2025年高考數學大題復習：三角恒等變換和解三角形（原卷）

第01講三角恒等變換和解三角形

考法呈現

然考法一：三角函數和三角恒等變換

’.例題分析

【例1】(2023?北京,統(tǒng)考高考真題)設函數=sinto久cos,+cossxsincp(3〉0,|如＜5).

(1W(O)=-y,求9的值.

(2)已知/(x)在區(qū)間［-*色上單調遞增，/(g)=1，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作

為已知，使函數人尤)存在，求3,0的值.

條件①:/OS

條件②：f(-g=—1；

條件③：人無)在區(qū)間［一會一才上單調遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

滿分秘籍

匕如同修水■?析共

①卅**點法：由3=，即1*出3.汆①明善處未出寓過AM*的右田?上升(ATIt)

的"拿點""金帆、.時令3X()+*0(1^?04*開).”可求出平：

②代人最值法：4MUA(最&點、?A)受標代人解析A.分憾合國學遂行本值.

I二、”兀遂(余)ft型屬敷峋0M/

一■將ax+十4做一個井體，利用陵元法和?“體合的思蛆第號.與三角屬微M關的方桿

9(拿點同屯).通常透過用■與方書思想約化為圖像更&H題.再催購圖像造行今析.

1B變式訓練

【變式1-1](2021?陜西咸陽?校考二模)已知函數/(%)=2cosx(sinx—cosx)+l,xGR

⑴求函數/(%)的對稱軸和對稱中心；

(2)當久€除胃求函數/⑺的值域.

【變式1-2](2023?黑龍江齊齊哈爾?齊齊哈爾市實驗中學?？既?已知函數/(%)=cos?x+⑴)在區(qū)間

(一精)上單調，其中3>0,0<(P<n,且/'(一?卜一/停)

(1)求y=f(x)的圖象的一個對稱中心的坐標；

⑵若點P(-已爭在函數/⑺的圖象上，求函數/(久)的表達式.

【變式1-3](2023,安徽黃山?屯溪一中?？寄M預測)a=(V3sintox,sina)x+cosd)x),b=

(2COS3%,sina)x—costox),/(%)=a-b,

⑴若3=1,求fe)的值；

(2)若函數/(%)的最小正周期為兀

①求3的值；

②當xe修用時，對任意力€R,不等式7n*+血力+32/(久)恒成立，求m的取值范圍

【變式1-4](2023?北京?北京四中?？寄M預測)已知函數/(%)=2cos236—sin32%.

⑴求/(0)的值；

(2)從①31=1,32=2；②31=1，M=1這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件，求函數/(%)在

[-猊]上的最小值，并直接寫出函數/⑺的一個周期.

【變式1-5](2023?上海松江??？寄M預測)已知向量記=(2sina%,cos23%),元=(V3cos6)x,1),其中3>0,

若函數/(%)=m?元的最小正周期為兀.

⑴求f(%)的單調增區(qū)間；

(2)在4ABC中，若/(B)=-2,BC=B,sinB=WsinA,求瓦？?近的值.

弘考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形

蠡例題分析

【例2】(2023?安徽安慶?安徽省桐城中學?？家荒?在△4BC中，三邊a,瓦c所對的角分別為4B,C,已知Q=4,

cosB+cosAcosC_4V3

sinBcosCb

(1)若c=2遮，求sinA；

(2)若48邊上的中線長為浮，求的長.

滿分秘籍

解三角好問勒，多為邊和角的求值問題，這就:I；桑根據正、余

弦定理結合已知條件靈活樣化邊和角之網的關系，柒考慮用余弦定

理；如果式子中含有角的正弦城邊的一次式，JH考慮用正弦定展，

由正弦定理求角，注意利用條件判斷角的范圍，即確定是一解還是

變式訓練

【變式2-1](2023?全國?模擬預測)在三角形4ABC中，角4,3,C所對應的邊分別為a,b,c,且sin力=ab=

4,c>b>a.

