七年級數(shù)學(xué)上冊-6.2立方根 解析版

6.2立方根【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：立方根的概念 考點(diǎn)二：求立方根問題考點(diǎn)三：立方根的實(shí)際應(yīng)用問題 考點(diǎn)四：算術(shù)平方根和立方根的綜合問題知識點(diǎn)一、立方根立方根：若一個數(shù)的立方（三次方）等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根（三次方根）若x是a的立方根，則說明x3=a。a的立方根記為：,讀作“三次根號a”。根指數(shù)被開方數(shù)開立方：我們把求立方根的運(yùn)算稱之為開立方，它與立方運(yùn)算是互逆的。被開方數(shù)（1）8的立方根：（2）-64的立方根：技巧歸納：一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；零的立方根是零。題型一：立方根的概念1．（23-24八年級上·河北邢臺）已知，則下列說法正確的是（）A．是的立方根B．是的立方根C．是的立方根 D．是的立方根【答案】B【分析】本題考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解題的關(guān)鍵，根據(jù)立方根的概念，求立方根逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可．【詳解】解：，是的立方根，故選項(xiàng)A、C、D均錯誤；B正確．故選：B．2．（22-23七年級下·河南周口·期中）下列計(jì)算錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用立方根知識對各選項(xiàng)進(jìn)行求解、辨別．【詳解】解：，選項(xiàng)不符合題意；，選項(xiàng)不符合題意；，選項(xiàng)符合題意；，選項(xiàng)不符合題意，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)立方根的求解能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識進(jìn)行計(jì)算．3．（23-24八年級上·遼寧遼陽·階段練習(xí)）類比平方根和立方根，我們定義n次方根為：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整數(shù)．例如：因?yàn)椋越械乃拇畏礁?，記作：，因?yàn)椋越械奈宕畏礁?，記作：，下列說法不正確的是（

）A．負(fù)數(shù)a沒有偶數(shù)次方根 B．任何實(shí)數(shù)a都有奇數(shù)次方根C． D．【答案】D【分析】利用n次方根的定義對每個選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵任何實(shí)數(shù)的偶數(shù)次都是非負(fù)數(shù)，∴負(fù)數(shù)a沒有偶數(shù)次方根，∴A選項(xiàng)的結(jié)論不符合題意；∵任何實(shí)數(shù)a都有奇數(shù)次方根，∴B選項(xiàng)的結(jié)論不符合題意；∵，∴∴C選項(xiàng)的結(jié)論不符合題意；∵，∴∴D選項(xiàng)的結(jié)論符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方根的意義，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用n次方根的定義是解題的關(guān)鍵．題型二：求立方根問題4．（23-24八年級上·河北保定·期中）若一個數(shù)的立方根為，則這個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)．熟練掌握立方根的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．由，進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，故選：C．5．（23-24八年級上·山西晉中·階段練習(xí)）已知：，且，則（

