人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義-因式分解的應用（解析版）

第06講因式分解的應用

學習目標

課程標準學習目標

1.能夠?qū)κ阶舆M行分組，然后在利用相應的分解方法

①分組分解法

進行分解。

②實數(shù)范圍內(nèi)因式分解

2.能夠在實數(shù)范圍內(nèi)進行分解因式。

③因式分解的應用

3.能夠熟練的運用因式分解進行求值，化簡，證明等。

思維導圖

—分組分解因式

實01范網(wǎng)內(nèi)分解因式

求值/可電

證明?可疑

因式分解的應用

計■問融

知識點01分組分解因式

1.分組分解因式：

對于四項或者超過四項的多項式分解時，我們通常要對其進行分組，使其分在同一組的項能夠使用提

公因式法或公式法或者式子相乘法進行分解。從而達到對整個多項式進行分解的目的。

考點題型：①分組分解因式。

【即學即練1】

1.把1-/-廬_2a6分解因式，正確的分組為（）

A.1-(a^+t^+lab)B.(1-Q2)-(b2-2ab)

C.(1-2ab)+(-/-D.(1-a2-Z?2)-lab

【解答】解：l-a2-b2,2ab

=1-(a2+i2+26z6)

=1-(a+b)2

—(1+a+b)(1~a~b).

故選：A.

【即學即練2】

2.因式分解/+〃26-必2_〃的值為(

A.(a-b)2(a+b)B.(a+b)2(Q-6)

C.ab(a+b)2D.ab(a-b)2

【解答】解：原式=(a3+a2b)-(口及+方)

=a2(a+b)-b1(〃+b)

=(a2-b2)(a+b)

=Qa-b)(a+6)(a+6)

=(a-b)(a+b)2；

故選：B.

【即學即練3】

3.八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2〃-3。6-4+66因式分解.經(jīng)過小組合作交流,

得到了如下的解決方法：

解法一：原式=(2〃-3仍)-(4-6Z?)

=a(2-3b)-2(2-3b)

=(2-3b)(6Z-2)

解法二：原式=(2。-4)-C3ab-6b)

=2(tz-2)-36(。-2)

=(a-2)(2-36)

小明由此體會到，對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利

用提公因式法、公式法等方法達到因式分解的目的.這種方法可以稱為分組分解法.(溫馨提示：因式

分解一定要分解到不能再分解為止)

請你也試一試利用分組分解法進行因式分解：

(I)因式分解：X2-“2+X+Q；

(II)因式分解：ax+a2-2ab-bx+B.

【解答】解：(I)x2-a^+x+a

(x2-/)+(%+q)

=(x-a)(X+Q)+(x+q)

=(x+a)(x-a+1)；

(II)ax+a2-lab-bx+b2,

=(ax-bx)+(a?-2ab+b2)

=x(a-6)+(a-b)2

=(a-b)Cx+a-b).

知識點02實屬范圍內(nèi)分解因式

1.實數(shù)范圍反內(nèi)分解因式：

一些式子在有理數(shù)的范圍內(nèi)無法分解因式，可是在實數(shù)范圍內(nèi)就可以繼續(xù)分解因式，實數(shù)范圍內(nèi)分解

因式是指可以把因式分解到實數(shù)的范圍，既可以用無理數(shù)來表示。

題型考點：①實數(shù)范圍內(nèi)分解因式。

【即學即練11

4.把下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(2)x3-2x；(3)/-2遮。+3；(4)x4-25.

【解答】解：(1)02-7=(。+77)(。-近)；

(2)x3-2x,

—x(x2-2),

—x(x+V2)(x-V2)；

(3)/-2?。+3=(a-V3)2;

(4)x4-25,

2

=(X2+5)(x-5),

=05)(x+V5)(x-V5).

【即學即練2】

5.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：X3-X2-2X+2.

【解答】解：x3-x2-2x+2,

—x2(x-1)-2(x-1),

=(x-1)(x2-2),

=(x-1)(x+V2)(x-V2).

【即學即練3】

6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式：

(Dy4-6y2+5；

(2)x2-11；

(3)cr-2A/3(7+3；

(4)5,-2.

【解答】解：(1)原式=(/_1)(y2_5)

=(y+1)(y-1))(V-)；

(2)原式=苫2-(JII)2

=(x+)11)(x-y/11)；

(3)原式=(a-V3)2;

(4)原式=(V5x+V2)(V5-v-V2).

