人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義-解分式方程與分式方程的實際應用（30題）（解析版）

專題提升02解分式方程與分式方程的實際應用

—.解答題(共30小題)

1.(2023秋?深□區(qū)期中)解方程：工——普=一^_.

2

x-1x_1x+1

【分析】將分式方程去分母化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，再進行檢驗即可.

【解答】解：去分母得：2(x+1)-(x+8)=-4(x-1),

去括號得：2x+2-x-8=-4x+4,

移項、合并同類項得：5x=10,

系數(shù)化為1得：x=2.

檢驗：當x=2時，X2-1=3^0,

二分式方程的解為x=2.

2.(2023秋?隆回縣期中)解方程：

(2)—.

x+1x_lx2_1

【分析】(1)將分式方程去分母化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再進行檢驗即可.

(2)將分式方程去分母化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再進行檢驗即可.

【解答】解：(1)去分母得：x(x+2)-2=x2-4,

去括號得：X2+2X-2=^-4,

移項、合并同類項得：2x=-2,

系數(shù)化1得：x=-l.

檢驗：當x=-1時，X2-4—-3W0,

二分式方程的解為了=-1.

(2)去分母得：2(x-1)+3(x+1)=1,

去括號得：2x-2+3x+3=1,

移項、合并同類項得：5x=0,

系數(shù)化1得:x=0.

檢驗：當x=0時，x2-1=-1^0,

二分式方程的解為x=0.

3.(2023秋?渝中區(qū)校級期中)解分式方程(1)「^-1上工.

x2-lx+1

【分析】(1)按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答;

(2)按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答.

【解答】解：(1)]^-1上工，

x2-lx+1

4-(x+1)(x-1)=-(x-1)2,

解得：x=3,

檢驗：當x=3時，(x+1)(x-1)WO,

???x=3是原方程的根；

2+2(%-3)=x-1,

解得：x=3,

檢驗：當x=3時，x-3=0,

，x=3是原方程的增根，

，原方程無解.

4.(2023秋?新邵縣期中)解方程:

【分析】(1)按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答;

(2)按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答.

【解答】解：(1)-^-=5^-.

X-11-X

方程兩邊同乘(X-1),得：3=5(X-1)-3%,

解得：X=4,

檢驗：當x=4時，x-IWO,

???原分式方程的解為：x=4；

(2)---------—=0,

x2+.xX2-X

原方程變形為:_____________=------=0

X(x+1)X(X-1)

兩邊同乘X(x+1)(X-1),得:

5(x-1)-(x+1)=0,

解得：x=l,

2

檢驗：當x=3時，x(x+1)(x-1)WO,

2

原分式方程的解為：X=&.

2

5.(2023秋?昆明期中)解方程：

(1)-^-2^-

x-ll-x

(C、54x+3

【分析】(1)按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答;

(2)按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答.

【解答】解:⑴甘2*,

x~2(x-1)=-3,

解得：x=5,

檢驗：當x=5時，x-17^0,

???x=5是原方程的根；

5(x-1)+4x=x+3,

解得：x=\,

檢驗：當x=l時，x(x-1)=0,

???x=l是原方程的增根，

???原方程無解.

6.(2023秋?肥城市期中)解方程

(1)織"x+10T；

x-23x-6

(2)1^Z2=_^_.

2+x

X2_4

【分析】(1)移項，通分，去分母，再移項，合并同類項，系數(shù)化為1,帶根檢驗，即可求解分式方程;

(2)方程左邊通分，右邊的分母按照平方差公式因式分解，再通分，使左右兩邊的分母相同，這時只要

分子相等即可求解，帶根檢驗，即可求解.

【解答】解：(1)解：且3=4x+10

x-23x-6

去分母得：llx-22=-3(x-2),

去括號，移項得：lh+3x=6+22,

合并同類項得：14x=28,

系數(shù)化為1得：x=2,

原方程也支出&

檢驗：當x=2時,-1無意義,

x-23x-6

，原方程無解.

x-216

⑵解：1

2+xX2_4

去分母得：X-2=4,

移項合并同類項得：x=6,

x-216

檢驗：當x=6時，原分式方程1有意義,

2+xX2_4

，原分式方程的解是x=6.

7.（2023秋?覃塘區(qū)期中）解下列分式方程:

(1)」一十2

2x-ll-2x

(2)F

X2-4X-2

【分析】（1）利用解分式方程的步驟解各方程即可;

（2）利用解分式方程的步驟解各方程即可.

