滿(mǎn)分線(xiàn)性代數(shù)（第二版）課件 第2章 行列式

第二章行列式2.1二階和三階行列式2.2n

階行列式2.3簡(jiǎn)單行列式的計(jì)算2.4行列式的性質(zhì)2.5行列式按行(列)展開(kāi)2.6矩陣的行列式公式2.7伴隨矩陣第二章行列式2.8克萊姆法則2.9特殊行列式的計(jì)算2.10對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式2.11分塊對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式2.12矩陣運(yùn)算規(guī)律2.13矩陣八類(lèi)運(yùn)算公式歸納2.14典型例題分析

2.1二階和三階行列式

1.二階行列式

用符號(hào)表示算式a11a22-a12a21,稱(chēng)為二階行列式。例如:

2.三階行列式

用符號(hào)表示算式

a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32,

稱(chēng)為三階行列式。圖2.1給出了一個(gè)計(jì)算三階行列式的對(duì)角線(xiàn)法則,也稱(chēng)為沙路法。

圖2.1用沙路法求三階行列式

例如:

3.行列式與矩陣的區(qū)別

(1)本質(zhì)不同:行列式的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值,而矩陣代表的是一個(gè)數(shù)表。

(2)符號(hào)不同:行列式兩邊是一對(duì)豎杠,矩陣是一對(duì)圓括號(hào)(或方括號(hào))。

(3)形狀不同:行列式的行數(shù)與列數(shù)一定相等,即行列式一定是“正方形”;而矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以不同。

(4)數(shù)乘運(yùn)算不同:數(shù)k乘行列式D,結(jié)果為數(shù)k乘到行列式D的某一行(列)中,而數(shù)k乘矩陣A,結(jié)果為數(shù)k乘到矩陣A的每一個(gè)元素上。例如:

(5)“拆分”法則不同:把行列式“拆分”成兩個(gè)(或兩個(gè)以上)行列式,只能“拆分”其中的一行(列),而矩陣的“拆分”法則卻不同。例如:

2.2n階行列式

1.排列及排列的逆序數(shù)排列:由1,2,…,n組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)n階排列。通常用p1p2…pn

來(lái)表示。逆序數(shù):一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫作這個(gè)排列的逆序數(shù)。通常用τ(p1p2…pn)來(lái)表示排列p1p2…pn

的逆序數(shù)。

例如:由1、2、3、4、5這5個(gè)數(shù)字可以組成5!種不同的排列,比如54132就是其中一個(gè)排列。計(jì)算排列逆序數(shù)有不同的方法,圖2.2給出一個(gè)用“向左看”法求逆序數(shù)的示意圖:

即分析排列中的每一個(gè)數(shù)字左邊比自己大的數(shù)的個(gè)數(shù),然后求其和,即為這個(gè)排列的逆序數(shù)。圖2.2“向左看”求逆序數(shù)法

2.n階行列式

由n2個(gè)數(shù)排成n行n列,兩邊用一對(duì)豎線(xiàn)括起來(lái),表示一個(gè)算式,記為D,即

式中:τ為排列p1p2…pn

的逆序數(shù);∑表示對(duì)1,2,…,n的所有排列p1p2…pn

取和。

n階行列式有以下特點(diǎn):

(1)共有n!項(xiàng)。

(2)每一項(xiàng)是“不同行、不同列”的n個(gè)元素的積(或描述成:“每行每列都有”)。

(3)每一項(xiàng)的正負(fù)由元素所在行和列的下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定。

例如,四階行列式共有4!=24項(xiàng),每一項(xiàng)都是來(lái)自“不同行、不同列”的4個(gè)元素的積,如圖2.3(a)中圓圈所圈出來(lái)的4個(gè)元素。首先,按第一、第二、第三、第四行的次序?qū)懗鲞@4個(gè)元素4、7、12、14,如圖2.3(b)所示;其次,分析這4個(gè)元素的列號(hào)構(gòu)成的排列4312的逆序數(shù)為5,所以這項(xiàng)的值為

圖2.3分析四階行列式的一項(xiàng)

2.3簡(jiǎn)單行列式的計(jì)算

1.對(duì)角行列式

對(duì)角行列式的計(jì)算式如下:

例如:

2.三角行列式

三角行列式的計(jì)算式如下:

例如:

3.次(副)對(duì)角行列式或三角行列式

次(副)對(duì)角行列式或三角行列式的計(jì)算式如下:

例如:

2.4行列式的性質(zhì)

1.轉(zhuǎn)置相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。例如:

2.換行(列)變號(hào)

互換行列式的兩行(列),行列式變號(hào)。

例如:

這個(gè)性質(zhì)與矩陣的第一種初等變換相對(duì)應(yīng)。

3.乘數(shù)乘行(列)

用數(shù)k乘行列式,等于用數(shù)k乘行列式的某一行(列)的所有元素。

例如:

這個(gè)性質(zhì)與矩陣的第二種初等變換相對(duì)應(yīng)。

4.倍加相等

將某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式值不變。

例如:

這個(gè)性質(zhì)與矩陣的第三種初等變換相對(duì)應(yīng)。

5.拆分拆行(列)

一個(gè)行列式可以拆分為若干個(gè)行列式之和。圖2.4給出了一個(gè)三階行列式按第二行拆分的具體實(shí)例。需要注意的是,在拆分過(guò)程中除某一行以外,行列式的其他行都沒(méi)有變化。圖2.4行列式的拆分

6.零性質(zhì)

(1)當(dāng)行列式有一行(列)全為零時(shí),這個(gè)行列式的值為零。

(2)當(dāng)行列式有兩行(列)完全相等時(shí),這個(gè)行列式的值為零。

(3)當(dāng)行列式有兩行(列)對(duì)應(yīng)成比例時(shí),這個(gè)行列式的值為零。

圖2.5給出為零的三個(gè)具體行列式。

圖2.5行列式的零性質(zhì)舉例

2.5行列式按行(列)展開(kāi)

1.余子式和代數(shù)余子式

在n階行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列劃去后,留下來(lái)的n-1階行列式叫作元素aij的余子式,記作Mij。把Aij=(-1)i+jMij叫作元素aij的代數(shù)余子式。圖2.6給出了一個(gè)具體的余子式和代數(shù)余子式。圖2.6余子式和代數(shù)余子式

2.行列式展開(kāi)定理

n

階行列式D等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即

或

3.行列式展開(kāi)定理推論

n階行列式D的任一行(列)的各元素與另一行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即

或

綜合定理和推論有:

或

行列式的展開(kāi)定理與推論可以用以下具體示例來(lái)說(shuō)明:

另外,若是第三行元素乘第二行對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式,則有

2.6矩陣的行列式公式

1.分塊三角行列式的公式如果一個(gè)方陣能夠分成分塊上(下)三角矩陣,那么它的行列式等于其主對(duì)角線(xiàn)上的子矩陣的行列式之乘積,例如或

圖2.7給出了一個(gè)具體示例。圖2.7分塊三角行列式的計(jì)算

2.矩陣積的行列式公式

可以根據(jù)分塊三角行列式公式來(lái)證明矩陣積的行列式公式:

根據(jù)以上公式可知,雖然在一般情況下,AB≠BA,

但總有:|AB|=|BA|=|A||B|。

3.矩陣數(shù)乘的行列式公式

根據(jù)矩陣數(shù)乘定義及行列式的乘數(shù)乘行(列)性質(zhì),可以得到矩陣數(shù)乘的行列式公式為

2.7伴隨矩陣

1.定義

n階方陣A=(aij)n×n的伴隨矩陣為圖2.8給出了一個(gè)三階伴隨矩陣A*的構(gòu)造示意圖。圖2.8伴隨矩陣構(gòu)造示意圖

2.伴隨矩陣的“母公式”

伴隨矩陣的“母公式”為

圖2.9給出了伴隨矩陣“母公式”的證明示意圖。根據(jù)矩陣乘法規(guī)則及行列式按行展開(kāi)定理及推論,可知矩陣A

的第i行乘伴隨矩陣A*的i列對(duì)應(yīng)元素積的和即為矩陣A

的行

列式|A

|(i=1,2,3);矩陣A的第i行乘伴隨矩陣A*的j列對(duì)應(yīng)元素積的和即為0(i≠j)。

圖2.9伴隨矩陣“母公式”證明示意圖

3.矩陣可逆的判定定理

4.再談逆矩陣的定義

根據(jù)矩陣積的行列式公式及矩陣可逆的判斷定理可知:若n階矩陣A和B滿(mǎn)足AB=E,則有|AB|=|E|,|A||B|=|E|=1,于是有|A|≠0,且|B|≠0,則A可逆,B可逆,對(duì)AB=E等式兩端左乘A-1,再右乘A,則有BA=E,于是A與B互逆。

2.8克萊姆法則

1.克萊姆法則若n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組

的系數(shù)行列式

則該方程組有唯一解:

其中Dj(j=1,2,…,n)是把D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式,如圖2.10所示。

圖2.10行列式Dj的構(gòu)造示意圖

2.克萊姆法則相關(guān)定理

針對(duì)n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的線(xiàn)性方程組,其解的情況有以下4個(gè)定理。

(1)Ax=b有唯一解的充分必要條件是|A|≠0。

(2)Ax=b無(wú)解或有無(wú)窮多組解的充分必要條件是|A|=0。

(3)Ax=0只有零解的充分必要條件是|A|≠0。

(4)Ax=0有非零解的充分必要條

程組Ax=0所有未知數(shù)都為零的解稱(chēng)為零解。方程組Ax=0的所有未知數(shù)不全為零的解稱(chēng)為非零解。

2.9特殊行列式的計(jì)算

1.“一杠一星”行列式圖2.11給出了兩個(gè)具體的“一杠一星”行列式。圖2.11“一杠一星”行列式舉例

2.“兩杠一星”行列式

圖2.12給出了一個(gè)具體的“兩杠一星”行列式,τ1為5、4、3、2、1這五個(gè)數(shù)的列標(biāo)排列54321的逆序數(shù),τ2為6、5、4、3、2這五個(gè)數(shù)的列標(biāo)排列43215的逆序數(shù)。圖2.12“兩杠一星”行列式舉例

3.“箭頭”行列式

圖2.13給出了一個(gè)具體的“箭頭”行列式,計(jì)算“箭頭”行列式的方法就是把它化成三角行列式。圖2.13“箭頭”行列式舉例

4.“弓形”行列式

圖2.14給出了一個(gè)具體的“弓形”行列式,其計(jì)算方法與“箭頭”行列式類(lèi)似。圖2.14“弓形”行列式舉例

5.“同行(列)同數(shù)”行列式

以下是一個(gè)具體的五階“同列同數(shù)”行列式,其第1列都有元素a1,第2列都有元素a2……于是用第1行乘(-1)加到其他所有行中,可以把行列式化成“箭頭”行列式,再進(jìn)一步化成三角行列式。

6.“X形”行列式

圖2.15是一個(gè)六階“X形”行列式,可以證明,該類(lèi)行列式可以通過(guò)偶數(shù)次行、列交換化為分塊對(duì)角行列式。圖2.15“X形”行列式舉例

7.“ab”矩陣行列式

把主對(duì)角線(xiàn)上元素全是a,其他位置元素全是b的矩陣稱(chēng)為“ab”矩陣。

下面來(lái)計(jì)算一個(gè)五階“ab”矩陣的行列式。

8.范德蒙行列式

范德蒙行列式是一個(gè)非常重要的行列式。圖2.16給出了范德蒙行列式的元素特點(diǎn)及計(jì)算結(jié)果規(guī)律。圖2.16范德蒙行列式舉例

n階范德蒙行列式的計(jì)算結(jié)果用連乘符號(hào)表示為

2.10對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式

1.對(duì)角矩陣的公式針對(duì)對(duì)角矩陣,有以下4個(gè)公式。(1)對(duì)角矩陣的乘積公式:

(2)對(duì)角矩陣的冪公式:

(3)對(duì)角矩陣的逆公式:

從以上3個(gè)公式可以看出:兩個(gè)對(duì)角矩陣的乘積依然是對(duì)角矩陣,對(duì)角矩陣的冪依然是對(duì)角矩陣,對(duì)角矩陣的逆矩陣還是對(duì)角矩陣。

(4)對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.副對(duì)角矩陣的公式

(1)副對(duì)角矩陣的逆公式:

(2)副對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.11分塊對(duì)角(副對(duì)角)矩陣相關(guān)公式

1.分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣與對(duì)角矩陣類(lèi)似,有以下公式。

(1)分塊對(duì)角矩陣的冪公式:

(2)分塊對(duì)角矩陣的逆公式:

(3)分塊對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.分塊副對(duì)角矩陣

(1)分塊副對(duì)角矩陣的逆公式:

(2)分塊副對(duì)角矩陣的行列式公式:

2.12矩陣運(yùn)算規(guī)律

1.矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律滿(mǎn)足“空間位置不能變,時(shí)間次序可以變”。如以下運(yùn)算(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的):矩陣運(yùn)算規(guī)律(1)AB≠BA。(2)A(B+C)=AB+AC。(3)(AB)C=A(BC)。(4)(AB)4=ABABABAB=A(BABABA)B=A(BA)3B。