知識點03因式分解的綜合應用

1.因式分解的步驟：

第一步：觀察式子是否有公因式可提。若有公因式，則先用公因式進行因式分解。

第二步：觀察式子項數(shù)：

①若式子是兩項，則觀察是否具有平方差公式的特點，若具有平方差公式的特點則用平方差公式分

解，若不具有則不能分解。

②若式子是三項，則觀察是否具有完全平方公式的特點，如果具有完全平方公式的特點則用完全平

方公式分解。若不具有完全平方公式的特點則觀察是否可用十字相乘法分解，若能則用十字相乘法分解，

若不能用十字相乘法分解則多項式不能分解。

因式分解一定要分解徹底，即無論用什么方法都不能再繼續(xù)分解。

題型考點：①分解因式。

【即學即練1】

7.分解因式：

(1)4(3/W+2/7)2-9(.m-ri')2；

(2)X4+5X2-36；

(3)x3y-2x2y2+3x-6y；

(4)(x2+x+l)(X2+X+2)-12；

(5)4X4+12X3+13X2+6X+1；

(6)y(y+1)(x2+l)+xC2y2+2y+l).

【解答】解：(1)原式=[2(3w+2?)+3(m-n)][2(3m+2n)-3Cm-n)]

=(6m+4n+3m-3n)(6m+4n-3加+3”)

=(9m+n)(3m+7n)；

(2原式=(X2+9)(x2-4)

=(X2+9)(X+2)(x-2)；

(3)原式(x-2y)+3(x-2y)

=(//+3)(x-2y)；

(4)原式=(x2+x)2+2(x2+x)+(/+%)+2-12

=(x2+x)2+3(%2+x)-10

=(/+%+5)(/+%-2)

=(X2+X+5)(X+2)(x-1)；

(5)原式=(2x2)2+12X3+9X2+4X2+6X+1

=[(2x2)2+2-2X2-3X+9X2]+2(2X2+3X)+1

=(2X2+3X)2+2(2X2+3X)+1

=(2X2+3X+1)2

=[(x+1)(2x+l)]2

=(x+1)2(2x+l)2；

(6)y(y+1)(x2+l)+x(2y+2科1)

=f(y+1)y+x(2y2+2y+l)(y+1)

=[yx+(y+1)][(尹1)x+y].

【即學即練2】

8.分解因式：

(1)"y+28加c；

(2)a4-64；

(3)x2+(2〃+3)x+(Q2+3Q)；

(4)4f+4盯+12x+6y+f+8.

【解答】解：(1)原式=4口廬(2tz^+7Z)c)；

(2)原式=(次+8)(a2-8)

=(片+8)(q+2&)(6Z-2V2)；

(3)原式=(x+a)(x+a+3)；

(4)原式=(4/+4盯+j?)+(12x+6y)+8

=(2x+y)2+6(2x+y)+8

=(2AH^+2)(2x+y+4).

知識點04因式分解的綜合應用

1.因式分解的綜合應用：

利用因式分解解決求值問題。

利用因式分解解決證明問題。

利用因式分解解決計算問題。

題型考點：①因式分解的實際應用。

【即學即練11

9.若a+6=3,x+y=l,則代數(shù)式。2+2仍+廬一工->+2015的值是()

A.2019B.2017C.2024D.2023

【解答】解：Va+b=3>,x+y=1,

：.a2+2ab+b2-x-y+2015=(a+Z))2-(x+y)+2015=9-1+2015=2023,

故選：D.

【即學即練21

10.已知a、b、c是△48C的三邊長，且滿足02+2y+°2=2"+2灰：，那么據(jù)此判斷△/8C的形狀是（）

A.等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【解答】解：a2+2b2+c2^2ab+2bc,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c1=0

(a-b)2+(b-c)2=0,

a-b=0且b-c=0

?*ct~^byb=c.

??a=b=c,

AABC為等邊三角形，

故選4

【即學即練3】

11.已知X->=工，xy=—,則盯2的值是（）

23

A.zB.1C.D

36--I

【解答】解：；x-y=工，xy=-，

23

.'.X2)7-xy2=xy(x-y)

14

—_—2,

3

故選：A.

