江西省名師聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題文含解析

PAGE20-江西省名師聯(lián)盟2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試試題文（含解析）留意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆干脆答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求解出集合，再依據(jù)交集的定義得到結(jié)果.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)為虛數(shù)單位，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出，進(jìn)而計(jì)算即可.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及模的求法，考查計(jì)算實(shí)力．3.若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本道題結(jié)合指數(shù),對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),結(jié)合1和對(duì)數(shù)單調(diào)性進(jìn)行推斷,即可.【詳解】,,故,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)比較大小，可以結(jié)合1以及對(duì)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行比較，難度中等．4.斐波那契數(shù)列滿意：.若將數(shù)列的每一項(xiàng)依據(jù)下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A,由圖可知，，可得，A正確；對(duì)于B,,所以B正確；對(duì)于C,時(shí)，；C錯(cuò)誤；對(duì)于D,,D正確.故選C.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)命題真假的推斷考察數(shù)列的各種性質(zhì)及數(shù)學(xué)化歸思想，屬于難題.該題型往往出現(xiàn)在在填空題最終兩題，綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋稽c(diǎn)學(xué)問駕馭不牢就導(dǎo)致本題“全盤皆輸”，解答這類問題首先不能慌亂更不能因貪快而審題不清，其次先從最有把握的命題入手，最終集中力氣攻堅(jiān)最不好理解的命題.5.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先推斷函數(shù)的奇偶性，再依據(jù)與的性質(zhì)，確定函數(shù)圖象【詳解】，定義域?yàn)?，，所以函?shù)是偶函數(shù)，解除A、C，又因?yàn)榍医咏鼤r(shí)，，且，所以，選擇B【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識(shí)可以從以下方面入手：1.從函數(shù)定義域，值域推斷；2.從函數(shù)的單調(diào)性，推斷改變趨勢(shì)；3.從函數(shù)的奇偶性推斷函數(shù)的對(duì)稱性；4.從函數(shù)的周期性推斷；5.從函數(shù)的特征點(diǎn)，解除不合要求的圖象6.數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，.7.已知，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由條件求出和，然后算出即可.【詳解】由于，∴，∴，，∴，∴.故選：B【點(diǎn)睛】在解決本類題時(shí)，要擅長(zhǎng)視察角之間的關(guān)系，一般用已知角來表示所求角.8.如圖所示是某多面體的三視圖，左上為正視圖，右上為側(cè)視圖，左下為俯視圖，且圖中小方格單位長(zhǎng)度為1，則該多面體的側(cè)面最大面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可知多面體是棱長(zhǎng)為2的正方體中的三棱錐，分別計(jì)算4個(gè)面的面積，即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知多面體是棱長(zhǎng)為2的正方體中的三棱錐，故，，，，，∴，，，∴該多面體的側(cè)面最大面積為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，考查三角形面積的計(jì)算，考查空間想象實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.9.將一個(gè)總體分為甲、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶4∶1，若用分層抽樣的方法抽取容量為250的樣本，則應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為（）A.25 B.35 C.75 D.100【答案】A【解析】【分析】算出丙層所占的比例即可【詳解】因?yàn)榧?、乙、丙三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶4∶1，所以丙層所占的比例為，所以應(yīng)從丙層中抽取的個(gè)體數(shù)為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是分層抽樣，較簡(jiǎn)潔.10.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則的面積取得最小值時(shí)有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由條件、正弦定理及面積公式得出，然后利用基本不等式求出最值及取得最值時(shí)的值，然后再用余弦定理算出【詳解】由已知有，依據(jù)正弦定理得，又，即，由于，即有，即有，由于，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)，，取最小值，又（為銳角），則，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查的是正余弦定理、三角形的面積公式及基本不等式，屬于綜合題.11.已知雙曲線，過點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)（點(diǎn)與雙曲線的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)的方程為，由可得，然后代入雙曲線方程可得，同理可得，即是方程的兩根，然后利用韋達(dá)定理即可解出來.【詳解】由題意知直線的斜率存在且不等于零，設(shè)的方程為，則.又，∴，故，得，∵在雙曲線上，∴，整理得，同理得.若，則直線過雙曲線的頂點(diǎn)，不合題意，∴，∴是方程的兩根，∴，∴，此時(shí)，∴，點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)學(xué)問的實(shí)力.12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】先推斷出是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，然后將轉(zhuǎn)化為，即可用單調(diào)性去掉得到，然后只需求出左邊的最大值即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，所以是奇函?shù)又所以可推斷出在上單調(diào)遞增不等式恒成立，等價(jià)于，得，即，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極大值也是最大值，最大值為，所以，得.又，則.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)中的應(yīng)用和函數(shù)的概念與性質(zhì)，較綜合.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.已知變量滿意約束條件，若，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先畫出可行域，然后即，通過圖象可以得出.【詳解】由圖可知.∵，，∴的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是線性規(guī)劃的學(xué)問，較簡(jiǎn)潔14.已知向量的夾角為，且，則_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算法則干脆計(jì)算即可【詳解】依題有.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)量積的計(jì)算，較簡(jiǎn)潔.15.四面體中，底面，，，則四面體的外接球的表面積為______【答案】【解析】【分析】由題意畫出圖形，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，求其對(duì)角線長(zhǎng)，可得四面體外接球的半徑，則表面積可求．【詳解】解：如圖，在四面體中，底面，，，可得，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為1，1，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球表面積的求法，補(bǔ)形是關(guān)鍵，屬于中檔題．