2024年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用 專項(xiàng)講解與訓(xùn)練

第5講導(dǎo)數(shù)的簡潔應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的幾何意義

［核心提煉］

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)f(x)在益處的導(dǎo)數(shù)是曲線/U)在點(diǎn)PU,『(加)處的切線的斜率，曲線r(x)在點(diǎn)尸處的切線的斜率k

=f(荀)，相應(yīng)的切線方程為y—f(x0)=『'(x°)(x—X。).

2.四個(gè)易誤導(dǎo)數(shù)公式

(1)(sinX),=cosx；

(2)(cosx)'=-sinx；

(3)(aO'=a*lna(a>0,且aWl)；

(4)(logax)'=—r-(a>0,且aWl,x>0).

xLna

甌(1)曲線尸V+，在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為

X

⑵曲線尸V+a在x=E處的切線與曲線y=e'相切，則a=.

【答案】(l)y=x+l(2)-

【解析】(1)因?yàn)閂=2^-4所以在點(diǎn)(1,2)處的切線方程的斜率為V|g=2Xl—6=1,所以切線

方程為y-2=x—1,即y=x+l.

(2)由y=x+a,得y'=2x.

所以A=y'L=J_=1,且當(dāng)時(shí)，p=；+a,

2/4

所以切線方程為y—4+a)=x—

即尸x+a-

設(shè)切線與曲線y=e'相切于(照，ex。)，

由P=e-得/=e",

所以e%=l,劉=0,則切線與曲線尸/的切點(diǎn)為(0,1),

15

所以l=a—3即a=~.

何國因的

⑴利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線問題的基本思路

設(shè)曲線在(X。，㈤處的切線為則依據(jù)

'kyj=f(xo),

,切點(diǎn)在切線［上，建立方程組求解.

、切點(diǎn)在曲線上

⑵過點(diǎn)尸與曲線相切的切線問題

設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(劉，f(xg,先求出在X=Xo處的切線方程，然后用所過點(diǎn)的坐標(biāo)代入即求出劉，從而得出

切線方程.

⑵①若a=O,則/■(x)=e*,所以f(x)20.

②若a>0,則由(1)得，當(dāng)x=lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(lna)=—alna.從而當(dāng)且僅當(dāng)一a21n

a》0,即aWl時(shí)，f(x)》O.

③若a<0,則由(1)得，當(dāng)x=ln(一》時(shí)，/"(x)取得最小值，最小值為f(ln(—》)=a2《一ln(一》］.從而

3

當(dāng)且僅當(dāng)a［~—ln(—^)1^0,即a2—2e4時(shí)f(x)20.

3

綜上，a的取值范圍是［―2eW,1］.

思南國啕

求解或探討函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略

探討函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是探討不等式的解集的狀況.大多數(shù)狀況下，這類問題可以歸結(jié)為一個(gè)含有參數(shù)

的一元二次不等式的解集的探討：

(1)在能夠通過因式分解求出不等式對(duì)應(yīng)方程的根時(shí)，依據(jù)根的大小進(jìn)行分類探討.

(2)在不能通過因式分解求出根的狀況時(shí)，依據(jù)不等式對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分類探討.

［留意］探討函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，千萬不要忽視了定義域的限制.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.(2024.-張掖第一次診斷考試)若函數(shù)f(x)=y-f/+^+l在區(qū)間份，3)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是?

【答案】：［學(xué)，+8)

【解析】：f'(x)=x,一ax+1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間弓，3)上單調(diào)遞減，所以/(x)W0在區(qū)間(表3)上

f'(7)woJ—L+iwo1010

恒成立，所以2，即『2,解得所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為［石，.+8).

f'(3)WQ〔9-3a+lW0

2.(2024?云南第一次統(tǒng)考)已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，實(shí)數(shù)a是常數(shù)，函數(shù)f(x)=e，—ax—1的定義域?yàn)?/p>

(0,+-).推斷函數(shù)『(X)的單調(diào)性.

【解析】：因?yàn)镹r)=d-or-I,所以Fa)=d-a

易知.小0=d一<1在(0,+8)上里黃諉墻.

所以當(dāng)心1時(shí)，/(x)>0,故凡(瘡(0,+?>)上單漏卷8；

當(dāng)4>1時(shí)，由八幻=d-4=0,百x=lna,

所以當(dāng)gVna時(shí)，/(x)<0,當(dāng)Qina時(shí)，f(x)>0,

所以.心座(0,Ina)上單調(diào)遞庖，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)aWl8寸，.心用E(0,+8)上單闌遞增：當(dāng)401時(shí)，.仆)在(0,In4上單調(diào)遞及，在(In。，+8)上單

調(diào)通塔.

