平面向量的數(shù)量積及其應用（八大題型）（講義）（原卷版）-2025高考數(shù)學一輪復習（含2024年高考試題+回歸教材）

第02講平面向量的數(shù)量積及其應用

目錄

01考情透視目標導航............................................................2

02知識導圖思維引航............................................................3

03考點突破題型探究............................................................4

知識點1：平面向量的數(shù)量積*......................................................4

知識點2：數(shù)量積的運算律........................................................4

知識點3：數(shù)量積的性質(zhì)..........................................................5

知識點4：數(shù)量積的坐標運算......................................................5

解題方法總結...................................................................6

題型一：平面向量的數(shù)量積運算....................................................7

題型二：平面向量的夾角問題......................................................8

題型三：平面向量的模長.........................................................9

題型四：平面向量的投影、投影向量................................................9

題型五：平面向量的垂直問題.....................................................11

題型六：建立坐標系解決向量問題”................................................11

題型七：平面向量的實際應用.....................................................13

題型八：向量回路恒等式.........................................................15

04真題練習命題洞見...........................................................16

05課本典例高考素材...........................................................17

06易錯分析答題模板...........................................................18

易錯點：對向量數(shù)量積的定義理解不深刻導致出錯...................................18

答題模板：利用定義法計算平面圖形的數(shù)量積.......................................19

1/19

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

平面向量數(shù)量積的運算、化簡、證明及數(shù)量

積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考

2024年I卷第3題，5分的內(nèi)容，單獨命題時，一般以選擇'填空形式出

2024年H卷第3題,5分現(xiàn).交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函

（1）平面向量的數(shù)量積

2023年I卷第3題，5分數(shù)、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工

（2）平面向量數(shù)量積的

2023年II卷第13題，5分具出現(xiàn).向量的應用是跨學科知識的一個交匯

幾何意義

2023年甲卷（理）第4題，5分點，務必引起重視.

2022年H卷第4題，5分預測命題時考查平面向量數(shù)量積的幾何意義

及坐標運算，同時與三角函數(shù)及解析幾何相結合

的解答題也是熱點.

復習目標：

（1）理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義

（2）了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關系.

（3）掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算

（4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題

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一:平面向量數(shù)量積的定義已知兩個計零向量7與認我們把數(shù)量同NesH叫做Z與方的數(shù)量枳（或內(nèi)枳），

記作i石，即￡石=|司司cosO,規(guī)定：零向量與仆-向量:的數(shù)盤枳為0.

平面向量的數(shù)量后）何以》。叫做向最方向上的投影數(shù)量,

「（向量的投影當。為銳角時，它是正數(shù)；

當。為鈍角時，它是倒數(shù)；

/平面向量數(shù)量積的幾何意義;一當。為直角時，它是0.

1（拼行的幾何意義）—（數(shù)量積3萬等的長度同與W而方向上射影向cose的乘枳.）

a-b=b-a

數(shù)量枳的運算律y--（（而防=入（3句=>?（坊.）

（a+b）-c=a-c+b-c

-He'a=a'e-\a\cosG）

平面向量的數(shù)量積及其應用當￡與各同向時,31加=同同;

數(shù)量積的性質(zhì)當Z與方反向時，a*F=-|a||d|.

ab一

皿8=1=^（同同工0）

回冏

已知非零向展方=（不，%），h=（x2,y2）,。為向量方、/>的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模|a|=y/a-a|5|=7^+/

數(shù)量枳a-b=|5||b\cosO方.6=&*2+乂月

⑺加三cos"-,斗'+興?，

夾角

數(shù)量積的坐標運算1方也打+y：3；+*

方，力的充要條件a-h=0X盧2+兇必=°

a//b的充要條件a=Zb（bw。）￡而一/兇=°

商而引方面的\a-b\<\a\\b\（當H僅

1工*12+九%|WWf-&+父

美系當方〃，時等號成立）

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■

\\

知識固本

知識點1:平面向量的數(shù)量積

（1）平面向量數(shù)量積的定義

已知兩個非零向量@與我們把數(shù)量?列B|cose叫做。與B的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作無即

a-b=\a\\b\cosO,規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義

①向量的投影：|Z|cos6叫做向量G在Z方向上的投影數(shù)量，當。為銳角時，它是正數(shù)；當。為鈍角

時，它是負數(shù)；當。為直角時，它是0.

