2024-2025學年北京師大附屬實驗中學九年級（上）開學數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京師大附屬實驗中學九年級（上）開學數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列二次根式中，最簡二次根式是(

)A.3 B.23 C.2.下列曲線中，能表示y是x的函數(shù)的是(

)A. B.

C. D.3.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，下列條件中可以判斷∠A=90°的是(

)A.a=3，b=4，c=5 B.a=6，b=5，c=4

C.a=2，b=2，c=2 D.a=14.用配方法解一元二次方程x2?4x+1=0，配方正確的是(

)A.(x?1)2=12 B.(x?2)5.已知A(?2,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)三點都在二次函數(shù)y=?2(x?1)A.y1<y2<y3 B.6.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=4，OH=2，則菱形ABCD的面積為(

)A.8 B.16 C.24 D.327.如圖，某小區(qū)計劃在一塊長為32m，寬為20m的矩形空地上修建三條同樣寬的道路，剩余的空地上種植草坪，使草坪的面積為570m2.設(shè)道路的寬為x?m，則下面所列方程正確的是A.(32?x)(20?x)=32×20?570 B.32x+2×20x=32×20?570

C.(32?2x)(20?x)=570 D.32x+2×20x?28.如圖，四邊形ABCD是正方形，點E，F(xiàn)分別在AB，BC的延長線上，且BE=CF，設(shè)AD=a，AE=b，AF=c.給出下面三個結(jié)論：①a+b>c；②2ab<c2；③a2+A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.若3?x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

．10.已知函數(shù)y=(k?2)x+1，y隨x的增大而增大，則實數(shù)k的取值范圍是____．11.如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E是AD的中點，連接OE，若OE=3，則CD的長為______．12.直線y=kx+3k?2(k≠0)一定經(jīng)過一個定點，這個定點的坐標是______．13.2022至2024年，某城市居民人均可支配年收入由6.58萬元增長至7.96萬元.設(shè)人均可支配年收入的平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程得______．14.如圖，在矩形ABCD中，E為AB上一點，將矩形的一角沿CE向上折疊，點B的對應點F恰好落在邊AD上.若△AEF的周長為12，△CDF的周長為24，則AF的長為______．15.在對一組樣本數(shù)據(jù)進行分析時，某同學列出了方差計算公式：

s2=(3?x?)2+(3?x?)2+(4?x?)2+(6?x?)2n16.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，對稱軸為直線x=1.直線y=?x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C，D兩點，點D在x軸下方且橫坐標小于3.有下列結(jié)論：①abc<0；②a?b+c>0；③(am+b)m<a+b(m為任意實數(shù))；④a<?1.其中正確的是______(三、解答題：本題共10小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題8分)

用適當?shù)姆椒ń怅P(guān)于x的一元二次方程：

(1)(3x+2)2=8；

(2)9x2=6x?1；

(3)218.(本小題8分)

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC．

求作：以AC為對角線的矩形ADCE．

作法：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點M，N；分別以點M，N為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部相交于點P，作射線AP與BC交于點D；

②以點A為圓心，CD的長為半徑畫??；再以點C為圓心，AD的長為半徑畫弧，兩弧在AC的右側(cè)交于點E；

③連接AE，CE．

四邊形ADCE為所求的矩形．

(1)根據(jù)以上作法，使用直尺和圓規(guī)補全圖形(保留作圖痕跡)；

(2)完成以下證明．

證明：∵AE=CD，CE=AD，

∴四邊形ADCE為平行四邊形(______).(填推理的依據(jù))

由作圖可知，

AD平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC(______).(填推理的依據(jù))

∴∠ADC=90°．

∴平行四邊形ADCE是矩形(______).(填推理的依據(jù))19.(本小題8分)

如圖，?ABCD中，∠BAC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)如果AB=2，BC=4，求四邊形AECF的面積．20.(本小題8分)

已知二次函數(shù)y=?x2?2x+3．

(1)x…______________________________…y…______________________________…(2)根據(jù)圖象回答下列問題：

