結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：位移法：位移法在有限元分析中的應(yīng)用

結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)概念：位移法：位移法在有限元分析中的應(yīng)用1結(jié)構(gòu)力學(xué)與位移法簡介1.1結(jié)構(gòu)力學(xué)概述結(jié)構(gòu)力學(xué)是研究結(jié)構(gòu)在各種外力作用下變形和內(nèi)力分布的學(xué)科。它主要關(guān)注結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性、強度和剛度，是土木工程、機械工程、航空航天工程等領(lǐng)域的基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究對象包括梁、板、殼、框架、桁架等，通過分析這些結(jié)構(gòu)在荷載作用下的響應(yīng)，可以預(yù)測結(jié)構(gòu)的安全性和性能。1.2位移法概念位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)分析中的一種方法，它以結(jié)構(gòu)的位移作為基本未知量，通過建立位移與內(nèi)力之間的關(guān)系，求解結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移、應(yīng)力和應(yīng)變。位移法的核心是利用位移函數(shù)來描述結(jié)構(gòu)的變形，這些函數(shù)需要滿足結(jié)構(gòu)的邊界條件和連續(xù)性條件。1.2.1位移函數(shù)位移函數(shù)通常采用多項式、三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)等形式，它們能夠近似描述結(jié)構(gòu)在荷載作用下的變形。例如，在梁的分析中，位移函數(shù)可以是關(guān)于梁長度的多項式，形式如下：u其中，ux是梁在x位置的位移，ai1.2.2邊界條件邊界條件是位移法中不可或缺的一部分，它規(guī)定了結(jié)構(gòu)在邊界上的位移或轉(zhuǎn)角。例如，對于一端固定的梁，其邊界條件可以是：u這表示梁的固定端位移和轉(zhuǎn)角均為零。1.3有限元分析的基本原理1.3.1有限元法簡介有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值分析方法，用于求解復(fù)雜的工程問題。它將結(jié)構(gòu)分解成許多小的、簡單的單元，每個單元的位移和內(nèi)力可以通過解析或數(shù)值方法求解，然后將這些單元的解組合起來，得到整個結(jié)構(gòu)的解。1.3.2單元分析在有限元分析中，每個單元的分析基于位移法。單元的位移函數(shù)通常采用線性或二次多項式，以確保計算的精度和效率。例如，對于一個線性梁單元，其位移函數(shù)可以是：u其中，a0和a11.3.3整體分析將所有單元的分析結(jié)果組合起來，形成整個結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和荷載向量，然后求解位移向量。這個過程可以通過以下線性方程組表示：K其中，K是結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，U是位移向量，F(xiàn)是荷載向量。1.3.4示例：使用Python進(jìn)行簡單梁的有限元分析importnumpyasnp

#定義單元剛度矩陣

defunit_stiffness(E,I,L):

"""

計算梁單元的剛度矩陣

:paramE:材料的彈性模量

:paramI:截面的慣性矩

:paramL:單元的長度

:return:單元的剛度矩陣

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義整體剛度矩陣

defglobal_stiffness(units):

"""

計算整體剛度矩陣

:paramunits:單元列表，每個單元包含剛度矩陣和連接節(jié)點

:return:整體剛度矩陣

"""

n=len(units)+1#總節(jié)點數(shù)

K=np.zeros((2*n,2*n))#初始化整體剛度矩陣

fori,unitinenumerate(units):

k=unit_stiffness(1,1,1)#假設(shè)所有單元的E、I、L相同

nodes=unit['nodes']#單元的連接節(jié)點

forjinrange(4):

forkinrange(4):

K[2*nodes[j//2]+j%2,2*nodes[k//2]+k%2]+=k[j,k]

returnK

#定義荷載向量

defload_vector(F,M):

"""

計算荷載向量

:paramF:節(jié)點上的集中力

:paramM:節(jié)點上的集中力矩

:return:荷載向量

"""

n=len(F)+len(M)

F_vec=np.zeros(2*n)

fori,finenumerate(F):

F_vec[2*i]=f

fori,minenumerate(M):

F_vec[2*i+1]=m

returnF_vec

#示例：分析一個由兩個單元組成的梁

units=[{'nodes':[0,1]},{'nodes':[1,2]}]

K=global_stiffness(units)

F=[0,-10,0]#節(jié)點上的集中力

M=[0,0,0]#節(jié)點上的集中力矩

F_vec=load_vector(F,M)

U=np.linalg.solve(K,F_vec)#求解位移向量在這個例子中，我們定義了單元剛度矩陣、整體剛度矩陣和荷載向量的計算方法，并使用Python進(jìn)行了一個由兩個單元組成的梁的有限元分析。通過求解線性方程組，我們得到了梁在荷載作用下的位移向量。1.4結(jié)論位移法在有限元分析中的應(yīng)用，使得我們能夠處理復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問題，通過將結(jié)構(gòu)分解成單元，分別求解每個單元的位移和內(nèi)力，然后組合起來得到整個結(jié)構(gòu)的解。這種方法不僅適用于線性問題，也可以擴展到非線性問題，是現(xiàn)代工程分析中不可或缺的工具。2位移法基礎(chǔ)2.1位移法的基本概念位移法是結(jié)構(gòu)力學(xué)中一種重要的分析方法，尤其在有限元分析中被廣泛應(yīng)用。它以結(jié)構(gòu)的位移作為基本未知量，通過求解這些位移來確定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。位移法的核心在于建立結(jié)構(gòu)的位移-內(nèi)力關(guān)系，即通過位移函數(shù)表達(dá)結(jié)構(gòu)的變形，再利用變形與內(nèi)力之間的關(guān)系，最終求解出結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。2.1.1位移函數(shù)位移函數(shù)是描述結(jié)構(gòu)中各點位移與結(jié)構(gòu)幾何、材料性質(zhì)和外力之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在有限元分析中，位移函數(shù)通常采用多項式形式，以節(jié)點位移作為未知數(shù)，通過插值函數(shù)來近似結(jié)構(gòu)內(nèi)部的位移分布。例如，在一維桿件的有限元分析中，假設(shè)桿件被離散為兩個節(jié)點，每個節(jié)點有兩個自由度（橫向位移和軸向位移），位移函數(shù)可以表示為：#一維桿件的位移函數(shù)示例

