導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值-2025年高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第3講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測(cè)

借助函數(shù)的圖導(dǎo)函數(shù)圖

象，了解函數(shù)在象的應(yīng)用

該講一直是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).基

某點(diǎn)取得極值的2023新高考卷IITll；

本考法為求極值、最值，已知函

必要條件和充分2023新高考卷IIT22；

數(shù)極值、最值求參數(shù)值(或范

條件；能利用導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)2023全國(guó)卷乙T21；

圍)，難度中等；綜合考法為通

數(shù)求某些函數(shù)的研究函數(shù)2022全國(guó)卷乙T16；

過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、

極大值、極小值的極值2021全國(guó)卷乙T10；

零點(diǎn)、極值點(diǎn)偏移等問(wèn)題，更突

以及給定閉區(qū)間2021全國(guó)卷乙T20；

出應(yīng)用，難度偏大.預(yù)計(jì)2025年

上不超過(guò)三次的2019全國(guó)卷IT20

高考命題常規(guī)，在復(fù)習(xí)備考時(shí)，

多項(xiàng)式函數(shù)的最2022新高考卷IT22；

要會(huì)構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而通過(guò)研究新

大值、最小值；利用導(dǎo)數(shù)2022全國(guó)卷乙T11；

構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解決

體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)研究函數(shù)2022全國(guó)卷甲T6；

問(wèn)題.

性、極值、最大的最值2021新高考卷IT15；

(小)值的關(guān)系.2019全國(guó)卷niT20

。學(xué)生用書(shū)P056

1.函數(shù)的極值

f（X0）=0

xo附近的左側(cè)尸

條件

(x)>0,右側(cè)尸X0附近的左側(cè)/G)0)<0,右側(cè)/(x)②>0

(x)<0

?

圖象

二?.

,A,1

極值f(xo)為極大值③f(xo)為極小值

極值點(diǎn)X0為極大值點(diǎn)xo為⑷極小值點(diǎn)

極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為⑤極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為⑥極值.

易錯(cuò)警示

(1)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)/(X)在X=X1時(shí)取得極大值，則XI為極大值點(diǎn)，極大值為

f(X1).

(2)極大值與極小值的大小沒(méi)有必然關(guān)系，極小值可能比極大值大.

(3)有極值的函數(shù)一定不是單調(diào)函數(shù).

(4)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).例如，f(x)=/,f'(0)=0,但x=0不是

極值點(diǎn).

2.函數(shù)的最大(小)值

如果在區(qū)間［。，6］上函數(shù)y=/(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最

小值.

辨析比較

函數(shù)極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系

極值最值

(1)極值是個(gè)“局部”概念，只

(1)最值是個(gè)“整體”概念，可以在

能在定義域內(nèi)部取得；(2)在指

區(qū)別區(qū)間的端點(diǎn)處取得；(2)最值(最大

定區(qū)間上極值可能不止一個(gè)，也可

值或最小值)最多有一個(gè).

能一個(gè)都沒(méi)有.

(1)極值有可能成為最值，最值只要不在區(qū)間端點(diǎn)處必定是極值；

聯(lián)系(2)在區(qū)間｝，6］上圖象是一條連續(xù)曲線的函數(shù)/(x)若有唯一的極值，則

這個(gè)極值就是最值.

1.［易錯(cuò)題］下列說(shuō)法正確的是(C)

A.函數(shù)的極大值比極小值大

B.函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)的極大值是唯一的

C.函數(shù)的最大值不一定是極大值，極大值也不一定是最大值

D/Go)=0是猶為可導(dǎo)函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)的充分不必要條件

解析對(duì)于A,由極大值與極小值的概念可知，函數(shù)的極大值不一定比極小值大；對(duì)于

B,函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)如果有最大值，則最大值是唯一的，但極大值不一定；對(duì)

于C,由極大值與最大值的概念可知C正確；對(duì)于D,在函數(shù)的極值點(diǎn)處/(xo)=0,但

是使/Go)=0成立的xo未必是極值點(diǎn)，如當(dāng)xo為定義域的左右端點(diǎn)時(shí)/(xo)可以等于

0,但此時(shí)xo不是極值點(diǎn).

