專題1.10空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（基礎篇）（人教A版2019選擇性）

第一章空間向量與立體幾何全章綜合測試卷（基礎篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2425高一上·全國·假期作業(yè)）已知平行六面體ABCD?AA．ABB．AC．AD．AB【解題思路】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)及空間向量線性運算法則計算可得.【解答過程】對于A：AB?對于B：因為B'C'對于C：AA對于D：因為BB'=故D錯誤.

故選：D.2．（5分）（2324高二下·浙江杭州·期中）正方體ABCD?A1B1CA．1 B．0 C．?1 D．2【解題思路】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律，結(jié)合垂直關系即可求解.【解答過程】(AB故選：A.3．（5分）（2324高一下·重慶·期末）如圖，在三棱錐P?ABC中，PM=2MC,N為BC的中點，設AB=a,ACA．13a+C．12a?【解題思路】直接利用向量的線性運算和中線向量的應用求出結(jié)果．【解答過程】在三棱錐P?ABC中，點N為棱BC的中點，點M在棱PC上，且滿足PM=2設AB=故AM?所以AM=點N為棱BC的中點，所以AN=故MN=故選：B．4．（5分）（2324高二下·江蘇宿遷·期末）已知A,B,C三點不共線，O為平面ABC外一點，下列條件中能確定M,A,B,C四點共面的是（

）A．OM=OA+C．OM=OA+【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理對選項逐個進行驗證即可得出結(jié)論.【解答過程】由空間向量基本定理可知，若M,A,B,C四點共面，則需滿足存在實數(shù)x,y,z使得OM=xOA+y顯然選項A，C不成立；對于選項B，由OM=3OA?不合題意，即B錯誤；對于D，化簡OM=3OA?2滿足3+?1故選：D.5．（5分）（2324高二下·江西上饒·期中）若向量a=(1,λ,2),b=(2,?1,2)，且a與b的夾角的余弦值為89，則A．2 B．?2C．?2或255 D．2或【解題思路】根據(jù)向量的夾角公式的坐標形式，列式求解，即可得答案.【解答過程】由題意，向量a=(1,λ,2),得cosa,b=a故選：C.6．（5分）（2324高二下·甘肅白銀·期末）已知空間向量a=1,2,2,b=?2,y,z,若A．6 B．5 C．36 D．5【解題思路】首先根據(jù)向量平行求y,z，再代入模的公式，即可求解.【解答過程】因為a//b，所以?21=y故選：A.7．（5分）（2324高二下·甘肅白銀·期末）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是A．255 B．105 C．2【解題思路】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法求解線面角即可.【解答過程】以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0),B(2,2,0),B∴BD=(?2,?2,0),設平面B1BD的法向量為則n?BD=?2x?2y=0n?BB故cosBE,n=BE?n則sinθ=105故選：D.8．（5分）（2024·山東菏澤·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1CA．BB1//平面ACD1C．EF⊥平面BDD1B1 D．平面【解題思路】建立空間直角坐標系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項判定計算即可．【解答過程】因為ABCD?A以D1為原點，D1A1為x軸，D1C1則D1設平面ACD1的法向量為則n?D1A=0同理解得平面BDC1的法向量BBm?EF=EF?D1又D1D∩D1B平面ABB1AEF?故選：C.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2324高二上·河南省直轄縣級單位·階段練習）若a,b,c是空間的一個基底，則下列向量中可以和a+3A．a(chǎn)+6c B．a(chǎn)+b+4c【解題思路】由a+6c=a+3b?3【解答過程】對于A，a+6∴a+3b，b?2對于B，a+∴a+3b，b?2對于C，設?a+3b所以?a+3b+2c對于D，設?2a?b所以?2a?b+4c故選：CD.10．（5分）（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習）下列命題正確的是（

