高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項(xiàng)訓(xùn)練：平面向量（針對練習(xí)）

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

5.1.2平面向量（針對練習(xí)）

針對練習(xí)

針對練習(xí)一平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1.下列說法正確的是（）

A.若向量a與6共線且a與很不為零向量，則存在實(shí)數(shù)4,使得°=肪

B.零向量是沒有方向的向量

C.任意兩個單位向量的方向相同

D.同向的兩個向量可以比較大小

2.在下列說法中：

①若a=b,b=c,則a=c；②零向量的模長是0;

③長度相等的向量叫相等向量；④共線是在同一條直線上的向量.

其中正確說法的序號是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

3.下列有關(guān)向量的命題正確的是（）

A.長度相等的向量均為相等向量

B.若A8C。是平行四邊形，則必有=

C.非零向量a,b,c,等式?伍-c）恒成立

D.若非零向量a,b滿足a"b,則。，b所在的直線平行或重合

4.下列說法錯誤的是（）

A.若@=0，則同=。B.零向量與任一向量平行

C.零向量是沒有方向的D.若兩個相等的向量起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同

5.下列說法正確的是（）

①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長度；

②向量兩要素是大小和方向；

③同向且等長的有向線段表示同一向量；

④在平行四邊形ABCD中，AB=DC.

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

針對練習(xí)二平面向量的線性運(yùn)算

6.已知E分別是的邊BC和AC的中點(diǎn)，若=AE=b,則（）

A.a+bB.b--a

3

C.2b--aD.3b-2a

7.如圖所示，ABC中，點(diǎn)。是線段BC的中點(diǎn)，E是線段A。的靠近A的四等分點(diǎn)，則）

315131

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

44444848

8.如圖，ABC是等邊三角形，O在線段上，且=E為線段AO上一點(diǎn)，若△ABE與

AACD的面積相等，則BE=（）

71

A.-AB——ACB.-AB+-ACC.-AB--ACD.--AB+-AC

661266363

9.在平行四邊形ABCD中，AF=2FC,則。F=（

A.--AB+-ADB.--AB+-AD

3333

C.-AB--ADD.-AB--AD

3333

10.如圖所示的AABC中，點(diǎn)O是線段AB上靠近A三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，則反=(

A.--AB--ACB.-AB+-ACC.-AC--ABD.-AB+-AC

62622662

針對練習(xí)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

11.已知向量。=(1,-4),b=(2,3),則五-2了的坐標(biāo)為()

A.(-3,-10)B.(-3,-2)

C.(-3,2)D.(3,-10)

12.向量0=(2,0),6=(1,2),則卜-20=()

A.-4B.V13C.4D.13

13.已知向量a=(l,優(yōu))，b=(-1,1)?c=(3,0),若a〃(6+c),則()

A.—1B.-C.2D.—2

14.設(shè)平面向量6=(1,2),6=(T,y),若則卜+0等于()

A.V5B.V10C.5D.10

15.已知向量a=（3,l）,5=（1,3）,且（a+b）J_（a-勸），則2的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

針對練習(xí)四平面向量的數(shù)量積（模長問題）

16.若同=\b\=1,且〃與Z?的夾角為60°,則歸一同=（）

A.1B.V3C.及D.2

17.已知a,b為單位向量,且(2H-b)±b,則\a+b\=()

A.1B.6C.2D.75

18.已知同=3,卜|=2,0.萬=一3,貝11,一葉=（）

A.B.19c.7TTD.1

1,Z?=2,a-Z?=73,則“./)=()

19.已知向量。：，萬滿足同=1

A.2B.1C.-1D.-2

20.已知向量滿足忖=w==5,且忖+同=6,則“一》=（）

A.6B.8C.36D.64

針對練習(xí)五平面向量的數(shù)量積（夾角問題）

ab=^,\a-b\=^,則“與6的夾角為（）

21.已知忖=1,

A.120B.60C.30D.45

22.已知平面向量a,》滿足a=（-l,2）,網(wǎng)=亞，卜-可=君，則a與人的夾角為（）

A.B.-C.-D.—

64312

23.已知〃二（一1,0）,。=2,b-^a-b^=-7,則a與6的夾角是（）

471e冗2TT-5萬

A.-B.-C.D.—

63T6

24.已知向量a,b滿足卜+?=石卜-6卜石忖，則a與6的夾角為（）

A.90B.60C.45D.30

25.已知|。|=行,|加=1,心（。-6）=1,則a與匕的夾角為（）

c兀/2兀c兀

A?兀B.-C.一D.-

433

針對練習(xí)六平面向量的投影

26.已知忖=2,。與）的夾角為60。，則匕在。上的投影為（）

A.1B.2C.-2D.-1

27.若向量滿足同=2,（d+26）a=6,則b在。方向上的投影為（）

A.1B.-1C.--D.1

22

?