2.設(shè)函數(shù)/G)的定義域?yàn)镽,xo(xoNO)是/(x)的極大值點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的

是(D)

A.VxGR,/(x)W/(xo)8.一猶是夕=/(一工)的極小值點(diǎn)

C.一枇是(x)的極小值點(diǎn)D.—xo是(—x)的極小值點(diǎn)

解析極值是函數(shù)的一種局部性質(zhì)，因此不能確定在整個(gè)定義域上/(X0)是否最大，故A

錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)y(x)與7=/(—x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以一X0是y=/(―x)的極

大值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)/1(x)與y=—/(X)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以祝是>=

—/(x)的極小值點(diǎn)，而一xo是否為y=—/(x)的極小值點(diǎn)不確定，故C錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)

f(x)與>=—/(—x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以一xo是y=—/(―x)的極小值點(diǎn)，選項(xiàng)

D正確.

3.［2024遼寧省部分學(xué)校聯(lián)考］函數(shù)/(x)=(—2x+4)e"在區(qū)間［1,+<=?)上的最大值為_(kāi)

2e.

解析f(x)=(—2x+2)ev,當(dāng)xG［1,+°°)時(shí)，f'(x)WO,f(x)單調(diào)遞減，所以

f(x)max=/(1)=2e.

4.若函數(shù)/(x)=必一ax2+2x-I有極值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-8,一承))

U(+8).

解析由已知，得/(x)=3N—2ax+2.因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有極值，所以/(x)=0有變號(hào)

零點(diǎn)，所以A=4〃-24>0,解得a>連或a<一逐，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(一8,

-V6)U(V6,+8),

f---------------------------：????明也方向----------------------------------->

。學(xué)生用書(shū)P057

命題點(diǎn)1導(dǎo)函數(shù)圖象的應(yīng)用

例1(1)［浙江高考］函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)>=/'(x)的圖象如圖所示，則

函數(shù)>=/(x)的圖象可能是(D)

CD

解析根據(jù)題意，已知導(dǎo)函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，且每個(gè)交點(diǎn)的兩邊導(dǎo)函數(shù)值的符

號(hào)相反，因此函數(shù)/(X)在這些零點(diǎn)處取得極值，根據(jù)/1(X)有兩個(gè)極小值和一個(gè)極大值

可排除A,C；記導(dǎo)函數(shù)/(X)的零點(diǎn)從左到右分別為XI,X2,X3,又在(一8,XI)上

f(X)<0,在(XI,X2)上/(X)>0,所以函數(shù)/(X)在(-8,X1)上單調(diào)遞減，在

(XI,X2)上單調(diào)遞增，由X2>0排除B.故選D.

(2)［多選/2024陜西省漢中市聯(lián)考］設(shè)/(X)是函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，y=f(x)的圖象

如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是(BC),［

A.函數(shù)一定有三個(gè)零點(diǎn)Itr,自：

B.函數(shù)一定有三個(gè)極值點(diǎn)

C.函數(shù)有最小值

D.函數(shù)圖象一定經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

解析易知函數(shù)/(x)在(-8,o),(1,2)上單調(diào)遞減，在(0,1),(2,+°°)

上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)一定有三個(gè)極值點(diǎn)0,1,2,B正確；函數(shù)/(x)有最小值，

為7(0),/(2)中的較小者，C正確；函數(shù)/(x)的圖象可能都在x軸上方，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)

可能是0,A錯(cuò)誤；函數(shù)/(x)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選BC.

方法技巧

根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值的方法

(1)由的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y=/(x)的可能極值點(diǎn).

(2)由y=，(x)的圖象可以看出了=/(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y=/(x)的單

調(diào)性，進(jìn)而求得極值(點(diǎn)).

注意要看清楚所給圖象是原函數(shù)的圖象還是導(dǎo)函數(shù)的圖象.

訓(xùn)練1［多選］已知函數(shù)>=/(x)的導(dǎo)函數(shù)>=尸(x)的、

圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(AB)匚/⑴

A/(a)<f⑹<f(c)/T\/

B/(e)</(J)</(c)\丫j\d/

3Fo<\;A

C彳=<：時(shí)，/a)取得最大值

D.x="時(shí)，f(x)取得最小值

解析由(x)的圖象可知，當(dāng)xG(—8,c)u(e,+8)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)xe

(c,e)時(shí)，f(x)<0.所以/(x)在(-8,c),(e,+°°)上單調(diào)遞增，在(c,e)

上單調(diào)遞減.對(duì)于A,因?yàn)閍<b<c,所以/(a)</(6)</(c),A正確；對(duì)于B,因?yàn)?/p>

c<d<e,所以/(e)</(d)<f(c),B正確；對(duì)于C,由單調(diào)性知/(c)為極大值，

當(dāng)x>e時(shí)，可能存在了(xo)>/(c),C錯(cuò)誤；對(duì)于D,由單調(diào)性知/(e)</(d),D

錯(cuò)誤.