【即學即練4】

12.生活中我們經(jīng)常用到密碼，如到銀行取款.有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理

是：將一個多項式分解因式，如多項式因式分解的結(jié)果是Q-y)G+y)(，+/),當取工=9,

y=9時，各個因式的值是：(x-y)=0,(x+y)=18,(f+f)=162,于是就可以把“018162”作

為一個六位數(shù)的密碼.類似地，對于多項式4丁-砂2,當取工=10,>=10時，用上述方法可以產(chǎn)生一個

六位數(shù)密碼.則這個密碼可以是()

A.102030B.103020C.101030D.102010

【解答】解：4x3-xy2

=x(4x2-y2)

=x(2x-y)(2x+y),

Vx=10,尸10,

Z.(2x-y)=2X10-10=10,(2x+y)=2X10+10=30,

???這個密碼可以101030,故選：C.

【即學即練5】

13.有些多項式不能直接運用提取公因式法分解因式，但它的某些項可以通過適當?shù)亟Y(jié)合(或把某項適當

地拆分)成為一組，利用分組來分解多項式的因式，從而達到因式分解的目的，例如加工+內(nèi)+叼+犯=

(/nx+nx)+(my+ny)=x(m+n)+y(機+〃)=(m+n)Cx+y),根據(jù)上面的方法因式分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)m3-mn2-m^n+ni；

(3)已知Q,b,。是的三邊，a1-ab+c2=2ac-be,判斷△力5。的形狀并說明理由.

【解答】解：(1)原式=(2ax+36x)+(4ay+6by)

=x(2a+3b)+2y(2a+3b)

=(x+2y)(2a+3b).

(2)原式=(冽3-冽2幾).(加〃23)

=加2(冽-〃)-〃2(初一〃)

=(加-〃)Cm2n2)

=(m-n)2(m+n).

(3)等腰三角形.

Va2-ab+c2=2ac-be

**.(〃-c)(a-c-b)=0

u：a,b,c是△45C的三邊，

：?a-b-eVO,

??a-c=0,

??a=c,

.△4BC是等腰三角形.

題型精講

題型01因式分解

【典例1】

因式分解：

(1)4ab-2a2b；

(2)25--9y2；

(3)2a2b-Sab2+Sb3；

(4)x2(x-3)+9(3-x).

【解答】解：(1)4ab-2a2b=2ab(2-a)；

(2)25/-9y2=(5x+3y)(5x-3y)；

(3)2a2b-Sab2+Sb3

=2b(a2-4tz/7+4&2)

=2b(a-2b)2；

(4)x2(x-3)+9(3-x)

=(x-3)(x2-9)

—(x-3)(x-3)(x+3)

=(x-3)2(x+3).

【典例2】

將下列各式因式分解：

(1)a(x-3)+26(x-3)；

(2)2x3-8x；

(3)(2x+y)2-(x+2y)2；

(4)-x2-4y2+4xy.

【解答】解：(1)tz(x_3)+2Z?(x-3)=(x-3)(a+2b)；

(2)2x3-8x

=2x(x2-4)

=2x(x+2)(x-2)；

(3)(2x+y)2-(x+2y)2

=[2x+y+(x+2y)][2x4j-(x+2y)]

=C2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)

—(3x+3y)(x-y)

=3(x+y)(x-y)；

(4)-x2-4y2+4xy

=-(x2-4xy+4^2)

=-(x-2y)2.

【典例3】

分解因式：

(1)a(x-y)+b(y-x)；

(2)3m2n-12加〃+12〃；

(3)(f+9)2-36/；

⑷(x+1)(x+2)

【解答】解：(1)原式=q(x-y)~b(x-y)

=(.a-b)(x-y)；

(2)原式=3〃(m2-4m+4)

=3〃(m-2)2；

(3)原式=(，+9+6x)(X2+9-6X)

=(x+3)2(x-3)2；

(4)原式=/+3x+2+工

4

=X2+3X+—

4

=(x+—)2.

2

【典例4】

閱讀下列材料：將一個形如/tpx+q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q=/〃且〃=根+〃，則可以把

x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).

例如：①/+4x+3=(x+1)(x+3)；

②--4x-12=(x-6)(x+2).

根據(jù)材料，把下列式子進行因式分解.

(1)x2-6x+8；

(2)x2-2x-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

【解答】解：(1)x2-6x+8=(x-2)(x-4)；

(2)x2-2x-15=(x+3)(x-5)；

(3)(x-4)(x+7)+18

=/+3x-28+18

=X2+3X-10

=(x-2)(x+5).

