第10講立體幾何初步認識(原卷版+解析)

第10講立體幾何初步認識掌握長方體正方體的體積及表面積掌握表面積和體積的變化規(guī)律掌握表面積和體積的應(yīng)用模塊一：長方體正方體的體積與表面積長方體和正方體的認識特征：長方體有6個面，每個面都是長方形（特殊的有一組對面是正方形），相對的面完全相同；有12條棱，相對的棱平行且相等；有8個頂點。正方形有6個面，每個面都是正方形，所有的面都完全相同；有12條棱，所有的棱都相等；有8個頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。長方體的棱長總和=（長＋寬＋高）×4用字母表示：(a+b+h)×4正方體的棱長總和=棱長×12用字母表示：12a長方體和正方體的表面積的計算表面積：長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2正方體的表面積=棱長×棱長×6用字母表示：S=6a2單位：平方厘米、平方分米、平方米1m2=100dm21dm2=100cm2長方體和正方體的體積的計算物體所占空間的大小叫做物體的體積。長方體的體積=長×寬×高用字母表示：V=abh正方體的體積=棱長×棱長×棱長用字母表示：V=a3立方厘米、立方分米和立方米1m3=1000dm31dm3=1000cm31m3=1000000cm3長方體或正方體的體積=底面積×高用字母表示：V=Sh把高級單位化成低級單位，用高級單位數(shù)乘以進率；------大乘小把低級單位聚成高級單位，用低級單位數(shù)除以進率。------小除大模塊二：表面積與體積的變化當(dāng)相同的正方體拼在一起的時候，這里重疊的地方就把它叫做接縫，重疊部分的面積就叫做接縫處的面積。接縫條數(shù)＝正方體個數(shù)－1。每有1條接縫就減少了原來的2個面的面積。拼成的長方體的表面積＝原來正方體表面積之和－減少的面的面積。接縫處的面積＝接縫條數(shù)×2×每個面的面積。石塊投入水里：增加的體積就是石塊的體積表面積減少情況:1、把兩個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？2、把三個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？3、把四個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？5、把100個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？…………100個……100個表面積增加的情況1、把一個長方體正好切成兩個棱長1厘米的正方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？2、把一個長方體正好切成三個棱長1厘米的正方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？3、把一個長方體正好切成四個棱長1厘米的正方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？例題解析例題解析模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用三視圖畫法：長對正，高平齊，寬相等（需要添加對應(yīng)的題目）平面圖：立體圖形的直觀圖涂色問題：（需要添加對應(yīng)的題目）對于n×n×n的正方形，其涂色情況如下：3面涂色：8個（每個頂點均有一個涂色）、2面涂色：（n-2）×12個1面涂色：（n-2）×（n-2）×6個各面均沒有涂色：總數(shù)減去上面3個總數(shù)或者（n-2）×（n-2）×（n-2）個模塊一：長方體正方體的體積與表面積一、圖形計算1．計算下面圖形的表面積和體積。（單位：厘米）2．分別計算下面兩個圖形的表面積和體積。（單位：cm）

二、解答題3．根據(jù)下面兩人的對話信息，回答下列問題：

（1）這個魚缸的容積是多少立方分米？（2）放入的觀賞石的體積是多少立方分米？（3）清洗魚缸時，如果水管以每分鐘抽吸8立方分米的速度，那么至少需要多長時間才能將魚缸的水抽干？4．實驗小學(xué)要建一個長方體游泳池，長20米，寬15米，深3米。（1）如果在底部和四周貼上邊長為5分米的瓷磚，至少需要多少塊才能夠用？（2）如果將水池注入1.4米深的水，一共能注多少噸水？（1立方米水重1噸）5．求下面假山的體積是多少？