28.已知|a|=l,與非零向量6同向的單位向量為e,且〈a,6〉=§",向量.在b上的投影向量為（）

1T111T

A.-bB.—eC.—eD.—b

2222

29.已知向量。=（3,-1）/=（1,0）,則b在d方向上的投影是（）

A.-1B.--C.D.3

1010

30.向量a=(-M)在向量。=(-3,-4)上的射影為()

A.昱B.一變C.-D.--

2255

針對練習(xí)七平面向量的共線定理的推論

31.如圖，在AABC中，點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,

N.VzAB=mAM,AC=nAN.則"?+"=()

A.1B.2C.1D.3

32.如圖，在，ABC中，AD"C,E是加上一點(diǎn)，若由口B+^C,則實(shí)數(shù)之的值為()

A.3B.4C.5D.6

33.如圖，在△ABC中，AN=：NC,p是3N上的一點(diǎn)，若AP=。根+；)A5+/c,實(shí)數(shù)機(jī)的值為(

)

34.如圖，在-ABC中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M、N,

^AB=^AM,AC=nAN,貝()

A.1B-iC.2D.3

35.如圖，已知點(diǎn)G是△A3C的重心，過點(diǎn)G作直線分別與A3、AC兩邊交于M、N兩點(diǎn)（M、N與

及C不重合），^AB=xAM,AC=yAN,則占的最小值為（）

A—BcD

&2-I-1-?

第五章平面向量與復(fù)數(shù)

5.1.2平面向量（針對練習(xí)）

針對練習(xí)

針對練習(xí)一平面向量的實(shí)際背景及基本概念

1.下列說法正確的是（）

A.若向量a與6共線且a與b不為零向量，則存在實(shí)數(shù)力,使得”勸

B.零向量是沒有方向的向量

C.任意兩個單位向量的方向相同

D.同向的兩個向量可以比較大小

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量得實(shí)際背景及基本概念，依次判斷各項(xiàng)正誤.

【詳解】

與6為非零向量，且共線，.??存在實(shí)數(shù)2,使得a=肪,A正確；

零向量的長度為0,方向是任意的，故B錯誤；

任意兩個單位向量的長度相等，但方向不一定相同，故C錯誤；

不管是同向的向量還是不同向的向量，都不能比較大小，故D錯誤.

故選：A.

2.在下列說法中：

①若a=6,b=c,則"=。；②零向量的模長是0;

③長度相等的向量叫相等向量；④共線是在同一條直線上的向量.

其中正確說法的序號是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)相等向量、共線向量、零向量的定義判斷即可；

【詳解】

解：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a=b,b=c,貝3=c,故③錯

誤，①正確，

模為0的向量叫做零向量，故②正確，

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也稱為共線向量，規(guī)定零向量

和任意向量平行，故④錯誤；

故選：A

3.下列有關(guān)向量的命題正確的是（）

A.長度相等的向量均為相等向量

B.若ABC。是平行四邊形，則必有AB=8

C.非零向量a,b,c,等式=亙成立

D.若非零向量a,Z,滿足0//b,則a,6所在的直線平行或重合

【答案】D

【解析】

【分析】

由相等向量的概念可判斷A；結(jié)合圖形和相等向量概念可判斷B；由數(shù)量積的性質(zhì)

可判斷C；由共線向量的概念可判斷D.

【詳解】

由相等向量概念可知A錯誤；

由圖知，為相反向量，B錯誤；

記a/=/l,b.c=〃，則伍==顯然,a,c不共線時，C錯誤;

由平行向量的概念可知，D正確.

故選：D

4.下列說法錯誤的是（）

A.若°=0，則同B.零向量與任一向量平行

C.零向量是沒有方向的D.若兩個相等的向量起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)

必相同

【答案】C

【解析】

【分析】

對A,根據(jù)模長的定義判斷即可；

對BC,根據(jù)零向量的性質(zhì)判斷即可；

對D,根據(jù)相等向量的性質(zhì)判斷即可

【詳解】

對A,零向量的模長為0,故A正確；

對B,零向量與任一向量平行，故B正確；

對C,零向量的方向是任意的，故C錯誤；

對D,相等向量若起點(diǎn)相同則終點(diǎn)相同，D正確；

故選：C

5.下列說法正確的是（）

①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長度；

②向量兩要素是大小和方向；

③同向且等長的有向線段表示同一向量；

④在平行四邊形A8CD中，AB=DC.