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，其中為常數(shù)，若，則數(shù)列中的項(xiàng)的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由求得再利用公式求出，依據(jù)求得從而可得結(jié)果.【詳解】,,,①時(shí)，，②②-①化為，所以是公比為2的等比數(shù)列，，由，可得，解得，即中的項(xiàng)的最小值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的定義，數(shù)列的最小項(xiàng)，屬于難題.已知數(shù)列前項(xiàng)和，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用公式，將所給條件化為關(guān)于前項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿意等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列是等比數(shù)列，且；（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出其通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，運(yùn)用等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式可得數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和．【詳解】（1）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，可得，解得，即有，即，可得數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，可得；（2），所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？紝W(xué)問點(diǎn)，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特別數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.18.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，分別是的中點(diǎn)．（1）求證:平面平面；（2）求證:平面；（3）求三棱錐體積．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【解析】試題分析：（1）由直線與平面垂直證明直線與平行的垂直；（2）證明直線與平面平行；（3）求三棱錐的體積就用體積公式.（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面，因?yàn)锳B平面，所以平面平面.（2）取AB中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是、的中點(diǎn)，所以FG∥AC，且FG=AC，因?yàn)锳C∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，所以四邊形為平行四邊形，所以EG，又因?yàn)镋G平面ABE，平面ABE，所以平面.（3）因=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，所以三棱錐的體積為：==.考點(diǎn)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求解等基礎(chǔ)學(xué)問，考查同學(xué)們的空間想象實(shí)力、推理論證實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力、邏輯推理實(shí)力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．19.某學(xué)校有40名中學(xué)生參與足球特長(zhǎng)生初選，第一輪測(cè)身高和體重，其次輪足球基礎(chǔ)學(xué)問問答，測(cè)試員把成果（單位：分）分組如下：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)成果平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從成果在第3，4，5組的中學(xué)生中抽取6名組成一個(gè)小組，若再?gòu)倪@6人中隨機(jī)選出2人擔(dān)當(dāng)小組負(fù)責(zé)人，求這2人來自第3，4組各1人的概率.【答案】（1）成果的平均值為87.25；（2）.【解析】【分析】（1）先由全部矩形面積和為1求出，然后算出平均值即可（2）先算出抽取的6人中第3，4，5組的人數(shù)分別為3，2，1，然后得出全部的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)和列出這2人來自第3，4組各1人的基本領(lǐng)件即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以成果的平均值為?）第3組學(xué)生人數(shù)為，第4組學(xué)生人數(shù)為，第5組學(xué)生人數(shù)為，所以抽取的6人中第3，4，5組的人數(shù)分別為3，2，1.第3組的3人分別記為，第4組的2人分別記為，，第5組的1人記為，則從中選出2人的基本領(lǐng)件為共15個(gè)，記“從這6人中隨機(jī)選出2人擔(dān)當(dāng)小組負(fù)責(zé)人，這2人來自第3，4組各1人”為事務(wù)，則事務(wù)包含的基本領(lǐng)件為，，，，，，共6個(gè)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查的是頻率分布直方圖和古典概型的學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.20.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的下焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).（1）以為直徑的圓與相切，求該圓的半徑；（2）在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，.【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元可得，，算出，由以為直徑的圓與相切可得，解出即可（2）設(shè)，可算出，要為常數(shù)則有，解出即可【詳解】由題意可設(shè)直線的方程為，由消去，得，則恒成立，，，，.（1），線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵以為直徑的圓與相切，∴，解得，此時(shí)，∴圓的半徑為.（2）設(shè)，，由，得，，∴軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】涉及橢圓的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采納“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.21.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為.（1）求，的值；（2）若對(duì)隨意的，恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1），；（2）3【解析】【分析】（1）依據(jù)切線方程可求得且，從而構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）利用分別變量的方式可得在上恒成立；令，，通過導(dǎo)數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而可得，可求得，則，得到所求結(jié)果.【詳解】（1）由得：由切線方程可知：，，解得：，（2）由（1）知?jiǎng)t時(shí)，恒成立等價(jià)于時(shí)，恒成立令，，則.令，則當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，即正整數(shù)的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)在某一點(diǎn)處的切線方程求解函數(shù)解析式、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題.解決恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過分別變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最值，從而求得結(jié)果.請(qǐng)考生在22、23兩題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題記分.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線.（1）寫出曲線和的一般方程；（2）若曲線上有一動(dòng)點(diǎn)，曲線上有一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)，能求出曲線C1的一般方程；由曲線．能求出曲線C2