吉林省2024年中考數(shù)學(xué)試卷

吉林省2024年中考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）1．若（﹣3）×□的運(yùn)算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)字可以為（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．長(zhǎng)白山天池系由火山口積水成湖，天池湖水碧藍(lán)，水平如鏡，群峰倒映，風(fēng)景秀麗，總蓄水量約達(dá)2040000000m3．?dāng)?shù)據(jù)2040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.04×1010 B．2.04×109 C．20.4×108 D．0.204×10103．葫蘆在我國(guó)古代被看作吉祥之物．如圖是一個(gè)工藝葫蘆的示意圖，關(guān)于它的三視圖說法正確的是（）A．主視圖與左視圖相同B．主視圖與俯視圖相同C．左視圖與俯視圖相同D．主視圖、左視圖與俯視圖都相同4．下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）A．（x﹣2）2＝﹣1B．（x﹣2）2＝0C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝25．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）．以O(shè)A，OC為邊作矩形OABC．若將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA'B'C'，則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（﹣4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（2，4）D．（4，2）6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．過點(diǎn)B作BE∥AD，交CD于點(diǎn)E．若∠BEC＝50°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．50° B．100° C．130° D．150°二、填空題（每小題3分，共24分）7．當(dāng)分式1x+1的值為正數(shù)時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的x的值為8．因式分解：a2﹣3a=9．不等式組x-2＞0x10．如圖，從長(zhǎng)春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是．11．正六邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是°．12．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)F是OD上一點(diǎn)，連接EF．若∠FEO＝45°，則EFBC的值為13．圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中AB＝AB'，AB⊥B'C于點(diǎn)C，BC＝0.5尺，B'C＝2尺．設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，可列方程為14．某新建學(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地．小明繪制的鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖所示，該場(chǎng)地由⊙O和扇形OBC組成，OB，OC分別與⊙O交于點(diǎn)A，D．OA＝1m，OB＝10m，∠AOD＝40°，則陰影部分的面積為m2（結(jié)果保留π）．三、解答題（每小題5分，共20分）15．先化簡(jiǎn)，再求值：（a+1）（a﹣1）+a2+1，其中a=16某滑雪場(chǎng)為吸引游客，每天抽取一定數(shù)量的幸運(yùn)游客，每名幸運(yùn)游客可以從“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取一個(gè)免費(fèi)游玩．若三個(gè)項(xiàng)目被抽中的可能性相等，用畫樹狀圖或列表的方法，求幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率．17．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連接CO并延長(zhǎng)，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．求證：AE＝BC．18．鋼琴素有“樂器之王”的美稱．鍵盤上白色琴鍵和黑色琴鍵共有88個(gè)，白色琴鍵比黑色琴鍵多16個(gè)．求白色琴鍵和黑色琴鍵的個(gè)數(shù)．四、解答題（每小題7分，共28分）19．圖①、圖②均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A，B，C，D，E，O均在格點(diǎn)上．圖①中已畫出四邊形ABCD，圖②中已畫出以O(shè)E為半徑的⊙O．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖．