【解答】解：（1）原方程去分母得：X-2=3（2x7）,

去括號得：x-2=6x-3,

移項，合并同類項得：-5x=-1,

系數(shù)化為i得：x=L

5

經(jīng)檢驗，是分式方程的解,

5

故原方程的解為x=°

5

(2)Y-+iq

X2-4X-2

去分母得：8+x2-4—x(x+2),

去括號得：8+x2-4=X2+2X,

移項得：x2-x2-2x—-8+4,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗，x=2是分式方程的增解,

原分式方程無解.

8.（2023秋?萊州市期中）解方程:

(1)-JL,=2x+1；

x+13x+3

⑵，-2=4

2

x+33-xx_g

【分析】(1)方程兩邊同時乘(3x+3),化簡并求出x的值，再檢驗即可.

(2)方程兩邊同時乘(x+3)(x-3),化簡并求出x的值，再檢驗即可.

【解答】解：(1)方程兩邊同時乘(3x+3),

得3x=2x+3x+3,

整理，得3x=5x+3,

解得X=3，

2

檢驗：當x=一^■時，3x+3=_A#：0,

22

...原方程的解為x=

2

(2)方程兩邊同時乘(x+3)(x-3),

得x-3+2(x+3)=12,

整理，得x-3+2x+6=12,

解得x=3,

檢驗：當x=3時，(x+3)(x-3)=0,

原方程無解.

9.(2023春?渠縣校級期末)解方程

(1)-j—=3；

x-32x-l

【分析】兩分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程

的解.

【解答】解：(1)去分母得：2(2x7)=3(X-3),

去括號得：4x-2=3x-9,

移項合并得：x=-7,

經(jīng)檢驗x=-7是分式方程的解；

(2)去分母得：x-l+2x+2=4,

移項合并得：3x=3,

解得：x=l,

經(jīng)檢驗x=l是增根，分式方程無解.

10.(2023秋?云溪區(qū)期中)解方程:

⑴工號

⑵14

x-lx+1J-]

【分析】(1)先找出最簡公分母(x-2),去分母后求出x的值，然后檢驗確定分式方程的解即可;

(2)先找出最簡公分母(x+1)(x-1),去分母后求出x的值，然后檢驗確定分式方程的解即可.

【解答】解：(1)方程兩邊同乘(x-2),

得x-3+x-2--3,

解得X=l，

檢驗：當％=1時X-2W0,

原分式方程的解是x=l；

(2)方程兩邊同時乘(x+1)(x-1),

得x+1-2(x-1)=4,

解得x=-1,

檢驗：當x=-1時，(x+1)(x-1)=0,

???原分式方程無解.

11.(2023秋?巨野縣期中)解方程:

f-2；

⑴與x-2

32

(2)4

X2-1x2+xX2-X

【分析】(1)先將原方程去分母并整理后化為一元一次方程，然后解方程后并檢驗即可;

(2)先將原方程去分母并整理后化為一元一次方程，然后解方程后并檢驗即可.

【解答】解：(1)原方程去分母得：1+/=(x-2)2,

整理得：1+/=苫2-4x+4,

移項，合并同類項得：4x=3,

系數(shù)化為1得：

4

經(jīng)檢驗，x=3是原分式方程的解,

4

故原方程的解為x=3

4

(2)原方程去分母得：4x-3(x-1)=2(x+1),

去括號得：4x-3x+3=2x+2,

移項，合并同類項得：-X=-1,

系數(shù)化為1得：x=l,

經(jīng)檢驗，X=1是原分式方程的增根，

故原方程無解.

12.(2023秋?漢壽縣期中)已知關于x的分式方程二——要

2

x+lx_|l-x

(1)當〃?=-2時，求這個分式方程的解.

(2)小明認為當%=3時，原分式方程無解，你認為小明的結(jié)論正確嗎？請判斷并說明理由.

【分析】(1)按照解分式方程的步驟求解即可；

(2)按照解分式方程的步驟求解即可.

【解答】解：(1)去分母，得2(X-1)-(9-777)--3(x+l),

當m--2時，

得5x=10,

解得x=2,

經(jīng)檢驗，x=2是原方程的根；

(2)小明的結(jié)論正確，理由如下：

去分母，得2(x-I)-(9-m)=-3(x+l),

當m=3時，5x=5,

解得x=l,

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的增根，原方程無解，

二小明的結(jié)論正確.

13.(2023秋?青龍縣期中)解方程：

⑵工二

x+2x2-4x-2

【分析】(1)先找出最簡公分母(x+l)(X-1),去分母后求出關的值，然后檢驗確定分式方程的解即可;

(2)先找出最簡公分母(x+2)(x-2),去分母后求出x的值，然后檢驗確定分式方程的解即可.