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)有向線段的定義、向量的定義、以及向量的幾何意義可判斷每個說法的正誤，

從而找出正確選項(xiàng).

【詳解】

①始點(diǎn)、方向、長度可以確定一條有向線段，即有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長

度，故①正確；

②根據(jù)向量的定義知，向量的兩要素是大小和方向，故②正確；

③同向且等長的有向線段表示的向量大小相等，方向相同，故為同一向量，故③正

確；

④?.?四邊形ABC。是平行四邊形，...48〃。。，S.AB=DC,故A8=DC,故④正確.

故選：D.

針對練習(xí)二平面向量的線性運(yùn)算

6.已知。，E分別是..ABC的邊3c和AC的中點(diǎn)，若AD=a,AE=b,則BE=（）

A.a+bB.b-；a

_3

C.2b——aD.3b—2a

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；

【詳解】

解：因?yàn)椤辏?E分別是ABC的邊BC和AC的中點(diǎn)，

所以BE=BC+CE=2Z）C-；AC=2（AC-A￡））-jAC

3

=-AC-2AD=3AE-2AD=3b-2a.

2

故選：D.

7.如圖所示，ABC中，點(diǎn)。是線段的中點(diǎn)，E是線段A。的靠近A的四等分

點(diǎn)，則BE=（）

A

313——1

A.-BA+-BCB.-BA+-BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

44444848

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量加減法的三角形法則計(jì)算即可.

【詳解】

解：由題意可得：BE=BA+AE，AE=^AD,AD=A2+皿'BD^BC.

31

/.BE=-BA+-BC,

48

故選：D.

8.如圖，ABC是等邊三角形，。在線段3C上，且=E為線段AD上一

點(diǎn)，若A4BE與八48的面積相等，貝!（）

71

A.-AB——ACB.-AB+-ACC.-AB--ACD.--AB+-AC

661266363

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可得E為中點(diǎn)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，即可得答案.

【詳解】

,.?￡）在線段BC上，且8￡>=2￡>。，

?q--V

?.°ACD~2ABD，

又E為線段AD上一點(diǎn)，若"BE與△ACO的面積相等,

S&ABE=|SAABD,則E為AD的中點(diǎn)，

12111

又AO=—A3+—AC,AE=-AD=-AB+-AC,

33263

^VXBE^AE-AB=--AB+-AC,

63

故選：D

9.在平行四邊形A3CD中，AF=2FC,則OE=()

A.--AB+-ADB.--AB+-AD

3333

C.-AB--ADD.-AB--AD

3333

【答案】D

【解析】

【分析】

利用平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得;

【詳解】

2

解：因?yàn)锳F=2FC,所以A尸=§AC,

00O1

^VXDF=DA+AF=-AD+^AC=-AD+-^AB+AD^=-AB--AD.

故選：D

10.如圖所示的AABC中，點(diǎn)。是線段AB上靠近A三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段的

中點(diǎn)，則屁=（）

A.--AB--ACB.-AB+-ACC.-AC--ABD.-AB+-AC

62622662

【答案】B

【解析】

【分析】

依題意可得。8=BE=；(AC-A孫根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算可得.

【詳解】

011

由已知可得。B=B￡=-BC--(AC-AB),

Q111

所以￡)E=D3+BE=§A3+j(AC-A3)=qA3+/AC.

故選：B.

針對練習(xí)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

11.已知向量。=(1,-4),6=(2,3),則23的坐標(biāo)為()

A.(-3,-10)B.(-3,-2)

C.(-3,2)D.(3,-10)

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則解之即可.

【詳解】

a-2%=(1,一4)-2(2,3)=(1,-4)-(4,6)=(-3,-10)

故選：A

12.向量i(2,o),6=(1,2),貝中一2%()

A.-4B.713C.4D.13

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出d-2a再由模長公式求解卜-2匕|即可.

【詳解】

a-2b=(O,-4),則卜一26卜4

故選：c.

13.已知向量。=(l,〃z),[=(—1,1),c=(3,0),若a//(b+c),則機(jī)=()

A.—1B.-C.2D.—2

【答案】B

【解析】

【分析】

首先求出B+泮勺坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算可得.

【詳解】

解：因?yàn)椤?(1,加)，b-(-1,1)?c=(3,0),

所以I+乙=(-1,1)+(3,0)=(2,1)，又a〃(b+c),

所以2〃z=lxl,解得m=；.