6．一個游泳池長50米，寬25米，內(nèi)蓄滿水2500立方米。（1）這個游泳池的高是多少米？（2）如果要把游泳池內(nèi)貼上5分米×5分米的正方形瓷磚，需要瓷磚多少塊？三、填空題7．將一個長8dm，寬和高都是5dm的長方體框架，拆開后再焊接成一個正方體，并給它表面貼上紙，這個正方體的棱長是()dm，表面積是()dm2，體積是()dm3。8．做一個棱長為0.4米的正方體紙盒，至少需要__________平方米的紙板，紙盒的體積是__________立方米。模塊二：表面積與體積的變化例1、把下圖的長方體按照三種不同的方法切成兩個長方體，表面積分別增加了多少平方厘米？8厘米8厘米10厘米7厘米10厘米7厘米10厘米7厘米8厘米10厘米10厘米7厘米8厘米在棱長為4cm的正方體的6個面上，各挖去一個棱長為1cm的正方體，挖后的正方體的體積是()cm3，表面積增加了()cm2。模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用例1．把10個棱長1厘米的小正方體拼擺成一個立體圖形（如圖），這個立體圖形的體積是()立方厘米，表面積是()平方厘米。例2．求下面組合圖形的體積。例3．求下面圖形的體積。（單位：厘米）例4．求下圖的體積和表面積。（單位：厘米）

例5．計算下面立體圖形的表面積和體積。1．如圖，一個圓柱的底面半徑為r，高為h。小明將圓柱表面展開（圖1），得到圓柱表面積不同的計算方法。（1）你能將這種方法用字母公式補充完整嗎？（2）當(dāng)r＝4厘米，h＝10厘米時，用這種方法：圓柱表面積＝長方形面積，求出圓柱表面積S表＝（）。2．一頂圓錐形斗笠（如圖所示），這頂圓錐形斗笠的體積是多少立方厘米？3．一個圓柱形汽油桶，底面半徑是3分米，高是12分米，內(nèi)裝汽油的高度為桶高的。如果每升汽油重0.8千克，那么現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油多少千克？4．如圖，用一根彩帶捆扎一個長方體禮品盒，接頭處的彩帶長25cm。這根彩帶長多少厘米？5．一個圓錐形沙堆，底面積36平方米，高0.8米。用這堆沙子去填一個長7.5米、寬4米的長方體沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？6．有圓柱體與正方體容器各一個。圓柱體的底面直徑與正方體的棱長都是4分米。圓柱體里裝有2分米高的水，這時水與圓柱體的接觸面積是多少平方分米？把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，這時水面高多少分米？（計算結(jié)果保留π）7．一塊長方形的鐵皮（如圖），如果用它做一個高5分米的圓柱形油桶的側(cè)面，再另配一個底面，做這樣一個油桶至少需要多少鐵皮？（用進一法取近似值，得數(shù)保留整平方分米）如果1升柴油重0.85千克，這個圓柱形油桶可以盛柴油多少千克？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

8．把一個底面直徑是10厘米的圓柱形木塊沿底面直徑分成相同的兩塊，表面積增加了100平方厘米．求這個圓柱體的體積．9．如下圖：用一張長82.8厘米、寬10厘米的鐵皮，剪下一個最大的圓做圓柱的底面，剩下的部分圍在底面上做成一個無蓋的鐵皮水桶，算一算這個鐵皮水桶的容積是多少？（鐵皮厚度不計）．10．把一個小鐵塊放入圓柱形水槽后，測得水面上升了3cm，小鐵塊的體積是多少？11．一個圓柱形的蓄水池，從里面量，池底直徑20米，深5米。（1）在這個蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥3千克，一共需要水泥多少千克？（2）蓄水池最多能蓄水多少噸？（1立方米水重1噸）12．一個無蓋的長方體玻璃魚缸，長10分米，寬6分米，高7分米。（1）做這個魚缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）若往魚缸里放入330升水，水面離缸口多少分米？13．佳佳有兩個圓柱形水杯，一個藍色的和一個綠色的。這兩個水杯的高都是20厘米，藍色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2，藍色水杯水深7厘米，綠色水杯水深4厘米，現(xiàn)在往這兩個水杯里同時倒入同樣多的水，直到水面高度相等，這時藍色水杯的水面上升了多少厘米？