①當y<0時，x的取值范圍是______；

②當?3<x<0時，y的取值范圍是______．

21.(本小題8分)

在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象過點(4,3)，(?2,0)，且與y軸交于點A．

(1)求該函數(shù)的解析式及點A的坐標；

(2)當x>0時，對于x的每一個值，函數(shù)y=x+n的值大于函數(shù)y=kx+b(k≠0)的值，直接寫出n的取值范圍．22.(本小題8分)

某專賣店銷售山核桃，其進價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可出售100kg.后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低2元，則平均每天可銷售可增加20kg.若該專賣店銷售這種山核桃要想平均每天獲利2240元，且盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應按原售價的幾折出售？23.(本小題8分)

為增強居民的反詐騙意識，A，B兩個小區(qū)的居委會組織小區(qū)居民進行了有關(guān)反詐騙知識的有獎問答活動.現(xiàn)從A，B小區(qū)參加這次有獎問答活動居民的成績中各隨機抽取20個數(shù)據(jù)，分別對這20個數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．

a.A小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；

b.A小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)在80≤x<90這一組的是：

84?85?85?86?86?88?89

c.B小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)如表：分數(shù)738182858891929496100人數(shù)1323131411根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)補全a中頻數(shù)分布直方圖；

(2)A小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______；B小區(qū)參加有獎問答活動的20名居民成績的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______；

(3)為鼓勵居民繼續(xù)關(guān)注反詐騙宣傳，對在這次有獎問答活動中成績大于或等于90分的居民頒發(fā)小獎品.已知A，B兩個小區(qū)各有2000名居民參加這次活動，估計這兩個小區(qū)的居委會一共需要準備多少份小獎品．24.(本小題8分)

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2?2mx+m2?1與y軸交于點C．

(1)試用含m的代數(shù)式表示拋物線的頂點坐標；

(2)將拋物線y=x2?2mx+m2?1沿直線y=?1翻折，得到的新拋物線與y軸交于點D.若m>0，CD=8，求m的值；

(3)已知A(2k,0)，25.(本小題8分)

如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊CD上一點，且點E不與C、D重合，過點A作AE的垂線交CB延長線于點F，連接EF．

(1)計算∠AEF的度數(shù)；

(2)如圖2，過點A作AG⊥EF，垂足為G，連接DG.用等式表示線段CF與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26.(本小題8分)

在平面直角坐標系xOy中，對于線段AB和點Q，給出如下定義：若在直線y=x上存在點P，使得四邊形ABPQ為平行四邊形，則稱點Q為線段AB的“相隨點”．

(1)已知，點A(1,3)，B(5,3)．

①在點Q1(1,5)，Q2(?1,3)，Q3(0,4)，Q4(?5,0)中，線段AB的“相隨點”是______；

②若點Q為線段AB的“相隨點”，連接OQ，BQ，直接寫出OQ+BQ的最小值及此時點Q的坐標；

(2)已知點A(?2,3)，點B(2,?1)，正方形CDEF邊長為2，且以點(t,1)為中心，各邊與坐標軸垂直或平行，若對于正方形CDEF上的任意一點，都存在線段AB上的兩點

參考答案1.A

2.A

3.C

4.B

5.B

6.B

7.C

8.A

9.x≤3

10.k>2

11.6

12.(?3,?2)