題型02分組分解因式

【典例1】

閱讀下列材料：

一般地，沒有公因式的多項式，當項數(shù)為四項或四項以上時，經(jīng)常把這些項分成若干組，然后各組運用

提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這種因式

分解的方法叫做分組分解法.如：

因式分解：am+bm+an+bn

=(am+bm)+(an+bn)

=m(a+b)+n(q+b)

=(a+b)(m+n).

(1)利用分組分解法分解因式：

①3冽-3y+am-ay；

(2)a^x+c^y+t^x+l^y.

(2)因式分解：cP+lab+b2-1=(a+b+1)(a+b-1)(直接寫出結(jié)果).

【解答】解：(1)①原式=(3冽-3y)+(am-ay)

=3(m-y)+a(m-y)

=(加-y)(3+a)；

②原式=(修］+片,)+(Bx+By)

=。2(%+y)+b2Cx+y)

=(田j)(tz2+/)2);

(2)a2+2ab+b2-1

=(a+b)2-1

=(q+b+1)(a+b-1).

故答案為：(a+6+1)(a+b-1).

【典例2】

常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法，但有的多項式只用上述一種方法無法分解，例如，-9產(chǎn)

-21+6乃我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以分解，后兩項也可以分解，分別分解后會產(chǎn)生公因式就可

以完整的分解了，過程為：

x2-9J2-2x+6y=(x2-9y2)-2(x-3j)=(x-3y)(x+3y)-2(x-3y)=(x-3y)(x+3〉-2).

這種方法叫分組分解法，利用這種方法分解因式：

(1)X2-2xy+y2-16；

(2)xy2-2xy+2y-4.

【解答】解：(1)原式=(x-y)2一16

=(x-y+4)(x-y-4)；

(2)xy2-2xy+2y-4

—xy(y-2)+2(y-2)

=(y-2)(A^V+2).

【典例3】

有些多項式不能直接運用提取公因式法等方法分解因式，但它的某些項可以通過適當?shù)亟Y(jié)合(或把某項適

當?shù)夭鸱?成為一組，利用分組來分解多項式的因式，從而達到因式分解的目的.

例如：mx+nx+my+ny=(.mx+nx)+(.my+ny^)=x(加+〃)+y(冽+幾)=(冽+〃)Cx+y).

根據(jù)上面的方法因式分解：

(1)2ax+3bx+4ay+6by；

(2)x2+2xy+y2-z2.

【解答】解：(1)原式=(2ax+3bX)+(4即+6辦)

=x(2a+3b)+2y(2〃+3b)

=(%+2y)(2a+3b)；

(2)原式=(x2+2xy+y2)-z2

=(x+y)2-z2

=Cx+y-z)(.x+y+z)

【典例4】

我們已經(jīng)學過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法，

分組分解法是將一個多項式適當分組后，再用提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法.例如：ax+by+bx+ay

=(ax+bx)+Cay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+j?).

請你仿照以上方法，解決下列問題.

分解因式：(1)x2-y2+2x-2y；

(2)x2-10x+25-y2.

【解答】解：(1)x2-y2+2x-2y

=(x2-y2)+(2x-2y)

—Cx+y)(x-y)+2(x-y)

=(x-y)(x+j^+2)；

(2)x2-10x+25-y2

=(x2-10x+25)-/

=(x-5)2-y2

=(x-5-Hv)(x_5-jv).

題型03實數(shù)范圍內(nèi)分解因式

【典例1】

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

（1）4x2-20；

（2）x2-2ax+3.

【解答】解：（1）4/-20

=4（x2-5）

=4（X+A/5）（x-；

（2）%2-2相》+3

=x2-2心+（V3）2

=（X-百）2.

【典例2】

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

（1）am2-6ma+9a；

（2）9a4-4b4.

【解答】解：（1）原式=。Cm2-6m+9）

=a（m-3）2；

（2）原式=（3a2+2i2）（3a2-2b2）

=（3/+2〃）[（V3a）2-（Mb）2]

=（3次+2廬）（?a+&6）（眄

【典例3】

在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

（I）m~-3

（2）2a2-5

（3）X2-2V3X+3-

【解答】解：（1）原式=/-（V3）2=（rn-V3）（m+V3）;

（2）原式=（&a）2-（遙）2=（V2a-V5）（&“+遙）；

（3）原式=--2y[3x+（V§）2=（x-

題型04因式分解的應用

【典例1】

已知xy—2,y-x—1,

<1)求2X2)；-2中2的值；

(2)求x+y的值.