【解答】解：(1)方程兩邊同乘(x+l)(x-1),

得x(x-1)-(x+l)(x-1)=3(x+l),

解得x=--,

2

檢驗：當x=-1■時(x+l)(x-1)W0,

2

...原分式方程的解是工=-工；

2

(2)方程兩邊同乘(x+2)(x-2),

得3(x-2)+2=x+2,

解得x=3,

檢驗：當x=3時(x+2)(x-2)20,

二原分式方程的解是x=3.

14.(2023春?姑蘇區(qū)校級期中)解方程:

x+11

⑴2-

X-1X-1

31

(2)=0-

x2+3xx2-9

【分析】(1)按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答;

(2)按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答.

x+11

【解答】解：(1)----------=1，

X-1X-1

2(%-1)-(x+1)=1,

解得：x=4,

檢驗：當x=4時，x-17^0,

???x=4是原方程的根；

31

(2)二0,

X2+3XX2-9

x(x+3)(x+3)(x-3)

3(x-3)-x=0f

解得：x=4.5,

檢驗：當x=4.5時，x(x+3)(x-3)WO,

??.x=4.5是原方程的根.

15.(2023秋?豐城市校級月考)(1)已知關于x的分式方程-一_^_=1.

x-ll-x

①當。=5時，求方程的解.

②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求。的值.

(2)關于x的方程瞌L」_=2＜整數(shù)解，求此時整數(shù)加的值.

x-22~x

【分析】(1)①把。=5代入原方程中，然后按照解分式方程的步驟進行計算，即可解答；

②先解分式方程可得x=a-2,再根據(jù)題意得：x=l,從而可得a-2=1,然后進行計算即可解答；

(2)先解分式方程可得：x=N—,再根據(jù)題意可得2-加=±1或2-加=±2且工W2,然后進行計

2-m2-m

算即可解答.

【解答】解：（1）①當。=5時，分式方程為：旦+旦=1,

X-l1-X

5-3=x-1,

解得：％=3,

檢驗：當x=3時，x-17^0,

???x=3是原方程的根；

a-3=x-1,

解得：x=a-2,

由題意得：x-1=0,

解得：x=l,

??a~2=1,

解得：a=3,

：.a的值為3；

IRX-11,

(2)-----------p-------=9,

x-22-x

mx-1-1=2(x-2),

解得：

2-m

???方程有整數(shù)解，

.*.2-m=±1或2-m=±2且.22,

2-m

解得：冽=1或3或0或4且加W1,

???加=3或0或4,

???此時整數(shù)冽的值為3或0或4.

16.（2023秋?南崗區(qū)校級期中）某文教用品商店購進甲、乙兩種文具進行銷售，一個甲種文具的進價比一

個乙種文具的進價多5元，用4000元購進甲種文具的數(shù)量是用1500元購進乙種文具的數(shù)量的2倍.

（1）求每個甲種文具的進價是多少元？

（2）該商店將每個甲種文具的售價定為30元，每個乙種文具的售價定為25元，商店根據(jù)市場需求，決

定向文具廠再購進一批文具，且購進乙種文具的數(shù)量比購進甲種文具的數(shù)量的2倍還多6個，若本次購

進的兩種文具全部售出后，總獲利不低于3360元.求該商店本次購進甲種文具至少是多少個？

【分析】（1）設每個乙種文具的進價是加元，則每個甲種文具的進價是（冽+5）元，根據(jù)用4000元購進

甲種文具的數(shù)量是用1500元購進乙種文具的數(shù)量的2倍.列出分式方程，解方程即可；

（2）設該商店本次購進甲種文具〃個，則購進乙種文具（2〃+6）個，根據(jù)總獲利不低于3360元.列出

一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）設每個乙種文具的進價是加元，則每個甲種文具的進價是（加+5）元，

由題意得：也t=2X國土，

m+5m

解得：機=15,

經(jīng)檢驗，加=15是原分式方程的解，且符合題意，

.?.x+5=15+5=20,

答：每個甲種文具的進價是20元；

（2）設該商店本次購進甲種文具〃個，則購進乙種文具（2〃+6）個，

由題意得：（30-20）n+（25-15）（2n+6）23360,

解得：?^110,

答：該商店本次購進甲種文具至少是110個.

17.（2023秋期中）習近平總書記在黨的第二十次全國代表大會上，報告指出：“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳

中和”.某公司積極響應節(jié)能減排號召，決定采購新能源/型和8型兩款汽車，已知每輛/型汽車進價

是每輛8型汽車進價的1.5倍，現(xiàn)公司用1500萬元購進/型汽車的數(shù)量比1200萬元購進8型汽車的數(shù)

量少20輛.

