2023年滬科版初中數(shù)學(xué)概念及知識點

七年級上

一、有理數(shù)

1.正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0不是正數(shù)也不是負數(shù)）；正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)

統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。但凡可以寫成孩（p、q為整數(shù)且

qHO）形式的數(shù)，都是有理數(shù)。

1正整數(shù)〔正整數(shù)

正有理數(shù)

f正分?jǐn)?shù)整數(shù)，零

Sf=T

有理數(shù)＜爺有理數(shù)＜負整數(shù)

「負整數(shù):正分?jǐn)?shù)

負有理數(shù)，分?jǐn)?shù)，

［負分?jǐn)?shù)

1負分?jǐn)?shù)

2.規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸（任意一種有理數(shù)都可以用

數(shù)軸上日勺一點來表達）。

3.只有符號不一樣的兩個數(shù)互為相反數(shù)（0的相反數(shù)為0）。

a、b互為相反數(shù)ca+b=0（相反數(shù)的和為0）

4.在數(shù)軸上，表達數(shù)a日勺點到原點日勺距離，叫做數(shù)a日勺絕對值，記做|a|。

正數(shù)的絕對值是它自身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

5.有理數(shù)大小比較

（1）正數(shù)不小于0,0不小于負數(shù)，正數(shù)不小于負數(shù)；

（2）數(shù)軸上日勺兩個數(shù)，右邊日勺數(shù)總比左邊日勺數(shù)大；

（3）正數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越大；

（4）負數(shù)的絕對值越大，這個數(shù)越小。

6.有理數(shù)附加減運算

加法法則

（1）同號兩數(shù)相加，取相似日勺符號，并把絕對值相加;

（2）異號兩數(shù)相加，取絕對值較大日勺符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對

值；

（3）一種數(shù)與。相加仍得這個數(shù)。

減法法則：減去一種數(shù)等于加上這個數(shù)日勺相反數(shù)。

加法互換律：a+b=b+a；

加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）

7.乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)（0沒有倒數(shù)）。

a、b互為倒數(shù)-ab=l（倒數(shù)時積為1）

8.有理數(shù)的乘除運算

乘法法則

（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

（2）任何數(shù)與0相乘仍得0；

（3）幾種數(shù)相乘，符號由負號個數(shù)決定。

除法法則（除以一種不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)）

（1）兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除；

（2）0除以一種不為0的數(shù)仍得0（0不能做除數(shù)）；

（3）幾種數(shù)相除，符號由負號個數(shù)決定。

乘法互換律：ab=ba；

乘法結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

乘法分派律：a（b+c）=ab+aco

9.求n個相似因數(shù)時積日勺運算叫做乘方；乘方的成果叫過寨；相似因數(shù)叫做底

數(shù)；相似因數(shù)日勺個數(shù)叫做指數(shù)。

10.乘方運算法則

(1)正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)；

(2)負數(shù)的奇次嘉是負數(shù)，偶次嘉是正數(shù)。

混合運算法則：先乘方，再乘除，后加減；假如有括號，先進行括號里的運

算。

11.一般地，一種絕對值不小于10日勺數(shù)都可以記成土aXlO11的形式，其中

lga<10,n等于原數(shù)日勺整位數(shù)減1。這種記數(shù)措施叫做科學(xué)記數(shù)法。

12.一種與實際數(shù)值很靠近日勺數(shù)稱為近似數(shù)。一種數(shù)日勺近似值與它精確值日勺差，

叫做誤差(誤差日勺絕對值越小，近似值就越靠近精確值，即近似程度越高)。

近似數(shù)一般由四舍五入法獲得，四舍五入到某一位，就說這個近似數(shù)精確到那

一位。從左邊第一種不為0的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字叫做這個近

似數(shù)日勺有效數(shù)字。

二、整式加減

1.能被2整除的為偶數(shù)，反之為奇數(shù)。

2.用加減乘除及乘方等運算符把數(shù)或表達數(shù)的字母連接而成日勺式子，叫做代數(shù)

式；用數(shù)值替代代數(shù)式里日勺字母，按照代數(shù)式中日勺運算關(guān)系計算得出的成果叫

做代數(shù)式時值。

3.由數(shù)和字母日勺積構(gòu)成的式子叫做單項式，其中數(shù)字為系數(shù)，字母指數(shù)日勺和叫

做次數(shù)。

4.幾種單項式時和叫做多項式，每個單項式叫做多項式日勺項，不含字母的叫常

數(shù)項，多項式中次數(shù)最高時項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù)。

5.單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。所含字母相似，且相似字母日勺指數(shù)也相似日勺項

叫做同類項（常數(shù)項與常數(shù)項是同類項）。把多項式中日勺同類項合并成一項，

叫做合并同類項。

6.去括號

（1）括號外為正，去括號后，括號內(nèi)各項都不變化符號；

（2）括號外為負，去括號后，括號內(nèi)各項都變化符號。

7.運算成果常將多項式按某個字母日勺指數(shù)從大到?。ɑ驈男〉酱螅┮来闻帕?，

這種排列叫做有關(guān)這個字母日勺降塞（升塞）排列。

三、一次方程與方程組

1.只具有一種未知數(shù)（元），未知數(shù)日勺次數(shù)是1,且等式兩邊都是整式日勺方程

叫做一元一次方程。

2.等式的性質(zhì)