13.6.58(1+x)14.4

15.①③④

16.①④

17.解：(1)(3x+2)2=8，

∴3x+2=±22，

∴x1=?2+223，x2=?2?223；

(2)9x2=6x?1，

9x2?6x+1=0，

(3x?1)2=0，

∴x1=1318.(1)解：圖形如圖所示：

(2)證明：∵AE=CD，CE=AD，

∴四邊形ADCE為平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)，

由作圖可知，

AD平分∠BAC，

又∵AB=AC，

∴AD⊥BC(三線合一)，

∴∠ADC=90°，

∴平行四邊形ADCE是矩形(有一個角是90°的平行四邊形是矩形)．19.證明：(1)∵在?ABCD中，

∴BC=AD，BC//AD，

又∵E，F(xiàn)分別是邊BC，AD的中點，

∴EC=12BC，AF=12AD，

∴EC=AF，且EC//AF

∴四邊形AECF為平行四邊形．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E是BC邊中點，

∴AE=EC，

∴四邊形AECF是菱形；

(2)∵∠BAC=90°，AB=2，BC=4，

∴AC=BC2?AB2=23

∴S△ABC=1220.(1)列表：x…?3?2?101…y…03430…描點、連線：

(2)觀察圖象，①當y<0時，x的取值范圍是x<?3或x>1；

②當?3<x<0時，y的取值范圍是0<y≤4；21.解：(1)把(4,3)，(?2,0)分別代入y=kx+b得4k+b=3?2k+b=0，

解得k=12b=1，

∴函數(shù)解析式為y=12x+1，

當x=0時，y=12x+1=1，

∴A點坐標為(0,1)；

(2)當n≥122.解：設(shè)該店應按原售價的x折出售，則每千克的銷售利潤為(60×0.1x?40)元，平均每天可售出(100+60?60×0.1x2×20)千克，

根據(jù)題意得：(60×0.1x?40)(100+60?60×0.1x2×20)=2240，

整理得：9x2?165x+756=0，

解得：x123.(1)由題意可知，A小區(qū)“70≤x<80”的頻數(shù)為：20?1?1?7?9=2，

補全a中頻數(shù)分布直方圖如下：

(2)88.5；94；

(3)920×2000+1020×2000=1900(份)24.解：(1)∵y=x2?2mx+m2?1=(x?m)2?1，

∴拋物線的頂點坐標為(m,?1)；

(2)由對稱性可知，點C到直線y=?1的距離為4，

∴OC=3，

∴m2?1=3，

∵m>0，

∴m=2；

(3)∵m=2，

∴拋物線為y=x2?4x+3，

當拋物線經(jīng)過點A(2k,0)時，k=12或k=32；25.解：(1)∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠DAB=90°，

∴∠D=∠ABF=90°，∠DAE+∠BAE=90°，

∵AE⊥AF，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAE+∠BAF=90°，

∴∠DAE=∠BAF，

∴△ADE≌△ABF(ASA)，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰直角三角形

∴∠AEF=45°；

(2)CF=2DG.理由如下：

如圖2，取CE的中點M，連接GM，GC，

∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF，

∴G是EF的中點，

∴AG=12EF，

同理，在Rt△EFC中，CG=12EF，

∴AG=CG，

∵AD=CD，DG=DG，

∴△ADG≌△CDG(SSS)，

∴∠ADG=∠CDG，

∵∠ADG+∠CDG=90°，

∴∠ADG=∠ADC=45°；

∴GM為△GEC的中位線，

∴GM//CF，GM=12CF，

∴∠DMG=∠DCB=90°，

在Rt△DGM中，∠GDM=∠ADG=45°，

∴△DMG為等腰三角形，

∴DM=GM，

∴DM2+GM226.(1)①∵點A(l,3)，B(5,3)．

∴AB=5?1=4，

∵四邊形ABPQ為平行四邊形，

∴AB//PQ，AB=PQ=4，

∵點P在直線y=x上，

∴設(shè)P(x,x)，

當Q1(1,5)時，若PQ1//AB，且PQ1=AB，

∴x?1=4，x=5，

∴x=5，

∴P(5,5)符合題意，

∴Q1(1,5)是線段AB的“相隨點”；

當Q2(?1,3)時，若PQ2//AB，且PQ2=AB，

∴x?(?1)=4，x=3，

∴x=3，

∴P(3,3)，此時點P，Q和點A，B共線，圍不成平行四邊形，不符合題意；

當Q3(0,4)時，若PQ3//AB，且PQ3=AB，

∴x?0=4，x=4，

∴x=4，

∴P(4,4)符合題意，

∴Q3(0,4)是線段AB的“相隨點”；

當Q4(?5,0