（1）求每輛2型汽車進價是多少萬元？

（2）/型汽車利潤率為5%,2型汽車利潤率為8%,那么該公司出售完此批汽車后總利潤是多少元？

【分析】（1）設每輛3型汽車進價是x萬元，則每輛/型汽車進價是L5x萬元，利用數(shù)量=總價+單價,

結(jié)合用1500萬元購進/型汽車的數(shù)量比1200萬元購進8型汽車的數(shù)量少20輛，可列出關于x的分式

方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論；

（2）求出兩種汽車利潤之和即可.

【解答】解：（1）設每輛8型汽車進價是x萬元，則每輛/型汽車進價是1.5x萬元，

根據(jù)題意得：2200-1500=20（

x1.5x

解得：x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意.

答：每輛8型汽車進價是10萬元；

（2）1500X5%+1200X8%=171（萬元）=1710000（元），

答：該公司出售完此批汽車后總利潤是1710000元.

18.（2023?通遼）某搬運公司計劃購買48兩種型號的機器搬運貨物，每臺/型機器比每臺8型機器每

天少搬運10噸貨物，且每臺/型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數(shù)相同.

（1）求每臺/型機器，8型機器每天分別搬運貨物多少噸？

（2）每臺/型機器售價1.5萬元，每臺2型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，

滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案.

【分析】(1)設每臺/型機器每天搬運貨物X噸，則每臺8型機器每天搬運貨物(x+10)噸，根據(jù)“/

型機器人每天搬運540噸貨物與B型機器每天搬運600噸貨物所需臺數(shù)相同”列方程即可得解；

(2)先根據(jù)題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出機的取值范圍，再根據(jù)題意列出一次函數(shù)解

析式，利用次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出答案.

【解答】解：(1)設每臺/型機器每天搬運貨物x噸，則每臺2型機器每天搬運貨物(x+10)噸，

由題意得：駟獸上，

xx+10

解得：％=90,

當x=90時，x(x+10)W0,

???x=90是分式方程的根，

，x+10=90+10=100,

答：每臺4型機器每天搬運貨物90噸，每臺8型機器每天搬運貨物100噸；

(2)設購買4型機器機臺，購買總金額為w萬元，

90m+100

由題意得：f(30-m)>28801

11.5m+2(30-m)455

解得：10W冽W12,

1.5m+2(30-m)=-0.5m+60；

V-0.5<0,

??.w隨冽的增大而減小，

當m=12時，w最小，此時w=-0.5X12+60=54,

???購買4型機器12臺，5型機器18臺時，購買總金額最低是54萬元.

19.(2023秋?沙坪壩區(qū)期中)星期六，小鳴和小山相約在圖書館一起復習，已知小鳴小山的家到圖書館的

路程均為3000米，小山的步行速度是小鳴的芻倍，兩人同時從家里出發(fā)勻速前往圖書館，小鳴比小山晚

3

10分鐘到圖書館.

(I)求小鳴每分鐘步行多少米？

(2)星期天，兩人再次相約去圖書館，兩人步行的速度保持不變.若小鳴步行20分鐘后，改為跑步前

進，最終與小山同時到達圖書館，求小鳴每分鐘跑步多少米？

【分析】(1)設小鳴每分鐘步行x米，則小山每分鐘步行&米，根據(jù)兩人同時從家里出發(fā)，小鳴比小山

3

晚10分鐘到圖書館.列出分式方程，解方程即可；

(2)設小鳴每分鐘跑步y(tǒng)米，根據(jù)步行20分鐘后，小鳴改為跑步前進，最終與小強同時到達圖書館，

路程為3000米，列出一元一次方程，解方程即可.

【解答】解：(1)設小鳴每分鐘步行x米，則小山每分鐘步行&米，

3

由題意得：迎"-乎L=I。，

xA

3*

解得：x=75,

經(jīng)檢驗，x=75是原方程的解，且符合題意，

答：小鳴每分鐘步行75米；

（2）由（1）可知，小山到圖書館所用時間為3000+（三義75）=30（分鐘），

3

設小鳴每分鐘跑步》米，

由題意得：20X75+（30-20）^=3000,

解得：y=150,

答：小鳴每分鐘跑步150米.

20.（2023秋?石家莊期中）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙商品

的進價少2元，且用80元購進甲商品的數(shù)量與用100元購進乙商品的數(shù)量相同.

（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？

（2）若該商場購進甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個，甲、乙兩種商品的售價分別是12元/

個和15元/個，且將購進的甲、乙兩種商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過380元，那么

該商場至少購進乙種商品多少個？

【分析】（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x-2）元，根據(jù)題意建立方程

求出其解就可以了.