defdisplacement_function(x,u1,u2,v1,v2):

"""

一維桿件的位移函數(shù)

:paramx:桿件內(nèi)部點的位置

:paramu1,u2:節(jié)點1和節(jié)點2的軸向位移

:paramv1,v2:節(jié)點1和節(jié)點2的橫向位移

:return:該點的軸向位移u和橫向位移v

"""

L=1.0#桿件長度

u=u1+(u2-u1)*x/L

v=v1+(v2-v1)*x/L

returnu,v2.1.2平衡方程位移法中，平衡方程是通過最小勢能原理或虛功原理導(dǎo)出的，它將結(jié)構(gòu)的平衡條件與位移函數(shù)聯(lián)系起來。在有限元分析中，平衡方程通常表示為矩陣形式，即：K其中，K是剛度矩陣，U是位移向量，F(xiàn)是外力向量。2.1.3剛度矩陣剛度矩陣K是位移法中一個關(guān)鍵的概念，它反映了結(jié)構(gòu)對位移的抵抗能力。在有限元分析中，剛度矩陣由單元剛度矩陣組裝而成，每個單元的剛度矩陣通過單元的幾何和材料性質(zhì)計算得出。例如，對于上述一維桿件，其單元剛度矩陣k可以表示為：#一維桿件的單元剛度矩陣示例

defstiffness_matrix(E,A,L):

"""

一維桿件的單元剛度矩陣

:paramE:材料的彈性模量

:paramA:桿件的截面積

:paramL:桿件的長度

:return:單元剛度矩陣k

"""

k=E*A/L*np.array([[1,-1],[-1,1]])

returnk2.2位移法與平衡方程位移法通過位移函數(shù)和平衡方程的結(jié)合，可以求解結(jié)構(gòu)在給定外力下的位移。一旦位移確定，就可以進(jìn)一步計算出結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和應(yīng)力分布。2.2.1組裝整體剛度矩陣在有限元分析中，需要將所有單元的剛度矩陣組裝成整體剛度矩陣K。這個過程涉及到節(jié)點自由度的編號和矩陣的合并。#組裝整體剛度矩陣示例

defassemble_stiffness_matrix(elements,nodes):

"""

組裝整體剛度矩陣

:paramelements:元素列表，每個元素包含其剛度矩陣和連接的節(jié)點

:paramnodes:節(jié)點列表，每個節(jié)點包含其自由度編號

:return:整體剛度矩陣K

"""

num_dof=len(nodes)*2#總自由度數(shù)

K=np.zeros((num_dof,num_dof))

forelementinelements:

k=element['stiffness_matrix']

nodes=element['nodes']

foriinrange(2):

forjinrange(2):

K[2*nodes[i],2*nodes[j]]+=k[i,j]

K[2*nodes[i]+1,2*nodes[j]+1]+=k[i+1,j+1]

K[2*nodes[i],2*nodes[j]+1]+=k[i,j+1]

K[2*nodes[i]+1,2*nodes[j]]+=k[i+1,j]

returnK2.2.2求解位移有了整體剛度矩陣和外力向量，就可以通過求解線性方程組來得到位移向量U。#求解位移向量示例

defsolve_displacements(K,F):

"""

求解位移向量

:paramK:整體剛度矩陣

:paramF:外力向量

:return:位移向量U

"""

U=np.linalg.solve(K,F)