14．淘氣和笑笑去參觀溫室無土蔬菜養(yǎng)植園。（1）養(yǎng)植園是個長方形，畫在的圖紙上，長10cm，寬3cm，這個養(yǎng)植園實際的長和寬各是多少米？（2）養(yǎng)植園外形是一個半圓柱形（如圖），半圓柱形外覆蓋了一層塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？（3）利用如圖中的陰影部分鐵皮，剛好能做成一個園區(qū)內(nèi)的圓柱形營養(yǎng)液蓄儲桶（接口處忽略不計），這個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是多少？15．甲流是甲型流行性感冒的簡稱，是由甲型流感病毒感染人體所導(dǎo)致的急性呼吸道疾病。李華感染了甲流，需要輸液。如圖①所示，輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升。護士阿姨給李華設(shè)置了平均每分鐘5毫升的輸液速度，10分鐘后，空的部分高度是6厘米，如圖②所示。（1）這個輸液瓶的底面積是多少平方厘米？（2）這個輸液瓶的容積是多少毫升？16．一個圓柱形零件，底面半徑是6厘米，高是12厘米，在零件的底部有一個圓柱形的洞，洞口直徑是10厘米，洞深4厘米。（1）如果將這個零件與空氣接觸的表面都涂上防銹漆，涂防銹漆的面積是多少平方厘米？（2）這個零件用鐵鑄造，如果每立方厘米的鐵約重7.8克，這個零件約重多少千克？（得數(shù)保留一位小數(shù)）17．有一個長方體，長與寬的比是，寬與高的比是。已知這個長方體的全部棱長之和是厘米，求這個長方體的體積。18．圖中所示圖形是一個底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個底面直徑為6厘米，高20厘米的一個圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（π=3.14）19．有一塊棱長分別為6dm、8dm、10dm的長方體木塊，把它切割成體積盡可能大的圓錐體木塊．求這個圓錐體木塊的體積？20．如圖，4×4×4正方體方格柜子中，每個單位方格內(nèi)放有一個球。三臺相機分別記錄柜子的三視圖（如下所示）。俠盜羅賓準(zhǔn)備一次性取走其中若干個球，但不能被發(fā)現(xiàn)（即需保證三視圖的結(jié)果不變）。（1）至多能取走多少個球？（2）當(dāng)取走球的數(shù)量最多時，有多少種不同的拿法？第10講立體幾何初步認識掌握長方體正方體的體積及表面積掌握表面積和體積的變化規(guī)律掌握表面積和體積的應(yīng)用模塊一：長方體正方體的體積與表面積長方體和正方體的認識特征：長方體有6個面，每個面都是長方形（特殊的有一組對面是正方形），相對的面完全相同；有12條棱，相對的棱平行且相等；有8個頂點。正方形有6個面，每個面都是正方形，所有的面都完全相同；有12條棱，所有的棱都相等；有8個頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。長方體的棱長總和=（長＋寬＋高）×4用字母表示：(a+b+h)×4正方體的棱長總和=棱長×12用字母表示：12a長方體和正方體的表面積的計算表面積：長方體或正方體6個面的總面積叫做它的表面積。長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2用字母表示：S=（ab＋ah＋bh）×2正方體的表面積=棱長×棱長×6用字母表示：S=6a2單位：平方厘米、平方分米、平方米1m2=100dm21dm2=100cm2長方體和正方體的體積的計算物體所占空間的大小叫做物體的體積。長方體的體積=長×寬×高用字母表示：V=abh正方體的體積=棱長×棱長×棱長用字母表示：V=a3立方厘米、立方分米和立方米1m3=1000dm31dm3=1000cm31m3=1000000cm3長方體或正方體的體積=底面積×高用字母表示：V=Sh把高級單位化成低級單位，用高級單位數(shù)乘以進率；------大乘小把低級單位聚成高級單位，用低級單位數(shù)除以進率。------小除大模塊二：表面積與體積的變化當(dāng)相同的正方體拼在一起的時候，這里重疊的地方就把它叫做接縫，重疊部分的面積就叫做接縫處的面積。