（2）根據(jù)“使銷售兩種商品的總利潤（利潤=售價-進價）超過380元”可以得出關于利潤的不等式，

組成不等式組后得出未知數(shù)的取值范圍，據(jù)此解答.

【解答】解：（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x-2）元，

根據(jù)題意，得里=典，

x-2x

解得：x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是原方程的根，

每件甲種商品的進價為：10-2=8.

答：每件甲種商品的進價為8元，每件乙種商品件的進價為10元.

（2）設購進乙種商品y個，則購進甲種商品（3y-5）個，根據(jù)題意得：

（12-8）（3廠5）+（15-10）y>380,

解得：y>23且.

17

1?>為整數(shù)，

???該商場至少購進乙種商品24個.

21.（2023秋?正定縣期中）為加快公共領域充電基礎設施建設，某停車場計劃購買8兩種型號的充電

樁.已知/型充電樁比8型充電樁的單價少0.3萬元，且用12萬元購買/型充電樁與用18萬元購買8

型充電樁的數(shù)量相等.

（1）/,8兩種型號充電樁的單價各是多少？

（2）該停車場計劃共購買20個/,8型充電樁，購買總費用不超過15萬元，且/型充電樁購買數(shù)量不

超過12個.問：共有哪幾種購買方案？哪種方案所需購買總費用最少？

【分析】（1）設/型充電樁的單價為x萬元，則3型充電樁的單價少（x+0.3）萬元，根據(jù)“用12萬元

購買N型充電樁與用18萬元購買&型充電樁的數(shù)量相等”列出分式方程，求解即可；

（2）設購買N型充電樁加個，則購買3型充電樁（20-〃?）個，根據(jù)購買總費用不超過15萬元，列出

一元一次不等式，解不等式，結(jié)合加為整數(shù)，且/型充電樁購買數(shù)量不超過12個，得出各購買方案，

即可解決問題.

【解答】解：（1）設/型充電樁的單價為x萬元，則8型充電樁的單價（x+0.3）萬元，

根據(jù)題意得：￡=」—，

xx+0.3

解得：x=0.6,

經(jīng)檢驗，x=0.6是所列方程的解，且符合題意，

.,.x+0.3=0.6+0.3=0.9.

答：/型充電樁的單價為0.6萬元，3型充電樁的單價為0.9萬元；

（2）設購買/型充電樁機個，則購買8型充電樁（20-加）個，

根據(jù)題意得：0.6加+0.9（20-m）W15,

解得：羽210,

,X2,且加為整數(shù)，

：.m=W,11,12,

該停車場共有3種購買方案：

方案一：購買10個/型充電樁、10個3型充電樁;

方案二：購買11個/型充電樁、9個3型充電樁；

方案三：購買12個/型充電樁、8個3型充電樁；

型充電樁的單價低于B型充電樁的單價，

購買方案三總費用最少，最少費用=12X0.6+8X0.9=14.4（萬元），

答：共有3種購買方案，購買12個/型充電樁、8個3型充電樁，所需購買總費用最少.

22.（2023秋?萊西市期中）某公司一工程在招標時接到甲、乙兩個工程隊的投標書，甲施工隊施工一天需

付工程款1.5萬元，單獨施工20天完成；乙工程隊每天需付工程款1.1萬元；如果甲乙兩隊合作施工4

天后，剩余的工程由乙隊單獨做16天正好如期完成.

（1）求乙工程隊單獨完成該工程所需的天數(shù)；

（2）若延期完成，超出工期的時間，公司則每天要損失0.4萬元，你認為單獨找哪一個工程隊更實惠？

【分析】（1）設乙隊單獨完成要X天，則每天完成工，根據(jù)兩隊合作4天后又16天完工列方程求解；

X

（2）由題意知工期為20天，分別計算每隊單獨完成的費用比較哪個更少.

【解答】解：（1）設乙隊單獨完成要x天，則每天完成工，

X

根據(jù)題意得：（―^--F—■）X4」-X16二l，

20xx

1201

—+—=1，

5x

解得x=25,

經(jīng)檢驗x=25是原方程的解，

故乙隊單獨完成要25天；

（2）?.?兩隊合作4天，乙隊又用了16天如期完工，

工期為20天，

甲隊單獨完成費用為：1.5X20=30（萬元）；

乙隊單獨完成費用為：1.1X25+0.4X（25-20）=29.5（萬元）；

故乙隊更實惠.

23.（2023秋?北暗區(qū)校級期中）某公司不定期為員工購買紅豆面包和肉松面包作為代餐食品.