（1）等式兩邊同步加上（或減去）同一種數(shù)或同一等式，所得成果仍是等式

（若a=b則a+c=b+c,a-c=b-c）；

（2）等式兩邊同步乘以（或除以）同一種數(shù)（除數(shù)不能為0）,所得成果仍是

等式（若a二b則ac=be,（cWO））；

cc

（3）若a=b則b=a（對稱性）；

（4）若a=b,b=c則a=c（傳遞性）；

（5）若a-b=c-d則a+d=c+b（移項：把等式一邊的某項變換符號后移動到另一

邊）。

3.解一元一次方程：整頓等式，去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化

lo

4.具有兩個未知數(shù)的一次方程稱為二元一次方程(ax+by=c(aWO,b#

0))o聯(lián)立在一起日勺幾種方程稱為方程組。

5.由兩個一次方程構(gòu)成日勺具有兩個未知數(shù)日勺方程組叫二元一次方程組。使二元

一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。

6.將未知數(shù)的I個數(shù)由多化少，逐一處理的想法叫做消元思想。

7.求二元一次方程組時解

(1)將一種未知數(shù)用具有另一種未知數(shù)日勺式子體現(xiàn)出來，再帶入另一種方程，

實現(xiàn)消元，進行求解，這種措施叫代入消元法；

(2)當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)日勺系數(shù)相反或相等時，將兩個方程兩邊分別相加

或相減以消去這個未知數(shù)日勺措施叫做加減消元法。

四、幾何圖形

1.兩點之間日勺所有連線中，線段最短。兩點之間線段日勺長度叫這兩點間的距

離。

將線段向一種方向無限延長就得到射線；將線段向兩方向無限延長就得到直線

(通過兩點有且僅有一條直線。兩條直線相交只有一種交點)。

2.角可以看作是從一點出發(fā)日勺兩條射線所構(gòu)成日勺圖形，其中該點叫做角的頂

點，兩條射線叫做角時邊。

3.在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點的一條射線把這個角提成兩個相等的角，這

條射線叫做這個角的平分線。

4.兩個角附和等于一種平角，這兩個角互為補角，簡稱互補。兩個角日勺和等于

一種直角，這兩個角互為余角，簡稱互余。同角的補角相等（余角相等）。

五、數(shù)據(jù)的搜集與整頓

1.全面調(diào)查：搜集所有數(shù)據(jù)進行分析。

2.抽樣調(diào)查：選用所有數(shù)據(jù)中日勺部分?jǐn)?shù)據(jù)進行分析。

3.考察對象日勺全體叫做總體，其中的每一種考察對象叫做個體，從總體中所抽

取的I一部分個體叫做總體日勺一種樣本，樣本中個體日勺數(shù)目叫做樣本容量。

4.組數(shù)與組距：在記錄數(shù)據(jù)時，將數(shù)據(jù)按照一定日勺范圍提成若干各組，提成組

日勺個數(shù)稱為組數(shù)，每一組兩個端點日勺差叫做組距。

七年級下

六、實數(shù)

1.一般地，假如一種數(shù)日勺平方等于a,那么這個數(shù)叫做a日勺平方根，也叫做二次

方根（正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；。的平方根為0；負數(shù)沒有平方

根），其中a叫做被開方數(shù)，?表達a的正平方根，也叫做算數(shù)平方根，另一

種根為-孤。求一種數(shù)日勺平方根日勺運算叫做開平方。

2.一般地，假如一種數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a日勺立方根，也叫做三次

方根，記做狙（正數(shù)的立方根是正數(shù)；0時立方根為0；負數(shù)的立方根是負

數(shù)），其中a叫做被開方數(shù)，3叫做根指數(shù)。求一種數(shù)的立方根的運算叫做開

立方。

3.無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。

r-正有理數(shù)］

「有理數(shù)Y零卜有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)Y匚負有理數(shù)」

「正無理數(shù)】

L無理數(shù)<k無限不循環(huán)小數(shù)

L負無理數(shù)）

4.實數(shù)大小比較

（1）正數(shù)不小于0,0不小于負數(shù)，正數(shù)不小于負數(shù)；

（2）數(shù)軸上日勺兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊日勺數(shù)大；

（3）正數(shù)日勺絕對值越大，這個數(shù)越大；

（4）負數(shù)日勺絕對值越大，這個數(shù)越小。

七、一元一次不等式與不等式組

1.用不等號（>、巳、<、W或W）表達不等關(guān)系日勺式子叫做不等式。一般

地，可以使不等式成立日勺未知數(shù)日勺值，叫做這個不等式的解，所有日勺這些解叫

做不等式的解集，求不等式解集的過程叫做解不等式。

2.具有一種未知數(shù)，未知數(shù)日勺次數(shù)是1,且不等號兩邊都是整式日勺不等式叫做

一元一次不等式；由幾種具有同一種未知數(shù)的一元一次不等式構(gòu)成日勺不等式組

叫做一元一次不等式組，這幾種一元一次不等式解集日勺公共部分叫做這個一元

一次不等式組的解集，求一元一次不等式組解集日勺過程叫做解不等式組。

3.不等式的性質(zhì)

（1）不等式日勺兩邊同步加上（或減去）同一種數(shù)或同一種整式，不等號的方向

不變（若a>b則a+c>b+c,a-c>b-c）；

（2）不等式日勺兩邊同步乘以（或除以）同一種正數(shù)，不等號的方向不變（若a

>b,c>0貝ac>bc,->-）；

cc

（3）不等式日勺兩邊同步乘以（或除以）同一種負數(shù)，不等號的方向變化（若a

>b,cVO貝!JacVbc,-c<-c）；

（4）若a>b貝ljb<a；

（5）若a>b,b>c貝Ua>c。

八、整式乘法與因式分解

L哥的運算

（1）同底數(shù)塞相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加（amXan=am+n（m,n都是正