(1)從下列中選擇一個證明:

①證明:a_b②證明：COS力=''蕓一。

sin/sinB

(2)求三角形4ABC面積的最小值.

【變式2-2](2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模)在△力BC中，4鳳C所對邊a、0、c滿足(a+b—c)(a—b+c)=be.

⑴求A的值；

(2)若。=百，cosB—I，求△ABC的周長.

【變式2-3](2021?廣東佛山?統(tǒng)考二模)在①繁一繁=g,②麗?前=1，③sinA-sinB=?這三個條

件中任選一個，補充在下面問題中，并解決該問題.

問題：已知△力BC的內角/、B、C的對邊分別為a,b,c；a=l,C=*求△ABC的面積.

【變式2-4](2023?四川綿陽?四川省綿陽江油中學?？寄M預測)如圖,在梯形4BCD中,AB//CD,AB=2,

CD=5,^ABC=—.

3

(1)若4。=2夕，求梯形/BCD的面積;

(2)若ZC1BD,求tanZ-ABD.

【變式2.5】(2019?河南?校聯考二模)在44BC中，內角4、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足siMN+sin/sinB-

6sin2B=0.

(1)求押值；

(2)若cosC=3求sinB的值.

4

【變式2-6】(2023?廣東東莞??？既?在中，內角4B,C所對的邊分別為a,b,c.已知bsinA=

acos(B-

(1)求角B的大??；

(2)設a=2,c=3,求sin(2A—B)的值.

弘考法三：利用正弦定理求外接圓半徑

例題分析

【例3】(2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模)已知△力BC內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,bcosC+V3csinS=a+c.

⑴求角B的大??；

(2)若AHBC為鈍角三角形，且a-c=2,求△ABC外接圓半徑的取值范圍.

滿分秘籍

正今定現三=h2R

者妾*三HO外*■，檢的篤偈，一ItltR用/角的人于東*.示.棄修及三啟島，

被的蔽$彖事，經的篦??

變式訓練

【變式3-2](2023?江蘇揚州?江蘇省高郵中學校考模擬預測)在AABC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,

sinA+sinBb—c

C,已知Q=2,且:

sinCb—a

(1)求4ABC的外接圓半徑R；

(2)求44BC內切圓半徑r的取值范圍.

【變式3-3](2023?全國?模擬預測)已知A/8C的角力,B,C對邊分別為a,b,c,滿足絲=胖，且ab=工,

ab-c3

a+b—y[2c=0

⑴求C；

(2)求4/臺。外接圓的半徑R.

【變式3-4】(2023?山東聊城?統(tǒng)考一模)在四邊形4BCD中，AB//CD.

(1)證明：AD-sin^BAD=BC-sinzBCD；

(2)若4D=1,AB=3,BC=V3,乙BAD=2乙BCD,求△BCD外接圓的面積.

【變式3-5](2023?江蘇揚州?揚州中學?？寄M預測)在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為“,b,c.從

①②③中選取兩個作為條件，補充在下面的問題中，并解答.①cos4-g；②△ABC的面積是蜉；③?=3.

問題：已知角/為鈍角，6=5,.

(1)求△力BC外接圓的面積；

(2)40為角/的平分線，。在上，求4D的長.

然考法四：正弦和余弦定理邊角互化的應用

f墨例題分析

【例4】(2023?山東泰安?統(tǒng)考模擬預測)如圖，平面四邊形04CB中，△4BC的三內角4B,C對應的三邊為a,b,c.

給出以下三個條件：

①cos24—cos2c=2sin2B-2sin4sinB

②asin^|^=csinA

③K力BC的面積為手（。2+房一c2）

（1）從以上三個條件中任選一個，求角C；

（2）設。4=。8=2,48=4C,在（1）的條件下，求四邊形CMCB的面積的最大值.