命題點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

角度1求函數(shù)的極值

例2［全國(guó)卷n］若X=—2是函數(shù)/(x)=32+1)e「i的極值點(diǎn)，則/(X)的極小值

為(A)

A.-lB.-2e3C.5e-3D.l

解析因?yàn)?(x)=(x2+ax—1)ex-1,所以/(x)=(2x+a)evl+(x2+ax—1)

=[N+(a+2)x+a—1]廿一i.因?yàn)閤=-2是函數(shù)/(x)=(x2+ax-1)的極值點(diǎn)，所

以-2是N+(a+2)x+a—1=0的根，將工=—2代入解得°=—1,所以/(x)=(x2

+x—2)er-1=(x+2)(x—1)e^r.令/(x)>0,解得x<—2或x>l,令/(x)<

0,解得一2<X<1,所以f(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(一2,1)上單調(diào)遞減，

在(1,+°°)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)X=1時(shí)，/(X)取得極小值，且/(X)板小值=/(1)=

-1,故選A.

方法技巧

求可導(dǎo)函數(shù)/(X)的極值的步驟

(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)(X);

(2)求方程/(x)=0的根；

(3)判斷了，(x)在方程(x)=0的根附近的左右兩側(cè)的符號(hào)；

(4)求出極值.

角度2已知函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)

例3(1)［多選〃023新高考卷n］若函數(shù)/(x)=alnx+：+/QW0)既有極大值也有極

小值，則(BCD)

A.bc>0B.ab>0

C.b2-\~Sac>0D.QCVO

解析因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=qlnx+g+g(qWO),所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,

+°°),/(%)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)既有極大值也有極小值，所以關(guān)于x的方程

(△>0,(b2+8ac>0,

Q/—bx—2c=0有兩個(gè)不等的正實(shí)根Xl,X2,貝可1%1+%2>。，即卜>。'所以

>。，I—名>0,

Ia

b2+8ac>0,

ab>0?故B，C,D正確.因?yàn)槿?gt;0,ac<09所以bcVO,A錯(cuò)誤，故選BCD。

ac<0.

(2)［開(kāi)放題/2023北京市第五十五中學(xué)4月調(diào)研］已知函數(shù)/(x)=(x—a)(x—3)2

(Q￡R),當(dāng)％=3時(shí)，/(x)有極大值.寫(xiě)出符合上述要求的一個(gè)Q的值：4(答案不唯

一，滿足a>3即可).

解析由題意得，f(x)=(x—3)2+(x—a)X2(x—3)=(x—3)(x—3+2x—

2Q)=(x—3)(3x—2a—3),令/(x)=0,解得x=3或％=臂士

當(dāng)警>3,即a>3時(shí)，f(x)在(-8,3)上單調(diào)遞增，在(3,等)上單調(diào)遞減，所

以/(x)在％=3時(shí)取極大值.

所以q>3,〃可取4,故答案為4(答案不唯一，滿足〃>3即可).

方法技巧

已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)

列式根據(jù)極值以及極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0列方程(組)，利用待定系數(shù)法求解.

因?yàn)?，(猶)=0不是X0為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)

驗(yàn)證

證根的合理性.

注意若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上存在極值點(diǎn)，則y=/(x)在(°,6)上不是單

調(diào)函數(shù)，即函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn).

訓(xùn)練2(1)［多選］曲線/(x)=a(x+1)e"在點(diǎn)(-1,/(-I))處的切線方程為^=

則下列說(shuō)法正確的是(

-ex+b,AC)

A.a=l,b=-B.f(x)的極大值為當(dāng)

C.f(x)的極小值為一點(diǎn)D.f(x)不存在極值

解析依題意，f(x)=aex+a(x+1)ex=Cax+la)巴fr(-1)=6ze-1=|,解得a=

1,所以/(x)=(x+1)e^,f(x)=(x+2)廿.又/(一1)=0,所以:義(―1)+b=

0,所以故A正確.令/G)=0,解得％=—2,當(dāng)、￡(一8,-2)時(shí)，fr(%)<

0,函數(shù)/(x)在(-8,—2)上單調(diào)遞減；當(dāng)工￡(—2,+°°)時(shí)，/(％)>0,函數(shù)/

(x)在(-2,+°°)上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=—2時(shí)，函數(shù)/(%)取極小值，

即/(一2)=一±/(x)的極大值不存在，故B,D錯(cuò)誤，C正確.故選AC.