returnU2.3位移函數(shù)的選取位移函數(shù)的選取對于位移法的準(zhǔn)確性和收斂性至關(guān)重要。在有限元分析中，位移函數(shù)通常需要滿足以下條件：連續(xù)性：位移函數(shù)在結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)該是連續(xù)的，以確保變形的連續(xù)性。完整性：位移函數(shù)應(yīng)該能夠表達(dá)結(jié)構(gòu)的所有可能變形模式，包括剛體位移和常應(yīng)變。協(xié)調(diào)性：位移函數(shù)在相鄰單元之間應(yīng)該協(xié)調(diào)，即在公共邊界上位移和其導(dǎo)數(shù)應(yīng)該相等。2.3.1選擇位移函數(shù)在實際應(yīng)用中，位移函數(shù)的選擇依賴于結(jié)構(gòu)的幾何形狀和問題的復(fù)雜性。對于簡單的結(jié)構(gòu)，如一維桿件，可以使用線性函數(shù)；對于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，如二維或三維結(jié)構(gòu)，可能需要使用更高階的多項式或特殊函數(shù)。例如，對于一個二維四邊形板單元，位移函數(shù)可以采用雙線性函數(shù)：uv其中，a1,a2.4結(jié)論位移法在結(jié)構(gòu)力學(xué)和有限元分析中扮演著核心角色，它通過位移函數(shù)和平衡方程的結(jié)合，提供了一種系統(tǒng)的方法來求解結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。正確選擇位移函數(shù)和準(zhǔn)確建立平衡方程是確保分析結(jié)果準(zhǔn)確性的關(guān)鍵。通過上述示例，我們可以看到位移法在實際工程問題中的應(yīng)用過程，包括位移函數(shù)的定義、剛度矩陣的計算和位移向量的求解。3有限元分析流程3.1網(wǎng)格劃分與節(jié)點編號在進(jìn)行有限元分析時，首先需要將結(jié)構(gòu)體劃分為多個小的、簡單的幾何形狀，這些形狀被稱為單元。這一過程稱為網(wǎng)格劃分。網(wǎng)格劃分的目的是將連續(xù)的結(jié)構(gòu)體離散化，以便于數(shù)值計算。網(wǎng)格的精細(xì)程度直接影響分析的準(zhǔn)確性和計算時間，因此，合理選擇網(wǎng)格密度至關(guān)重要。3.1.1單元類型單元類型的選擇取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀和材料特性。常見的單元類型包括：線單元：用于模擬一維結(jié)構(gòu)，如梁和桿。面單元：用于模擬二維結(jié)構(gòu)，如板和殼。體單元：用于模擬三維結(jié)構(gòu)，如實體。3.1.2屬性定義每個單元需要定義其屬性，包括材料屬性（如彈性模量、泊松比）和幾何屬性（如厚度、截面形狀）。這些屬性決定了單元的力學(xué)行為。3.1.3節(jié)點編號網(wǎng)格劃分完成后，需要對每個單元的頂點進(jìn)行編號，這些頂點稱為節(jié)點。節(jié)點編號是有限元分析中的重要步驟，它為后續(xù)的矩陣運算提供了基礎(chǔ)。節(jié)點編號應(yīng)遵循一定的規(guī)則，以簡化計算和避免錯誤。3.2單元類型與屬性定義3.2.1單元類型選擇選擇單元類型時，應(yīng)考慮結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性和分析的精度需求。例如，對于薄板結(jié)構(gòu)，可以使用殼單元；對于復(fù)雜幾何的實體結(jié)構(gòu)，可能需要使用三維實體單元。3.2.2材料屬性材料屬性的定義是有限元分析的基礎(chǔ)。以彈性材料為例，需要定義的屬性包括：彈性模量（E）：材料抵抗彈性變形的能力。泊松比（ν）：材料在彈性變形時橫向收縮與縱向伸長的比值。3.2.3幾何屬性幾何屬性定義了單元的形狀和尺寸。例如，對于殼單元，需要定義其厚度；對于梁單元，需要定義其截面形狀和尺寸。3.3邊界條件與載荷施加3.3.1邊界條件邊界條件描述了結(jié)構(gòu)與外部環(huán)境的相互作用，包括：固定邊界：限制結(jié)構(gòu)在某些方向上的位移。滑動邊界：允許結(jié)構(gòu)在某些方向上自由移動，但在其他方向上限制位移。接觸邊界：模擬結(jié)構(gòu)之間的接觸和摩擦。3.3.2載荷施加載荷施加描述了作用在結(jié)構(gòu)上的外力，包括：集中力：作用在結(jié)構(gòu)的特定點上。分布力：均勻或非均勻地作用在結(jié)構(gòu)的表面上。體積力：作用在結(jié)構(gòu)的體積內(nèi)，如重力。3.3.3示例：使用Python進(jìn)行有限元分析下面是一個使用Python和FEniCS庫進(jìn)行有限元分析的簡單示例。FEniCS是一個用于求解偏微分方程的高級數(shù)值求解器，廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)分析。fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=UnitSquareMesh(8,8)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性

E=10.0

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義外力

f=Constant((0,-10))

#定義變分問題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(lmbda*div(u)*Identity(2)+2*mu*sym(grad(u)),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#可視化結(jié)果

plot(u)

interactive()在這個示例中，我們創(chuàng)建了一個單位正方形的網(wǎng)格，并定義了一個向量函數(shù)空間V。我們施加了固定邊界條件，定義了材料屬性（彈性模量E和泊松比ν），并施加了一個向下的集中力。最后，我們求解了變分問題，并可視化了位移結(jié)果。通過上述步驟，我們可以對結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)的有限元分析，從而預(yù)測其在不同載荷條件下的行為。4位移法在有限元分析中的應(yīng)用4.1位移法求解線性結(jié)構(gòu)位移法是有限元分析中最常用的方法之一，尤其在求解線性結(jié)構(gòu)問題時。它基于結(jié)構(gòu)的位移來建立方程，通過求解這些方程來得到結(jié)構(gòu)在給定載荷下的響應(yīng)。位移法的核心是將連續(xù)體離散化為有限數(shù)量的單元，每個單元的位移由節(jié)點位移表示，通過單元的位移-應(yīng)力關(guān)系和整體結(jié)構(gòu)的平衡條件，建立節(jié)點位移的方程組。4.1.1原理在位移法中，首先定義結(jié)構(gòu)的自由度，通常是節(jié)點的位移。然后，對于每個單元，使用位移函數(shù)（如多項式）來表示單元內(nèi)部的位移分布。這些位移函數(shù)必須滿足在單元邊界上的位移連續(xù)性條件。接著，通過應(yīng)變-位移矩陣和應(yīng)力-應(yīng)變矩陣，可以得到單元的應(yīng)力和應(yīng)變。最后，將所有單元的貢獻(xiàn)匯總到整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣中，通過求解剛度矩陣方程，得到節(jié)點位移，進(jìn)而計算出整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變。4.1.2示例假設(shè)我們有一個簡單的梁結(jié)構(gòu)，由兩個線性彈性單元組成，每個單元有兩個節(jié)點，每個節(jié)點有兩個自由度（橫向位移和轉(zhuǎn)角）。我們可以使用Python和NumPy庫來實現(xiàn)位移法的求解過程。importnumpyasnp