【解答】解：(1)'.'xy=2,y-x=l,

2x^y-2孫2

—2xy(x-y)

=-2xy(y-x)

=-2X2X1

=_4；

(2)"x=l,

(y-X)2=[2=],

即/-2xy+y2—l,

又：孫=2,

.,.x2+y2=5,

(x+y)2=x2+2xy+y2=5+4=9,

.".x+y=+3.

【典例2】

如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“崇德尚美數(shù)”.

如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20這三個數(shù)都是“崇德尚美數(shù)”.

(1)判斷：36是“崇德尚美數(shù)”(填“是”或“不是”)；

(2)設兩個連續(xù)偶數(shù)為2人+2和2左(其中左取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構造的“崇德尚美數(shù)”是

4的倍數(shù)嗎？為什么？

(3)若長方形相鄰兩邊長為兩個連續(xù)偶數(shù)，試判斷該長方形的面積是否為“崇德尚美數(shù)”？為什么？(請

推理證明)

【解答】解：(1)V36=102-82,

，36是崇德尚美數(shù).

(2)兩個連續(xù)偶數(shù)構造的“崇德尚美數(shù)”是4的倍數(shù)，

(2左+2)2-(2k)2=8左+4=4(2R1),

???崇德尚美數(shù)是4的倍數(shù)；

(3)該長方形的面積不為“崇德尚美數(shù)”，

理由如下：設長方形相鄰兩邊長分別為2〃+2和2”，(〃為正整數(shù))，則長方形的面積為：(2〃+2)

=4〃(?+1),

假設此長方形的面積為“崇德尚美數(shù)”，設其兩個連續(xù)的偶數(shù)為殊+2和2左，(后為整數(shù))，

貝！J4"(?+1)=(2左+2)2-(2k)2,即4月(?+1)=8左+4,

n(w+1)=2上+1,

為正整數(shù)，

：.n(?+1)必為偶數(shù)，而2左+1為奇數(shù)，

：.n(?+1)=2后+1不成立，

假設此長方形的面積為“崇德尚美數(shù)”不正確，

故該長方形的面積不為“崇德尚美數(shù)”.

【典例3】

觀察下列分解因式的過程：

x2+2xy-3y2

解：原式=』+2冷+產(chǎn)-y2-3y2

—(x2+2xy+y2)-4y2

=(x+y)2-(2y)2

=(x+y+2y)(.x+y-2y)

=(x+3j)(x-y).

像這種通過增減項把多項式轉(zhuǎn)化成完全平方形式的方法稱為配方法.

(1)請你運用上述配方法分解因式：x2-4xy-5y2；

(2)已知△/BC的三邊長a,b,c都是正整數(shù)，且滿足『+廬=8〃+66-25,求△/BC周長的最大值.

【解答】解：(1)由題意，X2-4xy-5y2=x2-4xy+4y2-9j^

=(x-2y)2_曠

=(x-2y+3y)(x-2y-3y)

=(x+y)(x-5y).

(2)由題意，a2+b2—8a+6b-25,

：.a2-8a+b2-66+25=0.

：.a2-8a+16+i2-66+9=0.

(a-4)2+(b-3)2=0.

；?。=4,b=3.

：.l<c<7.

又。為正整數(shù)，

,?,△45。周長的最大，

??c=6.

a+6+c=4+3+6=13.

答：滿足題意得△4BC周長的最大值為13.

【典例4】

閱讀下列材料：數(shù)學研究發(fā)現(xiàn)常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項式只用

上述方法無法分解，如：um2-mn+2m-,細心觀察這個式子就會發(fā)現(xiàn)，前兩項可以提取公因式，

后兩項也可提取公因式，前后兩部分分別因式分解后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成

整個式子的因式分解了，過程為冽2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2〃)—m(冽-〃)+2(m-n)

=(m-n)(m+2).此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請在這種方法的啟發(fā)下，解決以下問

題：

(1)因式分解：a3-3a2+6a-18；

(2)已矢口冽+〃=5,m-n=1,求冽2機-2〃的值；

(3)的三邊Q,b,c滿足42+2廬+C2=2仍+2兒，判斷△45C的形狀并說明理由.