故選：B

14.設(shè)平面向量,=(1,2),b=(-4,y),若o,則卜+0等于()

A.75B.廂C.5D.10

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示求出y的值，可求出的坐標(biāo)，利用平面向量的模

長公式可求得結(jié)果.

【詳解】

由已知可得a-b=2y-4=0,可得y=2,故。+6=(-3,4),因此，卜+(同一3『+4?=5.

故選：C.

15.已知向量。=(3,1),5=(1,3),且3+珠，(4-二),則』的值為()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】

求出a+b,a-Ab的坐標(biāo)后可求4的值.

【詳解】

a+b=（4,4）,。-勸=（3-2,1-32）,

由（〃+b）_L（〃一Xb）可得4（3—X）+4（l—3為=0,解得4=1,

故選：C

針對練習(xí)四平面向量的數(shù)量積（模長問題）

16.若口=M=1,且“與6的夾角為60。，則口―3=（）

A.1B.6C.72D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

把模平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求解.

【詳解】

1

由已知“?6=COS6（T=5,

="1-I）?=J；-2:.力+：=Jl-2xg+1=1.

故選：A.

17.已知a,b為單位向量，且（2a-b）±b,則\a+b\=（）

A.1B.73C.2D.y/5

【答案】A

【解析】

【分析】

利用已知條件求出向量數(shù)量積為0,推出2“力=1,然后求解向量的模即可.

【詳解】

a,b為單位向量，且（2a_b）_l_b,

可得（2a-6〉6=2a-6-片=0,

所以2小6=匕2=網(wǎng)=1,則卜+b|=Jcr_2q-6+=1

故選：A

18.已知同=3,忖=2,a.b=—3,則卜_4=（）

A.回B.19C.VnD.1

【答案】A

【解析】

【分析】

由卜-6卜及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】

解：因?yàn)楹?3,W=2,a-b=—3,

所以,一可=,(4—6)=\Ja2-2a-b+b2='同一_2。.6+卜1

22

=A/3-2-(-3)+2=A/19.

故選：A

19.已知向量d,6滿足同=1,忖=2,卜-葉=豆，貝()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得,-dJ一2。2+廣，結(jié)合已知即可求..6.

【詳解】

?|222

由〃一。=a-2a-b+b=5-2〃2=3,可得

故選：B

20.已知向量風(fēng)6滿足忖=忖=5,且n+同=6,則k-。|=()

A.6B.8C.36D.64

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可得小6=-7,然后利用模長公式即得.

【詳解】

因?yàn)椴?0=a+2a?6+b=50+2a-6=36,

所以a為=-7.

因?yàn)閗--2a-b+b2=50+2x7=64,

所以口_[=8.

故選：B.

針對練習(xí)五平面向量的數(shù)量積（夾角問題）

21.已知何=1,〃力=；，k貝卜與6的夾角為（）

A.120B.60C.30D.45

【答案】D

【解析】

【分析】

將卜一6卜5兩邊平方，代入卜|=1,°力=；化簡可得忖，再根據(jù)向量的夾角公式求

解即可

【詳解】

由卜—@=可得一b）=—,Bp|a|-2<2-￡>+|/J|=—,故1—1+1|=—,即慟=^^,

設(shè)a與6的夾角為6,貝lJa/=W-Wcos6=g,即cosJ=當(dāng)，X^e[0,180],故6=45

故選：D

22.已知平面向量a,6滿足a=（T，2）,網(wǎng)=卜-6卜君，則d與人的夾角為（）

A.?B.-C.-D.—

64312

【答案】B

【解析】

【分析】

由。=（-1,2）求出|°|=君，由卜-6卜石兩邊平方求出6=5,再根據(jù)平面向量的夾

角公式可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椤?（-L2）,所以|a|=Jl+4=6,

因?yàn)榫W(wǎng)=可，卜-b卜君,

所以（人力=5,所以|a『+|b|2-2a-b=5,

所以5+10-2步5=5,所以。力=5,

572

所以cos<a,b>=---------

\aV\b\A/5X^10-V

兀

因?yàn)?lt;4,5>G[0,7l],所以<Q,Z?>=—.

4

故選：B

23.已知a=（-l,&）,W=2,b.-7,則°與b的夾角是（）

A.2B.三C.尋D.

6336

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，求出a包，再利用向量夾角公式計(jì)算作答.