（1）已知每個肉松面包的價格比每個紅豆面包的價格貴2.5元，花費100元購買紅豆面包的數(shù)量與花費

150元購買肉松面包的數(shù)量相同，求紅豆面包和肉松面包的單價各是多少元？

（2）若購買紅豆面包和肉松面包共100個，要求肉松面包的個數(shù)不少于紅豆面包的個數(shù)的一半，且總費

用不超過590元，請問該公司有哪幾種購買方案？

【分析】（1）設紅豆面包的單價是x元，則肉松面包的單價是G+2.5）元，利用數(shù)量=總價+單價，結(jié)

合花費100元購買紅豆面包的數(shù)量與花費150元購買肉松面包的數(shù)量相同，可列出關于x的分式方程，

解之經(jīng)檢驗后，可得出紅豆面包的單價，再將其代入（x+2.5）中，即可求出肉松面包的單價；

（2）設該公司購買個紅豆面包，則購買（100-m）個肉松面包，根據(jù)“夠級肉松面包的個數(shù)不少于

紅豆面包的個數(shù)的一半，且總費用不超過590元”，可列出關于加的一元一次不等式組，解之可得出〃?

的取值范圍，再結(jié)合加為正整數(shù)，即可得出各購買方案.

【解答】解：（1）設紅豆面包的單價是x元，則肉松面包的單價是（x+2.5）元，

根據(jù)題意得：獨=15°,

xx+2.5

解得：x=5,

經(jīng)檢驗，x=5是所列方程的解，且符合題意，

x+2.5=5+2.5=7.5.

答：紅豆面包的單價是5元，肉松面包的單價是7.5元；

（2）設該公司購買冽個紅豆面包，則購買（100-m）個肉松面包，

100-rn^萬m

根據(jù)題意得:

5m+7.5(100-m)<590

解得：64W，〃W儂,

3

又?.?加為正整數(shù)，

'.m可以為64,65,66,

該公司共有3購買方案，

方案1：購買64個紅豆面包，36個肉松面包;

方案2：購買65個紅豆面包，35個肉松面包;

方案3：購買66個紅豆面包，34個肉松面包.

24.（2023秋?橋西區(qū)校級期中）某商場計劃購進一批籃球和足球，其中籃球的單價比足球的單價多30元,

已知用360元購進的足球和用480元購進的籃球數(shù)量相等.

（1）籃球和足球的單價各是多少元？

（2）若籃球售價為每個150元，足球售價為每個110元，商場售出足球的數(shù)量比籃球數(shù)量的三分之一還

多10個，且獲利超過1300元，問籃球最少要賣多少個？

【分析】（1）設足球的單價是x元，則籃球的單價是（x+30）元，利用數(shù)量=總價+單價，結(jié)合用360

元購進的足球和用480元購進的籃球數(shù)量相等，可列出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出足球

的單價，再將其代入（x+30）中，即可求出籃球的單價；

（2）設籃球賣了y個，則足球賣了（?10）個，利用總利潤=每個的銷售利潤X銷售數(shù)量，結(jié)合總利

潤超過1300元，可列出關于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范圍，再結(jié)合修二y+10均為正

3

整數(shù)，即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設足球的單價是X元，則籃球的單價是（x+30）元，

根據(jù)題意得：360=480；

xx+30

解得：x=90,

經(jīng)檢驗，x=90是所列方程的解，且符合題意，

...x+30=90+30=120.

答：籃球的單價是120元，足球的單價是90元；

（2）設籃球賣了了個，則足球賣了（》10）個，

根據(jù)題意得：（150-120）>（110-90）（Ayi-10）>1300,

解得：y>30,

的最小值為33.

答：籃球最少要賣33個.

25.（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期中）（1）某公司到北京參加會議，給員工購買重慶到北京的高鐵票.該公司

計劃花費43600元一次性購買一等座票，二等座票共50張.已知一等座票的價格為950元/張，二等座

票的價格為820元/張，求該公司原計劃購買兩種高鐵票各多少張？

（2）已知重慶到北京的高鐵全長2200公里，高鐵提速后重慶到北京的時間比高鐵提速前縮短3小時40

分鐘，該高鐵提速后的速度比提速前的速度提升了50%,求提速后該高鐵從重慶到北京的速度是多少公

里/小時？（高鐵在站點停留時間忽略不計）

【分析】（1）設該公司原計劃購買x張一等座票，y張二等座票，利用總價=單價X數(shù)量，結(jié)合“該公司

計劃花費43600元一次性購買一等座票，二等座票共50張”，可列出關于x,y的二元一次方程組，解之

即可得出結(jié)論；

（2）設提速前該高鐵從重慶到北京的速度是加公里/小時，則提速后該高鐵從重慶到北京的速度是

（1+50%）加公里/小時，利用時間=路程+速度，結(jié)合高鐵提速后重慶到北京的時間比高鐵提速前縮短

3小時40分鐘（即里小時），可列出關于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出提速前該高鐵從重慶到

3

北京的速度，再將其代入（1+50%）機中，即可求出結(jié)論.