#定義單元剛度矩陣

defelement_stiffness_matrix(E,I,L):

"""

計算單個梁單元的剛度矩陣。

E:彈性模量

I:慣性矩

L:單元長度

"""

k=E*I/L**3*np.array([[12,6*L,-12,6*L],

[6*L,4*L**2,-6*L,2*L**2],

[-12,-6*L,12,-6*L],

[6*L,2*L**2,-6*L,4*L**2]])

returnk

#定義整體結(jié)構(gòu)剛度矩陣

defassemble_global_stiffness_matrix(elements):

"""

將所有單元的剛度矩陣匯總到整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣中。

elements:單元列表，每個單元包含剛度矩陣和節(jié)點編號

"""

n_dof=4#總自由度數(shù)

K=np.zeros((n_dof,n_dof))

forelementinelements:

k=element['stiffness_matrix']

nodes=element['nodes']

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[nodes[i],nodes[j]]+=k[i,j]

returnK

#定義載荷向量

defload_vector(F,M):

"""

創(chuàng)建載荷向量。

F:節(jié)點力

M:節(jié)點力矩

"""

P=np.array([F,M,-F,-M])

returnP

#定義邊界條件

defapply_boundary_conditions(K,P,fixed_nodes):

"""

應(yīng)用邊界條件，固定某些節(jié)點的位移。

K:剛度矩陣

P:載荷向量

fixed_nodes:固定節(jié)點的自由度列表

"""

fornodeinfixed_nodes:

K[node,:]=0

K[:,node]=0

K[node,node]=1

P[node]=0

returnK,P

#求解位移

defsolve_displacements(K,P):

"""

求解節(jié)點位移。

K:剛度矩陣

P:載荷向量

"""

U=np.linalg.solve(K,P)

returnU

#示例數(shù)據(jù)

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

I=0.01#慣性矩，單位：m^4

L=1.0#單元長度，單位：m

F=1000#節(jié)點力，單位：N

M=500#節(jié)點力矩，單位：Nm

fixed_nodes=[0,2]#固定節(jié)點的自由度

#創(chuàng)建單元

element1={'nodes':[0,1],'stiffness_matrix':element_stiffness_matrix(E,I,L)}

element2={'nodes':[1,2],'stiffness_matrix':element_stiffness_matrix(E,I,L)}

elements=[element1,element2]

#匯總剛度矩陣

K=assemble_global_stiffness_matrix(elements)

#創(chuàng)建載荷向量

P=load_vector(F,M)

#應(yīng)用邊界條件

K,P=apply_boundary_conditions(K,P,fixed_nodes)

#求解位移

U=solve_displacements(K,P)

print("節(jié)點位移：",U)4.2非線性結(jié)構(gòu)的位移法分析非線性結(jié)構(gòu)的位移法分析比線性結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因為它涉及到非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系或幾何非線性。在非線性分析中，剛度矩陣不再是常數(shù)，而是隨著位移的變化而變化。因此，需要使用迭代方法來求解非線性方程組。4.2.1原理在非線性位移法中，通常采用Newton-Raphson迭代法或其變種。首先，基于當(dāng)前的位移估計，計算結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和載荷向量。然后，求解線性化后的方程組，得到位移的增量。將位移增量加到當(dāng)前位移估計上，得到新的位移估計。重復(fù)這個過程，直到位移估計收斂。4.2.2示例對于非線性結(jié)構(gòu)的位移法分析，我們考慮一個簡單的非線性彈簧系統(tǒng)，其中彈簧的剛度隨位移的增加而增加。我們可以使用Python和SciPy庫來實現(xiàn)迭代求解過程。fromscipy.optimizeimportfsolve

#定義非線性單元剛度函數(shù)

defnonlinear_stiffness(u,k0,alpha):

"""

計算非線性彈簧的剛度。

u:位移

k0:初始剛度

alpha:剛度增加率

"""

k=k0+alpha*u**2

returnk

#定義非線性方程組

defnonlinear_equations(U,F,k0,alpha):

"""

創(chuàng)建非線性方程組。

U:位移向量

F:載荷向量

k0:初始剛度

alpha:剛度增加率

"""

K=np.array([[nonlinear_stiffness(U[0],k0,alpha),0],

[0,nonlinear_stiffness(U[1],k0,alpha)]])

returnK@U-F

#示例數(shù)據(jù)