三

利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值(最值)

［核心提煉］

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關(guān)系

(1)若在劉旁邊左側(cè)/?'(x)〉0,右側(cè)F(x)〈0,則f(x。)為函數(shù)f(x)的極大值；若在劉旁邊左側(cè)/(x)〈0,

右側(cè)/■'(x)〉0,則f(xo)為函數(shù)f(x)的微小值.

(2)設(shè)函數(shù)尸f(x)在［a,6］上連續(xù)，在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，則/<x)在［a,6］上必有最大值和最小值，且在極值

點(diǎn)或端點(diǎn)處取得.

?31(1)(2024?高考全國卷H)若x=-2是函數(shù)f(x)=(V+ax—l)e*T的極值點(diǎn)，則/"(x)的微小值為

()

A.11B.—2e3

C.5e-3D.1

(2)(2024?唐山二模)已知函數(shù)/>(X)=lnx—nx〈n>0的最大值為g(〃)，則使g(〃)一〃+2>0成立的n的取

值范圍為()

A.(0,1)B.(0,+00)

C.［o,3D.《十8)

【答案】(DA(2)A

【解析】⑴因?yàn)閒{x)=(1+HX—1)/1,所以f'(x)=(2x+a)eA~l+(/+ajr—1)eA-1=\_x+(a+2)x+a

—因?yàn)閤=-2是函數(shù)_f(x)=(￡+ax—l)e"f的極值點(diǎn)，所以-2是/+(a+2)x+〃-1=0的根，所

以劉=-1,f'(x)=(x?+x—2)e*i=(x+2)(x—l)e1.令/(x)>0,解得水一2或x>l,令/(x)<0,解

得一2〈水1,所以F(x)在(一8,—2)上單調(diào)遞增，在(一2,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，所

以當(dāng)X=1時(shí)，_f(x)取得微小值，且F(x)微小值=F(L)=—1,選擇A.

(2)易知F(x)的定義域?yàn)?0,+8).

因?yàn)?(X)=!一〃(X>O,72>0),

X

當(dāng)x《0,力時(shí)，f(*)>0,

當(dāng)了?修，+8)時(shí)，f(x)〈o,

所以/"(X)在(0,，上單調(diào)遞增，在9，+8)上單調(diào)遞減，所以f(x)的最大值g(M=(J=—InA-1.設(shè)

力(〃)=g(〃)一刀+2=—In77—77+I.

因?yàn)?(〃)=一1—1<0,

n

所以力(〃)在(0,+8)上單調(diào)遞減.又力(1)=0,

所以當(dāng)0〈水1時(shí)，力(〃)>方⑴=0,

故使g(M—〃+2>0成立的力的取值范圍為(0,1),選A..

前廚圓窗

利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)極值、最值的方法

(1)若求極值，則先求方程/(x)=0的根，再檢查F(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(hào).

(2)若已知極值大小或存在狀況，則轉(zhuǎn)化為己知方程F(x)=0根的大小或存在狀況來求解.

(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,6］的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/'(a),/"(6)與/'(x)

的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1nv

1.已知函數(shù)/■(x)=M(aGR).曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/?(1))處的切線方程為了=了-1,則f(x)的最大值

為.

【答案】:-

e

■，/、x+a—xlnx7、

【解析】：f(x)=------?x2(JT>0)..

xr(x十a(chǎn))

因?yàn)榍€y=f{x)在點(diǎn)(1,rd))處的切線方程為尸x—1,

1-1-0

所以尸⑴丁=1,

(1+a)

1r>v

解得a=0.所以f(x)=——,

X

,/、1—Inx

f'(入)=——2—,

X

當(dāng)x>e時(shí)，f'(x)<0,此時(shí)函數(shù)/1(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0〈水e時(shí)，f'(x)>0,此時(shí)函數(shù)F(x)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)f(x)的最大值為f(e)=2

e

2.已知函數(shù)_f(x)=lnx+a(l—x).

(1)探討F(x)的單調(diào)性；

⑵當(dāng)Ax)有最大值，且最大值大于2a—2時(shí)，求a的取值范圍.

【解析】：(l)f(x)的定義域?yàn)?0,+8),fW=--.

Xa

若aWO,則/(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

若a>0,則當(dāng)j時(shí)，f(x)>0；當(dāng)xeg,+s)時(shí)，f'(x)VO.所以/1(&)在(0,上單調(diào)遞增,

在g，+8)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)在(0,+8)上無最大值；

當(dāng)a>0時(shí)，人工)在才=’處取得最大值，最大值為

a

什咱+a(l—0=Tna+a—1.