(2)已知函數(shù)/(%)=X3+"2+隊(duì)+次在％=i處有極值I。，則4=4,b=-11.

解析/'(x)=3N+2ax+6.由題意，得/⑴=0，即+3=0,解得

1/(1)=10,［a2+a+b+1=10,

［或卜一'當(dāng)a=4,b——11時(shí)，f(x)—3x2+8x—11=(3x+11)(x—

U=-ll5=3.

1),在X=1附近的左右兩側(cè)，/，(X)異號(hào)，此時(shí)函數(shù)/(X)在X=1處有極值；當(dāng)4=

—3,6=3時(shí)，ff(x)=3/—6X+3=3(%—1)2,在x=l附近的左右兩側(cè)，恒有/'G)

>0,不變號(hào)，此時(shí)函數(shù)/(%)在％=1處無(wú)極值.綜上，Q=4,6=-11.

命題點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值

角度1求函數(shù)的最值

例4［2022全國(guó)卷乙］函數(shù)/(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間［0,2捫的最小值、最大

值分別為(D)

c.--,-+2D.--,-+2

2222

解析由/(x)=cosx+(x+1)sinx+1,[0,2K],得/(x)=_sinx+sinx+

(x+1)cosx=(x+1)cosx.

令/(x)=0,解得x=-1(舍去)或或x=多.

因?yàn)?0)=co吟+(=+1)sin=+l=2+p/(y)=COSy+(y+1)siny+1=-y,又

f(0)=cos0+(0+1)sin0+1=2,/(2兀)=cos2兀+(2兀+1)sin2K+1=2,

所以/(x)max=/0)=2+pf(X)min=/號(hào))=一手故選D.

方法技巧

求函數(shù)/(x)在［Q,加上的最值的方法

(1)若函數(shù)/(X)在區(qū)間［。，6］上單調(diào)遞增(遞減)，則/(Q)為最小(大)值，/(b)

為最大(小)值；

(2)若函數(shù)/(X)在區(qū)間(Q,b)內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在(。，6)內(nèi)的極值，再與

/(〃)，/(6)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；

(3)函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，此結(jié)論在

導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

角度2已知函數(shù)的最值求參數(shù)

例5［全國(guó)卷HI］已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2-\-b.

(1)討論/(x)的單調(diào)性.

(2)是否存在〃，b,使得/G)在區(qū)間［0,1］上的最小值為一1且最大值為1?若存在，

求出〃，6的所有值；若不存在，說(shuō)明理由.

解析(1)對(duì)f(%)=2x3—qN+b求導(dǎo)，得/(x)=6x2—2ax=2x(3x—。).

令/(x)=0,得x=0或

若。>0,則當(dāng)工￡(—8,0)U§+8)時(shí)，/(工)>0；當(dāng)工￡(0,學(xué)時(shí)，/(x)

V0.故/(x)在(-8,0)和(1,+°°)上單調(diào)遞增，在(0,p上單調(diào)遞減.

若。=0,則/(x)在R上單調(diào)遞增.

若。<0,則當(dāng)工￡(—8,全U(0,+8)時(shí)，/(%)>0；當(dāng)工￡0)時(shí)，/(x)

VO.故/(%)在(一8,1)和(o,+°°)上單調(diào)遞增，在0,0)上單調(diào)遞減.

(2)滿足題設(shè)條件的Q,b存在.

(i)當(dāng)a<0時(shí)，由(1)知，/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以/(%)在區(qū)間［0,1］上的

最小值為/(0)=b,最大值為/(I)=2—a+b,所以b=—1,2—a+b=l,則a=0,b

=—1,與QVO矛盾，所以QVO不存在.

(ii)當(dāng)a=0時(shí)，由(1)知，/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，所以由/(0)=-1,f(1)=

1得q=0,b=-l.

(iii)當(dāng)0V〃V3時(shí)，由⑴知，/(x)在(0,p上單調(diào)遞減，在0,1)上單調(diào)遞

增，所以/(x)在［0,1］上的最小值為了守=—^+b=—\,最大值為/(0)=6或

/(1)=2—a~\~b.

若一白6=—1,6=1,則a=3冠，與0c。<3矛盾.

若一|^+6=—1,2~a-\-b=1,貝Ia=3百或a=-3B或a=0,與0<a<3矛盾.