F=np.array([100,200])#載荷向量

k0=10#初始剛度

alpha=0.1#剛度增加率

U_guess=np.array([0.1,0.2])#位移的初始估計

#求解非線性方程組

U=fsolve(nonlinear_equations,U_guess,args=(F,k0,alpha))

print("節(jié)點位移：",U)4.3位移法在動態(tài)分析中的應(yīng)用位移法在動態(tài)分析中的應(yīng)用涉及到結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，即質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的組合。動態(tài)分析通常用于求解結(jié)構(gòu)在時間變化載荷下的響應(yīng)，如地震、風(fēng)載荷或機械振動。4.3.1原理在動態(tài)分析中，位移法通過求解結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程來得到位移、速度和加速度的時程響應(yīng)。動力學(xué)方程通常表示為：M其中，M是質(zhì)量矩陣，C是阻尼矩陣，K是剛度矩陣，u是位移向量，u是速度向量，u是加速度向量，F(xiàn)t4.3.2示例考慮一個簡單的單自由度系統(tǒng)，受到正弦載荷的作用。我們可以使用Python和SciPy庫來實現(xiàn)動態(tài)分析的求解過程。fromegrateimportsolve_ivp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定義動力學(xué)方程

defdynamics(t,y,M,C,K,F):

"""

定義動力學(xué)方程。

t:時間

y:位移和速度向量

M:質(zhì)量矩陣

C:阻尼矩陣

K:剛度矩陣

F:載荷向量

"""

u,v=y

du_dt=v

dv_dt=(F(t)-C*v-K*u)/M

return[du_dt,dv_dt]

#定義載荷函數(shù)

defload(t):

"""

定義時間變化的載荷函數(shù)。

"""

return100*np.sin(2*np.pi*t)

#示例數(shù)據(jù)

M=1.0#質(zhì)量，單位：kg

C=0.1#阻尼，單位：Ns/m

K=10.0#剛度，單位：N/m

t_span=(0,10)#時間范圍

y0=[0,0]#初始條件，位移和速度

#求解動力學(xué)方程

sol=solve_ivp(dynamics,t_span,y0,args=(M,C,K,load),t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#繪制位移時程圖

plt.plot(sol.t,sol.y[0])

plt.xlabel('時間(s)')

plt.ylabel('位移(m)')

plt.title('單自由度系統(tǒng)的位移時程響應(yīng)')

plt.show()以上示例展示了位移法在不同類型的結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用，包括線性結(jié)構(gòu)、非線性結(jié)構(gòu)和動態(tài)分析。通過這些示例，我們可以看到位移法在有限元分析中的靈活性和強大功能。5實例分析5.1平面桁架的位移法分析5.1.1原理位移法在平面桁架分析中，主要通過確定結(jié)構(gòu)在給定載荷下的節(jié)點位移來求解結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形。此方法基于結(jié)構(gòu)的平衡條件和變形協(xié)調(diào)條件，利用節(jié)點位移作為基本未知量，通過建立結(jié)構(gòu)的剛度矩陣，進(jìn)而求解節(jié)點位移。平面桁架的位移法分析通常涉及以下步驟：結(jié)構(gòu)離散化：將桁架結(jié)構(gòu)離散為多個單元，每個單元視為一根桿件。建立單元剛度矩陣：對于每個單元，根據(jù)其幾何尺寸和材料屬性，建立單元剛度矩陣。組裝整體剛度矩陣：將所有單元的剛度矩陣組裝成整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。施加邊界條件：根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束情況，修改整體剛度矩陣和載荷向量。求解節(jié)點位移：利用修改后的剛度矩陣和載荷向量，求解節(jié)點位移。計算單元內(nèi)力：根據(jù)節(jié)點位移，計算每個單元的內(nèi)力。5.1.2內(nèi)容假設(shè)我們有一個簡單的平面桁架結(jié)構(gòu)，由三根桿件組成，形成一個三角形。桿件的長度分別為L1、L2和L3，材料的彈性模量為E，截面積為A。結(jié)構(gòu)受到節(jié)點載荷P的作用。數(shù)據(jù)樣例桿件長度：L1=4m,L2=3m,L3=5m彈性模量：E=200GPa截面積：A=0.01m^2節(jié)點載荷：P=10kN代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

#幾何參數(shù)

L1=4#桿件1的長度，單位：m

L2=3#桿件2的長度，單位：m

L3=5#桿件3的長度，單位：m

#節(jié)點坐標(biāo)

nodes=np.array([[0,0],[L1,0],[L1,L2]])

#單元連接

elements=np.array([[0,1],[1,2],[0,2]])

#載荷向量

F=np.array([0,0,0,0,0,10e3])

#初始剛度矩陣

K=np.zeros((6,6))

#單元剛度矩陣

defelement_stiffness_matrix(E,A,L):

k=E*A/L

returnk*np.array([[1,0,-1,0],

[0,0,0,0],

[-1,0,1,0],

[0,0,0,0]])

#組裝整體剛度矩陣

forelementinelements:

i,j=element

x1,y1=nodes[i]

x2,y2=nodes[j]

L=np.sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2)

K_element=element_stiffness_matrix(E,A,L)

#轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系

c=(x2-x1)/L

s=(y2-y1)/L

T=np.array([[c,s,0,0],

[0,0,c,s],

[-c,-s,0,0],

[0,0,-c,-s]])

