2024-2025學年江蘇省宿遷市沭陽如東中學高二上學期開學階段測試數(shù)學試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省宿遷市沭陽如東中學高二上學期開學階段測試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過A1,?3,B?2,0兩點的直線的傾斜角是A.45° B.60° C.2.設a∈R，則“a=?2”是“直線l1：ax+2y?1=0與直線l2：x+(a+1)y+4=0平行”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.點a,6到直線3x?4y?2=0的距離大于5，則實數(shù)a的取值范圍為(

)A.13,17 B.?∞,13∪17,+∞4.古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，他指出，平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡叫做圓錐曲線;當0<e<1時，軌跡為橢圓.當e=1時，軌跡為拋物線；當e>1時，軌跡為雙曲線，則方程(x?4)2+y2A.15 B.45 C.545.已知點A(1,1)，且F是橢圓x24+y23=1的左焦點，A.6 B.5 C.4 D.36.若直線l:kx?y?2=0與曲線C:1?(y?1)2=x?1有兩個不同的交點，則實數(shù)A.(43,2] B.(43,4)7.已知直線l1:kx+y=0(k∈R)與直線l2:x?ky+2k?2=0相交于點A，點B是圓(x+2)2+A.32 B.52 C.8.已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的左、右焦點F1，F(xiàn)2，若C1，C2在第一象限內(nèi)的交點為P，且滿足∠POF2=2∠PF1F2，設e1，e2A.e1e2=2 B.e12二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.直線x?y?3=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是92

B.若三條直線x+y=0，x?y=0，x+ay=3?a不能構成三角形，則實數(shù)a的取值集合為{?1,1}

C.經(jīng)過點(1,2)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y?3=0或x?y+1=0

D.過(x1,10.法國著名數(shù)學家蒙日首先發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點軌跡是以橢圓的中心為圓心的圓，后來這個圓被稱為蒙日圓，已知橢圓C:x23+y2=1，其蒙日圓為圓M，過直線l:x?y?4=0上一點P作圓M的兩條切線，切點分別為A.圓M的方程為x2+y2=3

B.四邊形PAMB面積的最小值為4

C.PA?PB的最小值為82?1211.2022年4月16日9時56分，神舟十三號返回艙成功著陸，返回艙是宇航員返回地球的座艙，返回艙的軸截面可近似看作是由半圓和半橢圓組成的“曲圓”.如圖，在平面直角坐標系中半圓的圓心在坐標原點，半圓所在的圓過橢圓的焦點F0,2，橢圓的短軸與半圓的直徑重合，下半圓與y軸交于點G.若過原點O的直線與上半橢圓交于點A，與下半圓交于點B，則下列說法正確的有(

)

A.橢圓的長軸長為42

B.線段AB長度的取值范圍是4,2+22

C.?ABF面積的最小值是4

D.?AFG的周長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l的傾斜角是直線x?4y+3=0的傾斜角的2倍，且l經(jīng)過點P3,2，則直線l的方程為

．13.已知在平面直角坐標系xOy中，點A?2,0，B4,0，點P滿足PAPB=12.則當P,A,B14.設F1，F(xiàn)2是橢圓3x2+4y2=k(k>0)的兩個焦點，若橢圓上存在點P滿足∠F1PF2四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知平行四邊形的兩條邊所在直線的方程分別是x+y?1=0，3x?y+4=0，且它的對角線的交點是M(3,3)，求這個平行四邊形其他兩邊所在直線的方程．16.(本小題12分)已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線C的虛軸長；(2)求與雙曲線C有相同漸近線，且過點Q?3,6的雙曲線的標準方程．17.(本小題12分)

已知點M(3,1)，圓O1：(x?1)2+(y?2)2=4．

(1)若直線ax?y+4=0與圓O1相交于A，B兩點，且弦AB的長為23，求18.(本小題12分)