(?)當(dāng)時(shí)，由(1)知，/(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，所以/(x)在區(qū)間［0,1］上的

最大值為/(0)=b,最小值為/(I)=2~a+b,所以2—a+b=—1,Z?=l,則q=4,b

=1.

綜上，滿足題設(shè)的a,b存在.當(dāng)q=0,6=—1或。=4,6=1時(shí)，/(%)在區(qū)間［0,1］上的

最小值為一1且最大值為1.

訓(xùn)練3(1)［2021新高考卷I］函數(shù)/(x)=I2x-lI—21nx的最小值為1.

解析函數(shù)/(%)=|2x—1I—21nx的定義域?yàn)?0,+°°).

①當(dāng)時(shí)，(對(duì)X進(jìn)行分類(lèi)討論)

/(x)=2x-l-21nx,所以/(x)=2-：=2］>,當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x>l

時(shí)，f(x)>0,所以y(x)min=/(l)=2-l-21n1=1;

②當(dāng)時(shí)，f(x)=1—2x—21nx在(0,上單調(diào)遞減，所以/(x)min=/(|)=

—21n-=21n2=ln4>lne=1.

2

綜上，f(X)mm=l.

(2)［2024河北省新樂(lè)市第一中學(xué)月考］已知函數(shù)/(x)=31nx—N+(0—Px在區(qū)間

(1,3)上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(g苫).

解析f(x)=|-2x+(。一夕，且廣(x)在(1,3)上單調(diào)遞減，由題知函數(shù)/(x)

在區(qū)間(1,3)上有最大值，則需滿足了，(x)在(1,3)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，故

了,(1)>0,3—2+a~~>0,111i

?解得一工<.<11,即實(shí)數(shù)0的取值范圍為(一工，丑).

廠(3)<0,l-6+a--<0,2222

2

1.［命題點(diǎn)2/多選/2022新高考卷I］已知函數(shù)/(x)=x3-x+l,貝!J(AC)

A/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

B/(%)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱(chēng)中心

D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

解析因?yàn)?'(x)—x3—x+l,所以/(x)—3x2—l,令/(x)=3/-1=0,得丫=±］.

由/(x)=3〃-1>0得x>苧或xV一條由/(x)=31一1<0得詈4〈率所以

f(x)=3—x+1在(?，+8),(_8,一弓)上單調(diào)遞增，在(一弓，手)上單調(diào)遞

減，所以/'(X)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確.

因?yàn)?(X)的極小值/(亨)=(爭(zhēng)3—畀1=1—等>0,/(—2)=(—2)3—(-2)

+1=-5<0,所以函數(shù)/(x)在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.

因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=%3—X的圖象向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)/(x)=%3—x+1的圖象，函

數(shù)g(x)=%3—X的圖象關(guān)于原點(diǎn)(o,0)中心對(duì)稱(chēng)且g(0)=0,所以點(diǎn)(0,1)

是曲線/(x)=/—x+1的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確.

假設(shè)直線y=2x是曲線(X)的切線，切點(diǎn)為(X0,次)，則/(Xo)=3就-1=2,解

得xo=±l.若xo=l,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),但點(diǎn)(1,1)不在直線y=2x上，若xo=

-1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,1),但點(diǎn)(一1,1)不在直線y=2x上，所以假設(shè)不成立，故

D錯(cuò)誤.故選AC.

2.［命題點(diǎn)2/2021全國(guó)卷乙］設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)/(x)=a(%—q)2Cx-b)的極大值

點(diǎn)，則(D)

A.a<bB.a>bC.abVa2D.ab>a1

解析解法一(分類(lèi)與整合法)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=a(x—a)2(x—b),所以/(x)=

2a(x—Q)(x—b)~\~a(%—q)2=a(x—a)(3x—q—2b).令/(x)=0,結(jié)合aWO可

得x=a或x=/券.

(1)當(dāng)q>0時(shí)，

①若—>a,即6>a,此時(shí)易知函數(shù)/(x)在(-8,°)上單調(diào)遞增，在(°,等)上

單調(diào)遞減，所以x=a為函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意；

②若史”=°,即6=a,此時(shí)函數(shù)/(x)—a(x—a)3在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足

題意；

③若等<a,即6<a,此時(shí)易知函數(shù)/(x)在(喑a)上單調(diào)遞減，在(a,+^)上

單調(diào)遞增，所以x=a為函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，不滿足題意.

