1.3 空間向量及其運算的坐標表示（解析版）-2024-2025學年【暑假預習】高二數(shù)學（人教A版2019選擇性必修一）

.3空間向量及其運算的坐標表示知識點一點坐標的書寫【【解題思路】1.建立空間直角坐標系的原則（1）讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面．（2）充分利用幾何圖形的對稱性．2.求某點M的坐標的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．3.空間點對稱問題的解題策略(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準確求解．(2)對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論．【例1-1】（22-23高二·全國·課堂例題）已知是單位正交基底，分別寫出下列空間向量的坐標：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由題意，是單位正交基底，，∴.（2）由題意，是單位正交基底，，∴.（3）由題意，是單位正交基底，，∴.（4）由題意，是單位正交基底，，∴.【例1-2】（22-23高二上·浙江臺州·階段練習）已知是空間向量的一組基底，是空間向量的另一組基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵向量在基底下的坐標為，∴，設向量在基底下的坐標是，則，∴，解得，即.故選：D.【例1-3】（23-24高二上·四川成都·階段練習）如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則下列結論中不正確的是（

）A．點關于直線對稱的點為 B．點關于點對稱的點為C．點的坐標為 D．點關于平面對稱的點為【答案】C【解析】由圖可得，則點關于直線對稱的點為，故A正確；由于，所以點關于點對稱的點為，故B正確；點的坐標為，故C不正確；由于點，則點關于平面對稱的點為，故D正確.故選：C.【例1-4】（22-23高二·全國·課堂例題）長方體的長、寬、高分別為，，．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，并求頂點A，B，C，D，，，，的坐標．【答案】答案見解析【解析】以A為原點，分別以有向直線AB，AD，為x軸、y軸、z軸的正方向，以1為單位長度，建立空間直角坐標系A-xyz，

則點A，B，C，D都在平面xAy內，因而其豎坐標z都為0，因此A，B，C，D的坐標分別是，，，．由于點，，，都在一個垂直于z軸的平面內，又，所以這四點的豎坐標z都是5．又過，，，分別作xAy平面的垂線，垂足分別A，B，C，D，因此，，，的橫坐標x、縱坐標y分別與A，B，C，D的橫坐標x、縱坐標y相同．因此，，，的坐標分別是，，，．【例1-5】（23-24高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，已知平行六面體的底面為邊長為的正方形，分別為上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．請建立適當空間直角坐標系，并求點的坐標．【答案】答案見解析【解析】四邊形為正方向，，由題意知：平面，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，，，則，，，，，.【變式】1．（2024湖北）在正方體中，若點是側面的中心，則在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，為的中點，∴，∴坐標為.故選：D2．（2024上海）如圖，正方體的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標．【答案】，，，，，.【解析】因為正方體的棱長為a，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點所以，，，，，3．（22-23高二下·全國·課后作業(yè)）在平行六面體中，底面是矩形，，，平行六面體高為，頂點在底面的射影是中點，設的重心，建立適當空間直角坐標系并寫出下列點的坐標.

(1)；(2)；(3)；【答案】(1)，，，(2)(3)【解析】（1）

如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，以過點作的平行線為軸建立空間直角坐標系．設點，點在平面上則，由圖可知它到軸投影對應數(shù)值，則，到軸投影對應數(shù)值為，則，即，設點，點在平面上則，由圖可知它到軸投影對應數(shù)值，則，到軸投影對應數(shù)值為，則，即，設點，點在平面上則，由圖可知它到軸投影對應數(shù)值，則，到軸投影對應數(shù)值為，則，即，且點在軸上，則.（2）是的重心，由三角形重心公式可得.（3）設，且，則，，又，即點B坐標為.4．（23-24高二·江蘇）如圖，在三棱柱中，平面平面，，且，，請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．【答案】答案見解析【解析】已知平面平面，，在平面取一向量，由于平面平面，所以平面，又，所以，OA，OB兩兩垂直，以O為原點，，，的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz，如圖所示因為，，所以到z軸的距離為，三棱柱的高為，則，，，，，.5．（23-24江西）如圖，在三棱柱中，側面，為棱上異于的一點，．已知，，．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．【答案】答案見解析【解析】在平面上過點作垂直的直線，與相交于點，如圖所示，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．，，，則，所以，，，，，，側面，側面，，又，平面，，平面，平面，則，設，則，中，由余弦定理，，中，由余弦定理，，中，，，解得或，為棱上異于的一點，所以，則有.知識點二空間向量的坐標【【解題思路】向量坐標的求法(1)點A的坐標和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐標形式完全相同；(2)起點不是原點的向量的坐標可以通過向量的運算求得．【例2】（2024河北邯鄲）（多選）如圖，在正三棱柱中，已知的邊長為2，三棱柱的高為的中點分別為，以為原點，分別以的方向為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系，則下列空間點及向量坐標表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】在等邊中，，所以，則，，則.故選：ABC【變式】1．（23-24高二上·內蒙古呼和浩特·期末）（多選）在棱長為2的正方體中，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，為中點，為的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】由題意可知，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：BD2．（22-23高二下·甘肅天水·期中）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

【答案】答案見解析【解析】根據(jù)題意可得，又E，F(xiàn)分別為棱，的中點，可得，利用向量坐標運算法則可得，即；，即；，即；所以可得，，.3．（22-23高二·甘肅天水·期中）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標系.寫出向量，，的坐標.