數(shù)））；

（2）易時乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘（（a"1）n=amn（m,n都是正數(shù)））；

（3）積日勺乘方等于各因式乘方的積（（ab）n=anbn（n是正數(shù)））；

（4）同底數(shù)累相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減（am+aiam-n%關(guān)0,m,n都是正

數(shù),且m>n））o

任何一種不等于零時數(shù)的零次幕都等于1。任何一種不等于零時數(shù)的-p（p是

正數(shù)）次嘉等于這個數(shù)的p次塞的倒數(shù)。

2.整式乘法

（1）單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)募分別相乘，作為積的因式；對于只在一種

單項式里具有日勺字母，則連同它的指數(shù)作為積日勺一種因式；

（2）單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的

積相加；

（3）多項式與多項式相乘，先把一種多項式日勺每一項和另一種多項式日勺每一項

相乘，再把所得的積相加。

3.整式除法

（1）單項式相除，把系數(shù)、同底次募分別相除，作為商日勺因式；對于只在被除

式里具有日勺字母，則連同它日勺指數(shù)作為商日勺一種因式；

（2）多項式除以單項式，先把這個多項式日勺每一項除以這個單項式，再把所得

時商相加。

4.完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；

平方差公式：（a+b）（a—b）=a2—b2

5.把一種多項式化為幾種整式的I積日勺形式叫做因式分解，也叫做把這個多項式

分解因式。（提公因式法、公式法）

6.因式分解環(huán)節(jié)

（1）先看各項與否有公因式，若有，則先提取公因式；

（2）看與否可以使用公式法；

（3）分組分解法，通過度組后提取公因式或運用公式法；

（4）因式分解日勺最終止果必須是幾種整式的乘積，且不能再分解。

九、分式

1.一般地，假如a,b表達兩個整式，并且b中具有字母（b#0）,那么式子：

叫做分式，其中a叫做分式日勺分子，b叫做分式日勺分母。整式與分式統(tǒng)稱為有

理式。

2.把一種分式日勺分子與分母日勺公因式約去叫做分式日勺約分，分子與分母只有公

因式1時分式，叫做最簡分式（約分時，一般將分式化為最簡分式）。

3.異分母分式化為同分母分式的過程叫通分，一般取各分母所有因式的最高次

累的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母（若各分母的系數(shù)都是整數(shù)

時，一般取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；當(dāng)分母是多項式

時，一般先分解因式）。

4.分式的運算法則

（1）同分母日勺分式相加減，分母不變，分子相加減；

（2）異分母日勺分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜溉丈追质胶笤偌訙p；

（3）兩個分式相乘，用分子的I積作積日勺分子，分母日勺積作積日勺分母；

（4）兩個分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；

（5）分式乘方就是把分子、分母分別乘方。

混合運算法則：先乘方，再乘除，后加減；假如有括號，先進行括號里的運

算。

5.分母中具有未知數(shù)日勺方程叫做分式方程。

分式方程的解法

（1）去分母（方程兩邊同步乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程）；

（2）按解整式方程日勺環(huán)節(jié)求出未知數(shù)日勺值；

（3）驗跟（分式方程化為整式方程日勺過程中，擴大了未知數(shù)日勺取值范圍，也許

會產(chǎn)生增根，因此必須驗跟）。

十、相交線、平行線與平移

1.一種角日勺兩邊分別是另一種角日勺兩邊日勺反向延長線，這樣日勺兩個角互為對頂

角（對頂角相等）。

2.兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰

補角（兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系

日勺兩個角，叫做鄰補角）?；猷徰a角的兩個角一定互為補角，互為補角的兩

個角不一定互為鄰補角?；猷徰a角的兩個角一定互為鄰角，互為鄰角的兩個

角不一定互為鄰補角。

3.兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫另一條的垂線（過一點

有且只有一條直線垂直于已知直線），它們的交點叫做垂足。在連接直線外一

點與直線上各點的線段中，垂線段（該點與垂足形成的線段）最短，垂線段的

長度叫點到直線的距離。

4.同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。通過直線外一點，有且只有一條

直線平行于這條直線；假如兩條直線和第三條直線平行，那么這兩條直線平

行。

5.如圖，具有N1與N5這種位置關(guān)系日勺一對角叫做同位角；具有N3與N5這

種位置關(guān)系日勺一對角叫做內(nèi)錯角；具有N4與N5這種位置關(guān)系的一對角叫做同

旁內(nèi)角。

6.平行線鑒定定理

（1）同位角相等，兩直線平行；

（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；

（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

7.平行線性質(zhì):

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

8.在平面內(nèi)，一種圖形沿某個方向移動一定的距離，這種圖形的變換叫做平

移。平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到時，

這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。一種圖形和它通過平移后所得的圖形中，連接各組

對應(yīng)點的線段互相平行（或在同一條直線上）且相等。平移只變化圖形的位

置，不變化圖形的形狀和大小。

八年級上

H^一、平面直角坐標(biāo)系

1.有次序日勺兩個數(shù)a與b構(gòu)成日勺數(shù)對叫做有序數(shù)對，記做（a,b）o

2.在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點日勺數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，水平日勺