）A．若p=2x+3y，則p與B．若MP=2MA+3C．若OA+OB+D．若OP=12【解題思路】利用共面向量定理:即若一條向量用另外兩條向量線性表示，則這三條向量一定共面，用此法可判斷三條向量共面，再利用有公共點的三條向量共面，進而可判斷四點共面，針對OP=12【解答過程】選項A，根據(jù)共面向量基本定理可知，p與x，y共面；所以選項A是正確的；選項B，根據(jù)共面向量基本定理可知，MP,MA,所以M，選項C，舉反例說明，若OA，OB，OC是一個正方體同一個頂點O的三條棱所對應的向量，則它們的和向量是以O為起點的對角線向量，而OD是該對角線向量的相反向量，此時顯然四個點A，選項D，由OP=12則0=3OA?3則PC=故選：ABD．11．（5分）（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知四邊形ABCD是平行四邊形，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,?2)，則（

）A．點D的坐標是(?2,2,?1) B．BDC．cos∠DAB=1515 D．四邊形【解題思路】根據(jù)題意，由空間向量的坐標運算代入計算，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【解答過程】設Dx,y,z，則AD=x,y,z?1，由BC可得x=?2,y=2,z=?1，所以點D的坐標是(?2,2,?1)，故A正確；因為BD=?4,2,?1，則因為AB=2,0,?1，AD=且AB=4+0+1=則cos∠DAB=由C可知sin∠DAB=則四邊形ABCD的面積為AB?故選：ABD.12．（5分）（2324高二下·河南南陽·階段練習）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED=10,FB=23，M為AD

A．BD⊥ADB．BM//平面CDEC．BF與平面EMB所成夾角的正弦值為3D．平面BFM與平面EMB所成夾角的正弦值為11【解題思路】對于A：利用平面幾何知識說明即可；對于B：只需要證明BM//CD即可；對于C：建立空間直角坐標系，計算BF與平面EMB的法向量，再代入線面角的計算公式；對于D：計算平面EMB和平面BFM法向量，在代入面面角的計算公式.【解答過程】因為BC//AD，EF=2，AD=4，M為AD的中點，所以BC//MD，BC=MD,四邊形BCDM為平行四邊形，所以BM//CD，又因為BM?平面CDE，CD?平面CDE，所以BM//平面CDE，故B正確；如圖所示，作BO⊥AD交AD于O，連接OF，因為四邊形ABCD為等腰梯形，所以BC//AD，AD=4，AB=BC=2，所以CD=2，又因為四邊形BCDM為平行四邊形，可得BM=CD=2，又AM=2，所以△ABM為等邊三角形，O為AM中點，所以OB=3，BD與AD又因為四邊形ADEF為等腰梯形，M為AD中點，所以EF//MD，EF=MD，四邊形EFMD為平行四邊形，所以FM=ED=AF，又因為O為AM中點，所以OF⊥AM且，OF=A則有OB2+OF2以O為原點，OB方向為x軸，OD方向為y軸，OF方向為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