因此(O>2'—2等價(jià)于In1V0.

令g(a)=lna+a—1,則g(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

g⑴=0.

于是，當(dāng)OVaVl時(shí)，g(a)VO；當(dāng)乃>1時(shí)，g{a)>0.

因此，a的取值范圍是(0,1).

課時(shí)作業(yè)

［基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］

1.函數(shù)尸f(x)的導(dǎo)函數(shù)尸尸5)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=F(x)的圖象可能是()

【答案】D.

【解析.】原函數(shù)先減再增，再減再增，且x=0位于增區(qū)間內(nèi)，故選D.

2.若函數(shù)e*f(x)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在F(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)『(x)具有M性

質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是()

A.f{x)—2XB.—x

C.f^x)—3'D.f^x)—cosx

【答案】A

【解析】?對(duì)于選項(xiàng)A,f(x)=2-*=a：則，『(入)=，?。*=電：因?yàn)閨〉1,所以e*f(x)在R上單調(diào)遞

增，所以/U)=2r具有M性質(zhì).對(duì)于選項(xiàng)B,f(x)=Y,e'f(x)=eV,[e"(x)「=e'(/+2x),令e'(步

+2x)>0,得x>0或—2；令e"(V+2x)<0,得一2<x<0,所以函數(shù)e"f(x)在(-8,—2)和(0,+8)上單

調(diào)遞增，在(-2,0)上單調(diào)遞減，所以/■(&)=/不具有M性質(zhì).對(duì)于選項(xiàng)C,『5)=3一'=6；,則e'f(x)

=e"?因?yàn)榫?，所以尸仔在R上單調(diào)遞減’所以『(X)=3)不具有M性質(zhì).對(duì)于選項(xiàng)D,

f(x)-cosx,e7(x)=e"cosx,貝!J[e*_f(x)]'=er(cosx-sinx)20在R上不恒成立，故eV(x)=e"cosx

在R上不是單調(diào)遞增的，所以Ax)=cosx不具有M性質(zhì).

令xz=t,g(力)=ln方+:+a[(蘇0),

一u,/、1-11—t、.、

由g(力=0n--------=0=>己方=——>0=>fe(0,1),

2

于是g(t)=ln方+?—1(0<伙1),

19t—2

所以g，(/)=?—?=千<0(0〈伙1),

所以g1)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以g*)>g(l)=L

所以當(dāng)a>0時(shí)，F(xiàn)(x)的最小值的取值集合為(1,+8).

[實(shí)力提升]

1.(2024?福州綜合質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=alnx+￡—〃x(a￡R).

⑴若x=3是廣(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求g(x)=f(x)—2x在區(qū)間[1,e]上的最小值h{a).

【解析】：(1)Ax)的定義域?yàn)?0,+8),

/、a、

3—-\-2x-a—

xx

因?yàn)閤=3是F(x)的極值點(diǎn),

、18-3a+a

所以7(3)=——-——=0,解得己=9,

mI//、2x—9x+9(2x—3)(x—3)

所以/(x)=----------=-----------------

XX

33

所以當(dāng)0Vx<5或x>3時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)2VxV3時(shí)，fr(x)V0.

所以x=3是/U)的微小值點(diǎn)，

所以/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(5,3).

/、，/、2x-ax-\-a(2x—a)(x—1)

(2)g，(x)=-----------2=----------------------------

①當(dāng)即石W2時(shí)，g(x)在［Le］上為增函數(shù)，力(a)=g(l)=—3一1；

②當(dāng)l<f<e,即2?2e時(shí)，虱各上為屆使檄，在尊司上為斕由數(shù).

*4)=電尸010y--a--at

③當(dāng)耗e,即缶2erj,歐x)在［I,e］上為;硒豺，

乂。)=虱。)=(1-e)a+d-2e

-a-1,aW2,

din?一扣-a,2<4r<2e,

{(l-e>心2e

2-(2。24.成都其次次診斷性檢測)已知函數(shù)f(x)=(a+3)lnx—x+：,其中a〉0.

⑴若Hx)在(0,+8)上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)設(shè)a￡(l,e],當(dāng)不￡(0,1),至￡(1,十8)時(shí)，記丹升)一/1(矛1)的最大值為欣a).那么加力是否存在

最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

一r一(x—a)(x—工)

,,111a

【解析】：(1)/(x)=(a+-)-1-2=---------2---------，%￡(0,+°°).

axxx

(v—1)2

①當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=一—WO,Hx)在(0,+8)上單調(diào)遞減，不存在極值點(diǎn)；

x

②當(dāng)〃>0且aWl時(shí)，fr(。)=7