數(shù)軸叫做x軸或橫軸（取向右為正方向），豎直日勺軸叫做y軸或縱軸（取向上

為正方向），兩坐標(biāo)軸日勺交點為平面直角坐標(biāo)系日勺原點。兩條坐標(biāo)軸把平面分

為四個部分，右上叫做第一象限（符號+,+）,剩余三個按逆時針方向依次

稱為第二象限（符號-,+）,第三象限（符號-,-）,第四象限（符號

+,-）（坐標(biāo)軸上的點（即x,y軸上的點）不屬于任何一種象限）。

3.平面上的I任一點p,過p分別向x,y軸作垂線，垂足分別在x,y軸上，對應(yīng)

時數(shù)a,b分別叫做點p的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，記做p（a,b）（平面內(nèi)任意一點

p均有唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y）與之對應(yīng)，反之，對于任意一種有序?qū)崝?shù)對

（x,y）,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)均有唯一的點p與之對應(yīng)）。

4.平面直角坐標(biāo)系中的圖形平移，圖形上任意一點(x,y)日勺變化：向右移動

a(a>0)個單位(x+a,y),向左移動a(a>0)個單位(x-a,y),向上移

動b(b>0)個單位(x,y+b),向下移動b(b>0)個單位(x,y-b)0

十二、一次函數(shù)

1.數(shù)值不停變化的量為變量，數(shù)值一直不變的量為常量。

2.一般地，設(shè)在一種變化過程中日勺兩個變量x,y,假如對于x在它容許日勺取值

范圍內(nèi)日勺每一種值，y均有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是

x日勺函數(shù)(體現(xiàn)函數(shù)關(guān)系重要有列表法、解析法(體現(xiàn)式)與圖像法)，當(dāng)x=a

時，y=b,那么b叫做當(dāng)自變量x時值為a時日勺函數(shù)值。

3.形如y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k#0)口勺函數(shù)叫做一次函數(shù)(x是自變量，y

是因變量)。當(dāng)b=0時，稱y是x日勺正比例函數(shù)，其一般式為y=kx(kWO),

其圖像是通過原點的一條直線。

4.一次函數(shù)的性質(zhì)

(1)當(dāng)k>0時，y隨xBtl增大而增大；

(2)當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小。

5.一次函數(shù)的圖像

當(dāng)k>0時

(1)k>0,b>0,直線圖像位于一二三象限;

(2)k>0,b=0,直線圖像位于一三象限；

(3)k>0,b<0,直線圖像位于一三四象限;

當(dāng)k<0時

(1)k<0,b>0,直線圖像位于一二四象限;

(2)k<0,b=0,直線圖像位于二四象限；

(3)k<0,b<0,直線圖像位于二三四象限。

6.直線y=kx+b與y軸相交于點(0,b),b叫做直線y=kx+b在y軸上日勺截

距。

7.直線y=kx+b相稱于y=kx平移|b|個單位長度(b>0向上平移，b<0向下

平移)。

8.先設(shè)所求一次函數(shù)體現(xiàn)式為丫=1?+6(k,b是待確定日勺系數(shù))，根據(jù)已知條件

列出有關(guān)k,b的方程組，求k,b的值。這種確定體現(xiàn)式中系數(shù)日勺措施叫做待

定系數(shù)法。

9.自變量在不一樣取值范圍內(nèi)表達函數(shù)關(guān)系式日勺體現(xiàn)式有不一樣日勺形式，這樣

時函數(shù)稱為分段函數(shù)。

十三、三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明

1.由不在同一條直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的封閉圖形叫做三角形。如

下圖所示，點A,B,C叫做這個三角形的頂點；線段AB,AC,BC叫做這個

三角形的邊；NA,NB,NC叫做這個三角形的內(nèi)角。我們將這個三角形記作

“△ABC”，讀作“三角形ABC”

2.三條邊互不相等的三角形叫做不等邊三角形；兩條邊相等的三角形叫做等腰

三角形（等腰三角形中，相等的兩邊叫腰，第三邊叫底邊；兩條腰的夾角叫做

頂角，腰于底邊的夾角叫做底角）；三條邊相等的三角形叫做等邊三角形（等

邊三角形是等腰三角形的特例）。

3.三個角都是銳角日勺三角形叫做銳角三角形；有一種角是直角日勺三角形叫做直

角三角形（夾直角的兩邊叫做直角邊，直角相對的邊叫做斜邊，直角三角形

ABC可寫成RtZ\ABC）；有一種角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。

4.三角形中，一種角的平分線與這個角的對邊相交，頂點與交點之間日勺線段叫

做三角形的角平分線；連接一種頂點與它對邊中點日勺線段叫做三角形的中線

（三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心）；從三角形一種

頂點到它對邊所在直線日勺垂線段叫做三角形的高線，也叫三角形的高。

5.三角形日勺一條邊與另一條邊日勺反向延長線構(gòu)成日勺角，叫做三角形的外角。

6.（1）三角形中任何兩邊日勺和不小于第三邊；

（2）三角形中任何兩邊的差不不小于第三邊；

（3）三角形的內(nèi)角和為180°；

（4）直角三角形的兩銳角互余（兩銳角互余的三角形是直角三角形）；

（5）三角形的外角與其相鄰內(nèi)角互補，不小于與它不相鄰的任何一種內(nèi)角，等

于不相鄰兩內(nèi)角的和。

7.對某一事件做出對的或不對的判斷日勺語句叫做命題；對日勺的命題叫做真命

題，錯誤日勺命題叫做假命題。命題常寫成“假如…那么…”日勺形式，“假如

p,那么q"，或者說成“若p,則q"，其中p叫做這個命題日勺條件（或題

設(shè)），q是這個命題日勺結(jié)論（或題斷）。將命題“假如p,那么q”中日勺條件與

結(jié)論互換得到新命題“假如q,那么p"，這樣日勺兩個命題叫做互逆命題，其中

一種叫原命題，另一種叫做原命題的I逆命題。符合命題條件，但不符合命題結(jié)