接縫條數(shù)＝正方體個數(shù)－1。每有1條接縫就減少了原來的2個面的面積。拼成的長方體的表面積＝原來正方體表面積之和－減少的面的面積。接縫處的面積＝接縫條數(shù)×2×每個面的面積。石塊投入水里：增加的體積就是石塊的體積表面積減少情況:1、把兩個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？2、把三個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？3、把四個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？4、把100個棱長1厘米的正方體粘成一個長方體，表面積比原來減少了多少平方厘米？…………100個……100個表面積增加的情況1、把一個長方體正好切成兩個棱長1厘米的正方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？2、把一個長方體正好切成三個棱長1厘米的正方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？3、把一個長方體正好切成四個棱長1厘米的正方體，表面積比原來增加了多少平方厘米？例題解析例題解析模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用三視圖畫法：長對正，高平齊，寬相等（需要添加對應(yīng)的題目）平面圖：立體圖形的直觀圖涂色問題：（需要添加對應(yīng)的題目）對于n×n×n的正方形，其涂色情況如下：3面涂色：8個（每個頂點均有一個涂色）、2面涂色：（n-2）×12個1面涂色：（n-2）×（n-2）×6個各面均沒有涂色：總數(shù)減去上面3個總數(shù)或者（n-2）×（n-2）×（n-2）個模塊一：長方體正方體的體積與表面積一、圖形計算1．計算下面圖形的表面積和體積。（單位：厘米）【答案】表面積：216平方厘米，體積：216立方厘米；表面積：640平方厘米，體積：800立方厘米【分析】根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3；根據(jù)長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，長方體的體積公式：V＝abh；據(jù)此進行計算即可?！驹斀狻?×6×6＝36×6＝216（平方厘米）6×6×6＝36×6＝216（立方厘米）（20×10＋20×4＋10×4）×2＝（200＋80＋40）×2＝320×2＝640（平方厘米）20×10×4＝200×4＝800（立方厘米）2．分別計算下面兩個圖形的表面積和體積。（單位：cm）

【答案】表面積為462，體積為669；表面積為230，體積為165【分析】看圖1可知，一個長方體和正方體疊加之后，減少了兩個正方形的表面積，組合圖形的表面積等于長方體的表面積加上正方體四個面的表面積，利用表面積公式分別代入計算即可；疊加后體積不變，組合圖形的體積等于長方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計算即可。看圖2可知，一個長方體和正方體疊相鄰放齊之后，減少了兩個長方體側(cè)面的表面積，組合圖形的表面積等于正方體的表面積加上長方體上、下、前、后四個面的表面積，表面積公式分別代入計算即可；組合圖形的體積等于長方體的體積加上正方體的體積，利用體積公式計算即可?！驹斀狻繄D1：長方體表面積：11×5×4＝55×4＝220（）正方體四個面的表面積：11×11×2＝121×2＝242（）圖1的表面積：220＋242＝462（）長方體體積：11×11×5＝121×5＝605（）正方體體積：4×4×4＝16×4＝64（）圖1的體積：605＋64＝669（）圖2：正方體的表面積：5×5×6＝25×6＝150（）長方體四個面的表面積：10×2×4＝20×4＝80（）圖2的表面積：150＋80＝230（）正方體的體積：5×5×5＝25×5＝125（）長方體的體積：10×2×2＝20×2＝40（）圖2的體積：125＋40＝165（）二、解答題3．根據(jù)下面兩人的對話信息，回答下列問題：

