第三章 圓錐曲線 章末總結(jié)及測(cè)試（原卷版）-2024-2025學(xué)年【暑假預(yù)習(xí)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019選擇性必修一）

第三章圓錐曲線章末總結(jié)及測(cè)試考點(diǎn)一定義1．（2024·陜西商洛）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，離心率為，左?右焦點(diǎn)為，若上的點(diǎn)滿(mǎn)足，則的面積是（

）A． B． C． D．2．（2024·山東日照·一模）過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為（

）A．28 B．29 C．30 D．323（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在雙曲線C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的面積為（

）A． B．1 C．2 D．34（2024·江西宜春）（多選）設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為O．若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．的面積為2 D．的內(nèi)切圓半徑為5．（23-24高二上·江蘇泰州·期末）（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為8B．橢圓上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為6C．雙曲線上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為D．雙曲線上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為17，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為16．（23-24河北秦皇島·開(kāi)學(xué)考試）（多選）為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（

）A．的最小值為 B．最小值為C．最小值為 D．最小值為考點(diǎn)二標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024安徽·期中）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的方程是（

）A． B． C． D．2．（22-23高二上·遼寧營(yíng)口·期末）過(guò)點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東珠海·期末）已知雙曲線：與橢圓：有相同的焦點(diǎn)，且一條漸近線方程為：，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高三下·湖北·開(kāi)學(xué)考試）已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B． C． D．5．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，頂點(diǎn)為橢圓的中心，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．考點(diǎn)三離心率1．（23-24高二上·江西贛州·期中）中國(guó)刺繡作為一項(xiàng)傳統(tǒng)手工技藝，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的一個(gè)重要組成部分．某個(gè)橢圓形的刺繡藝術(shù)品的尺寸如圖所示，則這個(gè)橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024·湖北武漢）已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為C上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，以C的短軸為直徑作圓O，截直線的弦長(zhǎng)為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（24-25湖北武漢·開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，若以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2023·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B是雙曲線上位于第二象限的點(diǎn)．直線與雙曲線交于另一點(diǎn)A，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．

考點(diǎn)四直線與曲線的位置關(guān)系1．（2024·湖南衡陽(yáng)）已知直線與橢圓相切，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)作直線，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿(mǎn)足條件的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條3（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）過(guò)雙曲線：左焦點(diǎn)為和點(diǎn)直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別在雙曲線左、右兩支上”發(fā)生的概率為（

）A．1 B． C． D．5．（2024·江蘇宿遷）已知拋物線，點(diǎn)，則“”是“過(guò)且與僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的（

）A．充分條件 B．必要條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點(diǎn)五弦長(zhǎng)1．（2023高二上·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與交于點(diǎn)兩點(diǎn)，若面積是的2倍，則（

）A． B． C． D．3．（24-25河南·開(kāi)學(xué)考試）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在的同一支上），且，則（

）A．6 B．8 C． D．4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)為等軸雙曲線的焦點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與的兩漸近線分別交于兩點(diǎn)，則的面積為（

）A． B．4 C． D．85．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為的弦有（

）A．8條 B．4條 C．2條 D．1條6．（23-24高二上·北京通州·期末）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與C交于，兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則m等于（

）A．6 B． C． D．7．（23-24高二下·浙江杭州·期中）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)且在第一象限，，若將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，且直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．（23-24高二下·四川成都·期末）拋物線繞它的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱(chēng)軸的光線，經(jīng)過(guò)拋物面的反射后，集中于它的焦點(diǎn)．已知一束平行反射鏡于軸的入射光線與拋物線的交點(diǎn)為，則反射光線所在直線被拋物線截得的弦長(zhǎng)為（

）

A． B．214 C． D．

考點(diǎn)六點(diǎn)差法1．（2024·陜西安康）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與交于，兩點(diǎn)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．2．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）橢圓上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．（2024·陜西寶雞）已知直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．34．（2024北京）已知雙曲線方程，則以為中點(diǎn)的弦所在直線的方程是（