論的例子，我們稱之為反例（要闡明一種命題是假命題只需舉出一種反例即

可）。有些命題是由基本領(lǐng)實或其他真命題出發(fā)用推理措施判斷為對日勺日勺，并

被選作判斷命題真假日勺根據(jù)，這樣日勺真命題叫做定理。從已知條件出發(fā)，根據(jù)

定義、基本領(lǐng)實、已證定理，并按照邏輯規(guī)則推導(dǎo)出結(jié)論日勺措施稱為演繹推

理，演繹推理日勺過程，就是演繹證明，簡稱證明。

8.由于需要而在原圖形上添畫日勺線叫做輔助線，輔助線一般畫為虛線。

十四、全等三角形

1.可以完全重疊日勺兩個圖形，叫做全等形。兩個三角形的形狀、大小都同樣

時，其中一種可以通過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運動使之與另一種重疊，這兩個三

角形稱為全等三角形。全等三角形中互相重疊的邊叫做對應(yīng)邊，互相重疊日勺角

叫做對應(yīng)角，互相重疊日勺頂點叫做對應(yīng)頂點。

2.全等三角形的性質(zhì)

（1）對應(yīng)邊相等；

（2）對應(yīng)角相等。

3.記兩個三角形全等時，一般把表達對應(yīng)頂點日勺字母寫在對應(yīng)口勺位置上，如4

ABC和4DEF全等，記作AABC四△DEF,讀作“Z\ABC全等于aDEF”。

4.全等三角形的鑒定

（1）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等（簡記為“邊角邊”或“SAS”

（S表達邊，A表達角））；

（2）兩角及其夾邊分別相等日勺兩個三角形全等（簡記為“角邊角”或

“ASA”）；

（3）三邊分別相等的兩個三角形全等（簡記為“邊邊邊”或“SSS”）；

（4）兩角分別相等且其中一組等角日勺對邊相等日勺兩個三角形全等（簡記為“角

角邊”或“AAS”）；

（5）斜邊與一條直角邊分別相等日勺兩個直角三角形全等（簡記為“斜邊、直角

邊”或“HL”）o

十五、軸對稱圖形與等腰三角形

1.假如一種平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁日勺部分可以完全重疊，那么

這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，折疊后重疊日勺兩點叫做對應(yīng)

點。

2.通過線段日勺中點并且垂直于這條線段日勺直線叫做這條線段日勺垂直平分線，又

叫做線段日勺中垂線。

垂直平分線性質(zhì)

（1）線段垂直平分線上的點到線段兩端日勺距離相等；

（2）到線段兩端距離相等時點在線段的垂直平分線上。

3.一般地，假如兩個圖形有關(guān)某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點

所連線段的垂直平分線；反之，成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱

軸垂直平分。

4.等腰三角形性質(zhì)

（1）等腰三角形日勺兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）；

（2）等腰三角形頂角日勺平分線垂直平分底邊（等腰三角形頂角日勺角平分線、底

邊上日勺高、底邊上日勺中線互相重疊，簡稱“三線合一”）。

5.等腰三角形鑒定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等

邊”）0

6.等邊三角形性質(zhì)

（1）等邊三角形三個內(nèi)角相等，每一種內(nèi)角都等于60°；

（2）等邊三角形任何一內(nèi)角日勺角平分線于該內(nèi)角日勺對應(yīng)邊上日勺高和中線互相重

疊。

7.等邊三角形鑒定

（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一種角是60°日勺等腰三角形是等邊三角形；

（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形；

（4）三條邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）。

8.直角三角形中，假如一種銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的

二分之一。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的二分之一。

9.角平分線性質(zhì)

(1)角平分線上時點到角時兩邊的距離相等；

(2)角日勺內(nèi)部到角的兩邊日勺距離相等時點在該角日勺角平分線上。

八年級下

十六、二次根式

1.二次根式日勺性質(zhì)

(1)(?)2=a(aNO)

(2)VaA2=|a|=a(aNO)；VaA2=|a|=~a(a<0)

2.二次根式時乘除運算

(1)二次根式的I乘法：假如aNO,bNO,那么有?>孤=府(可寫成

Vab=VaxVb(aNO,bNO))

(2)二次根式的除法：假如心0,b>0,那么有祟H(可寫成嚓

VbVb

0,b>0))

3.滿足下列兩個條件日勺二次根式稱為最簡二次根式

(1)被開方數(shù)的因數(shù)是正數(shù)，因式是整式；

(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方日勺因數(shù)或因式。

有時需將被開方數(shù)分解因式；當(dāng)一種式子的分母中具有二次根式時，一般應(yīng)把

分母有理化。

4.二次根式附加減運算，先將各個二次根式化成最簡，再把同類二次根式合

并。

十七、一元二次方程

1.只具有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次

方程，一般形式(原則形式)：ax2+bx+c=0(aWO),其中ax?叫做二次項，a

叫做二次項的系數(shù)；bx叫做一次項，b是一次項的系數(shù)；c叫做常數(shù)項。

2.解一元二次方程

(1)配措施：對原一元二次方程配方，使它出現(xiàn)完全平方公式后，再開平方求

解;