F0,0,3，B3,0,0，M0,1,0，E0,2,3，BM設平面BFM的法向量為m=x1,y則m?BM=0m?BF=0??則n?BM=0n?BE=0??所以BF與平面EBM所成角的正弦值為cos<cosm?所以平面BFM與平面EBM夾角的正弦值為43故選：BC.三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2324高二下·廣東湛江·開學考試）已知向量a=3,?2,1，b=?1,3,?2，c=3,5,λ，若a【解題思路】由向量共面的性質(zhì)可得c=ma+nb【解答過程】因為a,b,c三向量共面，所以可設即3,5,λ=m所以3m?n=3,?2m+3n=5m?2n=λ,，解得m=2，n=3，所以故答案為：4.14．（5分）（2324高二下·江蘇·階段練習）已知空間向量a,b,c兩兩夾角為60°，且a=b【解題思路】先計算出a?【解答過程】依題意，a?則a=|a?|a→故答案為：5.15．（5分）（2324高二下·上海浦東新·期中）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1C1，BB1的中點，【解題思路】由G是MN的中點，可得AG=12【解答過程】解：連接AM,AN，如圖所示：因為G是MN的中點，M,N分別是A1C1所以AG=====1又因為AG=x所以x=1所以x+y+z=3故答案為：3216．（5分）（2324高二下·河南濮陽·階段練習）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E為棱CD的中點，則點【解題思路】建立空間直角坐標系，求平面AEC【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1,0,0),C設平面AEC1的一個法向量為AE=(?1,則n?令y=2，則n=(1,2,?1)設點A1到平面AEC1則d=|即點A1到平面AEC1故答案為：66四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2324高二·全國·課堂例題）化簡：12【解題思路】根據(jù)空間向量的線性運算及運算律即可求解?！窘獯疬^程】原式=a18．（12分）（2324高二下·山東煙臺·階段練習）已知正四面體ABCD的棱長為1，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點，點G為線段AF的中點.(1)用AB，AC，AD表示EG；(2)求EG?【解題思路】（1）根據(jù)空間向量的基本定理，結(jié)合向量運算求得答案.（2）利用空間向量的數(shù)量積運算律計算即得.【解答過程】（1）在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD的中點，點G為線段AF的中點，AG=所以EG=?AB（2）正四面體ABCD的棱長為1，則AB?所以EG?19．（12分）（2324高二下·甘肅蘭州·期中）已知空間中三點A2,0,?2，B1,?1,?2，C3,0,?4，設a(1)已知a+kb⊥(2)若c=6，且c∥BC，求c【解題思路】（1）問題轉(zhuǎn)化為a+kb?（2）根據(jù)向量的模的計算和向量共線，求c的坐標.【解答過程】（1）由題知a=AB=所以a+k因為a+k所以a+kb?b=0?k?1+4k=0（2）因為c∥BC，BC=所以c=λBC=因為c=6，所以2λ2+所以c=4,2,?4或20．（12分）（2324高二上·河南開封·期末）如圖，在空間四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5，∠ABC=∠BAD=120°，AD⊥BC.(1)求BA?(2)求CD的長.【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接求解即可；（2）先利用加法法則表示CD=【解答過程】（1）因為AB=3，BC=4，∠ABC=120°，所以BA?（2）因為CD=所以CD=16+9+25+24×3×所以CD=CD21．（12分）（2324高一下·廣西南寧·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，E,F分別是AB,PC的中點，四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=π

(1)證明：EF//平面PAD；(2)求點E到平面PAD的距離．【解題思路】（1）由面面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明即可.（2）以D為坐標原點，DE，DC，DP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，由點到平面的向量公式求解即可.【解答過程】（1）證明：取CD中點G，連接EG,FG，∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，E,F分別是AB,PC的中點，四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠DAB=π∴EG//AD,FG//PD，EG?平面EFG，AD?平面EFG，所以AD//平面EFG，同理PD//平面EFG，AD∩PD=D，AD,PD?PAD，∴PAD//平面EFG，∵EF?平面EFG，∴EF//平面PAD；（2）連接DE，由題意得DE，DC，DP兩兩垂直，以D為坐標原點，DE，DC，DP所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則D0,0,0，E23設DP=tt>0，則P0,0,t，A23設平面PAD的法向量為n=則n?DP=tz=0n?DA=2∴點E到平面PAD的距離為：d=DE22．（12分）（2324高二下·廣東惠州·期末）在三棱錐P?ABC中，PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB=π2．D,E分別為線段AB,BC上的點，且(1)證明：DE⊥平面PCD；(2)求平面PAD與平面PCD夾角的余弦值．【解題思路】（1）根據(jù)PC⊥平面ABC并結(jié)合△CDE的形狀，利用線面垂直的判定定理進行證明；（2）建立空間直角坐標系，求解出平面APD、平面PDC的法向量，再用面面角的向量求法求解即得..【解答過程】（1）由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，得PC⊥DE，由CE=2，CD=DE=2得△CDE又PC∩CD=C，且PC?面PCD，CD?面PCD，