滿分秘籍

1.若已如等大（逝不乎大）中左右西邊均有關于雄的本次式點美于角的正版的#

次大,點o式的e子與分號吳r逋的本次乂或?關于啟仲壬今的4次大，赧用正版定理

線什蛙角豆化.

tf:a?->!unA,b<=?siiiB,c<=?sinC.

ZA.it道的中才6,一或用余做定算

變式訓練

【變式4-1］（2023?天津武清?天津市武清區(qū)楊村第一中學?？寄M預測）在△ABC中，角4B,C所對的邊

分別為a,b,c,已知csin=asinC

(1)求角A的大小;

(2)若b=l,sinB=苧，求邊c及cos(2B+4)的值.

【變式4-2](2023?福建泉州?泉州五中?？寄M預測)在UBC中,內角力，B,C的對邊分別為a,b,c,

己知sin(24+B)=2sin力(1—cosC).

(1)證明：b-2a；

(2)點。是線段力B上靠近點B的三等分點，且CD=AD=1,求△力BC的周長.

【變式4-3](2023?四川?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學?？既?已知a,瓦c分別為銳角A/BC內角

4B,C的對邊，b—2acosC=a.

(1)證明：C=2A；

(2)求學的取值范圍.

【變式4-4](2023?海南海口?海南華僑中學?？家荒?在△力BC中，內角4B,。的對邊分別為a,b,c,

且2acosB+y[3b—2c.

(1)求/的大??；

(2)若b=3,c=V3,求2C邊上高的長.

【變式4-5](2023?四川綿陽?三臺中學?？家荒?在△ABC中，角42,C的對邊分別為a,b,c,向量記=(251),

n—(2a—c,cosC),JLm//n.

(1)求角B的大??；

⑵若點M為BC中點，且AM=AC,求sin/B力C.

【變式4-6](2023?重慶沙坪壩?重慶南開中學?？寄M預測)已知△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,瓦c,

滿足b=V3,2sinBcoSi4=2sinC—sinZ.

⑴求角B；

(2)若acosC-ccosX=1,求4—C.

【變式4-7](2023?廣東深圳??？级?記44BC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知sinFsinCcos2^=

2sin2A

(1)證明：b+c=3a；

(2)若角2的平分線交/C于點。，且BD=等，,號，求△力BC的面積.

【變式4-8](2023?天津南開?南開中學校考模擬預測)在AABC中，a,b,c分別為角4B,C所對的邊,

且2bcosC=2a+c.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若2V3sinQ+Jcos-2sin2傅+方)=,,求cosC的值.

弘考法五：求三角形面積及面積最值或范圍

例題分析

【例5】（2023?福建福州?福建省福州第一中學?？既＃〢/BC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c.已

知色竺—cos（71+C）sinC,c=2.

⑴求2;

（2）Z>為/C的中點，BO?=3BC,求A/IBC的面積.

滿分秘籍

I.畬用三角電?枳公人

abtinC\acjtinff-\bcsinA；?S'r(aby<r*=*

*xz

。叫”?中橋）；（DS=>p-b)(p-c).，博倫公久?X

(?+b+c)A三啟出(長.

力衣￡6》題網值，Z通n.Att.俄后把費?工■從劃的何

4KM詹甫.交受▲幣合米，?做定出才ft,

JW.

窗變式訓練

【變式5-1]（2023?福建福州?福建省福州第一中學?？寄M預測）在4ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,

且ccos力+VScsin/l=a+b.

（1）求角C；

(2)若A4BC的中線CD長為2b，求△ABC面積的最大值.

【變式5-2](2023?福建漳州?統(tǒng)考模擬預測)在平面四邊形ABCD中,/.ABC=90°,zC=135°,BD=V5,

CD=V2.

⑴求cosZ-CBD；

(2)若AHBD為銳角三角形，求△4BD的面積的取值范圍.

