遼寧省盤錦市雙臺(tái)子區(qū)某中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)四模試卷（含解析）

遼寧省盤錦市雙臺(tái)子區(qū)一中學(xué)2024年中考數(shù)學(xué)四模試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.a的平方根是（）

A.2B.72C.±2D.±72

2.如圖，從圓。外一點(diǎn)P引圓。的兩條切線K4,PB,切點(diǎn)分別為A,B,如果NAP3=6O°，PA=8,那么弦

AB的長(zhǎng)是（）

3.下列左圖表示一個(gè)由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數(shù)字表示該位置上小立方塊的個(gè)數(shù)，則該

5.在3,0,-2,--四個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是（)

A.3B.0C.-2D.

6.已知二次函數(shù)y=（x-/z）2（丸為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足-1麴k3時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值V的最小值為4,則

h的值為（）

A.1或5B.-5或3C.—3或1D.—3或5

7.如圖是由五個(gè)相同的小立方塊搭成的幾何體，則它的俯視圖是（）

D.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.函數(shù)y=——^中，自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.x>3B.x<3C.x=3D.x^3

10.萬這個(gè)數(shù)是（）

A.整數(shù)B,分?jǐn)?shù)C.有理數(shù)D.無理數(shù)

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.因式分解：-3x2+6xy-3y2=

12.數(shù)學(xué)的美無處不在.數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)，彈撥琴弦發(fā)出聲音的音調(diào)高低，取決于弦的長(zhǎng)度，繃得一樣緊的幾根弦，

如果長(zhǎng)度的比能夠表示成整數(shù)的比，發(fā)出的聲音就比較和諧.例如，三根弦長(zhǎng)度之比是15：12：10,把它們繃得一樣

緊，用同樣的力彈撥，它們將分別發(fā)出很調(diào)和的樂聲do、mi,so,研究15、12、10這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)發(fā)現(xiàn)：

我們稱15、12、10這三個(gè)數(shù)為一組調(diào)和數(shù).現(xiàn)有一組調(diào)和數(shù)：x,5,3（x>5）,則x的值是.

12151012-----

13.在如圖所示（A,B,C三個(gè)區(qū)域）的圖形中隨機(jī)地撒一把豆子，豆子落在區(qū)域的可能性最大（填A(yù)或B或

C）.

14.一個(gè)圓錐的高為36，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是

15.如圖，四邊形ABCD為矩形，H、F分別為AD、BC邊的中點(diǎn)，四邊形EFGH為矩形，E、G分別在AB、CD

邊上，則圖中四個(gè)直角三角形面積之和與矩形EFGH的面積之比為.

16.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4,NBAD=120。，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD±

滑動(dòng)，且E、F不與B、C、D重合.當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動(dòng)時(shí)，則△CEF的面積最大值是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3,0）,點(diǎn)B（0,3若），點(diǎn)O為原點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)C、D分別在

（II）如圖2,若BD=AC,點(diǎn)B”恰好落在y軸上，求此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（IH）若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)B，落在x軸上，求點(diǎn)B，的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

18.（8分）如圖，半圓O的直徑45=4,線段。4=7,。為原點(diǎn)，點(diǎn)3在數(shù)軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)3在數(shù)軸上所表

示的數(shù)為利當(dāng)半圓。與數(shù)軸相切時(shí)，m=.半圓。與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)另一個(gè)公共點(diǎn)是C

①直接寫出m的取值范圍是.

②當(dāng)BC=2時(shí)，求AAOB與半圓O的公共部分的面積.當(dāng)?shù)膬?nèi)心、外心與某一個(gè)頂點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求

tanZAOB的值.

D

■?

OB

19.(8分)如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線EF與AB、CD的延長(zhǎng)線分別交于E、F.

(1)證明：ABOEg/iXDOF；

20.(8分)分式化簡(jiǎn)：(a-2ab—b-)+a-b

aa

21.(8分)如圖1,在RtAABC中，ZABC=90°,BA=BC,直線MN是過點(diǎn)A的直線CD_LMN于點(diǎn)D,連接BD.

(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC,AD,BD之間有什么數(shù)量關(guān)系.經(jīng)過觀察思考，小明出一種思路:

如圖1,過點(diǎn)B作BELBD,交MN于點(diǎn)E,進(jìn)而得出：DC+AD=BD.