）A． B． C． D．5（2024河南·階段練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．36．（2024湖北·階段練習(xí)）已知斜率為的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七軌跡方程1．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，等邊的邊長(zhǎng)為，M為BC中點(diǎn)，B，C分別在射線，上運(yùn)動(dòng)，記M的軌跡為，則（

）A．為部分圓 B．為部分線段C．為部分拋物線 D．為部分橢圓2（23-24高二下·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知三角形的周長(zhǎng)為，且，，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，記的軌跡為.則的方程為.4．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;5．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，記點(diǎn)M的軌跡為C.求C的方程.考點(diǎn)八實(shí)際應(yīng)用1．（2024·重慶）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則（

）

A． B．C． D．2．（22-23高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）1970年4月24日，我國(guó)發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國(guó)開(kāi)始了人造衛(wèi)星的新篇章．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等．設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2c，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是B．衛(wèi)星在左半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間大于其在右半橢圓弧的運(yùn)行時(shí)間C．衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越大，橢圓軌道越扁D．衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時(shí)最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)最小3（2024湖北荊州）某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離是.則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（

）處.（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為3，相關(guān)各點(diǎn)均在同一平面上）A．西偏北方向，距離 B．東偏南方向，距離C．西偏北方向，距離 D．東偏南方向，距離4．（23-24高三上·江西·期末）阿波羅尼斯（約公元前262年～約公元前190年），古希臘著名數(shù)學(xué)家﹐主要著作有《圓錐曲線論》、《論切觸》等.尤其《圓錐曲線論》是一部經(jīng)典巨著，代表了希臘幾何的最高水平，此書(shū)集前人之大成，進(jìn)一步提出了許多新的性質(zhì).其中也包括圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，通過(guò)雙曲線的反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)其另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線C：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，其離心率，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線C的右支上一點(diǎn)E的反射，反射光線為EP，若反射光線與入射光線垂直，則（

）A． B． C． D．5．（22-23高二上·浙江嘉興·期中）從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)、的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒：若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與的實(shí)軸長(zhǎng)之比為（

）

A． B． C． D．6（2024·新疆·一模）從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓T與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)S與T反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)T兩次反射后又回到了點(diǎn)歷時(shí)秒.已知，則T的離心率與S的離心率之比.一、單選題1．（23-24高二下·廣西桂林·期中）已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為上有一點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（

）A． B．20 C． D．162．（23-24高二上·江西贛州·期中）以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·陜西西安·期末）已知橢圓，則“”是“橢圓C的離心率為”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，C在點(diǎn)P處的切線與C的漸近線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線的斜率的取值范圍是；②點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為；③；④．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．（24-25高二·上?！るS堂練習(xí)）阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·安徽亳州·期末）設(shè)分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．7．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的方程為，過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)M，N.若，則直線的方程為（）A．

B．C． D．8．（23-24高二下·安徽·期末）關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過(guò)橢圓上一點(diǎn)作該橢圓的切線，切線方程為.”設(shè)橢圓：的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為M，過(guò)M作橢圓的切線，若切線與直線的傾斜角互補(bǔ)，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二下·上?！て谀┮阎€C：，下列結(jié)論中正確的有（

）A．若，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上B．若，則C是圓，其半徑為C．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為D．若，，則C是兩條直線10．（23-24江蘇無(wú)錫）設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為、，左?右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．離心率B．面積的最大值為1C．以線段為直徑的圓與直線相切D．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最小值為11．（江蘇省南通市名校聯(lián)盟2025屆新高三暑期學(xué)習(xí)（全國(guó)普通高考調(diào)研模擬測(cè)試）數(shù)學(xué)試題）已知拋物線Γ：的焦點(diǎn)為F，P為Γ上一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)F且斜率大于0的直線與Γ交于不同的兩點(diǎn)A，B，且滿(mǎn)足，．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．直線AB的傾斜角大于60°B．若，則C．點(diǎn)P可能在第一象限D(zhuǎn)．直線PB的橫截距不可能是三、填空題12．（24-25高二·上海·課堂例題）已知點(diǎn)，直線，若動(dòng)點(diǎn)P到l的距離等于，則點(diǎn)P的軌跡是．13．（24-25高二·上海·隨堂練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)