（1）在圖①中，畫出四邊形ABCD的一條對(duì)稱軸．（2）在圖②中，畫出經(jīng)過點(diǎn)E的⊙O的切線．20．已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式（不要求寫出自變量R的取值范圍）．（2）當(dāng)電阻R為3Ω時(shí)，求此時(shí)的電流I．21．2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入及其增長(zhǎng)速度情況如圖所示．（以上數(shù)據(jù)引自《中華人民共和國(guó)2023年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》）根據(jù)以上信息回答下列問題：（1）2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低的一年多多少元？（2）直接寫出2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入的中位數(shù)．（3）下列判斷合理的是（填序號(hào)）．①2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入呈逐年上升趨勢(shì)．②2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入實(shí)際增長(zhǎng)速度最慢的年份是2020年，因此這5年中，2020年全國(guó)居民人均可支配收入最低．22．圖①中的吉林省廣播電視塔，又稱“吉塔”．某直升飛機(jī)于空中A處探測(cè)到吉塔，此時(shí)飛行高度AB＝873m，如圖②．從直升飛機(jī)上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（結(jié)果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75）五、解答題（每小題8分，共16分）23．綜合與實(shí)踐某班同學(xué)分三個(gè)小組進(jìn)行“板凳中的數(shù)學(xué)”的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)研究．第一小組負(fù)責(zé)調(diào)查板凳的歷史及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；第二小組負(fù)責(zé)研究板凳中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)；第三小組負(fù)責(zé)匯報(bào)和交流．下面是第三小組匯報(bào)的部分內(nèi)容，請(qǐng)你閱讀相關(guān)信息，并解答“建立模型”中的問題．【背景調(diào)查】圖①中的板凳又叫“四腳八叉凳”，是中國(guó)傳統(tǒng)家具，其榫卯結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了古人含蓄內(nèi)斂的審美觀．榫眼的設(shè)計(jì)很有講究，木工一般用鉛筆畫出凳面的對(duì)稱軸，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度，確定榫眼的位置，如圖②所示．板凳的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．

【收集數(shù)據(jù)】小組收集了一些板凳并進(jìn)行了測(cè)量．設(shè)以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度為xmm，凳面的寬度為ymm，記錄如下：以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度x/mm16.519.823.126.429.7凳面的寬度y/mm115.5132148.5165181.5【分析數(shù)據(jù)】如圖③，小組根據(jù)表中x，y的數(shù)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出了各點(diǎn)．【建立模型】請(qǐng)你幫助小組解決下列問題：（1）觀察上述各點(diǎn)的分布規(guī)律，它們是否在同一條直線上？如果在同一條直線上，求出這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；如果不在同一條直線上，說明理由．（2）當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13mm時(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度是多少？24．小明在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過程：

【探究論證】（1）如圖①，在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D．若CD＝2，BD＝1，則S△ABC＝．（2）如圖②，在菱形A'B'C'D'中，A'C'＝4，B'D'＝2，則S菱形A'B'C'D'＝．（3）如圖③，在四邊形EFGH中，EG⊥FH，垂足為點(diǎn)O．若EG＝5，F(xiàn)H＝3，則S四邊形EFGH=▲；若EG＝a，F(xiàn)H＝b，猜想S四邊形EFGH與a，b的關(guān)系，并證明你的猜想．（4）【理解運(yùn)用】如圖④，在△MNK中，MN＝3，KN＝4，MK＝5，點(diǎn)P為邊MN上一點(diǎn)．小明利用直尺和圓規(guī)分四步作圖；（?。┮渣c(diǎn)K為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊KN，KM于點(diǎn)R，I；（ⅱ）以點(diǎn)P為圓心，KR長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段PM于點(diǎn)I'；（ⅲ）以點(diǎn)I'為圓心，IR長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)R'，點(diǎn)R'，K在MN同側(cè)；（ⅳ）過點(diǎn)P畫射線PR'，在射線PR'上截取PQ＝KN，連接KP，KQ，MQ．請(qǐng)你直接寫出S四邊形MPKQ的值．六、解答題（每小題10分，共20分）25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，AD是△ABC的角平分線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度沿折線AD﹣DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)P作PQ∥AB，交AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQE，且點(diǎn)C，E在PQ同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0），△PQE與△ABC重合部分圖形的面積為S（（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△APQ的形狀（不必證明），并直接寫出AQ的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求t的值．（3）求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量t的取值范圍．26．小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為﹣2時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．（1）直接寫出k，a，b的值．（2）小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖象，如圖（2）．Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．Ⅱ．若關(guān)于x的方程ax2+bx+3﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜4時(shí)無解，求t的取值范圍．Ⅲ．若在函數(shù)圖象上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為﹣m+1．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖象進(jìn)行研究，當(dāng)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．吉林省2024年中考數(shù)學(xué)試卷答案解析部分1．D2．B3．A4．B5．C6．C7．08．a(chǎn)（a﹣3）9．2＜x＜310．兩點(diǎn)之間，線段最短11．12012．1213．x2+22＝（x+0.5）214．15．解：（a+1）（a﹣1）+a2+1＝a2﹣1+a2+1＝2a2∵a=3∴原式＝2×（3）2＝16．解：把“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三個(gè)項(xiàng)目分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的結(jié)果有3種，∴幸運(yùn)游客小明與小亮恰好抽中同一個(gè)項(xiàng)目的概率為3917．證明：∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)∴AO＝OB∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠E＝∠BCO，又∠AOE＝∠BOC，∴△AOE≌△BOC（AAS），∴AE＝BC．18．解：設(shè)白色琴鍵的個(gè)數(shù)為x個(gè)，黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為y個(gè)，由題意得：x+解得：x=52答：白色琴鍵的個(gè)數(shù)為52個(gè)，黑色琴鍵的個(gè)數(shù)為36個(gè)．19．（1）解：如圖①所示，直線GH與直線EF即為所求；