如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，與y軸正半軸交于點P0,1.過原點O不與x軸垂直的動直線l與C交于A，B兩點．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線PA、PB的斜率分別為k1、k2，證明：k1?19.(本小題12分)歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯(公元前375年——325年)，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質(zhì)：如圖甲，從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線或聲波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點，其中法線l′表示與橢圓的切線垂直且過相應切點的直線．已知圖乙中，橢圓C的中心在坐標原點，焦點為F1?c,0,F2c,0c>0(1)點P是橢圓C上除頂點外的任意一點，橢圓C在點P處的切線為l,F2在l上的射影H滿足OH=2，利用橢圓的光學性質(zhì)(2)在：(1)的條件下，設橢圓C上頂點為Q，點A,B為x軸上不同于橢圓頂點的點，且xA+xB=4，直線AQ,BQ分別與橢圓C交于點M,N(M,N異于點Q)，QT⊥MN，垂足為T答案解析1.D

【解析】解：設直線的傾斜角為α，則0°?α<180°，所以傾斜角α=135故選：D．2.A

【解析】解：當a=?2時，兩直線方程分別為l1：?2x+2y?1=0與直線l2：x?y+4=0，滿足兩直線平行，充分性成立．

若直線l1：ax+2y?1=0與直線l2：x+(a+1)y+4=0平行，

則aa+1?2=0，解得a=1或a=?2，

當a=1時，l1：x+2y?1=0，l2：x+2y+4=0，滿足平行關系，

∴必要性不成立，

∴“a=?2”是“直線l1：ax+2y?1=03.B

【解析】解：∵點a,6到直線3x?4y?2=0的距離大于5，所以3a?4×6?232+?42>5所以實數(shù)a的取值范圍為?∞,1故選：B．4.B

【解析】解：因為(x?4)2+y2|25?4x|=15，變形可得(x?4)2+y2|2545.D

【解析】解：設F2是橢圓x24+y23=1的右焦點，則F2(1,0)，

則|PF|+|PF2|=2a=4，則|PF|=4?|PF2|，

如圖所示：

所以，|PF|+|PA|=4?|PF2|+|PA|

=4?(|PF2|?|PA|)

≥4?AF6.A

【解析】解：直線l:kx?y?2=0恒過定點(0,?2)，曲線C?:1?(y?1)2=x?1表示以點?(1,1)為圓心，半徑為1，且位于直線x=1當直線l經(jīng)過點(1,0)時，l與曲線C有兩個不同的交點，此時k=2，直線記為l1當l與半圓相切時，由|k?3|k2+1=1分析可知當43<k≤2時，l與曲線故選：A．7.C

【解析】解：由kx+y=0x?ky+2k?2=0，消去參數(shù)k得(x?1所以A在以C(1,1)為圓心，2又點B是圓(x+2)2+(y+3)2=2|CD|=∴AB的最大值為CD故選：C．8.D

【解析】解：∵∠POF2=2∠PF1F2，∴∠OPF1=∠PF1F2，∴OP=c，∴PF1⊥PF2，

設|PF1|=m，|PF2|=n，則m9.AD

【解析】解：選項A，直線l與x，y軸的交點分別為(3,0)，(0,?3)，所以S=12×3×3=92，即A正確；

選項B，分兩種情況：

①三條直線相交于一點，即原點(0,0)，此時3?a=0，所以a=3；

②直線x+ay=3?a與x+y=0或x?y=0平行，則?1a=1或?1，所以a=?1或1，

所以實數(shù)a的取值集合為{?1,1,3}，即B錯誤；

選項C，當直線經(jīng)過原點時，其方程為y=2x；

當直線不經(jīng)過原點時，設其方程為xa+ya=1，所以1a+2a=1，解得a=3，此時直線l的方程為x+y?3=0，

綜上，直線l的方程為y=2x或10.BD

【解析】解：當切線的切點分別為橢圓上頂點和右頂點時，可以得到兩切線的交點為(3,1)，

所以蒙日圓M的方程為x四邊形PAMB面積為：2S△PAM=|PA|?|AM|=2|PA|，

只需求出PA的最小值，

而PM的最小值為點M(0,0)到直線l:x?y?4=0的距離d=41+1=22設∠APM=θ，則sin?θ=2|PM|，

所以PA?PB=|又|PM|2+32而PM的最小值22，

故|PM|2的最小值8當點P為(1,?3)時，點P，A，M，B四點共以PM為直徑圓上，所以這個圓的方程為x?1x+y+3y=0，與圓M方程聯(lián)立，可得直線AB的方程為x?3y?4=0，故D正確．