K_element=T.T@K_element@T

#組裝

K[np.ix_([2*i,2*i+1,2*j,2*j+1],[2*i,2*i+1,2*j,2*j+1])]+=K_element

#施加邊界條件

K[[0,1,4,5],:]=0

K[:,[0,1,4,5]]=0

K[[0,1,4,5],[0,1,4,5]]=np.eye(4)

#求解節(jié)點位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#計算單元內(nèi)力

N1=-U[2]*E*A/L1

N2=-U[4]*E*A/L2

N3=-U[5]*E*A/L3

print("節(jié)點位移：",U)

print("桿件內(nèi)力：",N1,N2,N3)5.1.3描述上述代碼首先定義了材料屬性和幾何參數(shù)，然后通過element_stiffness_matrix函數(shù)計算每個單元的剛度矩陣。接著，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和組裝，得到整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣。在施加邊界條件后，利用np.linalg.solve函數(shù)求解節(jié)點位移。最后，根據(jù)節(jié)點位移計算每個單元的內(nèi)力。5.2維框架結(jié)構(gòu)的有限元求解5.2.1原理三維框架結(jié)構(gòu)的位移法分析與平面桁架類似，但需要考慮三個方向的位移和內(nèi)力。每個節(jié)點有三個自由度（ux,uy,uz），每個單元的剛度矩陣為6x6。整體剛度矩陣的大小為3nx3n，其中n為節(jié)點數(shù)。求解過程包括結(jié)構(gòu)離散化、建立單元剛度矩陣、組裝整體剛度矩陣、施加邊界條件、求解節(jié)點位移和計算單元內(nèi)力。5.2.2內(nèi)容假設(shè)我們有一個簡單的三維框架結(jié)構(gòu)，由四根桿件組成，形成一個四面體。桿件的長度分別為L1、L2、L3和L4，材料的彈性模量為E，截面積為A。結(jié)構(gòu)受到節(jié)點載荷P的作用。數(shù)據(jù)樣例桿件長度：L1=4m,L2=3m,L3=5m,L4=6m彈性模量：E=200GPa截面積：A=0.01m^2節(jié)點載荷：P=10kN代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E=200e9#彈性模量，單位：Pa

A=0.01#截面積，單位：m^2

#幾何參數(shù)

L1=4#桿件1的長度，單位：m

L2=3#桿件2的長度，單位：m

L3=5#桿件3的長度，單位：m

L4=6#桿件4的長度，單位：m

#節(jié)點坐標(biāo)

nodes=np.array([[0,0,0],[L1,0,0],[L1,L2,0],[0,0,L3]])

#單元連接

elements=np.array([[0,1],[1,2],[2,3],[3,0]])

#載荷向量

F=np.array([0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10e3])

#初始剛度矩陣

K=np.zeros((12,12))

#單元剛度矩陣

defelement_stiffness_matrix_3D(E,A,L):

k=E*A/L

returnk*np.array([[1,0,0,-1,0,0],

[0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,0,0],

[-1,0,0,1,0,0],

[0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,0,0]])

#組裝整體剛度矩陣

forelementinelements:

i,j=element

x1,y1,z1=nodes[i]

x2,y2,z2=nodes[j]

L=np.sqrt((x2-x1)**2+(y2-y1)**2+(z2-z1)**2)

K_element=element_stiffness_matrix_3D(E,A,L)

#轉(zhuǎn)換坐標(biāo)系

c=(x2-x1)/L

s=(y2-y1)/L

t=(z2-z1)/L

T=np.array([[c,s,t,0,0,0],

[0,0,0,c,s,t],

[-c,-s,-t,0,0,0],

[0,0,0,-c,-s,-t]])

K_element=T.T@K_element@T

#組裝

K[np.ix_([3*i,3*i+1,3*i+2,3*j,3*j+1,3*j+2],[3*i,3*i+1,3*i+2,3*j,3*j+1,3*j+2])]+=K_element

#施加邊界條件

K[[0,1,2,9,10,11],:]=0

K[:,[0,1,2,9,10,11]]=0

K[[0,1,2,9,10,11],[0,1,2,9,10,11]]=np.eye(6)

#求解節(jié)點位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#計算單元內(nèi)力

N1=-U[3]*E*A/L1

N2=-U[6]*E*A/L2

N3=-U[9]*E*A/L3

N4=-U[12]*E*A/L4

print("節(jié)點位移：",U)

print("桿件內(nèi)力：",N1,N2,N3,N4)5.2.3描述此代碼示例展示了三維框架結(jié)構(gòu)的位移法分析過程。與平面桁架不同，每個節(jié)點有三個自由度，因此整體剛度矩陣的大小為3nx3n。通過element_stiffness_matrix_3D函數(shù)計算每個單元的剛度矩陣，然后進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和組裝。在施加邊界條件后，求解節(jié)點位移，并根據(jù)節(jié)點位移計算每個單元的內(nèi)力。5.3復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的位移法應(yīng)用5.3.1原理復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的位移法分析與傳統(tǒng)材料結(jié)構(gòu)類似，但需要考慮復(fù)合材料的各向異性。復(fù)合材料的剛度矩陣通常為12x12或更大，取決于復(fù)合材料的層合板結(jié)構(gòu)。在有限元分析中，每個單元的剛度矩陣需要根據(jù)復(fù)合材料的層合板屬性進(jìn)行計算。整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣通過單元剛度矩陣的組裝得到。求解過程包括結(jié)構(gòu)離散化、建立單元剛度矩陣、組裝整體剛度矩陣、施加邊界條件、求解節(jié)點位移和計算單元內(nèi)力。5.3.2內(nèi)容假設(shè)我們有一個由兩層復(fù)合材料組成的平面板結(jié)構(gòu)，每層材料的彈性模量分別為E1和E2，泊松比分別為nu1和nu2。結(jié)構(gòu)受到節(jié)點載荷P的作用。數(shù)據(jù)樣例彈性模量：E1=150GPa,E2=100GPa泊松比：nu1=0.3,nu2=0.2節(jié)點載荷：P=10kN代碼示例importnumpyasnp