（2）解：如圖②所示，直線AB即為所求．20．（1）解：設(shè)I＝KR，由題意得：K＝RI＝36，∴這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為I＝36（2）解：電阻R為3Ω時(shí)，I＝363＝12A21．（1）解：39218﹣30733＝8485（元），答：2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入中，收入最高的一年比收入最低多8485元；（2）解：2019﹣2023年全國(guó)居民人均可支配收入的中位數(shù)是35128元；（3）①22．解：過點(diǎn)C作CF⊥AB，垂足為F．∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°．∴四邊形CDBF是矩形．∴BF＝CD，CF＝BD＝873m．∵CF∥BD∥AE，∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°．在Rt△ACF中，∵tan∠ACF＝AFCF，∴AF＝tan∠ACF?CF＝tan37°×873≈0.75×873≈654.75（m在Rt△DBA中，∵tan∠ADB＝ABBD，∴AB＝tan∠ADB?BD＝tan45°×873＝1×873＝873（m∴CD＝FB＝AB﹣AF＝873﹣654.75＝218.25≈218.3（m）．答：吉塔的高度CD約為218.3m．23．（1）解：它們?cè)谕粭l直線上，設(shè)y＝kx+b，則：16.5k+所以這條直線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝5x+33；（2）解：當(dāng)y＝213mm時(shí)，213＝5x+33，解得：x＝36，所以當(dāng)?shù)拭鎸挾葹?13mm時(shí)，以對(duì)稱軸為基準(zhǔn)向兩邊各取相同的長(zhǎng)度是36mm．24．（1）2（2）4（3）解：S四邊形EFGH=152猜想：S四邊形EFGH＝ab2證明：∴S△EFG＝12EG?FO，S△EHG＝12∴S四邊形EFGH＝S△EFG+S△EHG＝12EG?FO+12EG?HO＝12EG?FH（4）解：S四邊形MPKQ＝10．25．（1）△APQ是等腰三角形，AQ＝t；（2）解：如圖所示，E、C重合時(shí)圖形．∵△PQE是等邊三角形，∴QE＝QP，由（1）得QA＝QP，∴AE＝2AQ，即2t＝3，∴t＝32（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC上時(shí)，重合部分是等邊三角形PQE，如圖作PG⊥QE于點(diǎn)G，∵∠PAQ＝30°，∴PG＝12AP＝32∵△PQE是等邊三角形，∴QE＝PQ＝AQ＝t，∴S＝12QE?PG＝3由（2）知當(dāng)點(diǎn)E、C重合時(shí)，t＝32，∴S＝34t2（0②當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，重合部分是四邊形PQCF．在Rt△FCE中，CE＝2t﹣3，∠E＝60°，∴CF＝CE?tan60°＝3（2t﹣3），∴S△PCE＝12（2t﹣3）?3（2t﹣3）＝32（2t﹣3）∴S＝S△PAC﹣S△PCE＝34t2﹣32（2t﹣3）2＝﹣734t2+63t﹣93③當(dāng)點(diǎn)P在DB上，重合部分是直角三角形PQC，S＝12CQ?CP＝12（t