【詳解】

由力（。叫=一7得：a-b-b2=-7?即有=-7+/=-3，而“=（T,0）,則

⑷=卜1）2+（同=石，

于是得8$〈4,6〉=:“?，=「3=又ow〈a涉）《兀，解得&力=?，

\a\\b\<3x226

所以a與6的夾角是黃.

故選：D

24.已知向量a,方滿足卜+可=閻°-可=石W,則a與b的夾角為（）

A.90B.60C.45D.30

【答案】B

【解析】

【分析】

由向量a,匕滿足卜+可=6,-可=6忖，求得“心二:忖且卜卜W,結(jié)合向量的夾角

公式，即可求解.

【詳解】

因?yàn)橄蛄烤?滿足卜+4=指卜_W=若忖，

由退卜一可=石忖，可得=/，即片=2。力，即。必=；修

又由卜+4=6b-可,可得了+1）+2a-b-3a+31}-6a-b,

即1+/+/=3/+3片—3片，解得即口=小

又因?yàn)閏°s（m"雨=/

因?yàn)椤?（a,b）180,所以04=60,即a與6的夾角為60.

故選：B.

25.已知|〃|=0,|切=l,a?（a—。）=1,則￡與石的夾角為（)

,一兀―2兀71

A.兀B.-C.一D.

43

【答案】B

【解析】

【分析】

先由已知條件求出eb的值，再利用向量的夾角公式求解即可

【詳解】

設(shè)a與6的夾角為巴

因?yàn)?。1=0,〃?（。一萬）=1,

所以a—a?b=2—a?b=k得〃,很=1,

?a-b1V2

所以3。=雨=7T3，

因?yàn)?￡[0,l],

所以6=9，

故選：B

針對練習(xí)六平面向量的投影

26.已知忖=2,。與b的夾角為60。，貝心在。上的投影為（）

A.1B.2C.-2D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】

直接用定義即可求出.

【詳解】

由題可得6在。上的投影為Wcos60o=2xg=L

故選：A.

27.若向量滿足同=2,卜+2與3=6,則b在。方向上的投影為（）

A.1B.-1C.—D.；

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)（。+26）⑶=6求出°.匕，根據(jù)|小0$*。,6*=芳即可求投影.

【詳解】

（a+2b\a=6=>|?|2+2a-b=6na.b=1,

7a-b

故〃在。方向上的投影wcos.〃,/??=-p-p=

\a\2,

故選：D.

7

28.已知|a|=l,與非零向量人同向的單位向量為e,且〈。力〉=§乃，向量.在b上的

投影向量為（）

1711T

A.-bB.——eC.-eD.--b

2222

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的幾何意義，利用公式，即可求得向量a在b上的投影向量.

【詳解】

7

由題意，|a|=l,與非零向量8同向的單位向量為且〈“/〉=§萬,

7Q?0COS——1

可得向量：在6上的投影向量為怨xe」3xe=」e.

HW2

故選：B.

29.已知向量。=(3,-1)*=(1,0),則6在d方向上的投影是()

A.-1B,一?C,巫D.

1010

【答案】c

【解析】

【分析】

6在。方向上的投影為Wcos(a,6)=/，將已知條件代入即可求解

【詳解】

因?yàn)椤?(3,-1),8=(1,0),

a-b33回

則6在a方向上的投影為Wcos(a,可

10

故選：C

30.向量。=(-1,1)在向量6=(-3,T)上的射影為()

A.包B.一變C1

225

【答案】D

【解析】

【分析】

利用數(shù)量積的幾何意義直接求解即可

【詳解】

向量。在向量6=(-3,T)上的射影為

a-b_(-l)x(-3)+lx(-4)__J_

W,(-3)2+(-4)25，

故選：D

針對練習(xí)七平面向量的共線定理的推論

31.如圖，在AABC中，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別交直線AB,AC于

不同的兩點(diǎn)M,N.設(shè)AB=〃L4M,AC=nAN.則加+〃=()

A.1B.2C.；D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

本題應(yīng)用兩個結(jié)論：

A0=：（A2+AC）,點(diǎn)。是的中點(diǎn)；

三點(diǎn)共線：若A、B、C三點(diǎn)共線，則瓦5=4而+〃而+〃=1.

【詳解】

由題意得而=3（屈+尼）=：（m^M+n前）=^AM+^AN,

因?yàn)镸、。、N三點(diǎn)共線，所以￡+]=1,解得加+〃=2,

故選B.

32.如圖，在ABC中，AD=ADC,E是BD上一點(diǎn),若AE=?AB+，AC,則實(shí)數(shù)九