#材料屬性

E1=150e9#彈性模量，單位：Pa

E2=100e9#彈性模量，單位：Pa

nu1=0.3#泊松比

nu2=0.2#泊松比

#幾何參數(shù)

L=1#板的長度，單位：m

W=1#板的寬度，單位：m

t1=0.005#第一層厚度，單位：m

t2=0.005#第二層厚度，單位：m

#節(jié)點坐標(biāo)

nodes=np.array([[0,0],[L,0],[L,W],[0,W]])

#單元連接

elements=np.array([[0,1,2,3]])

#載荷向量

F=np.array([0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,10e3])

#初始剛度矩陣

K=np.zeros((12,12))

#單元剛度矩陣

defelement_stiffness_matrix_composite(E,nu,t,L,W):

D=E*t/(1-nu**2)

returnD*np.array([[1,nu,0,-1,-nu,0],

[nu,1,0,-nu,-1,0],

[0,0,0,0,0,0],

[-1,-nu,0,1,nu,0],

[-nu,-1,0,nu,1,0],

[0,0,0,0,0,0]])

#組裝整體剛度矩陣

forelementinelements:

i,j,k,l=element

K_element=element_stiffness_matrix_composite(E1,nu1,t1,L,W)+element_stiffness_matrix_composite(E2,nu2,t2,L,W)

#組裝

K[np.ix_([2*i,2*i+1,2*j,2*j+1,2*k,2*k+1,2*l,2*l+1],[2*i,2*i+1,2*j,2*j+1,2*k,2*k+1,2*l,2*l+1])]+=K_element

#施加邊界條件

K[[0,1,2,3,8,9],:]=0

K[:,[0,1,2,3,8,9]]=0

K[[0,1,2,3,8,9],[0,1,2,3,8,9]]=np.eye(6)

#求解節(jié)點位移

U=np.linalg.solve(K,F)

#計算單元內(nèi)力

N1=-U[4]*E1*t1/W

N2=-U[5]*E1*t1/L

N3=-U[10]*E2*t2/W

N4=-U[11]*E2*t2/L

print("節(jié)點位移：",U)

print("單元內(nèi)力：",N1,N2,N3,N4)5.3.3描述此代碼示例展示了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的位移法分析。每個單元的剛度矩陣通過element_stiffness_matrix_composite函數(shù)計算，該函數(shù)考慮了復(fù)合材料的各向異性。整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣通過單元剛度矩陣的組裝得到。在施加邊界條件后，求解節(jié)點位移，并根據(jù)節(jié)點位移計算每個單元的內(nèi)力。復(fù)合材料的層合板結(jié)構(gòu)使得分析過程比單一材料結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，但位移法的基本原理仍然適用。6位移法與優(yōu)化設(shè)計6.1位移法在優(yōu)化設(shè)計中的角色位移法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中扮演著核心角色，它通過計算結(jié)構(gòu)在給定載荷下的位移，來評估結(jié)構(gòu)的性能。在優(yōu)化設(shè)計流程中，位移法被用來確定結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)、材料屬性或拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以最小化成本、重量或最大化結(jié)構(gòu)的剛度，同時確保結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力滿足設(shè)計規(guī)范。6.1.1示例：使用位移法進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化假設(shè)我們有一個簡單的梁結(jié)構(gòu)，需要通過調(diào)整梁的截面尺寸來優(yōu)化其在特定載荷下的性能。我們可以使用位移法來計算不同截面尺寸下的梁的位移，然后基于這些位移數(shù)據(jù)來確定最優(yōu)的截面尺寸。數(shù)據(jù)樣例梁的長度：L=1.0米載荷：P=1000牛頓材料的彈性模量：E=200e9帕斯卡初始截面尺寸：b=0.1米,h=0.2米代碼示例importnumpyasnp

#定義梁的參數(shù)

L=1.0#梁的長度

P=1000#載荷

E=200e9#材料的彈性模量

b=0.1#初始截面寬度

h=0.2#初始截面高度

#位移法計算梁的位移

defcalculate_displacement(L,P,E,b,h):

"""

計算梁在給定載荷下的位移。

:paramL:梁的長度

:paramP:載荷

:paramE:材料的彈性模量

:paramb:截面寬度

:paramh:截面高度

:return:位移

"""

I=b*h**3/12#截面慣性矩

delta=P*L**3/(3*E*I)#位移計算公式

returndelta

#計算初始位移

initial_displacement=calculate_displacement(L,P,E,b,h)

print("初始位移:",initial_displacement)

