人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊《勾股定理的逆定理（第3課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

勾股定理的逆定理（第3課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．進(jìn)一步鞏固勾股定理及其逆定理的相關(guān)知識(shí)，并能解決綜合應(yīng)用問題．2．培養(yǎng)“數(shù)形結(jié)合”“方程”等數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)建模能力．教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決相關(guān)問題．教學(xué)難點(diǎn)運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決相關(guān)問題．教學(xué)準(zhǔn)備直尺，三角板．教學(xué)過程知識(shí)回顧1．勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，設(shè)c為最長邊，當(dāng)a2＋b2＝c2時(shí)，△ABC是直角三角形；當(dāng)a2＋b2≠c2時(shí)，利用代數(shù)式a2＋b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀（按角分類）．（1）當(dāng)△ABC三邊分別為6，8，9時(shí)，△ABC為_________三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6，8，11時(shí)，△ABC為________三角形；（2）猜想，當(dāng)a2＋b2和c2滿足什么關(guān)系時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2＋b2和c2滿足什么關(guān)系時(shí)，△ABC為鈍角三角形；（3）判斷當(dāng)a＝2，b＝4時(shí)△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的c2的取值范圍．【師生活動(dòng)】學(xué)生代表作答，教師補(bǔ)充并講解知識(shí)點(diǎn)．【答案】解：（1）直角三角形兩直角邊分別為6，8時(shí)，斜邊＝＝10，∴△ABC三邊分別為6，8，9時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6，8，11時(shí)，△ABC為鈍角三角形．（2）當(dāng)a2＋b2＞c2時(shí)，△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2＋b2＜c2時(shí)，△ABC為鈍角三角形．（3）∵c為最長邊，2＋4＝6，∴4≤c＜6．∴16≤c2＜36．∵a2＋b2＝22＋42＝20，①a2＋b2＞c2，即c2＜20，∴當(dāng)16≤c2＜20時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形；②a2＋b2＝c2，即c2＝20，∴當(dāng)c2＝20時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形；③a2＋b2＜c2，即c2＞20，∴當(dāng)20＜c2＜36時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形．【新知】勾股定理與勾股定理的逆定理的條件和結(jié)論相反．勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，其逆定理是直角三角形的判定．勾股定理是根據(jù)直角三角形探求邊長的關(guān)系，體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化；勾股定理的逆定理是由三角形的三邊關(guān)系探求三角形的形狀，體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化．【設(shè)計(jì)意圖】檢查學(xué)生對勾股定理及其逆定理的掌握情況，讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)勾股定理及其逆定理的關(guān)系．二、典例精講【例1】一艘輪船從A港向南偏西48°方向航行100km到達(dá)B島，再從B島沿BM方向航行125km到達(dá)C島，A港到航線BM的最短距離是60km．（1）若輪船速度為25km/h，求輪船從C島沿CA方向返回A港所需的時(shí)間；（2）C島在A港的什么方向？【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求得BD的長度，則CD＝BC－BD；然后在Rt△ACD中，利用勾股定理可求得AC的長度，最后由“時(shí)間＝路程÷速度”求出所需的時(shí)間；（2）由勾股定理的逆定理推知∠BAC＝90°，由方向角的定義作答即可．【答案】解：（1）由題意AD＝60km，在Rt△ABD中，由AD2＋BD2＝AB2得602＋BD2＝1002．∴BD＝80（km）．∴CD＝BC－BD＝125－80＝45（km）．∴（km）．75÷25＝3（h）．答：從C島沿CA方向返回A港所需的時(shí)間為3h．（2）∵AB2＋AC2＝1002＋752＝15625，BC2＝1252＝15625，∴AB2＋AC2＝BC2．∴∠BAC＝90°．∴∠NAC＝180°－90°－48°＝42°．∴C島在A港的北偏西42°方向上．【設(shè)計(jì)意圖】鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理的知識(shí)解決有關(guān)方向角的問題．【例2】拖拉機(jī)行駛過程中會(huì)對周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺(tái)拖拉機(jī)沿公路AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B行駛，已知點(diǎn)C為一所學(xué)校，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離分別為150m和200m，AB＝250m，拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機(jī)的行駛速度為50m/min，拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有多少分鐘？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，然后利用三角形面積得出CD的長，進(jìn)而得出學(xué)校C是否會(huì)受噪聲影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長，進(jìn)而可得出拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間．【答案】解：（1）學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．理由：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2＋BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝AC·BC＝CD·AB．∴150×200＝250×CD．∴CD＝＝120（m）．∵拖拉機(jī)周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，∴學(xué)校C會(huì)受噪聲影響．（2）如圖，取EC＝130m，F(xiàn)C＝130m，當(dāng)拖拉機(jī)在EF上時(shí)學(xué)校會(huì)受噪聲影響．∵ED2＝EC2－CD2＝1302－1202＝502，∴ED＝50（m）．∴EF＝100（m）．∵拖拉機(jī)的行駛速度為50m/min，∴100÷50＝2（min）．即拖拉機(jī)噪聲影響該學(xué)校持續(xù)的時(shí)間有2min．【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決生活問題的能力．【例3】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10．（1）求四邊形ABCD的面積；（2）求對角線BD的長．【分析】（1）連接AC，然后根據(jù)勾股定理可以求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ACD的形狀，從而可以求得四邊形ABCD的面積；（2）作DE⊥BC，然后根據(jù)三角形全等和勾股定理，可以求得對角線BD的長．【答案】解：（1）連接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴．∵CD＝10，AD＝10，∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝＝200．∴CD2＋AC2＝AD2．∴△ACD是直角三角形．∴四邊形ABCD的面積是＝24＋50＝74．（2）作DE⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)E，則∠DEC＝90°，∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE＋∠ACB＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＋∠ACB＝90°．∴∠DCE＝∠CAB．在△ABC和△CED中，∴△ABC≌△CED（AAS）．∴AB＝CE，BC＝ED．∵AB＝