【答案】答案見解析【解析】根據(jù)題意可得，又E，F(xiàn)分別為棱，的中點，可得，利用向量坐標運算法則可得，即；，即；，即；所以可得，，.知識點三空間向量的坐標運算【【解題思路】空間向量坐標運算的規(guī)律及注意點(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定；(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算．(3)由條件求向量或點的坐標：把向量坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標．【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為向量，向量，所以.故選：C【例3-2】（23-24高二下·河北邢臺·階段練習）已知點，向量，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點，則，且，所以，則向量在向量上的投影向量為.故選：C【例3-3】（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知、，且與夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為、，且與夾角為鈍角，則且與不反向，若，則，解得，若與反向，設，則，解得，綜上可得的取值范圍是.故選：D【例3-4】（2023高二·全國·專題練習）已知，，，則“”是“構成空間的一個基底”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】①當“”時，，設，則，無實數(shù)解，故不共面，能構成空間基底；②設，則，即，因為構成空間的一個基底，即不共面，故無實數(shù)解，即.綜上，“”是“構成空間的一個基底”的充分不必要條件.故選：A【變式】1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，則等于（

）A．-4 B．-6 C．-7 D．-8【答案】B【解析】因為，，，所以，則，故選：B2．（2024江蘇無錫）已知，，，若，，三向量不能構成空間的一個基底，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】若三向量不能構成空間向量的一組基底，所以共面，則存在使得，則，解得，所以實數(shù)的值為1．故選：A．3．（23-24甘肅白銀）已知空間向量,若,則（

）A．6 B． C．36 D．5【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以.故選：A4．（22-23高二上·廣東佛山·階段練習）已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，，由與互相垂直，得，即，所以.故選：D5．（23-24高二下·上?！るA段練習）已知向量，，若，，則的值是（

）A．或1 B．3或 C． D．1【答案】A【解析】因為，，且，，所以，解得或，所以或.故選：A6．（23-24高一下·重慶榮昌·階段練習）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量的模為（

）A．3 B．3 C． D．【答案】D【解析】因為，滿足，且，所以，向量在向量上的投影向量為，則其模長為．故選：D．7．（2024·浙江嘉興·模擬預測）設，，且，則（

）A． B．0 C．3 D．【答案】D【解析】由，由，.所以.故選：D知識點四空間平行垂直問題【【解題思路】利用空間向量的坐標運算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標．(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算．(4)轉化：轉化為平行與垂直問題．【例4-1】（23-24高二上·陜西榆林·階段練習）如圖所示，平面，底面是邊長為1的正方形，，P是上一點，且．

(1)建立適當?shù)淖鴺讼挡⑶簏c的坐標；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見詳解【解析】（1）如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，則．設，，,∵，∴，解得，，，故點的坐標為．

（2）由（1）知，，∵，∴．【變式】1.（23-24高二上·遼寧朝陽·階段練習）在正方體中，為的中點，為的中點，為的中點．證明：(1)；(2)不與平行；(3)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【解析】（1）證明：設正方體的棱長為，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、、、，所以，，，則，又因為不在直線上，所以，.（2）證明：，，顯然、不共線，所以，不與平行.（3）證明：，，則，所以，.2．（2024福建莆田·階段練習）在正棱錐中，三條側棱兩兩互相垂直，是的重心，，分別是，上的點，且.求證：（1）平面平面；（2），.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】證明：（1）以三棱錐的頂點為原點，以??所在的直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標系.令，則，，，，，，.∴，.故，∴.又平面，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）∵，，.∴，.∴，.知識點五夾角、距離【【解題思路】利用空間向量的坐標運算的一般步驟(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當?shù)目臻g直角坐標系．(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標．(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算．(4)轉化：轉化夾角與距離問題．【例5-1】（22-23高二·全國·隨堂練習）如圖，在長方體中，，，點M在上，，N為的中點，求M，N兩點間的距離．

【答案】【解析】如圖，以為原點，以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，由題意可得，，，，因為N為的中點，，所以，，所以.