2.矩陣乘法運(yùn)算與“上標(biāo)運(yùn)算”相結(jié)合

把轉(zhuǎn)置運(yùn)算、伴隨運(yùn)算、逆運(yùn)算及冪運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的“上標(biāo)運(yùn)算”。矩陣乘法運(yùn)算與轉(zhuǎn)置、伴隨及逆運(yùn)算相結(jié)合,其運(yùn)算規(guī)律類(lèi)似,可以歸納為:脫括號(hào)、“戴上帽子”變位置,即

利用矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律可以把AB的k次冪轉(zhuǎn)換為BA的k-1次冪:

3.矩陣“上標(biāo)運(yùn)算”特點(diǎn)

任意兩個(gè)“上標(biāo)運(yùn)算”可以調(diào)換先后運(yùn)算次序,設(shè)α、β分別代表兩個(gè)不同的“上標(biāo)運(yùn)算”,則有

2.13矩陣八類(lèi)運(yùn)算公式歸納

表2.1把矩陣分為八類(lèi)運(yùn)算,表中符號(hào)“√”代表縱橫兩種運(yùn)算間有運(yùn)算公式。例如(A+B)-1、(A+B)*和|A+B|就沒(méi)有相應(yīng)的運(yùn)算公式。

1.加法運(yùn)算公式

設(shè)A、B、C為同型矩陣,則有

2.數(shù)乘運(yùn)算公式

設(shè)A、B為同型矩陣,k為數(shù),則有

3.乘法運(yùn)算公式

設(shè)A、B、C為矩陣,k為數(shù),則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

4.冪運(yùn)算公式

5.轉(zhuǎn)置運(yùn)算公式

設(shè)A、B為矩陣,k為數(shù),則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

6.逆運(yùn)算公式

設(shè)A、B為可逆矩陣,則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

7.伴隨運(yùn)算公式

8.矩陣的行列式運(yùn)算公式

設(shè)A為n階方陣,k為數(shù),則有(假設(shè)以下運(yùn)算都是可行的)

2.14典型例題分析

【例2.1】n階行列式

【思路】發(fā)現(xiàn)行列式只有n個(gè)非零元素,于是考慮用行列式定義計(jì)算。

【解】根據(jù)n階行列式定義可知,n階行列式由n!項(xiàng)組成,其中每一項(xiàng)都是n個(gè)元素的乘積,而該行列式只有n個(gè)非零元素,且這n個(gè)元素剛好滿(mǎn)足“不同行不同列”的條件,其中元素1,2,…,n

-1,n的行標(biāo)為自然排列,其列標(biāo)排列為23…n1,該排列的逆序數(shù)為n-1,則行列式值為:(-1)n-1n!。

【評(píng)注】“一杠一星”行列式共有四種不同的形狀,如圖2.17所示。所謂“一杠”,是指與主(副)對(duì)角線(xiàn)平行且相鄰的一條直線(xiàn);所謂“一星”,是指離該直線(xiàn)距離最遠(yuǎn)的一個(gè)元素。該類(lèi)行列式元素的特點(diǎn)是在“一杠”和“一星”處的元素不為零,其余元素都為零。n階“一杠一星”行列式的值為行列式中所有非零元素的乘積,其符號(hào)為(-1)τ。若“一杠”與主對(duì)角線(xiàn)平行,如圖2.17的(a)和(b),則τ=n-1;若“一杠”與副對(duì)角線(xiàn)平行,如圖2.17的(c)和

【秘籍】給特殊行列式起一個(gè)通俗形象的名字,非常有利于同學(xué)們記憶、交流和歸納總結(jié)。圖2.17“一杠一星”行列式示意

【例2.2】

n階行列式

(行列式中空白處為零,后文與此相同)

【思路】該行列式中的零仍然較多,于是聯(lián)想到定義法。

【解】根據(jù)行列式定義,可以分析出,在n階行列式的n!項(xiàng)中,只有兩項(xiàng)非零,一項(xiàng)是an

,另一項(xiàng)是bn

,an符號(hào)為正,bn

的符號(hào)為(-1)τ,其中τ為排列23…n1的逆序數(shù),于是本題答案為an

+(-1)n-1bn

。

【評(píng)注】該類(lèi)行列式稱(chēng)為“兩杠一星”行列式,如圖2.18所示。它的計(jì)算結(jié)果只有兩項(xiàng),其中一項(xiàng)是對(duì)角線(xiàn)(或副對(duì)角線(xiàn))元素的乘積,另一項(xiàng)是對(duì)角線(xiàn)元素之外n個(gè)元素的乘積,其正負(fù)要根據(jù)這些元素的位置確定。圖2.18“兩杠一星”行列式示意