(2)探究證明

將直線MN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置寫出此時(shí)線段DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

(3)拓展延伸

在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)△ABD面積取得最大值時(shí)，若CD長(zhǎng)為1,請(qǐng)直接寫B(tài)D的長(zhǎng).

22.(10分)如圖，某中學(xué)數(shù)學(xué)課外學(xué)習(xí)小組想測(cè)量教學(xué)樓。C的高度，組員小方在A處仰望教學(xué)樓頂端。處，測(cè)得

ZDAC=a,小方接著向教學(xué)樓方向前進(jìn)到8處，測(cè)得NDBC=2a,已知NDG4=90°,AC=24m,tan?=-.

2

(1)求教學(xué)樓。C的高度;

（2）求cos"BC的值.

23.（12分）如圖,AB=16,O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O,B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270。后得到扇

形COD,AP,BQ分別切優(yōu)弧CD于點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)P,Q在AB異側(cè)，連接OP.

萬）；若4APO

(2)D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作（DM,（DM交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)。M與y軸相切時(shí)，sin/BOQ=

(3)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn)

B沿折線B-C-O向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)P作直線PE〃OC,與折線O-B-

A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）.求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、D

【解析】

先化簡(jiǎn)"，然后再根據(jù)平方根的定義求解即可.

【詳解】

；a=2,2的平方根是±&,

，a的平方根是土夜.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平方根的定義以及算術(shù)平方根，先把"正確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題比較容易出錯(cuò).

2、C

【解析】

先利用切線長(zhǎng)定理得到上4=PB,再利用ZAPB=60可判斷APB為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解.

【詳解】

解：PA,PB為。的切線，

:.PA=PB,

ZAPB-60，

APB為等邊三角形，

.-.AB=PA=8.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查切線長(zhǎng)定理，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵.

3、B

【解析】

由俯視圖所標(biāo)該位置上小立方塊的個(gè)數(shù)可知，左側(cè)一列有2層，右側(cè)一列有1層.

【詳解】

根據(jù)俯視圖中的每個(gè)數(shù)字是該位置小立方塊的個(gè)數(shù)，得出主視圖有2歹U,從左到右的列數(shù)分別是2,1.

故選B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了三視圖判斷幾何體，用到的知識(shí)點(diǎn)是俯視圖、主視圖，關(guān)鍵是根據(jù)三種視圖之間的關(guān)系以及視圖和實(shí)物之

間的關(guān)系.

4、D

【解析】

根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解.

【詳解】

VA/§I=9，

又,:(±1)2=9,

A9的平方根是±1,

.?.9的算術(shù)平方根是1.

即病的算術(shù)平方根是1.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn)：算術(shù)平方根.理解定義是關(guān)鍵.

5、C

【解析】

根據(jù)比較實(shí)數(shù)大小的方法進(jìn)行比較即可.根據(jù)正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小即可求解.

【詳解】

因?yàn)檎龜?shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值較大的數(shù)反而較小，

所以；.T.。?

所以最小的數(shù)是一：

故選c.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較，正數(shù)都大于0,負(fù)數(shù)都小于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的反而小.

6、D

【解析】

由解析式可知該函數(shù)在x=/z時(shí)取得最小值0,拋物線開口向上，當(dāng)%>〃時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)工<〃時(shí)，y

隨x的增大而減??；根據(jù)—時(shí)，函數(shù)的最小值為4可分如下三種情況：①若/z<-!Vx<3,x=-1時(shí)，y取得

最小值4；②若-l<hV3時(shí)，當(dāng)x=h時(shí)，y取得最小值為0,不是4；③若當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值4,

分別列出關(guān)于h的方程求解即可.

【詳解】

解：?.?當(dāng)x>h時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)為<〃時(shí)，y隨x的增大而減小，并且拋物線開口向上，

.,.①若/?<-1VXV3,當(dāng)x=—1時(shí)，y取得最小值4,

可得：4=(—1—024,

解得〃=—3或%=1（舍去）;

②若-l〈hV3時(shí)，當(dāng)x=h時(shí)，y取得最小值為0,不是4,

,此種情況不符合題意，舍去；

③若4WxW3<h,當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值4,

可得：4=（3—。）2,

解得：h=5或h=l（舍）.

綜上所述，h的值為-3或5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和最值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和最值分類討論是解題的關(guān)鍵.

7、A

【解析】

試題分析：從上面看易得上面一層有3個(gè)正方形，下面中間有一個(gè)正方形.

故選A.