（1）這個魚缸的容積是多少立方分米？（2）放入的觀賞石的體積是多少立方分米？（3）清洗魚缸時，如果水管以每分鐘抽吸8立方分米的速度，那么至少需要多長時間才能將魚缸的水抽干？【答案】（1）200立方分米（2）32立方分米（3）12分鐘【分析】（1）根據(jù)長方體的容積公式：V＝abh，據(jù)此計算可求出這個魚缸的容積是多少；（2）根據(jù)不規(guī)則物體的體積＝容器的底面積×水面上升的高度，據(jù)此進行計算即可；（3）根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此求出水的體積，用水的體積除以每分鐘抽吸的速度即可求解?！驹斀狻浚?）8×5×5＝40×5＝200（立方分米）答：這個魚缸的容積是200立方分米。（2）8×5×（3.2－2.4）＝40×0.8＝32（立方分米）答：放入的觀賞石的體積是32立方分米。（3）8×5×2.4÷8＝40×2.4÷8＝96÷8＝12（分鐘）答：至少需要12分鐘才能將魚缸的水抽干?！军c睛】本題考查求不規(guī)則物體的體積，結(jié)合長方體的容積的計算方法是解題的關(guān)鍵。4．實驗小學(xué)要建一個長方體游泳池，長20米，寬15米，深3米。（1）如果在底部和四周貼上邊長為5分米的瓷磚，至少需要多少塊才能夠用？（2）如果將水池注入1.4米深的水，一共能注多少噸水？（1立方米水重1噸）【答案】（1）2040塊（2）420噸【分析】（1）由題意可知，用貼瓷磚的面積除以一塊瓷磚的面積即可求出需要多少塊；貼瓷磚的面積等于長方體五個面的面積，即貼瓷磚的面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，據(jù)此解答即可；（2）根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此求出水池中水的體積，再用水的體積乘1立方米水的重量即可求解。【詳解】（1）20×15＋（20×3＋15×3）×2＝300＋（60＋45）×2＝300＋105×2＝300＋210＝510（平方米）＝51000（平方分米）51000÷（5×5）＝51000÷25＝2040（塊）答：至少需要2040塊才能夠用。（2）20×15×1.4×1＝300×1.4×1＝420×1＝420（噸）答：一共能注420噸水?！军c睛】本題考查長方體的表面積和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。5．求下面假山的體積是多少？

【答案】900立方厘米【分析】根據(jù)不規(guī)則物體的體積＝容器的底面積×水面上升的高度，據(jù)此進行計算即可?！驹斀狻?5×15×（14－10）＝225×4＝900（立方厘米）答：假山的體積是900立方厘米?！军c睛】本題考查求不規(guī)則物體的體積，結(jié)合長方體的體積的計算方法是解題的關(guān)鍵。6．一個游泳池長50米，寬25米，內(nèi)蓄滿水2500立方米。（1）這個游泳池的高是多少米？（2）如果要把游泳池內(nèi)貼上5分米×5分米的正方形瓷磚，需要瓷磚多少塊？【答案】（1）2米（2）6200塊【分析】（1）根據(jù)長方體的體積公式：V＝abh，據(jù)此求出這個游泳池的高是多少；（2）由題意可知，貼瓷磚的面積等于長方體五個面的面積，即貼瓷磚的面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，據(jù)此求出貼瓷磚的面積，用貼瓷磚的面積除以一塊正方形瓷磚的面積即可求出需要瓷磚多少塊。【詳解】（1）2500÷50÷25＝50÷25＝2（米）答：這個游泳池的高是2米。（2）50×25＋（50×2＋25×2）×2＝1250＋（100＋50）×2＝1250＋150×2＝1250＋300＝1550（平方米）＝155000（平方分米）155000÷（5×5）＝155000÷25＝6200（塊）答：需要瓷磚6200塊?！军c睛】本題考查長方體的體積和表面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。三、填空題7．將一個長8dm，寬和高都是5dm的長方體框架，拆開后再焊接成一個正方體，并給它表面貼上紙，這個正方體的棱長是()dm，表面積是()dm2，體積是()dm3。【答案】6216216【分析】這個正方體的棱長＝（長方體的長＋寬＋高）×4÷12；正方體的表面積＝棱長×棱長×6，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長。