【解答】解：(1)tz3-3a2+6a-18

=。2(。-3)+6(a-3)

=(a-3)(tz2+6).

(2)m2-n2+2m-2n

=(m+?)(m-n)+2(m-n)

=(m-n)(m+n+2)

將加+〃=5,m-n=l,代入(冽-孔)(m+n+2)=1X(5+2)=7.

(3)ZX/BC是等邊三角形，理由如下：

*.*a2+2b2+c2=2ab+2bc,即a2+2b2+c2-2ab-2bc=G,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=(a-b)2+(b-c)2=0,

.9.a-b=0且b-c=0,

??a'=：b'='c,

：./\ABC是等邊三角形.

【典例5】

閱讀材料：要將多項式〃加冽+加分解因式，可以先把它的前兩項分成一組，再把它的后兩項分成一組,

從而得至！J：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(機+"),這時a(m+n)+b(m+n)

中又有公因式(m+n),于是可以提出(m+n),從而得到(加+〃)(〃+b),因此有am+an+bm+bn=(am+an)

+(bm+bn)=a(m+w)+b(m+n)=(加+〃)(a+6),這種方法稱為分組法.請回答下列問題：

(1)嘗試填空：2x-18+盯-9v=(v+2)(x-9)；

(2)解決問題：因式分解；ac-bc+a1-?.

(3)拓展應用：已知三角形的三邊長分別是a,b,c,且滿足片-2必+2b2-2A+°2=0,試判斷這個三

角形的形狀，并說明理由.

【解答】解：(1)2x-1S+xy-9y9

—(2x-18)+(xy-9y),

=2(x-9)+y(x-9)，

=(y+2)(x-9),

故答案為：(y+2)(x-9)；

(2)ac-bc+a1-b2

=cQa-b)+(〃+b)(〃-b),

=(a-b)(a+b+c),

(3)這個三角形是等邊三角形，理由如下:

a2,-lab+lb1-2bc+c1=0,

a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0,

(a-b)2+(b-c)2=0,

*.*(a-b)22o,(b-c)220,

(a-b)2=0,(b-c)2=0,

??u=~bfb~~Cj

??a=Z?=c,

這個三角形是等邊三角形.

強化訓練

1.下列因式分解正確的是（

A.ax+y=aCx+y)B.f_4X+4=(X+2)2

C.2x2-x=x⑵-1)D.x2-16=(x-4)2

【解答】解：辦不能因式分解，故4不符合題意；

X2-4x+4=(x-2)2,故5不符合題意；

2x2-x=x(2x-1),故。符合題意；

X2-16=(%-4)(x+4),故。不符合題意；

故選：C.

2.下列多項式，在實數(shù)范圍內(nèi)一定可以分解因式的是()

A.X2-x+3B.X2-mx-y-C.-2x+3D.x2-x-2m

【解答】解：A：△=b2-4ac,

=(-1)2-4XlX3,

=1-12,

=-ll<0.

f-%+3不能在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

故Z錯.

B：A=b2-4qc,

=(-m)2-4XlX(-A),

2

=m2+2>0.

x2-mx-1■能在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

2

故3正確.

C：A=b2-4ac,

=(-2)2-4X企X3,

4-12迎<0,

近W-2x+3不能在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

故。錯.

D-.A=b2-4ac,

=(-1)2-4X1X(-2m),

=1+8加，

m的值不定，1+8加的符號不確定，

故不能判斷x2-x-2m能否在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

故。不一定.

故答案為：B.

3.多項式x2j2-j2-x2+l因式分解的結(jié)果是()

A.(x2+l)(爐+1)

B.(x-1)(x+1)(y2+l)

C.(x2+l)(y+1)(y-1)

D.(x+1)(x-1)(y+1)(y-1)

【解答】解：x2y2-y2-x2+l

—y2(x2-1)-(x2-1)

=(y2-1)(x-1)(x+1)

=(y-1)(y+1)(x-1)(x+1).

故選：D.

4.三角形的三邊a,b,c滿足（a+6）2-c2=2aZ）,則此三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

【解答】解：：三角形的三邊a,b,c滿足（a+b）2-c2=2ab,

cr+lab+b1-c1-2a6=0,

滔+廬二洛

???三角形為直角三角形.