）A．2360 B． C．23600 D．【答案】C【分析】由等式的基本性質(zhì)可得出，從而得出，即．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，立方根的定義．根據(jù)等式的基本性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．6．（21-22七年級下·福建福州·期中）若a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為；x的平方根為，y的立方根為86.9，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義求出a、b、x、y的值，再找出關(guān)系即可．【詳解】解：∵a的算術(shù)平方根為17.25，b的立方根為-8.69，∴a=297.5625，b=-656.234909．∵x的平方根為±1.725，y的立方根為86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對平方根、算術(shù)平方根和立方根的運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是掌握平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義．題型三：立方根的實(shí)際應(yīng)用問題7．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）一個正方體的棱長為，體積為，則下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．是的立方根 C． D．【答案】B【分析】本題考查正方體體積公式，立方根和算術(shù)平方根計(jì)算．根據(jù)題意先列出棱長和體積表達(dá)式，再逐一對選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵一個正方體的棱長為，體積為，∴，即：，∴是的立方根，故選：B．8．（23-24七年級上·浙江杭州·期中）如圖，二階魔方為的正方體結(jié)構(gòu)，本身只有個方塊，沒有其他結(jié)構(gòu)的方塊，已知二階魔方的體積約為（方塊之間的縫隙忽略不計(jì)），那么每個方塊的邊長為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是立方根的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，建立方程是解本題的關(guān)鍵．設(shè)每個方塊的邊長為，可得，則，再利用立方根的含義解方程即可．【詳解】解：設(shè)每個方塊的邊長為，，，，故選：D．9．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）如圖，二階魔方為的正方體結(jié)構(gòu)，由8個相同的小方塊組成．已知二階魔方的體積為（小方塊之間的縫隙忽略不計(jì)），那么每個方塊的邊長為（）A．4 B．2 C． D．8【答案】B【分析】本題考查立方根的應(yīng)用，利用立方根的定義即可求得答案．【詳解】由題意可得每個方塊的體積為，則其邊長為，故選：B．題型四：算術(shù)平方根和立方根的綜合問題10．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是．(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，；(2)．【分析】（）根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義可得方程組，解方程組即可求解；（）由，可得，求的平方根即可求解；本題考查了立方根、算術(shù)平方根、平方根的定義，根據(jù)立方根、算術(shù)平方根的定義求出的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵的立方根是，的算術(shù)平方根是，∴，，即，解得，∴，；（2）解：∵，，∴，∴，∴的平方根是．11．（22-23七年級下·重慶巴南·期中）已知：的平方根為，的算術(shù)平方根為它本身，的立方根是(1)求的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的運(yùn)算可求出的，算術(shù)平方根的運(yùn)算及的值可求出的值，立方根的運(yùn)算可求出的值；（2）把（1）中的的值代入，根據(jù)平方根的運(yùn)算即可求解．【詳解】（1）解：∵的平方根為，∴，即，解得，，∵的算術(shù)平方根為它本身，算術(shù)平方根等于其本身的有或，且，∴，即，且，∴，解得，，∵的立方根是，∴，即，解得，，∴，，．（2）解：由（1）可知，，，，∴，∴的平方根為，∴的平方根為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根，算術(shù)平方根，立方根的運(yùn)算，掌握以上知識的綜合運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．12．（23-24八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）已知，表示的算術(shù)平方根，，表示的立方根．(1)求m、n的值；(2)求M和N的值；(3)求的平方根．【答案】(1)，(2)(3)4【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義，即可得出m和n的值；（2）將m和n的值代入M和N即可求解；（3）將（2）中得出的M和N的值相加即可．【詳解】（1）解：∵表示的算術(shù)平方根，∴，解得：，∵表示的立方根，∴，把代入得：，解得：，綜上：，；（2）解：∵，，∴，，綜上：；（3）解：∵，∴．一、單選題13．（23-24七年級上·山東威?！て谀w積為9的立方體的棱長為（）A． B． C． D．3【答案】A【分析】本題主要考查了立方根的應(yīng)用，正確掌握立方體的體積公式是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)立方體的棱長為，則有：，解得，所以，立方體的棱長為，故選：A．14．（23-24七年級下·黑龍江綏化·開學(xué)考試）下列說法中正確的是（

）A．的平方根是0.3 B．1的立方根是C．的立方根是 D．【答案】C【分析】此題主要考查平方根、立方根綜合，解題的關(guān)鍵是熟知其各自的性質(zhì)．根據(jù)平方根、立方根的意義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．的平方根為，因此選項(xiàng)A不符合題意；B．1的立方根是，因此選項(xiàng)B不符合題意；C．的立方根是，因此選項(xiàng)C符合題意；D．，因此選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．15．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，按鍵順序依次為，則計(jì)算器顯示結(jié)果與下列各數(shù)最接近的一個是（

）A．1.2 B．2.0 C．2.2 D．2.3【答案】C【分析】本題考查計(jì)算器—基礎(chǔ)知識，根據(jù)題目中的運(yùn)算程序，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果．【詳解】由題意可得，，故選：C．16．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）用我們數(shù)學(xué)課本上采用的科學(xué)計(jì)算器計(jì)算下列式子，其按鍵順序正確的是（

）A．求按鍵：

B．求按鍵：

C．求按鍵：

D．求按鍵：

【答案】D【分析】根據(jù)計(jì)算器鍵功能鍵列式計(jì)算，即可解答．此題考查了利用計(jì)算器的能力，熟練掌握各鍵功能是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A．求按鍵：

