




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文檔簡(jiǎn)介
解直角三角形及其應(yīng)用(第4課時(shí))人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題的一般過程是:(1)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題);(2)根據(jù)問題中的條件,適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形;(3)得到數(shù)學(xué)問題的答案;(4)得到實(shí)際問題的答案.方向角在測(cè)繪、地質(zhì)與地球物理勘探、航空、航海及部隊(duì)行進(jìn)等方面應(yīng)用廣泛.你知道怎樣利用方向角測(cè)量?jī)傻氐木嚯x嗎?一般地,方向角是指目標(biāo)與參照物所在的直線和南北方向所在的直線所夾的銳角.利用方向角,根據(jù)已知條件構(gòu)造直角三角形,然后通過解直角三角形就可得出所求兩地的距離.點(diǎn)A
在點(diǎn)O
的北偏東60°方向,點(diǎn)B
在點(diǎn)O
的南偏東45°方向(東南方向),點(diǎn)C
在點(diǎn)O
的南偏西80°方向,點(diǎn)D
在點(diǎn)O
的北偏西30°方向.南偏東45°也稱為東南方向;南偏西45°也稱為西南方向;北偏西45°也稱為西北方向;北偏東45°也稱為東北方向.特別注意(1)方向角通常是以南北方向線為基準(zhǔn),一般習(xí)慣說成“南偏東(西)”或“北偏東(西)”.(2)觀測(cè)點(diǎn)不同,所得的方向角也不同,但各個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的南北方向線是互相平行的,因此,通常借助于此性質(zhì)進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)換.例1
如圖,一艘海輪位于燈塔P
的北偏東65°方向,距離燈塔80
n
mile
的A
處,它沿正南方向航行一段時(shí)間后,到達(dá)位于燈塔P
的南偏東34°方向上的B
處.這時(shí),B
處距離燈塔P
有多遠(yuǎn)(結(jié)果取整數(shù))?分析:能確定的線段和角有:___________________________________.要求解的是:________________.∠A=65°,PA=80
n
mile,∠B=34°線段PB
的長(zhǎng)度解:如圖,在Rt△APC
中,PC
=PA·sin
65°≈72.505(n
mile).在Rt△BPC
中,∠B=34°,∵sin
B=
,∴PB=
≈130(n
mile).因此,當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P
的南偏東34°方向時(shí),它距離燈塔P
大約130
n
mile.例2
海中有一個(gè)小島A,它周圍8
n
mile
內(nèi)有暗礁.漁船跟蹤魚群由西向東航行,在B
點(diǎn)測(cè)得小島A
在北偏東60°方向上,航行12
n
mile
到達(dá)D
點(diǎn),這時(shí)測(cè)得小島A
在北偏東30°方向上,如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,有沒有觸礁的危險(xiǎn)?EFC解:如圖,過A
點(diǎn)作AE⊥BD
于點(diǎn)E,過D
點(diǎn)作DC∥AE,則AE
是點(diǎn)A
到BD
的最短距離,且
CD//AE//BF.∴∠BAE=∠ABF=60°,∠DAE=∠ADC=30°.∴∠ABE=∠BAD=30°.∴AD=BD=12
n
mile.∴AE=AD·sin
60°=12×=6
(n
mile).∵6
>8,∴如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行,沒有觸礁的危險(xiǎn).EFC解題思路解答關(guān)于方向角的應(yīng)用題時(shí),對(duì)于非直角三角形問題,可以通過作輔助線轉(zhuǎn)化成直角三角形問題來解決.多利用正北、正南、正東、正西方向線構(gòu)造直角三角形,注意所作的輔助線盡量不分割已知的特殊角.例3
如圖,隨著我市鐵路建設(shè)進(jìn)程的加快,現(xiàn)規(guī)劃從A
地到B
地有一條筆直的鐵路通過,但在附近的C
處有一個(gè)大型油庫.現(xiàn)測(cè)得油庫C
在A
地的北偏東60°方向上,在B
地的西北方向上,B
地在A
地的正東方向上,AB
的距離為250(
+1)m.已知在以油庫C
為中心,半徑為200
m
的范圍內(nèi)施工均會(huì)對(duì)油庫的安全造成影響.問:若在此路段修建鐵路,油庫C
是否受到影響?請(qǐng)說明理由.解:如圖,過點(diǎn)C
作CD⊥AB
于點(diǎn)D.由題意,得∠CAD=30°,∠CBD=45°.在Rt△ADC
中,tan∠CAD=
,即tan
30°=
,∴
AD=
CD.在Rt△BDC
中,tan∠CBD=
,即tan
45°=
,∴BD=CD.D∵AD+BD=AB,∴
CD+CD=250(
+1)m,∴CD=250
m.∵250
m>200
m,∴在此路段修建鐵路,油庫C
不會(huì)受到影響.D例4
知識(shí)改變世界,科技改變生活.導(dǎo)航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行.如圖,某校組織學(xué)生乘車到黑龍灘(用C
表示)開展社會(huì)實(shí)踐活動(dòng),車到達(dá)A
地后,發(fā)現(xiàn)C
地恰好在A
地的正北方向,且距離A
地13
km,導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏東60°方向行駛至B
地,再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達(dá)C
地,求B,C
兩地的距離.解:如圖,作BD⊥AC
于點(diǎn)D,則∠BAD=60°,∠DBC=53°.設(shè)AD=x
km,則在Rt△ABD
中,BD=AD·tan∠BAD=
x(km),在Rt△BCD
中,CD=BD·tan∠DBC≈
x×=
x(km).由AC=AD+CD,得x+
x
=13,解得x=4
-3.D所以
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