(2)當(dāng)a<0時(shí)，

①若史三>a,即6>a,此時(shí)易知函數(shù)/(X)在(-8,°)上單調(diào)遞減，在(a,5黃)上

單調(diào)遞增，所以x=a為函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，不滿足題意；

②若組f=〃，即b=a,此時(shí)函數(shù)/(x)=a(X—Q)3在R上單調(diào)遞減，無(wú)極值點(diǎn)，不滿足

題意；

③若等<a,即6<a,此時(shí)易知函數(shù)/(x)在(等，a)上單調(diào)遞增，在(a,+-)上

單調(diào)遞減，所以X=Q為函數(shù)/(X)的極大值點(diǎn)，滿足題意.

綜上，a>0且6>a滿足題意，a<0且也滿足題意.據(jù)此，可知必有附>/成立.故選

D.(解題技巧：分類(lèi)討論之后，需要及時(shí)整合，有利于進(jìn)一步分析、求解)

解法二(特值排除法)當(dāng)。=1,6=2時(shí)，函數(shù)/(x)=(x—1)2(x—2),畫(huà)出該函

數(shù)的圖象如圖1所示，可知x=l為函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意.從而，根據(jù)a=l,b

=2可判斷選項(xiàng)B,C錯(cuò)誤.當(dāng)°=-1,6=—2時(shí)，函數(shù)/(x)=—(x+1)2(x+2),畫(huà)

出該函數(shù)的圖象如圖2所示，可知x=—1為函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)，滿足題意.從而，根據(jù)

a=-l,6=—2可判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤.綜上，選D.

解法三(數(shù)形結(jié)合法)當(dāng)。>0時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖3所示,

觀察可知b>a.

當(dāng)a<0時(shí)，根據(jù)題意畫(huà)出函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖4所示，觀察可知a>6.

綜上，可知必有06>°2成立.故選D.

3.［命題點(diǎn)2角度2/2022全國(guó)卷乙］已知x=xi和x=X2分別是函數(shù)/(x)^2ax-ex2(a>0

且aWl)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若xi<應(yīng)，則。的取值范圍是(工，1).

e

解析由題意，f(x)=2aHna—2ex,根據(jù)/(x)有極小值點(diǎn)x=xi和極大值點(diǎn)x=%2可

知，X=X\,X=X2為f3=0的兩個(gè)不同的根，又X1〈X2,所以易知當(dāng)(—8,

Xl),(X2,+°°)時(shí)，f(%)<0；當(dāng)(xi,X2)時(shí)，f(%)>0.

由/(x)=0可得。*lnq=ex.

解法一因?yàn)椤?gt;0且aWl,所以顯然xWO,

令g(X)=歲，則g(X)的圖象與直線y=e有兩個(gè)交點(diǎn)，g-(X)"majFna

axlna[0na)x—1]

■

令g，(x)=0,得.故當(dāng)時(shí)，gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)-時(shí)，

InaInaIna

g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以g(x)w=g(+)=05吧=益(Ina)2,也是最小值.

Ina

1

所以a嬴(Ina}2<e,

1logae

因?yàn)镼嬴=Qlogaa=alo§ae=e,

所以(In6Z)2<1,

若Q>1,則當(dāng)X—+8時(shí)，f(%)一+8,不符合題意，

-i

所以0<a<l,則一l<lna<0,-<a<l.

e

所以ad(i,1).

e

解法二若Q>1,則當(dāng)X—+8時(shí)，f(x)一+8,不符合題意，舍去.

若0Va<l,令g(x)=ax\na,h(x)=ex,

在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)和fl(%)的大致圖象，如圖所示.

因?yàn)?(x)=0有兩個(gè)不同的根，所以g(%)與〃(x)的圖象需要有兩個(gè)交點(diǎn)，

則過(guò)原點(diǎn)且與g(%)的圖象相切的直線/的斜率左Ve.

設(shè)直線/與g(x)的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,aXoln?),因?yàn)間，(x)=ax(Ina)2,

所以左=謨。(Ina)2=吧吧，可得配=3，

XQIna

1

從而左=a■嬴(Ina)2<e,即e(Ina)2<e,則(Ino)2<1,又0Vq<l,所以一l<lna<

0,所以aG(1,1).

e

4.［命題點(diǎn)3角度1/江蘇高考］若函數(shù)/(x)=2xi-ax2+l(aGR)在(0,+°°)內(nèi)有且

只有一個(gè)零點(diǎn)，則/G)在［-1,11上的最大值與最小值的和為一3.

