第四章 第17講　相似三角形

第四章第17講相似三角形第四章第17講相似三角形第四章第17講相似三角形第１7講相似三角形一、選擇題1、（２０19·隨州）如圖，平行于BC得直線DE把△ABC分成面積相等得兩部分，則eq＼ｆ(BＤ,ＡD)得值為(Ｃ）A、1 Ｂ、eq＼ｆ(\ｒ(２),2)?Ｃ、eq\r(2)－1 D、eq＼r(２)＋１2、(2０19·內(nèi)江)已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1∶3,則△ABC與△A1Ｂ１C1得面積比為(D)A、1∶1?B、１∶3?C、１∶6 D、1∶93、(2019·銅仁)已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ＡＢC得面積為16，則△DEF得面積為(C)A、32 B、8 C、4 D、16４、(2０1９·臨安)如圖,在△ABＣ中，ＤE∥BC，ＤE分別與ＡB,AC相交于點(diǎn)D，E,若AＤ=４，DＢ＝２,則DE∶BC得值為(A)A、eq\f(２,3)?B、ｅｑ\f(１,2）?C、eq\f(３,４) Ｄ、eq\f（3，5）5、（201９·恩施州)如圖所示，在正方形ABCＤ中，點(diǎn)Ｇ為CＤ邊得中點(diǎn)，連接ＡG并延長交BC邊得延長線于點(diǎn)E，對(duì)角線ＢD交ＡG于點(diǎn)Ｆ、已知FG=2,則線段AE得長度為（Ｄ)A、６?B、8Ｃ、10 D、126、（2０19·杭州）如圖，在△AＢC中,點(diǎn)D在AB邊上,DE∥BC，與邊AＣ交于點(diǎn)E,連接BＥ、記△ADＥ，△ＢCＥ得面積分別為S1，Ｓ2，(D)A、若2AD＞ＡＢ，則３Ｓ1＞２S２B、若2AD＞ＡB,則3S1＜2S2Ｃ、若2ＡD＜AB,則3Ｓ1>2S2Ｄ、若２AD＜ＡB，則3S１<2Ｓ2（2０19·永州）如圖，在△ＡＢＣ中，點(diǎn)Ｄ是邊AB上得一點(diǎn),∠ＡDC＝∠ACB，ＡＤ＝２，BD=６,則邊ＡＣ得長為(B)Ａ、2 B、４ Ｃ、6 Ｄ、８8、（２0１9·荊門)如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E，Ｆ為CD邊得兩個(gè)三等分點(diǎn),連接AF，BE交于點(diǎn)Ｇ，則S△EＦＧ∶S△ABＧ=（C)A、１∶３ Ｂ、３∶1?C、１∶9?D、9∶1二、填空題９、(2０19·包頭)如圖，在?AＢＣD中，AC是一條對(duì)角線，EF∥BC，且EＦ與ＡB相交于點(diǎn)E，與ＡC相交于點(diǎn)F，3AE＝2EＢ，連接ＤF、若Ｓ△AＥF＝1,則Ｓ△ADF得值為eq\ｆ(5,2)、1０、（2０19·安順)如圖，點(diǎn)P1，Ｐ2，P3，P4均在坐標(biāo)軸上，且P1P２⊥Ｐ２Ｐ３,P2P3⊥P3P4,若點(diǎn)Ｐ1,P2得坐標(biāo)分別為(0，-１),(－2,0)，則點(diǎn)P4得坐標(biāo)為（8,0)、１１、(20１9·安徽）矩形ABCD中,ＡB=6，BC=8、點(diǎn)P在矩形ABCＤ得內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBＣ,若△AＰＤ是等腰三角形，則線段ＰＥ得長為eｑ\f（６,５)或３、12、(２019·南充）如圖,在△ＡＢC中,DE∥ＢＣ，BＦ平分∠ABC，交DE得延長線于點(diǎn)Ｆ、若AD=1，BD＝2，BC=4，則EＦ＝ｅq\f(２,３）、三、解答題1３、(2019·江西)如圖，在△ＡＢC中,AB=8，BC=4，ＣA=６，CD∥AB，BD是∠ＡBC得平分線，BD交AC于點(diǎn)E,求線段AＥ得長、解:∵BD為∠ABC得平分線，∴∠ABＤ=∠CBＤ、∵AB∥CD,∴∠Ｄ＝∠ABＤ，∴∠Ｄ＝∠CBD,∴BC=CD、∵ＢC=4，∴CD＝4、∵ＡB∥ＣＤ，∴△AＢE∽△CDE，∴eｑ\ｆ(AB,CD)＝ｅq\f（AE,CＥ)，∴eq\f(8,4)＝eq＼f(ＡE,ＣE),∴ＡＥ＝2ＣＥ、∵AＣ=6=AＥ＋CＥ，∴AE＝4、14、（2019·濱州）如圖，AB為⊙O得直徑，點(diǎn)C在⊙O上,ＡD⊥CD于點(diǎn)D，且AＣ平分∠ＤAB,求證:(1)直線DＣ是⊙O得切線；（2)ＡC2=２AＤ·AＯ、證明：(１）如解圖，連接OC，∵OA＝OC,∴∠OAＣ=∠OCA、∵AC平分∠DＡＢ,∴∠OAC=∠DＡC，∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD、∵AD⊥CＤ,∴OC⊥ＤC，又OC為⊙O得半徑,∴DC是⊙O得切線、（２)如解圖，連接BＣ,∵AＢ為⊙O得直徑,∴AＢ＝2ＡO,∠ACＢ=９0°、∵AD⊥DC,∴∠ＡDC=∠ＡCB＝9０°、又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△ＣＡB,∴ｅq＼f(AＣ，AB）=eq\ｆ(AD,AC）,即AC2=ＡB·AD、∵AB＝2AＯ,∴AC2=2AD·ＡO、15、(20１9·杭州)如圖,在△ABＣ中，AB＝AC,AＤ為BC邊上得中線,ＤE⊥AＢ于點(diǎn)E、(1)求證:△BDE∽△CAD、(2)若AB＝1３，ＢC=１0，求線段DE得長、(１）證明:∵ＡB=ＡC,BD＝CD,∴AD⊥BC，∠B＝∠C、∵DE⊥ＡB,∴∠ＤEB＝∠ADC＝9０°,∴△BＤＥ∽△ＣAD、（2)解：∵AB＝ＡＣ,BD=ＣD，∴AD⊥BC、在Rt△ADＢ中,AD＝eｑ\r(ＡB２-BD2)=eq\r（132-5２)＝１2、∵eq＼ｆ(１，2)·AD·BＤ＝eq＼f(1,２)·AB·DE，∴DE＝eq＼f(６0，1３)、16、(2019·瀘州）如圖，已知AＢ，CD是⊙O得直徑，過點(diǎn)C作⊙Ｏ得切線交AB得延長線于點(diǎn)Ｐ,⊙O得弦DE交AB于點(diǎn)F,且DF=EF、(1)求證:CＯ2＝OＦ·OＰ；(２)連接EB交CD于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GＨ⊥AB于點(diǎn)H,若PC=4ｅq\r(2),ＰB=4,求GH得長、(１)證明:∵PC是⊙O得切線,∴OC⊥PC，∴∠PCＯ＝90°、∵AＢ是直徑,EF=FD,∴AB⊥ED，∴∠OFＤ＝∠OCP＝9０°、∵∠FOD=∠COP，∴△OＦD∽△OＣP,∴eq\f(OD,OP)=eq\f(OＦ，OC）、∵ＯD＝ＯＣ，∴OC２=OF·ＯP、(2）解：如解圖,作ＣM⊥OP于點(diǎn)Ｍ,連接EＣ,EO，設(shè)OＣ=OB=r、在Rt△POC中,∵PC2+OC2＝PO２，∴(4eｑ\r(2))2+r2=(r+４)2,∴ｒ=2、∵CM＝eｑ\f（OC·ＰC,OＰ)＝ｅq＼f(4,3)eq＼r(2）,DC是直徑,∴∠CEＦ=∠ＥFM＝∠ＣＭF＝9０°,∴四邊形EFMC是矩形，∴EF=CＭ＝eq＼f(4,３）eｑ\r(2）、在Ｒｔ△OEF中，OF＝ｅq\ｒ(EO2-ＥＦ2)=ｅq\f(2,3),∴EC=２ＯF＝eq\ｆ(4,3)、∵EC∥OB,∴eq＼f(EC，ＯB)＝eq＼f(ＣG,ＧO)＝eq\f(2,3)、∵GＨ∥ＣM,∴ｅq\ｆ（GＨ,ＣM）＝ｅq\f（OG,OC）＝eq\f（3,5），∴GＨ＝eq＼f(4\r(２),５)、一、選擇題1、(2019·瀘州)如圖,在正方形ＡBCD中，點(diǎn)E,F分別在邊AＤ,CD上,AF，BE相交于點(diǎn)G，若AE＝３EＤ,DF＝CF,則eｑ\f（AG,ＧF）得值是（C)A、eq\f(4,3） B、ｅq\ｆ(5,4)?C、eｑ\f(6,5) D、eq\f(7,６)２、正方形ＡＢCD得邊長AB＝2，點(diǎn)E為AB邊得中點(diǎn),點(diǎn)F為BC邊得中點(diǎn)，AF分別與DE,BＤ相交于點(diǎn)M，N,則線段ＭN得長為（C)Ａ、ｅq\f(5\ｒ(5),6） B、eq\ｆ（2\ｒ(５),3)-1 C、eｑ＼ｆ(４\r（5),15）?D、eq\f(＼r(3）,３)3、(201９·達(dá)州)如圖，點(diǎn)Ｅ，Ｆ是平行四邊形ABＣD對(duì)角線AC上得兩點(diǎn)，AE=CF=eｑ\f（1,4)AＣ、連接DE,ＤF并延長，分別交AB,ＢＣ于點(diǎn)G,Ｈ,連接ＧH,則eq＼f(S△ADG,S△BGH)得值為(C)Ａ、eq\f(1，2)?B、eｑ\f(2,３) C、eq\f(３,4) Ｄ、1二、填空題4、(2019·宜賓)如圖,AB是半圓得直徑，ＡC是一條弦，點(diǎn)D是ｅｑ\ｏ（\s＼up12(︵),ＡC)得中點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)Ｅ且ＤE交ＡC于點(diǎn)F，ＤB交AC于點(diǎn)G,若ｅｑ\f(ＥF，AＥ)＝ｅq\ｆ（3,4）,則eq\f(CＧ,GB)＝ｅq＼f(＼r(5），5)、5、(2019·廣州)如圖，ＣE是?ABCD得邊AＢ得垂直平分線，垂足為點(diǎn)O,CE與DA得延長線交于點(diǎn)E、連接AC,BE，DO,DO與AC交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論:①四邊形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAＥ;③ＡＦ∶BE＝2∶3;④Ｓ四邊形AFOＥ∶S△COＤ＝2∶３、其中正確得結(jié)論有①②④、（填寫所有正確結(jié)論得序號(hào))6、(2019·岳陽)如圖，以AＢ為直徑得⊙O與CE相切于點(diǎn)Ｃ，ＣE交ＡＢ得延長線于點(diǎn)E，直徑AＢ=18,∠A=３0°，弦ＣＤ⊥AB，垂足為點(diǎn)F,連接ＡC,OＣ,則下列結(jié)論正確得是①③④、（寫出所有正確結(jié)論得序號(hào))①eq\o(\s\ｕp12(︵),ＢC）＝eq\o(\s\up12(︵）,BD)；②扇形ＯBＣ得面積為ｅｑ\ｆ(2７,4)π；③△ＯCF∽△OEＣ;④若點(diǎn)Ｐ為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),則AP·OＰ有最大值20、25、7、(2０19·婁底)如圖,已知半圓O與四邊形AＢCD得邊AD,AB,BC都相切,切點(diǎn)分別為D，Ｅ,C，半徑ＯC＝1，則AＥ·BE=1、三、解答題8、(2019·張家界)如圖,點(diǎn)P是⊙Ｏ得直徑ＡB延長線上一點(diǎn)，且AB=4，點(diǎn)M為eq＼o(\s\ｕｐ１2（︵)，AB)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合),射線PM與⊙O交于點(diǎn)Ｎ(不與點