故選：B.

5.已知整數(shù)a,6滿足2a6+4a=6+3,貝(Ja+6的值是()

A.0或-3B.1C.2或3D.-2

【解答】解：由2ab+4a=b+3,得：

2ab+4a-b-2=1

(2a-1)(6+2)=1,

V2a-1,6+2都為整數(shù)，

4-1=1或［2a-l=-l,

lb+2=llb+2=-l

解得卜=1或卜=°,

lb=-llb=-3

/.a+b=O或-3.

故選：A.

6.如果a-b=2,那么代數(shù)式a3-2a2b+ab2-4。的值是()

A.-1B.0C.1D.2

【解答】解：/-2a2b+ab2-4a=a(a2-2ab+b2)-4a=a(a-b)2-4a,

■:a-b=2,

(a-b)2-4a=aX22-4tz=0,

故選：B.

7.小強是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條信息：x-y,a-b,2,x2-/,a,x+y,

分別對應下列六個字：華，我、愛、美、游、中，現(xiàn)將2a(工2-廿)-26(x2-y2)因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)

的密碼信息可能是()

A.愛我中華B.我游中華C.中華美D.我愛游

【解答】解：2a(x2-y2)~2b(x2-y2)=2(x2-y2)(a-b)=2(x-Hv)(x-y)(a-b'),

信息中的漢字有：愛、中、華、我.

所以結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能為愛我中華.

故選：A.

2222

8.在△48C中，三邊分別為a、b、c,且滿足(a+6+c)=25,a+b+c=^-,則△/B。為()

A.等腰三角形B.不等邊三角形

C.等邊三角形D.無法判斷

【解答】解：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=25,22=患，

9

2ab+2bc+2ac=①，2a2+2b2+2c2=理1②，

99

②-①得：(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

??a=b=c,

：?AABC為等邊三角形，

故選：C.

9.因式分解：x2+y2-z2-2孫=(x-v-z)(%-y+z).

【解答】解：x2+y2-z2-2xy

=(x-y)2-z2

=(x-y-z)(x-y+z)；

故答案為：(x-y-z)Cx-y+z).

10.已矢口x+y=l,xy=-3,貝中3=-21.

【解答】解:x3y+xy3

=xy(x2+y2)

=xy[(x+y)2-2xy]

=-3X[12-2X(-3)]

=-3X7

=-21.

故答案為：-21.

11.若a=2005,6=2006,c=2007,a2+b2+c2-ab-be-ac=3.

【解答】解：原式=工C2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)

2

=￡[(a2-2ab+b2^+(a2-2ac+c2)+(Z>2-2bc+c2)]

(a-b)2+(a-c)2+(Z>-c)2].

將a=2005,6=2006,c=2007代入，

原式=U*X(1+4+1)

2

=Xx6

2

=3.

故答案為：3.

12.現(xiàn)在生活人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，

22

方便記憶.原理是：如對于多項式/=夕4因式分解的結(jié)果是(x-(x+y)(x+y),若取x=9,y=

9時則各個因式的值是：x-y^0,x+y=18,/+2=162,把這些值從小到大排列得到018162,于是就可

以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼，對于多項式4--xjA取苫=21,y=19時，請你寫出一個用上

述方法產(chǎn)生的密碼212361.

【解答】解：4x3-xy2,—x(4x2-y2)—x(2x-y)(2x+y),

當x=21,y=19時，

x=21,2x-y=42-19=23,2x+y=42+19=61,

把這些值從小到大排列得到212361,

故答案為：212361.

13.閱讀下列材料：

在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元)，不僅可以簡化要

分解的多項式的結(jié)構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這種因式分

解的方法稱為“換元法”.

下面是小胡同學用換元法對多項式(X2-2X-1)CX2-2x+3)+4進行因式分解的過程.

解：設/-2x—y,

原式=(y-1)(y+3)+4(第一步)

=y2+2y+l(第二步)

=(y+1)2(第三步)

=(x2-2x+l)2(第四步)

請根據(jù)上述材料回答下列問題：

(1)小胡同學的解法中，第二步到第三步運用了因式分解的C；

A.提取公因式法

B.平方差公式法

C.完全平方公式法

(2)老師說，小胡同學因式分解的結(jié)果不徹底，