【詳解】（8＋5＋5）×4÷12＝18×4÷12＝72÷12＝6（dm）6×6×6＝36×6＝216（dm2）6×6×6＝36×6＝216（dm3）這個正方體的棱長是6dm，表面積是216dm2，體積是216dm3。【點睛】關(guān)鍵是熟悉正方體特征，掌握并靈活運用正方體表面積和體積公式。8．做一個棱長為0.4米的正方體紙盒，至少需要__________平方米的紙板，紙盒的體積是__________立方米。【答案】0.960.064【分析】根據(jù)正方體的表面積公式：S＝6a2，正方體的體積公式：V＝a3，據(jù)此進行計算即可。【詳解】0.4×0.4×6＝0.16×6＝0.96（平方米）0.4×0.4×0.4＝0.16×0.4＝0.064（立方米）則至少需要0.96平方米的紙板，紙盒的體積是0.064立方米?！军c睛】本題考查正方體的表面積和體積，熟記公式是解題的關(guān)鍵。模塊二：表面積與體積的變化例1、把下圖的長方體按照三種不同的方法切成兩個長方體，表面積分別增加了多少平方厘米？8厘米8厘米10厘米7厘米解析：S=7×8×2=112（平方厘米）答：表面積增加了112平方厘米。10厘米10厘米7厘米8厘米解析：S=7×10×2=140（平方厘米）答：表面積增加了140平方厘米。10厘米10厘米7厘米8厘米解析：S=10×8×2=160（平方厘米）答：表面積增加了160平方厘米。例2、在棱長為4cm的正方體的6個面上，各挖去一個棱長為1cm的正方體，挖后的正方體的體積是()cm3，表面積增加了()cm2?！敬鸢浮?324【分析】用大正方體的體積減去6個小正方體的體積就是剩下的體積；每挖去一個小正方體就會增加四個小正方形的面，計算出增加的小正方形面的個數(shù)即可計算增加的面積。【詳解】4×4×4－1×1×1＝16×4－1＝64－1＝63（cm3）1×1×4×6＝1×4×6＝4×6＝24（cm2）則挖后的正方體的體積是63cm3，表面積增加了24cm2?！军c睛】本題考查正方體的體積和表面積，明確每挖去一個小正方體就會增加四個小正方形的面是解題的關(guān)鍵。

模塊三：表面積與體積的綜合應(yīng)用例1．把10個棱長1厘米的小正方體拼擺成一個立體圖形（如圖），這個立體圖形的體積是()立方厘米，表面積是()平方厘米?！敬鸢浮?036【分析】先根據(jù)正方體的體積公式V＝a3，求出1個小正方體的體積，再乘小正方體的個數(shù)，即是這個立體圖形的體積。立體圖形從上面、前面、左面分別看到6個小正方形，同理從下面、后面、右面也有6個正方形，所以一共有（6＋6＋6）×2個小正方形，再乘每個小正方形的面積，即是這個立體圖形的表面積?！驹斀狻矿w積：1×1×1×10＝10（立方厘米）小正方形的個數(shù)：（6＋6＋6）×2＝18×2＝36（個）表面積：1×1×36＝36（平方厘米）這個立體圖形的體積是10立方厘米，表面積是36平方厘米。【點睛】本題考查不規(guī)則立體圖形的體積、表面積的求法，運用從不同方向觀察立體圖形的知識，從6個方向觀察到的圖形的總面積，就是這個立體圖形的表面積。例2．求下面組合圖形的體積。【答案】1296dm3【分析】長方體體積＝長×寬×高，正方體體積＝棱長×棱長×棱長，據(jù)此先分別求出長方體和正方體的體積，再相加求出組合體的體積?！驹斀狻?×6×20＋6×6×6＝1080＋216＝1296（dm3）所以，這個組合圖形的體積是1296dm3。例3．求下面圖形的體積。（單位：厘米）【答案】119.32立方厘米【分析】圓錐的底面直徑為4厘米，高為4.5厘米，利用“”表示出上面圓錐的體積，圓柱的底面直徑為4厘米，高為8厘米，利用“”表示出下面圓柱的體積，整個圖形的體積＝圓錐的體積＋圓柱的體積，據(jù)此解答?！驹斀狻浚剑剑剑剑?8×3.14＝119.32（立方厘米）所以，圖形的體積是119.32立方厘米。例4．求下圖的體積和表面積。（單位：厘米）