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖.

8、D

【解析】

利用兩點(diǎn)法可畫出函數(shù)圖象，則可求得答案.

【詳解】

在y=3x+l中，令y=0可得x=-；,令x=0可得y=L

二直線與x軸交于點(diǎn)（-；,0）,與y軸交于點(diǎn)（0,1）,

其函數(shù)圖象如圖所示，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

9、D

【解析】

由題意得，x-及0，

解得存1.

故選D.

10、D

【解析】

由于圓周率7t是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù)，由此即可求解.

【詳解】

解：實(shí)數(shù)兀是一個(gè)無限不循環(huán)的小數(shù).所以是無理數(shù).

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查無理數(shù)的概念，兀是常見的一種無理數(shù)的形式，比較簡(jiǎn)單.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11、-3(x-y)1

【解析】

解：-3P+6xy-3yl=-3(x'+j1-Ixj)=-3(x-j)1.故答案為：-3(x-j)1.

點(diǎn)睛：本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底.

12、1.

【解析】

依據(jù)調(diào)和數(shù)的意義，有』一'=」一』，解得x=l.

5x35

13、A

【解析】

試題分析：由題意得：SA>SB>SC，

故落在A區(qū)域的可能性大

考點(diǎn)：幾何概率

14、187t

【解析】解：設(shè)圓錐的半徑為「，母線長(zhǎng)為/.則

Inr-TTI

{/_/=27

r=3

解得｛,4

I=o

/.S娜j=7rrl=1x3x6=181

15、1：1

【解析】

根據(jù)矩形性質(zhì)得出AD=BC,AD〃BC,ND=90。，求出四邊形HFCD是矩形，得出△HFG的面積是LcDxDH='S

22

矩形HFCD,推出SAHFG=SADHG+SACFG,同理SAHEF=SABEF+SAAEH,即可得出答案.

【詳解】

,??四邊形ABCD為矩形，

；.AD=BC,AD〃BC,ZD=90°

；H、F分另lj為AD、BC邊的中點(diǎn)，

/.DH=CF,DH〃CF,

,.,ZD=90°,

四邊形HFCD是矩形，

AHFG的面積是-CDxDH=-S矩形HFCD，

22

即SAHFG=SADHG+SACFG>

同理SAHEF=SABEF+SAAEH>

...圖中四個(gè)直角三角形面積之和與矩形EFGH的面積之比是1：1,

故答案為1：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，主要考查學(xué)生的推理能力.

16、百

【解析】

解：如圖，連接AC,???四邊形A5C。為菱形，ZBAD=120°,Zl+ZEAC=60°,Z3+ZEAC=60°,：.Z1=Z3,

VZBAD^120°,...NABC=60。，二△ABC和△AC。為等邊三角形，.*.Z4=60°,AC=AB.

在AABE和AACF中，VZ1=Z3,AC=AC,ZABC=Z4,J.AABE^AACF(ASA),；.SAABE=SAACFfS四邊形

AECF=SAAEC+SAACF=SAAEc+Sh.ABE=S^ABC9是定值，作AH_L5C于〃點(diǎn)，貝!15H=2,???S四邊形

11.__________l

AECF=SA.C=5BC?AH二萬BGJ—5"2=4百,由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與3C垂直時(shí)，

邊AE最短，???△AE尸的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又?：SACEF=S

=

一AEF46心2百*J(2拘2一(歷2

四邊形AECF-SAAEF,則此時(shí)ACEF的面積就會(huì)最大,??SACEF~S四邊形AECF

—s]3?

故答案為：6

點(diǎn)睛：本題主要考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)及三角形面積的計(jì)算，根據(jù)AABE也△ACE得出四邊形

AECF的面積是定值是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8題，共72分)

17、(1)D(0,73);(1)C(11-673.11石-18)；(3)B'(1+713?0),(1-岳,0).

【解析】

⑴設(shè)OD為x,貝1|BD=AD=3G—x，在RTZkODA中應(yīng)用勾股定理即可求解；

⑴由題意易證ABDCs^BOA,再利用A、B坐標(biāo)及BD=AC可求解出BD長(zhǎng)度，再由特殊角的三角函數(shù)即可求解；

⑶過點(diǎn)C作CE_LAO于E,由A、B坐標(biāo)及C的橫坐標(biāo)為1,利用相似可求解出BC、CE、OC等長(zhǎng)度；分點(diǎn)B，在A

點(diǎn)右邊和左邊兩種情況進(jìn)行討論，由翻折的對(duì)稱性可知BC=B，C,再利用特殊角的三角函數(shù)可逐一求解.