，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B．求按鍵：

，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C．求按鍵：

，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．求按鍵：

,故選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．17．（2024七年級·全國·競賽）一個正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼?倍后，面積變?yōu)樵瓉淼谋?；一個立方體的體積變?yōu)樵瓉淼?7倍后，棱長變?yōu)樵瓉淼谋?，則的立方根與的平方根的和為．【答案】1或/或1【分析】本題考查了正方形的邊長與面積、立方體的棱長與體積的關(guān)系及立方根、平方根的定義．由于一個正方形的邊長擴(kuò)大x倍，面積擴(kuò)大x2倍；一個立方體的棱長擴(kuò)大x倍，體積擴(kuò)大x3倍．利用前面的結(jié)論即可求出a、b進(jìn)而解答．【詳解】解：一個正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼?倍后，面積變?yōu)樵瓉淼?4倍，即，一個立方體的體積變?yōu)樵瓉淼?7倍，則棱長變?yōu)樵瓉淼?倍，即．，，的立方根為，的平方根為，，的立方根與的平方根的和為1或，故答案為：1或．18．（2024七年級·全國·競賽）若正數(shù)的兩個平方根分別是和，則的立方根是．【答案】4【分析】本題考查了立方根以及平方根的定義，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)一個正數(shù)的平方根有個，且互為相反數(shù)求出a的值，即可確定出正數(shù)的立方根．【詳解】解：∵正數(shù)的兩個平方根分別是和，∴，解得，∴，64的立方根是4．故答案為：4．19．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）設(shè)，，(1)化簡：；(2)若x是8的立方根，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了整式的化簡求值，立方根的意義，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．（1）把A，B的值代入化簡即可；（2）先求出x的值，然后代入（1）化簡后的結(jié)果計(jì)算即可．【詳解】（1）．（2）是8的立方根，，．20．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）已知一個正數(shù)x的兩個平方根分別是和．(1)求x的值；(2)若b為的算術(shù)平方根，c為的立方根，求代數(shù)式的值．【答案】(1)9(2)【分析】本題考查算術(shù)平方根，平方根及立方根，結(jié)合．已知條件求得的值是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根的形式求得a的值后代入中計(jì)算，然后根據(jù)平方根的定義即可求得答案；（2）根據(jù)算術(shù)平方根及立方根的定義求得的值，然后將其代入中計(jì)算即可．【詳解】（1）解∶一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，解得∶，則，那么；（2）為的算術(shù)平方根，為的立方根，，∴，則．一、單選題21．（23-24七年級下·）已知，那么的立方根為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【解析】略22．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）已知，，則的值為（