【例5-2】（24-25高二上·全國·課前預習）如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，，分別在棱，上，，．

(1)求線段的長．(2)求與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，即線段的長為.（2），，，，所以，，，．所以，所以．所以，與所成角的余弦值為．

【變式】1．（22-23高二·全國·課堂例題）如圖所示，已知直三棱柱中，，且D，E分別是棱的中點．建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求與的長．【答案】，【解析】在直三棱柱中，，，以C為坐標原點，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，如圖，則，，因此，棱的中點，棱的中點，所以.2．（2024甘肅）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側棱底面，，，分別為，，的中點．若，．

(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【解析】（1）以為原點，分別以射線??為軸?軸?軸的正半軸，建立空間直角坐標系.則，，，，，，所以，則.

（2）由（1）知，，所以；3．（2024云南）如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且．求．【答案】【解析】如圖，建立空間直角坐標系D－xyz，D為坐標原點，則有，，，，，，，，所以，，.所以.知識點六空間向量解決探索性問題【例6】（2024吉林）在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在點，使得？(2)在上是否存在點，使得平面？【答案】(1)存在(2)存在【解析】（1）直三棱柱中，，，，則、、兩兩垂直如圖，以為坐標原點，射線、、分別為軸的正向建立空間直角坐標系，則，，，，．

（1）假設在AB上存在點D，使得，則，其中，則，于是，由于，且，所以，得，所以在AB上存在點D，使得，且這時點D與點B重合．（2）假設在AB上存在點D，使得平面，則，其中，則，．又，，平面，所以存在實數(shù)，使成立，∴，，．所以，所以在上存在點使得平面，且是的中點．【變式】1．（24-25高二下·全國·期末）在直三棱柱中，，分別為棱中點.(1)證明：平面；(2)若，且，則當為何值時，有？【答案】(1)證明見詳解(2)【解析】（1）取的中點為，連接，分別為的中點，結合題意得，且，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2），取中點為，則有，連接，由題意得底面，如圖以為原點，以分別為軸正方向建立空間直角坐標系，設，，則，，則，得，由題意得，即當時有.2．（23-24高二上·浙江·期末）如圖所示，在四棱錐中，為等腰直角三角形，且，四邊形ABCD為直角梯形，滿足，

(1)求證；(2)若點E為PB的中點，點F為CD的中點，點M為棱AB上一點．當時，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因為為等腰直角三角形，，，所以，又，，所以，而，，故，因，平面，故平面，又平面，所以；（2）如圖，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，設，而，所以，所以，所以，又，因為，故，所以，解得，所以．

3．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在正三棱柱中，所有的棱長均為2，M是邊的中點，則在棱上是否存在點N，使得與所成的夾角為？

【答案】不存在【解析】以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由棱長都等于2，可得，，，，，假設存在點N在棱上，可以設，則有，，∴，,，，，即，解得，而這與矛盾，所以在棱CC1上不存在點N，使得與所成的夾角為.【題組一點坐標的書寫】1．（23-24高二下·四川·階段練習）（多選）在空間直角坐標系O－xyz中，以下結論正確的是（

）A．點關于x軸對稱的點的坐標為(－1，－3，4)B．點關于xOy平面對稱的點的坐標為(－1，2，－3)C．點關于原點對稱的點的坐標為(3，－1，－5)D．兩點間的距離為3【答案】BCD【解析】點關于x軸的對稱點的坐標為，故A錯誤；點關于xOy平面對稱的點的坐標為，故B正確；關于原點的對稱的點的坐標為，故C正確；兩點間的距離為，故D正確.故選：BCD2．（23-24高二下·江蘇·課前預習）在如圖所示的空間直角坐標系中，四邊形是正方形，則PD的中點M的坐標為.

【答案】【解析】依題意，，則，則點，而點，所以PD的中點M的坐標為.故答案為：3．（23-24高二上·上?！て谥校┮阎强臻g不共面的一組向量，是空間不共面的另一組向量，若向量在下的坐標為，則向量在下的坐標是．【答案】【解析】由向量在下的坐標為，則，設向量在下的坐標是，則，則，解得，所以向量在下的坐標是，故答案為：4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱中，平面為棱的中點，已知.試建立合適的空間直角坐標系，求出圖中所有點的坐標.