解析f(x)=6x2—2ax=2x(3%-a)(aGR),當(dāng)aWO時(shí)，f(x)>0在(0,+°°)

上恒成立，則/(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增.又/'((J)=1,所以此時(shí)一(X)在(0,

+8)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不滿足題意.當(dāng)a>0,x>0時(shí)，由/(x)>0得x>1由/(x)<0得

0<x<1,則/(x)在(0,弓)上單調(diào)遞減，在0,+°°)上單調(diào)遞增.又了(X)在(0,

3

+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以/0n)=-—n+1=0,解得0=3.所以/(x)=2x3-3x2

+1,則/(x)=6x(x-1),當(dāng)xG(-1,0)時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)

XG(0,1)時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

則/(x)在［-1,1］上的最大值為7(0)=1.又/(-1)=-4,/(1)=0,則/(x)在

［—1,1］上的最小值為-4,所以/'(x)在［—1,1］上的最大值與最小值的和為一3.

(--------------------:練習(xí)幫：，練透好題精準(zhǔn)分層--------------------------

。學(xué)生用書(shū)?練習(xí)幫P279

■砒練;儀通關(guān)

1.函數(shù)/(x)=x+2cosx在區(qū)間［0,自上的最大值是(C)

A.-+1B,-+V2C.-+V3D.-

3462

解析f(x)=l—2sinx.當(dāng)OVxV時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，

662

f(x)<0,f(X)單調(diào)遞減.所以函數(shù)/(X)在處取得極大值也是最大值，即/(X)

6

x=m+2cosB=m+V^.故選C.

1mo66

2.已知函數(shù)/(x)=21nx+aN-3x在x=2處取得極小值，則/(x)的極大值為(B)

A.2B.--

2

C.3+ln2D.-2+21n2

解析f(x)=：+2辦-3(x>0),'：f(x)在x=2處取得極小值，：.f(2)=4a—2=

2

0,解得a=3：.f(x)=2\nx+-x-3x,f(x)=2+x-3=「Dd〉,在

(0,1),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，.../(x)的極大值為/(I)

3.［2022全國(guó)卷甲］當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(x)=alnx+g取得最大值一2,則/(2)=

(B)

11

A.-lB.-4C.=D.1

22

解析由題意知，/⑴=qln1+6=6=—2.因?yàn)?(x)=：—尚■(X>0),所以尸⑴=

cr~b=0,所以a=—2,所以/(2)=：—2=—2.故選B.

4.若函數(shù)/G)=/—(a+2)x+alnx既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(B)

A.(―8,2)U(2,+8)B.(0,2)U(2,+8)

C.(2,+8)D.⑵

解析因?yàn)?(x)既有極大值又有極小值，且廣(X)=2X一。-2+/=止矢石*=

，2x-a)(xT>(x>0)所以/(x)=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解，所以2>0且與勺，解得

x22

a>0且QW2.

5.［多選］函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)/，(x)的圖象如圖所示，則以下命題錯(cuò)誤的是

(BD)

A.x=-3是函數(shù)》=/(%)的極值點(diǎn)

B.x=-1是函數(shù)y=/(x)的最小值點(diǎn)

C.y=f(x)在區(qū)間(—3,1)上單調(diào)遞增

D.曲線歹=/(%)在x=0處切線的斜率小于零

解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可知當(dāng)工￡(—00,—3)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)(—3,+00)

時(shí)，f(x)20,所以函數(shù)(x)在(-8,—3)上單調(diào)遞減，在(-3,+°°)上單

調(diào)遞增，則x=-3是函數(shù)>=/(%)的極值點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)(x)在(-3,+°°)上單調(diào)

遞增，所以x=-1不是函數(shù)>=/(%)的最小值點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)>=/(%)在％=0處的導(dǎo)數(shù)大

于0,所以曲線》=/(%)在％=0處切線的斜率大于零.故選BD.

6.［2024河南省商丘市部分學(xué)校聯(lián)考］若函數(shù)/(%)=/—12x在區(qū)間(a,6Z+4)上存在最

大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一(一6,—2).

解析因?yàn)?(x)=x3-12x,所以/(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),由/(x)>

0,得xV—2或x>2,則/(x)在區(qū)間(—8,-2)和(2,+8)上單調(diào)遞增，由

/G)<0,得一2VxV2,則/(x)在區(qū)間(一2,2)上單調(diào)遞減，所以/(%)在1=—2

處取得極大值，在x=2處取得極小值.