【解答】解：（1）設該公司原計劃購買x張一等座票，y張二等座票，

根據(jù)題意得：fX+y=5°,

950x+820y=43600

x=20

解得:

y=30

答：該公司原計劃購買20張一等座票，30張二等座票;

設提速前該高鐵從重慶到北京的速度是加公里/小時，則提速后該高鐵從重慶到北京的速度是（1+50%）

m公里/小時，

解得：加=200,

經(jīng)檢驗，加=200是所列方程的解，且符合題意，

（1+50%）m=（1+50%）X200=300.

答：提速后該高鐵從重慶到北京的速度是300公里/小時.

26.（2023秋?重慶期中）為培養(yǎng)大家的閱讀能力，我校初一年級購進《朝花夕拾》和《西游記》兩種書籍,

花費分別是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的訂購單價是《西游記》的訂購單價的1.4倍，并且

訂購的《朝花夕拾》的數(shù)量比《西游記》的數(shù)量多300本.

（1）求我校初一年級訂購的兩種書籍的單價分別是多少元；

（2）我校初一年級某班計劃再訂購這兩種書籍共10本來備用，其中《朝花夕拾》訂購數(shù)量不低于3本，

且兩種書總費用不超過124元，求這個班訂購這兩種書籍有多少種方案？按照這些方案訂購最低總費用

為多少元？

【分析】（1）設我校初一年級訂購《西游記》的單價是x元，則訂購《朝花夕拾》的單價是1.4x元，利

用數(shù)量=總價+單價，結(jié)合花費14000元訂購《朝花夕拾》的數(shù)量比花費7000元訂購《西游記》的數(shù)量

多300本，可列出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出訂購《西游記》的單價，再將其代入1.4x

中，即可求出訂購《朝花夕拾》的單價；

（2）設這個班訂購加本《朝花夕拾》，則訂購（10-m）本《西游記》，根據(jù)“《朝花夕拾》訂購數(shù)量不

低于3本，且兩種書總費用不超過124元”，可列出關于機的一元一次不等式組，解之可得出機的取值

范圍，結(jié)合〃?為正整數(shù)，可得出各訂購方案，再求出各訂購方案所需總費用，比較后即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）設我校初一年級訂購《西游記》的單價是x元，則訂購《朝花夕拾》的單價是1.4尤元，

根據(jù)題意得：14000-?l=300,

1.4xx

解得：x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是所列方程的解，且符合題意，

二1.4x=1.4X10=14.

答：我校初一年級訂購《西游記》的單價是10元，訂購《朝花夕拾》的單價是14元;

（2）設這個班訂購加本《朝花夕拾》，則訂購（10-%）本《西游記》,

(

根據(jù)題意得:

ll4m+10(10-m)4124’

解得：3WmW6,

又..?加為正整數(shù),

'.m可以為3,4,5,6,

這個班共有4種訂購方案,

方案1：訂購3本《朝花夕拾》,7本《西游記》,所需總費用為14X3+10X7=112（元）;

方案2：訂購4本《朝花夕拾》,6本《西游記》,所需總費用為14X4+10X6=116（元）;

方案3：訂購5本《朝花夕拾》,5本《西游記》,所需總費用為14X5+10X5=120（元）;

方案4：訂購6本《朝花夕拾》,4本《西游記》,所需總費用為14X6+10X4=124（元）.

V112<116<120<124,

按照這些方案訂購最低總費用為112元.

答：這個班訂購這兩種書籍有4種方案，按照這些方案訂購最低總費用為112元.

27.（2023秋?冷水灘區(qū)校級期中）為順利通過“文明城市”驗收，我市擬對城區(qū)部分排水骨道公用設施全

而更新改造，為響應城市建設的需要，需在一個月內(nèi)完成工程，現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工

程，經(jīng)調(diào)查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是甲工程隊單獨完成此項工程時間的1.5倍，若甲、

乙兩工程隊合作只需12天完成.

（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工程各需多少天？

（2）若甲工程隊每天的工程費用是4萬元，乙工程隊每天的工程費用是3萬元，請你設計一種方案，既

能按時完工，又能使工程費用最少.