【答案】，【解析】在平面上過點作垂直的直線，與相交于點，如圖所示，側面，側面，側面，,又,所以兩兩垂直，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．，，，則，所以，，，，，，為棱的中點，則有.5．（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，，M為線段AD上一點，，N為PC的中點．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標【答案】答案見解析【解析】取中點為，連接，因為，所以，且，所以，所以以A為坐標原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz.因為,所以,所以.【題組二空間向量的坐標】1．（23-24高二·江蘇·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．(1)寫出，C，，四點的坐標；(2)寫出向量，，，的坐標．【答案】(1)點，點，點C，(2)；；；．【解析】（1）點在z軸上，且，所以點的坐標是．同理，點C的坐標是．點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們在坐標軸上的坐標分別為3，0，2，所以點的坐標是．點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，它們在坐標軸上的坐標分別為3，4，2，所以點的坐標是．（2）；；；．2．（22-23高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在空間直角坐標系中有長方體，，，．求：(1)向量，，的坐標；(2)，的坐標．【答案】(1)，，(2)【解析】（1）由已知，則，，（2）,.【題組三空間向量的坐標運算】1．（23-24高二上·河南信陽·階段練習）（多選）已知向量,，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為向量,，所以，所以A正確；，，所以，故B正確；，故C錯誤；，，故D正確；故選：ABD2．（23-24高二上·山西朔州·階段練習）（多選）已知空間向量，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因為向量，可得，對于A中，由，設，即，可得，此時方程組無解，所以與不平行，所以A錯誤；對于B中，由，所以，所以B正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，由，所以D正確.故選：BCD.3．（23-24高二上·廣東江門·期中）已知向量，，若，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】因為，，所以，，因為，所以，解得，故選：C4．（23-24高二上·安徽·期中）在空間直角坐標系中，已知點，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，，故，，，．故選：A5．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習）已知空間向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．與夾角的余弦值為C． D．【答案】C【解析】對于A：，因為，所以與不平行，故A錯誤；對于B：與夾角的余弦值為，故B錯誤；對于C：，，則，即，故C正確；對于D：，，故D錯誤；故選：C6．（23-24高二上·福建福州·期末）（多選）已知空間向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量為【答案】AC【解析】因為，所以，故A正確；由題得，而，所以不成立，故B不正確；因為，故C正確；因為在上的投影向量為，故D錯誤；故選：AC.7．（23-24高二下·上海·期中）已知空間向量與夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】因為空間向量與夾角為鈍角，所以，得到，即，由，得到，此時與共線反向，夾角為，不合題意，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【題組四空間平行垂直問題】1．（2024河北）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．求證：PC⊥BF，PC⊥EF．

【答案】證明見解析【解析】如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．

∵|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，四邊形ABCD是矩形，∴，∴|PB|＝，∴|PB|＝|BC|，又F為PC的中點，∴PC⊥BF，∵|PE|＝，|CE|＝，∴|PE|＝|CE|，又F為PC的中點，∴PC⊥EF．2．（23-24黑龍江）如圖，在棱長為的正方體中，是的中點，是的中點，是的中點.(1)試建立適當?shù)淖鴺讼?，并確定、、三點的坐標；(2)求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【解析】（1）解：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、.（2）證明：依題意可得、，則，，所以，，所以.3．（22-23高二上·重慶江北·期末）如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，，M、N分別是AB、PC的中點．(1)求證：MN⊥平面PCD；(2)求點C到平面MND的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，由，又平面PCD，∴MN⊥平面PCD.（2）∵平面PCD，∴，設點C到平面MND的距離為，，，則有，解得.故點C到平面MND的距離為4．（2024新疆）如圖，，是圓柱底面的圓心，，，均為圓柱的母線，是底面直徑，E為的中點．已知，．(1)證明：；(2)若，求該圓柱的體積．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）連結，可知平面平面（2）如圖，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系設圓柱的高為可得由題意得，解得故圓柱的體積5．（23-24北京）如圖，已知多面體ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.證明：平面.【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz．由題意知各點坐標如下：，，，，．因此，，．由，得．由，得．又因為，所以平面．【題組五夾角、距離】1．（23-24高二上·海南海口·期中）如圖，在棱長為3的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點，若直線與平面AEF交于點M，則線段的長度為（

）

A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】如圖所示，連接，直線與都在平面內，所以直線與的交點，即與平面的交點，由為的中點，因為，可得，則，以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，可得，可得，設點，可得，解得，即點，所以.故選：C.2．（23-24高二上·江西·期中）如圖，在直三棱柱中，線段，，的中點分別為，，.已知，，.

(1)證明：；(2)求.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由題意易知，，兩兩相互垂直，以A為坐標原點，，，分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，.因為，，所以，因此.（2）因為，，則，，可得，所以.3．（2024·重慶巴南）如圖所示，直三棱柱中，，，棱．、分別是、的中點．(1)求證：；(2)求直線與直線所成夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）證明：因為直三棱柱中，，所以兩兩垂直，故以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，、分別是、的中點．所以，，，，，，，所以，所以，即，所以（2）解：根據(jù)（1）得，，，，所以，，所以所以直線與直線所成夾角的余弦值為.4．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，直三棱柱中，，，分別是棱的中點，是的中點，求的長度．

【答案】【解析】以點為坐標原點，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

，，由中點坐標公式可得，，.5．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點.建立適當?shù)目臻g直角坐標系，解決如下問題