【變式5-3](2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預測)如圖，為測量某雕像N3的高度(B,C,D,尸在同一水平面

上，雕像垂直該水平面于點8,且3,C,。三點共線)，某校研究性學習小組同學在C,D,尸三點處測得

頂點/的仰角分別為60。，30°,45。，CD=20米.

(1)求雕像"5的高度；

(2)當觀景點。與廠之間的距離為多少米時，AC。廠的面積最大？并求出最大面積.

【變式5-4](2023?湖南長沙?周南中學?？级?已知向量方=(sin，1+cos2x),=(cosx,-|),/(%)=~a-b-

1

2,

(1)求函數y=f(%)的最大值及相應x的值；

(2)在及42。中，角/為銳角且A+8="，/(A)*，BC=2,求△ABC的面積.

【變式5-5](2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預測)設△4BC的內角4,3,C所對的邊分別為a,b,c,a2=bcosC+

ccosB,且力+c=2.

⑴求證：4《宗

⑵求△Z5C面積的最大值.

【變式5-6](2023?黑龍江大慶?大慶實驗中學?？寄M預測)在△ZBC中，角/,B,。所對的邊分別為防

j~2i_r2_n2—

b,c,已知b------——=2acosBcosC,其中，C豐一.

2b2

⑴求角B的大??；

(2)若接+3c2=12-5ac,求AlBC面積的最大值.

弘考法六：求三角形邊長(比)或周長范圍

忠例題分析

【例6】在中，角48,C的對邊分別為見仇c,yhsinC+ccosB=a.

(1)若a=2,b=1,求^ABC的面積；

(2)若c=2,求△ZBC周長的取值范圍.

滿分秘籍

1.求邊長之比.邊之比利用五就定及轉化再三京晶微的正*之比,用祖弟

禽的冷用來未出比值或最值；

2.求H長的危網或最值，畬先，I人交差，如逋長.MAT,解后把要解三篇冊的

周K用圖■魚量**山左，A利用正.衾奴足及刊出方程，?解.江重441&總的先

變式訓練

【變式訓練6-1】(四川省巴中市2022-2023學年高一下學期期末數學試題)在AABC中，內角/,B,C所

對的邊分別為a,b,c,已知a?一?2—gbc=abcosC.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若a=2V3,求小力BC周長的取值范圍.

【變式訓練6-2】(2023?河南關B州?統(tǒng)考模擬預測)在銳角AABC中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

若a2+c2—ac=4,b=2.

(1)求角B的大??；

(2)求:的取值范圍.

【變式訓練6-3】（2023?山東荷澤?山東省鄴城縣第一中學?？既＃┮阎凇?BC中，內角4B,C所對的

邊分別為a,b,c,bsin2B+csin2C=(6+c)-sin224.

⑴若tanB+tanC=三，，求出cosC的值；

cost

（2）若△ABC為銳角三角形，c=2,求邊長6的取值范圍.

【變式訓練6-4】（2023?山東?山東省實驗中學?？级＃┰贏ABC中，內角力、B、C所對的邊分別為a、入

c,已知bsin（A+g）—asinB=0.

（1）求角A；

（2）若。為邊BC上一點（不包含端點），且滿足N4DB=2N4CB,求黑的取值范圍.

【變式訓練6-5】（2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學?？既＃┰谕顾倪呅?BCD中，AB=BC=V7,AABC=

27r

31

(1)若BD=2?3s乙ABD=，.求CD的長;

（2）若四邊形力BCD有外接圓，求力D+CD的最大值.

用真題專練

1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）在A4BC中，已知484c=120。，AB=2,AC=1.

（1）求sin/ZBC；

（2）若。為上一點，且484。=90。，求AADC的面積.

2.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）已知在△ABC中，A+B=3C,2sin（4一C）=sinB.

⑴求sinA；

（2）設AB=5,求2B邊上的高.