【詳解】

(I)設(shè)OD為x,

?.?點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B(0,3A/3)，

.\AO=3,BO=3y/3

，AB=6

???折疊

；.BD=DA

在RtZkADO中，OA1+OD1=DA1.

/.9+ODl=(3A/3-OD)1.

：.OD=y/3

AD(0,73)

(II)???折疊

:.ZBDC=ZCDO=90°

.,.CD/7OA

BDBC)

??--=----且BD=AC,

BOAB

.BD_6-BD

??—6

，BD=12岔-18

，OD=36-(12A/3-18)=18-973

*tanZABO=-,

OB3

.ZABC=30°,BRZBAO=60°

.\CD=11-673

AD(11-673.11V3-18)

(III)如圖：過點(diǎn)C作CELAO于E

E/B,x

備用圖

VCE±AO

/.OE=1,且AO=3

AAE=1,

VCE1AO,ZCAE=60°

:.NACE=30。且CE±AO

/.AC=1,CE=73

VBC=AB-AC

/.BC=6-1=4

若點(diǎn)B，落在A點(diǎn)右邊，

1?折疊

.,.BC=B'C=4,CE=V3,CE±OA

：?B'E=VB'C2-CE2=A/13

.*.OB'=1+V13

AB'（1+V13,0）

若點(diǎn)B，落在A點(diǎn)左邊，

???折疊

.,.BC=B'C=4,CE=5CE±OA

；?B'E=7B'C2-CE2=V13

.\OB'=V13-1

AB'（1-V13，0）

綜上所述：B'（1+V13，0）,（1-而'，0）

【點(diǎn)睛】

本題結(jié)合翻折綜合考查了三角形相似和特殊角的三角函數(shù)，第3問中理解B，點(diǎn)的兩種情況是解題關(guān)鍵.

18、（1）底;（2）@V33②△A05與半圓O的公共部分的面積為?+當(dāng)；（3）tanNAOB的值為半

或強(qiáng).

41

【解析】

（1）根據(jù)題意由勾股定理即可解答

（2）①根據(jù)題意可知半圓。與數(shù)軸相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，和當(dāng)0、A、5三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí)，求出兩種情況m的值

即可

②如圖，連接OG得出△3C。為等邊三角形，可求出扇形AOC的面積，即可解答

(3)根據(jù)題意如圖1,當(dāng)05=43時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)5在同一條直線上，作05于點(diǎn)H,設(shè)列出

方程求解即可解答

如圖2,當(dāng)05=。4時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)。在同一條直線上，作于點(diǎn)設(shè)列出方程求解即可

解答

【詳解】

(1)當(dāng)半圓與數(shù)軸相切時(shí)，ABLOB,

由勾股定理得nz=JOA2_AB2=42-42=底,

故答案為屈.

(2)①?.?半圓。與數(shù)軸相切時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)機(jī)=底,

當(dāng)0、4、3三點(diǎn)在數(shù)軸上時(shí)，機(jī)=7+4=11,

半圓。與數(shù)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為庖＜加＜11.

故答案為屈CmCll.

②如圖，連接。C,當(dāng)3c=2時(shí)，

,:BC=CD=BD=2,

...△BCD為等邊三角形,

：.ZBDC=60°,

:.ZADC=120°,

4兀

...扇形ADC的面積為S-=360

T

S/\BDC=QX2X石=石，

???/\AOB與半圓D的公共部分的面積為—+V3；

3

(3)如圖1,

圖1

當(dāng)08=43時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)3在同一條直線上，作于點(diǎn)”，設(shè)B77=x,則7?-(4+x)—-

5田1749

解得x=—，OH=一AH=^H

888

Jl5

AtanZA0B=^-—

7

如圖2,當(dāng)05=04時(shí)，內(nèi)心、外心與頂點(diǎn)。在同一條直線上，作AH_L0b于點(diǎn)H,

0

解得X=,AY

.?.tan/AO"呸5.

41

綜合以上，可得tanNA05的值為巫或超5.

741

【點(diǎn)睛】

此題此題考勾股定理，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心和外心，解題關(guān)鍵在于作輔助線

19、(1)(2)證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，通過“角角邊”證明三角形全等即可；

(2)根據(jù)題意和(1)可得AC與EF互相垂直平分，所以四邊形AECF是菱形.