【分析】（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需L5x天.再根據(jù)“甲、

乙兩隊合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果可知，符合要求的施工方案有三種，方案一：甲工程隊單獨完成；方案二：乙

工程隊單獨完成；方案三：甲、乙兩隊合作完成.分別計算出所需的工程費用，再比較即可.

【解答】解：（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需1.5x天，

根據(jù)題意得：￡+且一=1,

x1.5x

解得：x=20,

經(jīng)檢驗，x=20是原方程的解，且符合題意，

/.1.5x=1.5X20=30,

答：甲工程隊單獨完成該工程需20天，乙工程隊單獨完成該工程需30天；

（2）?.?甲、乙兩工程隊均能在規(guī)定的一個月內(nèi)單獨完成，

,有如下三種方案：

方案一：甲工程隊單獨完成.所需費用為：4X20=80（萬元）；

方案二：乙工程隊單獨完成.所需費用為：3X30=90（萬元）；

方案三：甲乙兩隊合作完成.所需費用為：（4+3）X12=84（萬元）.

V90>84>80,

...選擇甲工程隊承包該項工程，既能按時完工，又能使工程費用最少.

28.（2023春?開江縣校級期末）某商場準備購進甲、乙兩種商品進行銷售，若每個甲商品的進價比每個乙

商品的進價少2元，且用80元購進甲商品的數(shù)量與用100元購進乙商品的數(shù)量相同.

（1）求每個甲、乙兩種商品的進價分別是多少元？

（2）若該商場購進甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個，且購進甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超

過95個，則商場最多購進乙商品多少個？

（3）在（2）的條件下，如果甲、乙兩種商品的售價分別是12元/個和15元/個，且將購進的甲、乙兩種

商品全部售出后，可使銷售兩種商品的總利潤超過380元，那么該商場購進甲、乙兩種商品有哪幾種方

案？

【分析】（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為（x-2）元，根據(jù)題意建立方程

求出其解就可以了.

（2）本題中“根據(jù)進兩種商品的總數(shù)量不超過95個”可得出不等式；

（3）根據(jù)“使銷售兩種商品的總利潤（利潤=售價-進價）超過380元”可以得出關于利潤的不等式,

組成不等式組后得出未知數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)取值的不同情況，列出不同的方案.

【解答】解：（1）設每件乙種商品的進價為x元，則每件甲種商品的進價為G-2）元，

根據(jù)題意，得里=些，

x-2x

解得：x=10,

經(jīng)檢驗，x=10是原方程的根，

每件甲種商品的進價為：10-2=8.

答：每件甲種商品的進價為8元，每件乙種商品件的進價為10元.

（2）設購進乙種商品y個，則購進甲種商品（3y-5）個.

由題意得：3y-5+yW95.

解得yW25.

答：商場最多購進乙商品25個；

（3）由（2）知，（12-8）（3y-5）+（15-10）y>380,

解得：y>23^~.

17

為整數(shù)，》W25,

.7y=24或25.

,共有2種方案.

方案一：購進甲種商品67個，乙商品件24個；

方案二：購進甲種商品70個，乙種商品25個.

29.（2023?樂清市模擬）1月份，甲、乙兩商店從批發(fā)市場購進了相同單價的某種商品，甲商店用1050元

購進的商品數(shù)量比乙商店用1260元購進的數(shù)量少10件.

（1）求該商品的單價；

（2）2月份，兩商店以單價。元/件（低于1月份單價）再次購進該商品，購進總價均不變.

①試比較兩家商店兩次購進該商品的平均單價的大小.

②已知。=15,甲商店1月份以每件30元的標價售出了一部分，剩余部分與2月份購進的商品一起售賣,

2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數(shù)量的一半，第二次在第一次基礎上再降價2

元全部售出，兩個月的總利潤為1050元，求甲商店1月份可能售出該商品的數(shù)量.

【分析】（1）設該商品的單價為x元，根據(jù)商店用1050元購進的商品數(shù)量比乙商店用1260元購進的數(shù)

量少10件列出方程求解即可；

（2）①分別求出甲、乙兩次一共購買的商品數(shù)量，進而求出甲、乙的平均單價，然后比較大小即可；

②先求出甲商品一月份一共購進的商品數(shù)量為50件二月份甲購進的商品數(shù)量為70件，設一月份售出

加件，二月份第一次售出〃件，則二月份第二次售出(120-"?-")件，再根據(jù)銷售額=成本+利潤列出

方程推出n=1織-5%再由加、〃都是正整數(shù)，得到加＜30,由2月份第一次按標價9折售出一部分且

2

未超過1月份售出數(shù)量的一半，得到“225,進而得到25W〃?＜30且比是正整數(shù)，再由15°-5m也是正