(2)因式分解法：通過因式分解，將一種一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方

程來求解;

(3)公式法：一元二次方程ax'bx+cR(aWO且b2-4ac20)

2

▽X=-b±=-V-b---4-a-c(b2-4ac^0)

2a

3.一元二次方程ax,bx+cR(aWO)根日勺狀況由b?-4ac來確定。我們把b?-

4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)根的鑒別式，一般用符號△表達,

即△=t)2-4ac。

(1)當(dāng)△>?時，有兩個不相等日勺實數(shù)根

▽-b+Vb2-4ac▽-b-Vb2-4ac

Xi=--------,x=--------

2a22a

(2)當(dāng)△=()時，有兩個相等日勺實數(shù)根

Xi=X2=一=

2a

(3)當(dāng)△<()時，沒有實數(shù)根

4.韋達定理：假如ax2+bx+c=0(aWO)日勺兩個根為X1，X,那么X1+X2=-2

2a

c

X1X2二一a。

十八、勾股定理

1.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。假如直角三角

222

形的兩條直角邊用a,b表達，斜邊用c表達，則勾股定理可表達為a+b=co

2.勾股定理逆定理：假如三角形兩邊的平方和等于第三邊日勺平方，那么這個三

角形是直角三角形。

3.可以成為直角三角形三條邊長度日勺三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

十九、四邊形

1.在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上日勺線段首尾順次相接構(gòu)成日勺封閉圖形

叫做多邊形，構(gòu)成多邊形日勺線段叫做多邊形的邊，相鄰兩邊日勺公共端點叫做多

邊形的頂點，相鄰兩邊構(gòu)成的角叫做多邊形的內(nèi)角，頂點處一邊與另一邊的I延

長線所構(gòu)成日勺角叫做多邊形的外角，多邊形中連接不相鄰兩個頂點日勺線段叫做

多邊形時對角線。

2.n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）X180°；n邊形的外角和等于360°（n為不

不不小于3的整數(shù)）。

3.兩組對邊分別平行日勺四邊形叫做平行四邊形。

4.兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線日勺距離叫做這兩條平行線

之間的距離。

5.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形日勺對邊相等；

（2）平行四邊形的對角相等；

（3）平行四邊形日勺對角線互相平分。

6.平行四邊形的鑒定

（1）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）對角線互相平分日勺四邊形是平行四邊形；

（4）兩組對角分別相等日勺四邊形是平行四邊形；

（5）兩組對邊分別平行日勺四邊形是平行四邊形（定義）。

7.連接三角形兩邊中點日勺線段叫做三角形日勺中位線。

三角形中位線定理：三角形兩邊中點連線平行于第三邊，并且等于第三邊的二

分之，

三角形的三條中線相交于一點（重心），這點和各邊中點的距離等于對應(yīng)各邊

上中線的三分之一。

8.有一種角是直角日勺平行四邊形叫做矩形。

9.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的四個角都是直角；

（2）矩形日勺對角線相等且互相平分（推論：直角三角形斜邊上日勺中線等于斜邊

日勺二分之一）。

10.矩形的鑒定

（1）對角線相等日勺平行四邊形是矩形；

（2）三個角是直角的四邊形是矩形；

（3）有一種角是直角日勺平行四邊形叫做矩形（定義）；

（4）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形。

11.有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

12.菱形的性質(zhì)

（1）菱形日勺四條邊都相等；

（2）菱形的對角線互相垂直；

（3）菱形的每一條對角線平分一組對角。

13.菱形的鑒定

（1）四邊都相等日勺四邊形是菱形；

（2）對角線互相垂直日勺平行四邊形是菱形；

（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（定義）；

（4）一條對角線平分一組對角日勺平行四邊形是菱形。

14.有一種角是直角，且有一組鄰邊相等日勺平行四邊形叫做正方形。

15.正方形的性質(zhì)

（1）正方形日勺四條邊都相等，四個角都是直角；

（2）正方形日勺對角線相等且互相垂直平分；

（3）正方形既是矩形，又是菱形。

16.正方形的鑒定

（1）鄰邊相等日勺矩形是正方形；

（2）有一種角是直角日勺菱形是正方形；

（3）對角線互相垂直日勺矩形是正方形；

（4）鄰邊相等且有一種角是直角日勺平行四邊形是正方形（定義）；

（5）對角線相等日勺菱形是正方形。

17.只有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形，有一種角是直

角的梯形叫做直角梯形，兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

18.等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形日勺兩腰相等；

（2）等腰梯形日勺對角線相等；

（3）等腰梯形同一底邊上日勺兩個角相等。

19.等腰梯形的鑒定：同一底上兩個角相等日勺梯形是等腰梯形。

二十、數(shù)據(jù)的初步分析

1.我們把一批數(shù)據(jù)中落在某個小組內(nèi)數(shù)據(jù)日勺個數(shù)稱為這個組日勺頻數(shù)。某一組數(shù)

據(jù)的頻數(shù)與這批數(shù)據(jù)的個數(shù)日勺比值叫做這組數(shù)據(jù)的I頻率。

2.畫出互相垂直日勺兩條直線，用橫軸表達分組狀況，縱軸表達頻數(shù)，繪出對應(yīng)