【詳解】

(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，

.\OB=OD,AE〃CF,

.*.ZE=ZF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

在小BOE^ADOF中，

"ZE=NF

<ZBOE=ZDOF,

0B=0D

/.△BOE^ADOF(AAS).

(2)

證明：?.?四邊形ABCD是矩形，

.\OA=OC,

又?.,由(1)ABOE絲ADOF得，OE=OF,

...四邊形AECF是平行四邊形，

XVEF1AC,

二四邊形AECF是菱形.

20、a-b

【解析】

利用分式的基本性質(zhì)化簡(jiǎn)即可.

【詳解】

'2ab-b2a-ba2-2ab+b2a_(a-bYa_,

a=x-=----<—x-----d—u.

、〃J〃Ia)a—baa—b

【點(diǎn)睛】

此題考查了分式的化簡(jiǎn)，用到的知識(shí)點(diǎn)是分式的基本性質(zhì)、完全平方公式.

21、(1)夜；(2)AD-DC=V2BD；(3)BD=AD=0+1.

【解析】

(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出DC,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系

(2)過點(diǎn)B作BE_LBD,交MN于點(diǎn)E.AD交BC于O,

證明ACDBZAAEB,得到CD=AE,EB=BD,

根據(jù)AB石。為等腰直角三角形，得到DE=0BD，

再根據(jù)Z>E=AD—A￡=AD—CD,即可解出答案.

(3)根據(jù)A、B、C、D四點(diǎn)共圓，得到當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時(shí)，△ABD的面積最大.

在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=1,則易證==

由比>=AD即可得出答案.

【詳解】

由題意：ABAE名ABCD,

/.AE=CD,BE=BD,

，CD+AD=AD+AE=DE,

VABZ組是等腰直角三角形，

?*.DE=yf2BD,

，DC+AD=0BD,

故答案為0.

（2）AD-DC=y/2BD-

證明：如圖，過點(diǎn)B作BELBD,交MN于點(diǎn)E.AD交BC于O.

/.ZABE+ZEBC=ZCBD+ZEBC,

：.ZABE=ZCBD.

,：ZBAE+ZAOB^9Q0,ZBCD+NCOD=9U。,ZAOB=ZCOD,

：.ZBAE=ZBCD,

：.ZABE=ZDBC.又,：AB=CB,

：.ACDB當(dāng)AAEB,

ACD=AE,EB=BD,

，ABD為等腰直角三角形，DE=yf2BD-

?:DE=AD—AE=AD—CD,

：,AD-DC=42BD-

(3)如圖3中，易知A、B、C>D四點(diǎn)共圓，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上且在AB的右側(cè)時(shí)，△ABD的面積

最大.

圖3

此時(shí)DGLAB,DB=DA,在DA上截取一點(diǎn)H,使得CD=DH=L則易證==

：,BD=AD=42+1-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及圖形的應(yīng)用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關(guān)

3

22、(1)12m；(2)-

【解析】

CD

(1)利用tana=——即可求解；

AC

(2)通過三角形外角的性質(zhì)得出==則45=應(yīng)),設(shè)5C=x,則3￡>=AB=24—x,在處BCD

中利用勾股定理即可求出BC,BD的長(zhǎng)度，最后利用cosZDBC=||即可求解.

【詳解】

CD

解:(1)在RtAACD中，tana-......,

AC

CD_1

?,五一5

CD=12cm

答：教學(xué)樓OC的高度為12

(2)ADAC-a.ZDBC=2a

XADB=/DAB=cc

:.AB=BD

設(shè)BC=x,則3D=AB=24—x,

故—+122=(24-4，

解得：x=9.

貝!]6。=24—9=15(m)

故cosN￡>BC=變，3

BD155

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解直角三角形，掌握勾股定理及正切，余弦的定義是解題的關(guān)鍵.

14

23、(1)詳見解析；(2)—萬；(3)4<OC<1.

3

【解析】

(1)連接OQ,由切線性質(zhì)得NAPO=NBQO=90。，由直角三角形判定HL得RtAAPOgRtABQO,再由全等三角

形性質(zhì)即可得證.

(2)由(1)中全等三角形性質(zhì)得NAOP=NBOQ,從而可得P、O、Q三點(diǎn)共線，在RtABOQ中，根據(jù)余弦定義可

得cosB=%,由特殊角的三角函數(shù)值可得NB=30。，NBOQ=60。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得OQ=4,結(jié)合題意可

OB

得NQOD度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可求得答案.