(diǎn)M重合）、(1）當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí),△MAB得面積最大，并求岀這個(gè)最大值；（2)求證：△PＡN∽△PMＢ、(１）解:當(dāng)點(diǎn)M在eｑ\o(＼ｓ\uｐ1２(︵）,AB)得中點(diǎn)處時(shí)，△ＭAB得面積最大，此時(shí)OM⊥AB、∵OM＝eｑ＼f(1,２)ＡB＝eq\f（1，2)×4=2,∴S△ＡBM=ｅｑ＼ｆ（1,２)AB·OＭ=eq＼ｆ(1,２)×4×2＝4、(２)證明:∵∠PMB＝∠ＰAN，∠P=∠Ｐ,∴△PAＮ∽△PＭB、9、(20１9·大慶)如圖，ＡB是⊙O得直徑，點(diǎn)E為線段ＯB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)O，B重合),作EC⊥OＢ，交⊙Ｏ于點(diǎn)C，作直徑CＤ,過點(diǎn)Ｃ得切線交DB得延長線于點(diǎn)P,作ＡF⊥PC于點(diǎn)F,連接CB、（１)求證：AＣ平分∠FAB；(２)求證:BＣ2=ＣＥ·CＰ;(3)當(dāng)AＢ=４eq＼r（3)且eq＼f（CＦ,CＰ)=eq\f(3，4)時(shí),求劣?。拢牡瞄L度、(1)證明：∵AB是直徑，∴∠ＡＣB＝90°,∴∠CAB＋∠CBA=9０°、∵CＥ⊥ＡＢ，∴∠CＡE＋∠ACE=90°、∵PＣ為⊙O得切線,∴∠CＢＡ=∠FCA，∴∠FCA=∠ＥCA、∵AF⊥CF，CE⊥ＡB,∴∠FＡC=∠EAC,∴AC平分∠ＦAＢ、(2)證明:∵ＯC＝OB，∴∠OCB=∠ＯBC、∵PF是⊙O得切線，CE⊥ＡB,∴∠OＣP=∠CEB=90°,∴∠PCB+∠OＣB=90°，∠BＣＥ＋∠OBC＝９0°,∴∠BＣE＝∠BCP、∵ＣＤ是⊙O得直徑，∴∠CＢD=∠CＢP=90°，∴△CBＥ∽△CPＢ,∴eｑ\ｆ(CB,CP)=eq\f（ＣE,CB)，∴BC2＝CE·CP、(3)解:作ＢＭ⊥PF于點(diǎn)M，如解圖，則ＣE=ＣM＝CF、設(shè)CE＝CM=CF＝３a,PC=４a,則PＭ＝ａ、∵∠MCB+∠P=90°,∠P＋∠PBM＝9０°，∴∠MCＢ＝∠PBＭ、∵CD是⊙O得直徑,BＭ⊥PＣ,∴∠CMB＝∠BMP=90°,∴△BMＣ∽△PMB，∴ｅq\ｆ(BM,PM）=eq\f（CM,ＢM），∴BM2＝CＭ·PM=３a2,∴BM＝eq\r(３)a,∴ｔan∠ＢCM＝eｑ\f(BM,CM)=eq\ｆ(\r(3),3),∴∠ＢCＭ＝３0°,∴∠OCB=∠OBC=∠ＢOC＝60°,∠BOD=120°,∴劣弧BD得長＝eq＼f（12０π×2\r(３)，18０）=ｅq\f(4\r（3),３)π、10、（2０19·南京)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),連接DＥ、過點(diǎn)A作AF⊥DＥ，垂足為點(diǎn)Ｆ,⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，Ｄ,Ｆ，與AＤ相交于點(diǎn)G、(1）求證：△ＡFＧ∽△ＤFC；(２)若正方形ABCD得邊長為4,AE＝1,求⊙O得半徑、(1)證明：在正方形ＡBＣD中,∠ＡＤC＝90°,∴∠CDF＋∠ADF=90°、∵AＦ⊥DＥ,∴∠AＦＤ＝9０°，∴∠DＡＦ+∠AＤF=90°，∴∠ＤAF=∠ＣDF、∵四邊形ＧFＣD是⊙O得內(nèi)接四邊形，∴∠FCＤ＋∠ＤGF=1８0°、∵∠FＧA+∠DGF＝１8０°，∴∠FGＡ=∠FCD，∴△AＦＧ