3.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）記AABC的內角4,B,C的對邊分別為a,b,c,已知"二包=2.

cosi4

(1)求be；

若竺莊處%―2=i,求A48C面積.

acosB+bcosAc

4.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）記△ABC的內角力,B,C的對邊分別為a,hc,已知AABC的面積為舊，D為BC

中點，且力。=1.

（1）若乙4℃=*求tanB；

(2)若扶+C2=8,求6,c.

5.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)在△力BC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知a=回,b=2,N4=120。.

⑴求sinB的值；

(2)求c的值;

(3)求sin(B-C).

6.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)設a>0,函數/(x)=2|x—a|-a.

(1)求不等式/(久)<式的解集；

(2)若曲線y=f(x)與久軸所圍成的圖形的面積為2,求a.

7.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)在△力BC中，角42、C的對邊分別為a,6,c.己知a=n,b=2c,cosA=-'

⑴求c的值；

(2)求sinB的值；

⑶求sin(2A—B)的值.

8.(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)在△力BC中，角/,B,。所對的邊分別為a,b,c.已知4a=有。,cosC=2.

(1)求sin4的值;

(2)若b=ll,求△ABC的面積.

9.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記AABC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的

三個正三角形的面積依次為S1，S2,53，已知Si—S2+S3=?,sinB=g.

(1)求△ABC的面積；

(2)若sinXsinC=-y,求b.

10.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記△力BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinCsin(4-B)=

sinBsin(C—A).

(1)若4=2B,求C；

(2)證明：2a2=ft2+c2

11.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記的內角的對邊分別為a,仇c,已知sinCsin(Z-8)二

sinBsin(C—A).

(1)證明：2a2=624-c2；

**OC

(2)右a=5,cos/=￡,求△ABC的周長.

12.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在A4BC中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC；

(2)若b=6,且△4BC的面積為6療，求A/IBC的周長.

13.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記△力BC的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知盧白=

l+sirii4l+cos2F

⑴若C-y,求8;

⑵求『的最小值.

14.(2021?天津?統(tǒng)考高考真題)在△4BC,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinAsinB:sinC=2:1:魚,

b=y[2.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-勻的值.

15.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)在△力BC中，角2、B、C所對的邊長分別為a、b、c,b=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sin4求△48C的面積；

(2)是否存在正整數a,使得△ZBC為鈍角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.

16.(2021?北京?統(tǒng)考高考真題)在△ABC中，c=2bcosB,C=y.

(1)求乙8；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上

中線的長.

條件①：c=V2b；

條件②：△ABC的周長為4+2次；

條件③：△ABC的面積為尊；

4

17.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)設函數/(%)=sin%+cos%(%ER).

(1)求函數'=［/(%+§］的最小正周期；

(2)求函數y=/(%)/1―：)在［。,月上的最大值.

18.(2021?全國?統(tǒng)考高考真題)記△力BC是內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知扶=ac,點。在邊AC

上，BDsinZ.ABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若4。=2DC,求cos/.ABC.

19.(2023?福建福州?福建省福州第一中學?？级?△4BC的角4B,C的對邊分別為a,b,c,AB-AC=-1,A

力BC的面積為VI

(1)若a=2&\求△ABC的周長；

(2)設。為ZC中點，求4到BD距離的最大值.

120.(2023海南?？诤Ｄ先A僑中學?？寄M預測)己知△力BC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,a=6,

bsin2A=4V5sinB.

(1)若b=l,證明：C—A+-i

⑵若BC邊上的高為竽，求△力BC的周長.

21.(2023?陜西西安?陜西師大附中?？寄M預測)在△力BC中，角的對邊分別為a,b,c,已知sinA=

sinCcosB——sinFsinC,

3

(1)求角C的大??；

⑵若C的角平分線交2B于點D,且CD=2,求a+2b的最小值，

22.(2023?吉林長春?東北師大附中?？寄M預測)已知AABC中角4B,C的對邊分別為a,b,c,acosC+

V3asinC—b—c—0.

(1)求4

(2)若。=g，且△力BC的