②>Z的幾何意義：數(shù)量積Z?Z等于石的長度|可與君在日方向上射影12|cos6的乘積.

③設方，B是兩個非零向量，它們的夾角是仇。與B是方向相同的單位向量，AB=a,CD^b,過萬

的起點/和終點3,分別作畫所在直線的垂線，垂足分別為4,4，得到可瓦，我們稱上述變換為向量3

向向量B投影，4瓦叫做向量G在向量B上的投影向量.記為micosdG.

【診斷自測】（2024?安徽安慶?三模）已知線段N5是圓。的一條長為4的弦，則而.冠=（）

A.4B.6C.8D.16

知識點2：數(shù)量積的運算律

已知向量％、b>之和實數(shù)人，貝ij：

@a-b=b-a；

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②（Aa）-b=A（a.6）=2.（勸）；

（3）（a+b）-c=a-c+b-c.

【診斷自測】（2024?四川雅安?模擬預測）在中，4B=4,AC=3,且您J_X，則

AB-JC=（）

A.16B.-16C.20D.-20

知識點3：數(shù)量積的性質(zhì)

設2、君都是非零向量，》是與右方向相同的單位向量，。是方與"的夾角，則

@e-a=a-e^a\cos0.②Z_Lbu>Z?b=0.

③當石與Z同向時，H-6=|2||i|；當石與Z反向時，a-b=-\a\\b\.

特別地，大石=|石『或|2|=后至.

④cos。=a,（|a||60）.⑤|a|W|2|向.

\a\\b\

【診斷自測】（2024?西藏?模擬預測）已知向量0=[。5[°+]]岡11]0+1]；

g=kos[a+g],sin（a+g]廣若（2a+3）_L（a+x3）,則實數(shù)x的值是（）

A.-2B.--C.vD.2

22

知識點4：數(shù)量積的坐標運算

已知非零向量Z=（不，必），b=（x2,j/2）,夕為向量2、Z的夾角.

結論幾何表示坐標表示

模a\=y/a-a\a\=y/x2+y2

數(shù)量積

a-b=\a\\b\cos。a-b=x1x2+y1y2

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cos”,二+干

夾角cos3=2

?0Jx；+y；小；+式

|2||6|

的充要

a-b=0x1x2+%%=0

條件

方〃Z的充要

a=4g（Zw。）xxy2-x2yx=0

條件

|a-Z）|<|a||Z）（當

舊工1與|占尤2+乂％氏

且僅當Z〃右時等號成

|Z||g|的關系舊+y；、x；+貨

立）

【診斷自測】已知平面向量3=（1,百）石=（6,1）,且3，,-而），則實數(shù)2的值為（）

D.4

ATCT

解題方法總結

（1）B在a上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于o.

（2）數(shù)量積的運算要注意萬=6時，萬萬=0,但萬石=0時不能得至!J萬=6或3=0,因為5時，

也有3-^=0.

（3）根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：?=&?5,cos0=,MJ_B=GZ=0等，所以平面向量

\a\\b\

數(shù)量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題.

（4）若a、b、c是實數(shù)，則仍=ac=>b=c（。。0）；但對于向量，就沒有這樣的性質(zhì)，即若向量

a>b>?滿足展B=（5^0）,則不一定有彼=?，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時

乘以一個向量.

（5）數(shù)量積運算不適合結合律，即。鼠（「己），這是由于（晨3）亮表示一個與3共線的向量，

3-（6-c）表示一個與a共線的向量，而商與5不一定共線，因此（萬?己與萬?（小,）不一定相等.