11.ABD

【解析】解：由半圓的圓心在原點、半圓經(jīng)過點F(0,2)，知半圓的方程為x2+y2=4y?0，

由半圓的直徑與橢圓的短軸重合，知橢圓的短半軸長為2，即b=2，而c=2，所以a=22，

所以半橢圓的方程為y28+x24=1y?0，所以橢圓的長軸長為2a=42，A正確；

當線段AB在x軸上時，長度最短為4，當線段AB在y軸上時，長度最長為2+22，

所以線段AB的長度取值范圍是4,2+22，B正確；

當直線12.8x?15y+6=0

【解析】解：設所求直線l的傾斜角為θ，直線x?4y+3=0的傾斜角為α，則θ=2α，且tanα=14所以可得直線l的方程為y?2=815(x?3)故答案為：8x?15y+6=0．13.12

【解析】解：設Px,y，

則由PAPB=即4x+22+4y2=x?42+∴P點軌跡是以?4,0為圓心，4為半徑的圓，如圖所示：

當P在圓心Q?4,0的正上方或正下方時，

P到AB的距離最大，且為半徑4∴S故答案為：12．14.2

【解析】解：將橢圓化為標準方程可得，x2k3+y2k4=1，

所以a2=k3，b2=k4，c2=a2?b2=k12，

所以a2=4c2，b2=3c2，所以a=2c，b=3c，

根據(jù)正弦定理可得，2R=|F1F2|sin∠F1PF215.解：聯(lián)立方程組x+y?1=03x?y+4=0解得x=?34y=74，

所以平行四邊形ABCD的頂點A(?34,74)，

設C(x0,y0)，由題意，點M(3,3)是線段AC的中點，

所以x0?342=3y0+742=3，解得x0=274y0=174，【解析】本題考查直線的一般式方程與直線的平行關系，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．

依題意，由方程組x+y?1=03x?y+4=0可解得平行四邊形ABCD的頂點A的坐標，再結(jié)合對角線的交點是M(3,3)，可求得C16.解：(1)由題意，易知PF2=2，F(xiàn)1在Rt?PF2F由雙曲線的定義可知，PF1?PF2∵雙曲線C的兩個焦點分別為F1?3,0，又∵a2+故雙曲線C的虛軸長為2(2)由(1)知雙曲線C的方程為x2?設與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為x2將點Q?3,6的坐標代入上述方程，得λ=?9故所求雙曲線的標準方程為y2

【解析】本題考查雙曲線的頂點、實虛軸，雙曲線的標準方程，屬于中檔題．

(1)由雙曲線的定義可知，|PF1|?|PF2(2)設與雙曲線C有相同漸近線的雙曲線的方程為x2?y2217.解：(1)根據(jù)題意，圓O1：(x?1)2+(y?2)2=4，圓心為(1,2)，半徑r=2，

若弦AB的長為23，則圓心到直線ax?y+4=0的距離d=22?(3)2=1，

又由圓心為(1,2)，直線ax?y+4=0，

則有d=|a+2|a2+1=1，解得a=?34；

(2)根據(jù)題意，分2種情況討論：

【解析】本題考查直線與圓相交的性質(zhì)，涉及弦長的計算，屬于基礎題．

(1)由直線與圓的位置關系可得圓心到直線ax?y+4=0的距離d，結(jié)合點到直線的距離公式可得d=|a+2|a2+1=1，解可得a18.解：(1)由題意得ca=22，且b=1，由a2=b2+c2，解得a=2,c=1，

∴橢圓C的標準方程為x22+y2=1；

(2)由于A，B關于原點O對稱，故可設A(x0,y0)，B(?x0,?y0)，且x022+y02=1；

k1?k2=y0?1x0??y0?1?x0=y02?1x02=?x022x02=?12，

即k1?k2為定值?12；

(3)設直線PA的方程為y=k【解析】本題主要考查橢圓方程、定值的知識，屬于較難題．

(1)用x22+y2=1求橢圓C的標準方程；

(2)由題可設A(x0,y0)，B(?x0,?y0)，其中x022+y02=1；證明k1?k2為定值，并求出該定值；

(3)設直線PA的方程為19.解：(1)由題知4a=833c在?PF2F則PF2=PF在?F1F2F∴a2=4,(2)由對稱性可知直線MN的斜率不為0，所以可設直線MN:x=my+n，聯(lián)立直線MN與x則Δ>0?4+m2y