(3)由直角三角形性質(zhì)可得AAPO的外心是OA的中點(diǎn)，結(jié)合題意可得OC取值范圍.

【詳解】

；AP、BQ是。O的切線，

，OP_LAP,OQ1BQ,

AZAPO=ZBQO=90°,

在RtAAPO和RtABQO中,

OP=OQ

OA=OB'

ARtAAPO^RtABQO,

???AP=BQ.

(2)VRtAAPO^RtABQO,

AZAOP=ZBOQ,

???P、O、Q三點(diǎn)共線，

???在RtABOQ中,cosB=^=,

OB82

:.ZB=30o,ZBOQ=60°,

1

AOQ=-OB=4,

VZCOD=90°,

:.ZQOD=900+60°=150°,

小.210?414

??優(yōu)弧QD的長(zhǎng)=——--=-，

1803

(3)解：設(shè)點(diǎn)M為RtAAPO的外心，則M為OA的中點(diǎn)，

VOA=1,

.*.OM=4,

.?.當(dāng)△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OMCOC,

/.OC的取值范圍為4<OC<1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外接圓與外心、弧長(zhǎng)的計(jì)算、扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是：(1)利用全等三角形的判定定理HL證出RtAAPO^RtABQO；(2)通過解直角三角形求出圓的半徑；(3)

牢記直角三角形外心為斜邊的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

24、(4)4；(2)-；(4)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,2)>(-,—),(4,2).

533

【解析】

分析：(4)過點(diǎn)8作BHLOA于如圖4(4),易證四邊形OC3H是矩形，從而有OC=B77,只需在中運(yùn)用

三角函數(shù)求出3H即可.

(2)過點(diǎn)3作于H,過點(diǎn)G作GFLOA于F,過點(diǎn)5作3RL0G于R,連接MN、DG,如圖4(2),

則有OH=2,BH=4,MNLOC.設(shè)圓的半徑為r,貝！JMN=M5=MZ>=r.在RtA中運(yùn)用勾股定理可求出/'=2,從而

得至U點(diǎn)D與點(diǎn)77重合.易證△AFG^AADB,從而可求出A尸、GF、OF,OG、OB.AB.BG.設(shè)OR=x,利用BR2=OB2

-OR2=BG2-RG2可求出比，進(jìn)而可求出在RtA0R5中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題.

(4)由于的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況(①N3〃E=90。，②N8EO=90。，③/OBE=90。)

討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識(shí)建立關(guān)于t的方程就可解決問題.

詳解：(4)過點(diǎn)8作于H,如圖4(4),則有NAffi4=9(F=NCZM,：.OC//BH.

,JBC//OA,.,.四邊形。C8H是矩形，：.OC=BH,BC=OH.

'：OA=6,BC=2,：.AH=OA-OH=OA-BC=6-2=4.

VZBHA=9Q°,ZBAO=45°,

BH

tanZBAH=——=4,：.BH=HA=4,：.OC=BH=4.

HA

故答案為4.

(2)過點(diǎn)3作于H,過點(diǎn)G作G尸，。4于尸，過點(diǎn)3作RRLOG于R,連接MN、DG,如圖4(2).

由(4)得：077=2,BH=4.

與。M相切于N,：.MN±OC.

設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MZ>=r.

■:BC10C,OALOC,J.BC//MN//OA.

'：BM=DM,：.CN=ON,：.MN=^(BC+OD),：.OD=2r-2,：.DH=\OD-OH\=\2r-4\.

在RtABH。中，?.,NBHO=90。，.\BZ>2=BZ/2+Z>H2,/.(2r)2=42+(2r-4)2.

解得：r=2,：.DH=0,即點(diǎn)。與點(diǎn)〃重合，：.BD10A,BD^AD.

,.,5。是。M的直徑，/.ZBGD=9Q°,BPDG1AB,：.BG=AG.

'：GF±OA,BDYOA,J.GF//BD,：./\AFG^/XADB,

.AFGFAG_111

...A尸=-AO=2,GF=—BD=2,：.OF=4,

"AD-HD~AB~2*22

°G=y/0F2+GF2="2+22=275.

同理可得：05=2君，AB=4垃，:.BG=gAB=2桓.

設(shè)0R=x,則RG=2