要使函數(shù)/(x)=%3—12%在區(qū)間(a,。+4)上存在最大值，又(Q+4)—Q=4,貝1J

fCLV-2,

{解得一6VQV—2,即實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(一6,-2).

I—2Va+4,

7.［2021北京高考］已知函數(shù)/(x)=亢.

(1)若a=0,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在x=—1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.

解析因?yàn)?(x)=守，所以/(x)=(3-2x)")=

/+a，(x2+a)

2x2—6x~2a

(x2+a)

(1)若a=0,則/⑴=-4,f(1)=1,

則曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y—1=—4(X—1),即4x+y—5=o.

(2)由函數(shù)/(%)在x=—1處取得極值可知/(-1)=0,即&2a2=0,解得。=4.

(l+a)

此時(shí)/(X)=學(xué)，所以/(X)=2(I)”)

/+4(X2+4)

當(dāng)(—8,—1)U(4,+°°)時(shí)，/(％)>0,所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為

(―00,—1),(4,+°°);

當(dāng)工￡(-1,4)時(shí)，/(x)<0,所以/G)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4).

又當(dāng)工——8時(shí)，f(%)—0,當(dāng)工一十8時(shí)，f(%)-o,

所以/(x)的最大值為/(—I)=1,/(%)的最小值為/(4)=-

能力練

8.若直線>="+6為函數(shù)/G)=lnx—：圖象的一條切線，則2a+b的最小值為

(B)

1

A.ln2B.ln2--

2

C.lD.2

解析函數(shù)/(%)的定義域是(0,+8),/G)=}+盤(pán)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(配，次)，則

yo~Inxo一~~96Z=--p-y,所以切線方程為〉一(Inxo—-—)=(工+鼻)(x—%o),即y=

%o%0%oXQXoXQ

(2+與x—1+Inxo——,與已知對(duì)照，得b=-1+Inxo——,所以2q+b=lnxo+馬-1.

%ox0XQ%O%O

構(gòu)造函數(shù)g⑺=lnt+^—l(/>0),貝Ug'⑺=L=(t+2；￡2),所以函數(shù)g⑺在

(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)/=2時(shí)，g(t)取得最小值，為

11

In2-所以(2〃+b)min=In2一萬(wàn).故選B.

9.［2023南京市六校聯(lián)考］已知xi,血是函數(shù)/(x)=^—：辦2的兩個(gè)極值點(diǎn)，且X2=2XI,

則實(shí)數(shù)。的值為(C)

A，4B.—C.—D.—

Ve2ln22

解析因?yàn)?(x)=^—^ax2,所以f1(x)=ex-ax.

因?yàn)閤i,也是函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以di—辦］=0,

,px2,pXip2%i

e%2一辦2=0,顯然xiWO,X2WO,所以a=—=—.因?yàn)椋I所以一=——,即2e^i=

X22=2,%12%1

c%1pln22,

e2%1,得e%i=2,所以％i=ln2,a——P===777.故選C.

m2ln2

10.［多選/2023廣州市二檢］已知函數(shù)/'(x)=1—重:的定義域是［a,b\(a,Z>ez),值

域?yàn)椋?,1］,則滿足條件的整數(shù)對(duì)(a,6)可以是(ACD)

A.(—2,0)B.(-1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

解析顯然y=l—(x￡R)是偶函數(shù)，我們先分析當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)y=l—1普的單調(diào)

性.

2

、八…141.4(x—4)

當(dāng)x>°時(shí)'yn—不,則m夕’=不L，

令j/=o,得x=2,當(dāng)0Vx<2時(shí)，V<0,y=l—箋：?jiǎn)握{(diào)遞減;

當(dāng)x>2時(shí)，y'>0,y=l—4△單調(diào)遞增.

x+4

所以x=2為極小值點(diǎn)，極小值為0.

又當(dāng)x=0時(shí)，y=l,當(dāng)x-+8時(shí)，y—1,所以作出y=l一+J的大致圖象如圖所示.

對(duì)A,當(dāng)xd［—2,0］時(shí)，由圖象可知，/(X)e［0,1］,故A滿

足條件；—

對(duì)B,當(dāng)1］時(shí)，/(-1)=/⑴則/(x)e［lI］,故B不滿足條件;

對(duì)C,當(dāng)xG［o,2］時(shí)，由圖象可知，y(x)e［0,1］,故C滿足條件；

對(duì)D,當(dāng)xe［—1,2］時(shí)