，∵，，，∴，∴點經(jīng)過路線的長度為.【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，圓周角的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，弧長的計算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.34．（2024·廣東廣州·中考真題）已知拋物線過點和點，直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且．(1)求拋物線的對稱軸；(2)求的值；(3)直線繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒后得到直線，當時，直線交拋物線于，兩點．①求的值；②設(shè)的面積為，若對于任意的，均有成立，求的最大值及此時拋物線的解析式．【答案】(1)對稱軸為直線：；(2)(3)①，②的最大值為，拋物線為；【分析】（1）直接利用對稱軸公式可得答案；（2）如圖，由，可得在的左邊，，證明，可得，設(shè)，建立，可得：，，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）①如圖，當時，與拋物線交于，由直線，可得，可得，從而可得答案；②計算，當時，可得，則，，可得，可得當時，的最小值為，再進一步求解可得答案．【詳解】（1）解：∵拋物線，∴拋物線對稱軸為直線：；（2）解：∵直線過點，∴，如圖，∵直線過點，交線段于點，記的周長為，的周長為，且，∴在的左邊，，∵在拋物線的對稱軸上，∴，∴，設(shè)，∴，解得：，∴，∴，∴，解得：；（3）解：①如圖，當時，與拋物線交于，∵直線，∴，∴，解得：，②∵，當時，，∴，∴，，∴，∵，∴當時，的最小值為，∴此時，∵對于任意的，均有成立，∴的最大值為，∴拋物線為；【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，坐標與圖形面積，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．35．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們將兩個全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個頂點，然