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題型一：平面向量的數(shù)量積運算

【典例1-1】設平面向量a=(1,3),|B|=2,_B.|a-b|=V10,則(21+B),僅-B)=()

A.1B.14C.714D.V10

【典例1-2】在RM4BC中，ZC=90°,45=4,AC=2,。為段BC的外心，則而.芯=()

A.5B.2C.-4D.-6

【方法技巧】

（1）求平面向量的數(shù)量積是較為常規(guī)的題型，最重要的方法是緊扣數(shù)量積的定義找到解題思路.

（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數(shù)特征，因而平面向量

數(shù)量積是中學數(shù)學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛.

【變式1-1］（2024?高三?吉林四平?期末）已知向量。B滿足同=2,向=6，且萬與*的夾角為g

6

貝眼+孫（2力）=（）

A.6B.8C.10D.14

【變式1-2］已知同=6,問=3,向量方在B方向上投影向量是4&貝啟.6為（）

A.12B.8C.-8D.2

【變式1-3］（2024?安徽蕪湖?模擬預測）已知邊長為1的正方形4BC。，點￡,少分別是5C,CD的中

點，則石?麗=（）

31

C.D.

44

【變式1-4］（2024?陜西安康?模擬預測）菱形ZBCD的邊長為2,/。/5=60°,以。為圓心作圓且與

AQAE

45相切于瓦。是。。與。。的交點，則

―?1—?

【變式1-5］（2024?浙江寧波?模擬預測）已知23c是邊長為1的正三角形，AN%NC,P是BNL

—>—?2—?——

點且/尸=加45+§4。，則（）

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D.1

題型二：平面向量的夾角問題

【典例2-1】（2024?陜西安康?模擬預測）已知單位向量癡滿足歸-3*3,則cosRW=.

【典例2-2】（2024?陜西?二模）已知萬=，5=（1,碼，則向量獲的夾角的余弦值為.

【方法技巧】

求夾角，用數(shù)量積，由-4=m，|cosg得cosg="的_=下上必進而求得

I?I^I7?可尸百

向量2,3的夾角.

【變式2-1］（2024?江西宜春?三模）已知］均為非零向量，若|2--司=歷|=2㈤，則￡與］的夾角

為—,

【變式2-2］已知。=（2,1）石=（冗-2）,左cR&與3的夾角為6.若。為鈍角，則上的取值范圍是—.

【變式2-3］（2024?高三?天津?qū)幒?期末）已知單位向量［與■的夾角為則向量1+2易與2，-3￡

的夾角為—.

【變式2-4］（2024?四川綿陽?模擬預測）平面向量）與不相互垂直，已知）=（6,-8）,出|=5,且不與

向量（1,0）的夾角是鈍角，則很=—.

【變式2-5］（2024?四川綿陽?模擬預測）已知非零向量滿足2同=網(wǎng)，且可，則漏的夾

角大小為.

【變式2-6］（2024?上海?模擬預測）已知向量心b，3滿足向=何=1，同=收，且G+B+”。，

則cos（a-c,b-c\=_.

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題型三：平面向量的模長

【典例3-1］（2024?重慶?模擬預測）已知向量泊B滿足同=1，問=3,a-b=（2,46）,貝版+小

【典例3-2］（2024?浙江溫州?二模）平面向量瓦B滿足3=（2,1）,a//b,d吊=-弧,則|可=_

【方法技巧】

求模長，用平方，|i|=4^-

【變式3-1］（2024?安徽池州?模擬預測）已知向量3=（4,-2）,不=（-2"）,且7與B共線，則

|35+2^|=

【變式3-2］（2024?江蘇連云港?模擬預測）若向量成，弁滿足同=1,同=2,且（而-萬），而，則

I玩一同二（）

A.1B.V3C.V?D.2

【變式3-3］（2024?高三?上海奉賢?期中）已知平面向量刃的夾角為:，若忖=1擔-牛M,則

同的值為.