日勺長方形條，就得到了頻數(shù)直方圖。

3.n個數(shù)日勺和除以n所得日勺值叫做這組數(shù)據(jù)日勺平均數(shù)。一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)據(jù)出

現(xiàn)日勺次數(shù)叫做該數(shù)據(jù)日勺權(quán)（反應(yīng)了該數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的比重/重要程度）。各

數(shù)據(jù)乘權(quán)后累加所得日勺和除以權(quán)值和所得到日勺值叫做加權(quán)平均數(shù)。

4.將一組數(shù)據(jù)按大小次序排列后，位于正中間日勺一種數(shù)據(jù)（當(dāng)數(shù)據(jù)日勺個數(shù)是奇

數(shù)時）或正中間兩個數(shù)據(jù)日勺平均數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)日勺個數(shù)是偶數(shù)時）叫做這組數(shù)據(jù)的

中位數(shù)。一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。

5.一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)日勺差叫做這組數(shù)據(jù)日勺極差。

6.n個數(shù)據(jù)中，各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)差日勺平方日勺和除以n所得到日勺值叫做這組數(shù)

據(jù)的方差。一組數(shù)據(jù)方差越大，闡明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大。方差越大，數(shù)

據(jù)的波動越大，方差越小，數(shù)據(jù)的波動越小，越穩(wěn)定。方差的平方根稱為原則

差。

九年級上

二十一、二次函數(shù)與反比例函數(shù)

1.一般地，體現(xiàn)式形如y=ax4bx+c(a,b,c是常數(shù)，且a20)的I函數(shù)叫做x

日勺二次函數(shù)，其中x是自變量。

2.二次函數(shù)日勺解析式日勺三種形式

(1)一般式：y=ax2+bx+c(aWO)

(2)頂點式：y=a(x+—)2+4ac-b2(aWO)或y=a(x-h)2+k(aWO)

2a4a

(3)交點式:y=a(x-xi)(x-x2)(aWO)

3.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

函數(shù)y=ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，且aWO）

圖像a>0a<0

QJA

1

性質(zhì)拋物線向上開口，并向拋物線向下開口，并向

上無線延伸下無線延伸

對稱軸X=-y-，頂點對稱軸X=■2頂點

2a2a

4ac-bA2)(-乙4ac-bA2)

2a4a2a4a

當(dāng)x>-9時，y隨x的;當(dāng)x>-9時，y隨x的;

2a2a

增大而增大；當(dāng)X〈-匕增大而減?。划?dāng)X〈-匕

2a2a

時，y隨x的1增大而減小時，y隨x的)增大而增大

拋物線有最低點，當(dāng)x=拋物線有最高點，當(dāng)x=

AA

bn_r._4ac-b2bnr4ac-b2

r，y

一c2a里最小值4a1一o2a日寸，y最大值4a，

4.二次函數(shù)的平移

上加下減，左加右減

5.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式一般運用待定系數(shù)法。用待定系數(shù)法求二次

函數(shù)的解析式，必須根據(jù)題目特點選擇合適日勺形式。

(1)已知拋物線上三點的I坐標(biāo)，一般設(shè)解析式為y=ax4bx+c(aWO)；

(2)已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值，一般設(shè)解析式為y=a(x-h)

2+k（a￥0）；

（3）已知拋物線與X軸的I兩個交點，一般設(shè)解析式為y=a（x-xi）（x-X2）

（a邦）

6.二次函數(shù)與一元二次方程

拋物線y=ax2+bx+c與x軸的I交點的I橫坐標(biāo)Xi,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0

（ar0）時根。

當(dāng)y=0時，拋物線y=ax2+bx+c便轉(zhuǎn)化為一元二次方程ax2+bx+c=0（a和）。

（1）當(dāng)bZ4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等時實根，二次函數(shù)圖像與x

軸有兩個交點；

（2）當(dāng)bZ4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數(shù)圖像與x軸

有一種交點；

（3）當(dāng)b2-4ac<0時，一元二次方程有無實根，二次函數(shù)圖像與x軸沒有交

點。

7.一般地，體現(xiàn)式形如丫=上（k為常數(shù)且k/））的函數(shù)叫做反比例函數(shù)；反比例

X

函數(shù)的圖像是雙曲線；反比例函數(shù)圖像既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形（兩

條對稱軸y=x,y=-x,對稱中心為原點）。

8.反比例函數(shù)性質(zhì)

（1）當(dāng)k>0時，函數(shù)圖像位于第一、三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值日勺增

大而減小；

（2）當(dāng)k<0時，函數(shù)圖像位于第二、四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增

大而增大。

二十二、相似性

1.在四條線段a,b,c,d中，假如其中兩條線段a,b的比，等于此外兩條線

段c,d日勺比，即(或a：b=c：d),那么這四條線段叫做成比例線段，簡

稱比例線段。這時，線段a,b,c,d叫做構(gòu)成比例日勺項，線段a,d叫做比例

外項，線段b,c叫做比例內(nèi)項。若￡=［即b?=ac,那么線段b叫做線段a,c

的比例中項。

2.基本性質(zhì)