）A．0.528 B．0.0528 C．00528 D．0.000528【答案】C【解析】略23．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）若a，b互為相反數(shù)，m，n互為倒數(shù)，c的平方等于4，d是8的立方根，則的值為（）A． B． C．2 D．54【答案】A【分析】此題主要考查了平方根、立方根以及代數(shù)式求值的方法，要熟練掌握．首先根據(jù)a，b互為相反數(shù)，可得；根據(jù)m，n互為倒數(shù)，可得；然后根據(jù)c的平方等于4，d是8的立方根，分別求出、的值各是多少，代入求解即可．【詳解】a，b互為相反數(shù)，；m，n互為倒數(shù)，；c的平方等于4，；d是8的立方根，，故選：A．24．（23-24七年級上·黑龍江綏化·期中）如果，，那么約等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了立方根．利用立方根的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，故選：D．25．（23-24八年級上·安徽宿州·期中）若，為實(shí)數(shù)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和立方根，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)和偶次方為非負(fù)數(shù)，得到相應(yīng)的關(guān)系式求出、的值，然后代入求解，最后求數(shù)的立方根即可，正確運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，解得：，，∴，故選：．26．（20-21七年級上·浙江杭州·期中）已知的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，可得到的值，由此可得到與和與的關(guān)系【詳解】解：∵的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，得出與和與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題27．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）整數(shù)滿足，其中，則的最大值是．【答案】1024【分析】本題考查平方，立方根，代數(shù)式求值，先根據(jù)已知條件確定b和可能的值，進(jìn)而確定，推出，再分情況討論求出和c可能的值，最后求出比較大小即可．【詳解】解：整數(shù)滿足，為整數(shù)，，或或或，或或或，當(dāng)時，，不成立，又，，，，當(dāng)，，，不是整數(shù)，不合題意；當(dāng)時，，，符合題意；當(dāng)時，，，不合題意；當(dāng)時，，，不合題意；當(dāng)，，，不是整數(shù)，不合題意；當(dāng)時，，，不是整數(shù)，不合題意；當(dāng)時，，，不是整數(shù)，不合題意；當(dāng)時，，，符合題意；綜上可知，整數(shù)的值為2，8，2，或2，8，，或2，，8，或2，，，當(dāng)整數(shù)的值為2，8，2時，；當(dāng)整數(shù)的值為2，8，時，；當(dāng)整數(shù)的值為2，，8時，；當(dāng)整數(shù)的值為2，，時，；綜上可知，的最大值是1024．故答案為：1024．28．（2024八年級·全國·競賽）已知，則．【答案】【分析】本題考查了非負(fù)性得性質(zhì)，代數(shù)式求值，立方根，正確求出m、n的值是解此題的關(guān)鍵；根據(jù)非負(fù)性求出m、n的值，然后代入計(jì)算求出立方根即可．【詳解】，，即，，，，，，故答案為：．29．（23-24八年級上·四川達(dá)州·期中）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：①已知，則；②已知，則．【答案】【分析】本題主要考查了立方根的性質(zhì)，依據(jù)被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動3位對應(yīng)的立方根的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動1位求解即可，熟練掌握被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn)與對應(yīng)的立方根小數(shù)點(diǎn)移動規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①，，故答案為：；②，，故答案為：．30．（23-24八年級上·四川成都·期中）若都是實(shí)數(shù),且,則的立方根為【答案】【分析】本題考查了算術(shù)平方根與立方根的應(yīng)用，根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性確定，進(jìn)而得，代入代數(shù)式再求立方根，即可求解．【詳解】解：∵,∴∴，則∴∴的立方根為，故答案為：．31．（23-24七年級上·浙江紹興·期中）已知一個正方體的體積是1000，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積488，則截去的每小正方體的棱長是cm．【答案】4【分析】此題主要考查了立方根的應(yīng)用，設(shè)截得的每個小正方體的棱長，根據(jù)已知條件可以列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)截去的每個小正方體的棱長是，則由題意得，解得．答：截去的每個小正方體的棱長是．故答案為：4．三、解答題32．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）已知某正數(shù)的兩個不同的平方根為和，的立方根為．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．【答案】(1)；(2)．【分析】本題主要考查平方根、立方根，熟練掌握其定義及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)正數(shù)的兩個不同的平方根互為相反數(shù)，列出方程解出a，再根據(jù)的立方根為，列出方程解出b；（2）把、代入計(jì)算出代數(shù)式的值，然后求它的平方根．【詳解】（1）解：∵正數(shù)的兩個不同的平方根是和，，解得，的立方根為，，解得，；（2）解：把、代入得，∴的平方根是．33．（23-24七年級上·山東煙臺·期末）已知的立方根是，的算術(shù)平方根是2，c是的相反數(shù)．(1)求a，b，c的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，，(2)3【分析】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的綜合應(yīng)用，熟記相關(guān)結(jié)論即可．（1）根據(jù)，的相反數(shù)是即可求解；（2）計(jì)算出即可求解；【詳解】（1）解：∵的立方根是，∴，解得：；∵的算術(shù)平方根是2，∴，即，∴．∵c是的相反數(shù)，∴故：，，．（2）解：∵，，，∴，∴的算術(shù)平方根為334．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）請根據(jù)如圖所示的對話內(nèi)容解答下列問題．(1)求大正方體木塊的棱長(2)求截得的每個小正方體木塊的棱長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，熟練掌握立方根如何開方是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)正方體體積等于棱長棱長棱長，即可解答；（2）設(shè)每個小正方體棱長為，根據(jù)總體積前去截取得體積等于488，列方程解答即可；【詳解】（1），大正方體木塊的棱長（2）截得的每個小正方體木塊的棱長，根據(jù)題意得：解得：，截得的每個小正方體木塊的棱長．35．（23-24七年級上·浙江杭州·期末