【例2.3】已知

【思路】根據(jù)行列式的“倍加不變”性質(zhì),利用主對(duì)角線(xiàn)元素a2,a3,…,an把第一列的所有元素b都消為0,從而把原行列式化簡(jiǎn)為上三角行列式。

【解】

【評(píng)注】該類(lèi)行列式稱(chēng)為“爪形”行列式。其求解方法是利用主(副)對(duì)角線(xiàn)元素消去非零列(行)的n-1個(gè)元素,最后化簡(jiǎn)為三角行列式。圖2.19給出了“爪形”行列式示意圖。圖2.19“爪形”行列式示意

【例2.4】計(jì)算n階行列式

【思路】根據(jù)行列式的“倍加不變”性質(zhì),利用主對(duì)角線(xiàn)元素把與主對(duì)角線(xiàn)平行位置的元素都消為0,從而把原行列式化簡(jiǎn)為上三角行列式。

【解】

【例2.5】

【思路】行列式的每一列之和都為3(n-1)+4,故把所有行都加到第1行中,即可把公因式3(n-1)+4提到行列式符號(hào)之外,再利用元素全為1的第一行對(duì)其他行進(jìn)行化簡(jiǎn)。

【解】

【評(píng)注】該類(lèi)行列式稱(chēng)為“ab”行列式。它的特點(diǎn)是:主對(duì)角線(xiàn)元素全是a,其他元素全是b。

【秘籍】若|A|為“ab”行列式,則|A|=[a+(n-1)b](a-b)n-1。

【例2.6】

【解】

【評(píng)注】該行列式稱(chēng)為“類(lèi)ab”行列式,解題過(guò)程的最后一步用到了行列式定義的知識(shí)點(diǎn),同學(xué)們要熟練掌握。

【例2.10】

【例2.12】計(jì)算n階行列式:

【解】在原行列式基礎(chǔ)上加一行(1,x1,x2,…,xn),加一列(1,0,0,…,0)T,根據(jù)行列式第一列展開(kāi)定理有

【例2.13】設(shè)A為n階矩陣,且A3=O,則()。

(A)E-A不可逆,E+A不可逆,A不可逆

(B)E-A不可逆,E+A可逆,A不可逆

(C)E-A可逆,E+A可逆,A可逆

(D)E-A可逆,E+A可逆,A不可逆

【解】因?yàn)锳3=O,兩邊取行列式有|A|3=|O|,于是|A|=0,所以A不可逆。

則矩陣E-A和E+A

都可逆。故(D)選項(xiàng)正確。

【評(píng)注】該題考查了以下知識(shí)點(diǎn):

(1)伴隨矩陣母公式AA*=A*A=|A|E。

(2)|AB|=|A||B|。

(3)|AT|=|A|。

(4)|kAn|=kn|An|。

(5)AAT的主對(duì)角線(xiàn)元素分別為矩陣A的行向量長(zhǎng)度的平方。

【例2.15】計(jì)算n階行列式

其中ai≠0,i=1,2,…,n。

【解】

【例2.16】已知齊次線(xiàn)性方程組

【解】方程組的系數(shù)矩陣A為“ab”矩陣,計(jì)算得到|A|=(3+λ)(λ-1)3。

因?yàn)辇R次線(xiàn)性方程組Ax=0有非零解,根據(jù)克萊姆法則相關(guān)定理知|A|=(3+λ)(λ-1)3=0,則λ=-3或λ=1。

【評(píng)注】該題考查以下知識(shí)點(diǎn):

(1)Anx=0有非零解的充分必要條件是|An|=0。

(2)“ab”矩陣行列式計(jì)算公式見(jiàn)例2.5評(píng)注及秘籍。

【例2.17】設(shè)矩陣A、B滿(mǎn)足A*BA=2BA-4E,其中

求B。

【秘籍】在化簡(jiǎn)矩陣方程時(shí),有一個(gè)技巧是“從左看,從右看,相同矩陣是關(guān)鍵”,下面給出3個(gè)例子。

(1)若矩陣A可逆,且AXA=XA+2A,求X。

從右向左看,如圖2.20所示,看見(jiàn)了3個(gè)A,所以對(duì)等式兩端右乘A-1,則有AX=X+2E,再進(jìn)一步求解X。圖2.20從右向左觀(guān)察矩陣等式

(2)若矩陣A可逆,且A*XA=A-1+2A-1X,求X。

從左向右看,如圖2.21所示