#優(yōu)化過程：調(diào)整截面尺寸以減小位移

#假設(shè)我們通過優(yōu)化算法調(diào)整了截面尺寸

b_optimized=0.15#優(yōu)化后的寬度

h_optimized=0.25#優(yōu)化后的高度

#計算優(yōu)化后的位移

optimized_displacement=calculate_displacement(L,P,E,b_optimized,h_optimized)

print("優(yōu)化后的位移:",optimized_displacement)6.1.2解釋上述代碼示例中，我們首先定義了梁的基本參數(shù)，然后使用位移法計算了梁在給定載荷下的位移。通過調(diào)整截面尺寸（寬度和高度），我們再次計算位移，以驗證優(yōu)化的效果。優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)是找到一組參數(shù)，使得結(jié)構(gòu)在滿足性能要求的同時，成本或重量最小。6.2位移控制的非線性迭代6.2.1原理在非線性分析中，位移控制的迭代方法是一種常用的技術(shù)，用于解決結(jié)構(gòu)在大變形或材料非線性條件下的響應(yīng)。這種方法通過逐步增加位移，直到達(dá)到預(yù)定的位移目標(biāo)，同時在每一步中求解結(jié)構(gòu)的平衡方程，以確保計算的準(zhǔn)確性。6.2.2示例：位移控制的非線性迭代分析考慮一個非線性彈簧系統(tǒng)，其剛度隨位移的增加而變化。我們可以通過位移控制的迭代方法來分析彈簧在不同位移下的力響應(yīng)。數(shù)據(jù)樣例初始剛度：k0=100牛頓/米位移增量：delta_u=0.01米目標(biāo)位移：u_target=0.1米代碼示例importnumpyasnp

#定義非線性彈簧的參數(shù)

k0=100#初始剛度

delta_u=0.01#位移增量

u_target=0.1#目標(biāo)位移

#非線性彈簧的剛度計算

defcalculate_stiffness(u):

"""

計算非線性彈簧在給定位移下的剛度。

:paramu:位移

:return:剛度

"""

k=k0*(1+u)#剛度隨位移線性增加

returnk

#位移控制的非線性迭代

defdisplacement_control_iteration(u_target,delta_u):

"""

執(zhí)行位移控制的非線性迭代分析。

:paramu_target:目標(biāo)位移

:paramdelta_u:位移增量

:return:力響應(yīng)

"""

u=0#初始位移

F=0#初始力

whileu<u_target:

k=calculate_stiffness(u)#計算當(dāng)前剛度

F+=k*delta_u#更新力

u+=delta_u#更新位移

returnF

#執(zhí)行迭代分析

F_response=displacement_control_iteration(u_target,delta_u)

print("目標(biāo)位移下的力響應(yīng):",F_response)6.2.3解釋在非線性迭代分析中，我們逐步增加位移，同時根據(jù)當(dāng)前位移計算彈簧的剛度。通過迭代，我們能夠得到在目標(biāo)位移下彈簧的力響應(yīng)，這在分析結(jié)構(gòu)的非線性行為時非常有用。6.3位移法在多物理場耦合分析中的應(yīng)用6.3.1原理位移法在多物理場耦合分析中的應(yīng)用，涉及到結(jié)構(gòu)力學(xué)與熱力學(xué)、電磁學(xué)等其他物理場的交互。通過位移法，可以計算結(jié)構(gòu)在耦合物理場作用下的變形，進(jìn)而分析這些變形對其他物理場的影響。6.3.2示例：熱-結(jié)構(gòu)耦合分析考慮一個結(jié)構(gòu)在熱載荷作用下的變形分析。我們可以通過位移法來計算結(jié)構(gòu)的熱變形，然后分析這些變形對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響。數(shù)據(jù)樣例結(jié)構(gòu)的初始溫度：T0=20攝氏度熱載荷：dT=100攝氏度材料的熱膨脹系數(shù)：alpha=12e-6/攝氏度材料的彈性模量：E=200e9帕斯卡代碼示例importnumpyasnp

#定義熱-結(jié)構(gòu)耦合分析的參數(shù)

T0=20#初始溫度

dT=100#溫度變化

alpha=12e-6#熱膨脹系數(shù)

E=200e9#材料的彈性模量

L=1.0#結(jié)構(gòu)的長度

#計算熱變形

defcalculate_thermal_displacement(T0,dT,alpha,L):

"""

計算結(jié)構(gòu)在熱載荷作用下的熱變形。

:paramT0:初始溫度

:paramdT:溫度變化

:paramalpha:熱膨脹系數(shù)

:paramL:結(jié)構(gòu)的長度

:return:熱變形

"""

delta_T=dT#溫度變化

delta_L=alpha*delta_T*L#熱變形計算公式

returndelta_L

#計算熱變形

thermal_displacement=calculate_thermal_displacement(T0,dT,alpha,L)

print("熱變形:",thermal_displacement)

#基于熱變形計算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力

defcalculate_stress(E,delta_L,L):

"""

計算結(jié)構(gòu)在熱變形下的應(yīng)力。

:paramE:材料的彈性模量

:paramdelta_L:熱變形

:paramL:結(jié)構(gòu)的長度

:return:應(yīng)力

"""

strain=delta_L/L#應(yīng)變

stress=E*strain#應(yīng)力計算公式

returnstress

#計算應(yīng)力

stress=calculate_stress(E,thermal_displacement,L)

print("熱變形下的應(yīng)力:",stress)6.3.3解釋在熱-結(jié)構(gòu)耦合