函數(shù)的性質(zhì)知識點(diǎn)總結(jié)- 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第第頁知識點(diǎn)總結(jié)3-2函數(shù)的性質(zhì)一．函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱1．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件．(2)若f(x)≠0，則奇(偶)函數(shù)定義的等價(jià)形式如下：①f(x)為奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?f(－x)＋f(x)＝0?f(?x)f(x)②f(x)為偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?f(－x)－f(x)＝0?f(?x)f(x)(3)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么一定有f(0)＝0.(4)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(5)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上：奇函數(shù)具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)具有相反的單調(diào)性．(6)若y＝f(x＋a)是奇函數(shù)?f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱；若y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?f(x)關(guān)于直線x=a對稱．(7)奇函數(shù)的最值：若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間D上有最值，則fmzx(8)若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式.即f(x)=g(x)+h(x)，其中：g(x)=1二．函數(shù)的周期性(差為常數(shù)有周期)1.如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期。2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．提醒：若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．3.周期性的幾個(gè)常用結(jié)論(1)f(x+a)=?f(x)+t(t∈R(2)f(x+a)=kf(x)(3)f(x+a)=1?f(x)1+f(x)，則T=2a(5)若f(x+2a)=f(x+a)?f(x),則T＝64.函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系（類比三角函數(shù)）：若函數(shù)存在兩個(gè)對稱關(guān)系，則必然是周期函數(shù)；口訣：兩次對稱成周期，兩軸兩心二倍差，一軸一心四倍差(或：同性兩距離，異性4距離)。)(1)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|．(2)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對稱，則f(x)的一個(gè)周期為2|b－a|．(3)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b，0)對稱，則f(x)的一個(gè)周期為4|b－a|．總規(guī)律：在函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性這三條性質(zhì)中，只要已知兩條，則第三條一定成立．5.函數(shù)周期性的應(yīng)用：若T是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期(1)單調(diào)區(qū)間：f(x)在區(qū)間(a,b)(b?a≤T(2)f(x)周期為，如果f(x)存在一條對稱軸，則f(x)存在無數(shù)條對稱軸，其通式為x=a+kT如果f(x)存在一個(gè)對稱中心(a,0)，則f(x)存在無數(shù)個(gè)對稱中心，其通式為(a三．函數(shù)的對稱性(和為常數(shù)有對稱)1.軸對稱(1)如果f(x＋a)＝f(b－x)?y＝f(x)關(guān)于直線x＝a+b(2)若y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱?f(a＋x)＝f(a－x)?f(2a－x)＝f(x)f?(2a＋x)＝f(－x)2.函數(shù)的點(diǎn)(中心)對稱(1)若y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱?f(a＋x)＋f(a－x)＝2b?f(2a－x)+f(x)=2b?f(2a＋x)+f(－x)=2b推論：若y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱?f(a＋x)＝－f(a－x)?f(2a－x)＝－f(x)?f(2a＋x)＝－f(－x)(2)f(x＋a)+f(b－x)=c?y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a3.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱(1)若f(x)與g(x)關(guān)于直線x=a對稱，則g(x)=f(2特殊地：若f(x)與g(x)關(guān)于y軸對稱，則g(x)=f(?x)(2)若f(x)與g(x)關(guān)于直線y=b對稱，則g(x)=2b?f(x)若f(x)與g(x)關(guān)于x軸對稱，則g(x)=?f(x)(3)若f(x)與g(x)關(guān)于點(diǎn)P(a,b)對稱，則特殊地：若f(x)與g(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則g(x)=?f(?x)四．函數(shù)的單調(diào)性:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì).增函數(shù)減函數(shù)定義函數(shù)f(x)定義域?yàn)镮，如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的1.單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的定義(1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．(2)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，故應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則．(3)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；(4)如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用并集符號“∪”連接，也不能用“或”連接，只能用“，”或“和”隔開．2.函數(shù)單調(diào)性常用結(jié)論(1)增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)?對?x1<x2，都有f(x1)<f(x2)?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?f(xy＝f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)?對?x1<x2，都有f(x1)>f(x2)?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?f(x(2)單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知(此時(shí)需要用導(dǎo)數(shù)判斷)④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘(3)單調(diào)性的性質(zhì)①函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝f(x)＋C(C為常數(shù))具有相同的單調(diào)性．②若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反．③在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)(f(x)＞0)與y=fn(x)④在公共定義域內(nèi)，函數(shù)y＝f(x)(f(x)≠0)與y=1⑤若f(x)，g(x)均為區(qū)間D上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間D上的增(減)函數(shù)．⑥若f(x)，g(x)均為區(qū)間D上的增(減)函數(shù)，且f(x)＞0，g(x)＞0，則f(x)?g(x)也是區(qū)間D上的增(減)函數(shù)．3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性:復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡單函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．簡記：“同增異減”．4.單調(diào)性與對稱性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問題①f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(x)單調(diào)遞增?則由f(xf(x)在R上是奇函數(shù)，且f(x)單調(diào)遞減