題型四：平面向量的投影、投影向量

【典例4-1］（2024?福建泉州?模擬預測）在平面直角坐標系中，點尸在直線x+2y+l=0上.若向

量：=（1,2）,則歷在々上的投影向量為（）

2

A.

H5

【典例4-2】（2024?新疆喀什?二模）在直角梯形中，AD//BC且BC=2AD,ABLAD,AC與BD

交于點。，則向量詼在向量加上的投影向量為（）

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1—2—?3—?

A.-BAB.—BAC.-BAD.-BA

2334

【方法技巧】

設方，B是兩個非零向量，它們的夾角是仇巨與B是方向相同的單位向量，AB=a,CD=b,過萬的

起點4和終點5,分別作函所在直線的垂線，垂足分別為4,片，得到麗，我們稱上述變換為向量N向

向量B投影，麗叫做向量值在向量B上的投影向量.記為|,|cos偌.

【變式4-1］（2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測）已知向量2》滿足同=2石=（3,0）,歸-小麗，則向量

Z在向量B方向上的投影向量為（）

A.（I,。［'"J［I。］D.（tO）

【變式4-2］（2024?廣東深圳?模擬預測）已知向量1=（3,-4）,5=（2,0）,貝！J）在石上的投影向量為

（）

A.（訓B.（3,0）C.（2,0）D.（6,0）

【變式4-3］在三角形NBC中，若赤?就=0,數(shù)=253,則向量正在向量方上的投影向量

為.

【變式4-4】已知向量￡與］的夾角為字向=百即設屋￡在￡上的投影向量為蘇，則人（）

3113

A.——B.——C.vD.一

2222

【變式4-5】已知雙曲線。：［-1=1（。＞0力＞0）的左、右焦點分別為8,C,以8c為直徑的圓與漸近線

ab

交與點/,連接N2與另一條漸近線交與點E,。為原點，OEHAC,且|/C|=2.若直在數(shù)上的投影向量

3UUT

為二BC,則萬?瑟=（）

4

A.-4B.-26C.-2D.-V3

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題型五：平面向量的垂直問題

【典例5-1】（2024?西藏林芝?模擬預測）已知向量）=（X,3）,B=（2,X+5）,若3，（之-坂），貝!|x=（）

A.2或3B.-2或-3C.1或一6D.一1或6

【典例5-2】（2024?甘肅張掖?模擬預測）已知向量口B滿足向1,且2,若

A.丸+4=0B.%+4=-1

C.A//=-1D.A/z=0

【方法技巧】

=0=XXX2+yxy2=0

【變式5-1］（2024?遼寧?模擬預測）若2,B是夾角為60°的兩個單位向量，然+3與2萬垂直，則

C.-1D.-2

【變式5-2］（2024?浙江紹興?二模）已知晟是單位向量，且它們的夾角是60。，若￡=21+［，

b=Ae1-e2,且〃_LB,則丸=（）

【變式5-3］（2024?重慶?模擬預測）已知|?=1,|3|=2,且5與B不共線，若向量萬+癌與d-?；ハ?/p>

垂直，則實數(shù)左的值為（）

±—D.±2

一2

題型六：建立坐標系解決向量問題

【典例6-1］（2024?全國?模擬預測）已知在菱形ZBCQ中，AB=BD=6,若點〃在線段4。上運動,

則前?兩的取值范圍為—.

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【典例6-2］如圖，已知正方形45cZ）的邊長為3,且2元=3屜+刀，連接BE交。。于尸，則

【方法技巧］

邊長為“的等邊三角形已知夾角的任意三角形正方形矩形

平行四邊形直角梯形等腰梯形圓

【變式6-1］（2024?高三?河南濮陽?開學考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介

紹了“勾股圓方圖“，即"趙爽弦圖如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形/3C2EFGH均為正方形,

AD=AE=2,則麗.京=

—?—?1

【變式6-2］（2024?天津?二模）已知菱形/BCD邊長為1,且/m40=-一,￡為線段ND的中點，若

2

12/19

—?—?5—?