(1)假如：=：，那么ad=bc(b,dWO)；反之也成立，即假如ad=bc,那么：

bdb

(2)合比性質(zhì):假如旬今那么平=答(b,dWO)；

⑶等比性質(zhì):假如

al

bl

3.把一條線段提成兩部分，使其中較長線段為全線段與較短線段的比例中項，

這樣日勺線段分割叫做黃金分割，分割點叫做這條線段日勺黃金分割點，比值個

叫做黃金數(shù)(即線段AB上找一點P,APJABXBP)。

4.兩條直線被平行線段所截，所得的對應(yīng)線段成比例；平行于三角形一邊的

直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。

5.一般地，兩個邊數(shù)相似的多邊形，假如它們?nèi)丈讓?yīng)角相等，對應(yīng)邊長度日勺比

相等，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊長度日勺比叫做相

似比或相似系數(shù)。

6.相似三角形的鑒定

（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊日勺延長線）相交，截得的三

角形與原三角形相似；

（2）假如一種三角形日勺兩個角分別與另一種三角形日勺兩個角對應(yīng)相等，那么這

兩個三角形相似（兩角分別相等日勺兩個三角形相似）；

（3）假如一種三角形日勺兩條邊與另一種三角形日勺兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角

相等，那么這兩個三角形相似（兩邊成比例且夾角相等日勺兩個三角形相似）；

（4）假如一種三角形日勺三條邊與另一種三角形日勺三條邊對應(yīng)成比例，那么這

兩個三角形相似（三邊成比例的兩個三角形相似）；

（5）假如一種直角三角形日勺斜邊和一條直角邊與另一種直角三角形日勺斜邊和

一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似。

7.相似三角形的性質(zhì)

（1）相似三角形對應(yīng)高日勺比、對應(yīng)中線日勺比和對應(yīng)角平分線日勺比都等于相似

比；

（2）相似三角形周長日勺比等于相似比；

（3）相似三角形面積日勺比等于相似比的平方；

（4）相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。

8.圖形的位似變換

一般地，假如一種圖形上的點Ai,Bi,…，Pi和另一種圖形上的點A,

B,…，P分別對應(yīng)，并且滿足下面兩點：（1）直線AAi,BBi,…，PPi都通

過同一點0;（2）段=要=…=要=k那么這兩個圖形叫做位似圖形，點

0叫做位似中心。

二十三、解直角三角形

1.如下圖所示，在RtAABC中，銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA日勺正切，記

做tanA,即tanA=；；銳角A的;對邊與斜邊區(qū)!比叫做NA日勺正弦，記做sinA,

即sinA=2；銳角A日勺鄰邊與斜邊的;比叫做NA日勺余弦，記做cosA,即cosA=

C

銳角A的正弦、余弦、正切都叫做銳角A日勺三角函數(shù)。

C

b

2.坡面的鉛直高度h和水平長度L的比叫做坡面日勺坡度（或坡比），記作i,即

i=p坡面與水平面日勺夾角叫做坡角，記作a,于是有tana=：=i。顯然，坡

度越大，坡角a越大，坡面越抖。

3.特殊角的三角函數(shù)值

a30°45°60°

sina1V2V3

2TT

cosaV3V21

TT2

tanaV3iV3

T

4.任意一種銳角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值。

5.在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角

三角形。

九年級下

二十五、圓

1.一種圖形繞著一種定點，旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到另一種圖形的變換，叫做旋

轉(zhuǎn)，定點叫旋轉(zhuǎn)中心，這個角度叫旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)前后圖形上對應(yīng)的兩點叫對應(yīng)

點。

一種圖形和它通過旋轉(zhuǎn)所得到的圖形中，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；兩組

對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動

的點。在平面內(nèi)，一種圖形繞著一種定點旋轉(zhuǎn)一定日勺角度后，可以與原圖重

疊，這樣日勺圖叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點就是旋轉(zhuǎn)中心。

2.假如把一種圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重疊，那么稱這個圖形為

中心對稱圖形；假如把一種圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一種圖形重

疊，那么稱這兩個圖形成中心對稱。

中心對稱的性質(zhì)

（1）有關(guān)中心對稱日勺兩個圖形是全等形；

（2）有關(guān)中心對稱日勺兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或者在同一直線上）且相等；

（3）有關(guān)中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點連線都通過對稱中心，并且被對稱中心

平分。

3.一種圖形旋轉(zhuǎn)360。是一種恒等變換。

4.線段繞著它日勺一種端點旋轉(zhuǎn)一周所得到日勺封閉曲線叫做圓。假設(shè)線段OP,固

定點O,則O稱為圓心，線段OP叫做半徑，以O(shè)點為圓心日勺圓，記做“。

O”，讀作“圓O”。圓上任意兩點間日勺部分叫做圓弧，簡稱弧，用表

達，圓上任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一種弧都叫半圓，不小于

半圓時弧叫做優(yōu)?。ㄒ话阌萌齻€字母表達），不不小于半圓時弧叫做劣弧。連

接圓上任意兩點日勺線段叫做弦，通過圓心日勺弦叫做直徑。由弦及其所對弧構(gòu)成

的圖形叫做弓形?？梢灾丿B日勺兩個圓叫做等圓，等圓日勺半徑相等。圓心到弦日勺

距離叫做弦心距。頂點在圓心日勺角叫做圓心角。

同圓中，半徑相等，直徑等于半徑的2倍；同圓或等圓中，可以互相重疊的弧

叫做等弧。

定理：（1）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條?。?/p>

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；

（3）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的

弦心距相等；

（4）在同圓或等圓中，假如兩個圓心角以及這兩