廠在線段CE上，且BF=4R4+：BC,則丸=_____，點G為線段4C上的動點，過點G作8C的平行線交

6

邊AB于點、M,過點M做3C的垂線交邊BC于點N,貝I］（沅+痂）?痂的最小值為.

【變式6-3】窗，古時亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國建筑文化中是一種獨具文化意

蘊和審美魅力的重要建筑構件.如圖是某古代建筑群的窗戶設計圖，窗戶的輪廓是邊長為50cm的

正方形，它是由四個全等的直角三角形和一個邊長為10cm的小正方形跖G”拼接而成，則

tanNHAB=___.

【變式6-4］如圖，正八邊形/BCDEFGH中，若次=X就+〃/（九〃eR）,則彳+〃的值為.

題型七：平面向量的實際應用

【典例7-1】（2024?高三?廣東汕頭?期末）設方表示向東走了10km,B表示向南走了5km,則N+2不

所表示的意義為（）

A.向東南走了1072kmB.向西南走了1072km

C.向東南走了5nkmD.向西南走了5遍km

【典例7-2］（2024?浙江溫州?二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了

一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=FS（其中少是功，下是力,X是位移）

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一物體在力耳=（2,4）和月=（-5,3）的作用下，由點/Q,0）移動到點3（2,4）,在這個過程中這兩個力的合力

對物體所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【方法技巧】

用向量方法解決實際問題的步驟

把實際問題中的相關量用向量

―〔表示出來_______________

J轉(zhuǎn)化為向量問題的模型.通過

1向量的運算使問題得以解決

?——?把結果還原為實際問題

【變式7-11一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250百m,河水的速度為向正東3km/h.一艘小貨船

準備從河南岸碼頭尸處出發(fā)，航行到河對岸。（尸。與河的方向垂直）的正西方向并且與。相距250m的碼

頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為5km/h,則當小貨船的航程最短時，小

貨船航行速度的大小為（）

A.3V3km/hB.6km/hC.7km/hD.3V6km/h

【變式7-2］（2024?廣東梅州?二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子48上.已知物體M的重力

大小為20牛，且//（W=150。，在下列角度中，當角6取哪個值時，繩。8承受的拉力最小.（）

【變式7-3］在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以10石km/h的速度從河的南岸垂直到

達北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（）

A.北偏西30。，20km/h

B.北偏西60°,lO0km/h

C.北偏東30。，10拒km/h

D.北偏東60°,20km/h

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【變式7-4】在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）.假設行李包所受

的重力為G,所受的兩個拉力分別為耳，耳，且|耳|=|可，耳與耳的夾角為凡則以下結論不正確的是

（）

2**上

一1一

A.|片|的最小值為51Gl

B.e的范圍為［0,兀］

C.當e=T時，國|=4@|

27T—?—

D.當6=7時，閭=?

題型八：向量回路恒等式

【典例8-1］如圖，在平面四邊形中，|力C|=3,|BD\=4,則（幾+6"）.（/+益）=

【典例8-2］如圖，在平面四邊形ZBCD中，若時卜6,（方+灰）.（就+而）=11,則函=,

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【方法技巧】

向量回路恒等式：AB+CD=AD+CB

【變式8-1］如圖，已知在四邊形A8CD中，AC=li,BD=l2.貝！］（市+市）.（齊可+通）=

3

1.（2024年北京高考數(shù)學真題）設很是向量，貝是"U或1/的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024年新課標全國I卷數(shù)學真題）已知向量值=（0,1）石二（2戶），若打@_哂,則工=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024年新課標全國n卷數(shù)學真題）已知向量2》滿足同=卡+2+2,且僅-23",則回=（

A.；B.—C.—D.1

222

4.（2024年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）設向量5=（x+l,x）,B=（x,2）,則（）

A.“x=-3”是“力獷的必要條件B.