【答案】1317.12立方厘米；1192.96平方厘米【分析】由圖可知，圓柱的底面直徑等于長方體的寬，則圓柱的底面直徑為8厘米，高為12厘米，利用“”求出長方體的體積，利用“”求出圓柱的體積，圖形的體積＝長方體的體積－圓柱的體積；利用“”求出長方體的表面積，利用“”求出圓柱的側(cè)面積，圖形的表面積＝長方體的表面積－圓柱的底面積×2＋圓柱的側(cè)面積，據(jù)此解答?！驹斀狻矿w積：20×12×8＝240×8＝1920（立方厘米）3.14×（8÷2）2×12＝3.14×16×12＝50.24×12＝602.88（立方厘米）1920－602.88＝1317.12（立方厘米）表面積：（20×8＋20×12＋8×12）×2＝（160＋240＋96）×2＝496×2＝992（平方厘米）3.14×8×12＝25.12×12＝301.44（平方厘米）992－3.14×（8÷2）2×2＋301.44＝992－3.14×16×2＋301.44＝992－50.24×2＋301.44＝992－100.48＋301.44＝891.52＋301.44＝1192.96（平方厘米）所以，圖形的體積是1317.12立方厘米，表面積是1192.96平方厘米。例5．計算下面立體圖形的表面積和體積。【答案】160dm2，128dm3；406cm2；489cm3【分析】（1）根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，長方體的體積＝長×寬×高，代入數(shù)據(jù)計算即可；（2）從圖中可知，正方體與長方體有重合部分，把正方體的上面向下平移，補給長方體的上面，這樣長方體的表面積是完整的，而正方體只需計算4個面（前后面和左右面）的面積；組合圖形的表面積＝長方體的表面積＋正方體4個面的面積；組合圖形的體積＝長方體的體積＋正方體的體積；根據(jù)長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體4個面的面積＝棱長×棱長×4，長方體的體積＝長×寬×高，正方體的體積＝棱長×棱長×棱長，代入數(shù)據(jù)計算即可。【詳解】（1）（8×4＋8×4＋4×4）×2＝（32＋32＋16）×2＝80×2＝160（dm2）8×4×4＝32×4＝128（dm3）（2）3×3×4＋（11×6＋11×7＋6×7）×2＝9×4＋（66＋77＋42）×2＝36＋185×2＝36＋370＝406（cm2）3×3×3＋11×6×7＝9×3＋66×7＝27＋462＝489（cm3）1．如圖，一個圓柱的底面半徑為r，高為h。小明將圓柱表面展開（圖1），得到圓柱表面積不同的計算方法。（1）你能將這種方法用字母公式補充完整嗎？（2）當(dāng)r＝4厘米，h＝10厘米時，用這種方法：圓柱表面積＝長方形面積，求出圓柱表面積S表＝（）?！敬鸢浮浚?）見詳解（2）351.68平方厘米【分析】（1）由圖可知：將圓柱的兩個底面的圓切分并拼成近似的長方形，拼成的小長方形的長即為底面圓周長，寬為圓柱的底面半徑加上圓柱的高，與側(cè)面展開的長方形拼成的大長方形面積即為圓柱表面積，得出圓柱表面積＝底面周長×（h＋r）；（2）將r＝4厘米，h＝10厘米，代入公式計算出結(jié)果即可。【詳解】（1）如圖：（2）3.14×4×2×（4＋10）＝3.14×8×14＝3.14×112＝351.68（平方厘米）所以，圓柱的表面積是351.68平方厘米?！军c睛】本題的解答關(guān)鍵是從圖中得到長方形的長是圓柱的底面周長，長方形的寬是圓柱的底面半徑和高組成的。2．一頂圓錐形斗笠（如圖所示），這頂圓錐形斗笠的體積是多少立方厘米？【答案】15072立方厘米【分析】6分米＝60厘米，根據(jù)圓錐的體積公式：V＝πr2h，用3.14×（60÷2）2×16×即可求出圓錐形斗笠的體積。據(jù)此解答。【詳解】6分米＝60厘米3.14×（60÷2）2×16×＝3.14×302×16×＝3.14×900×16×＝15072（立方厘米）答：這頂圓錐形斗笠的體積是15072立方厘米。【點睛】本題主要考查了圓錐的體積公式的應(yīng)用，要熟練掌握公式。3．一個圓柱形汽油桶，底面半徑是3分米，高是12分米，內(nèi)裝汽油的高度為桶高的。如果每升汽油重0.8千克，那么現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油多少千克？【答案】203.472千克【分析】已知汽油桶的高是12分米，內(nèi)裝汽油的高度為桶高的，則把汽油桶的高看作單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，用12×即可求出內(nèi)裝汽油的高度；然后根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)即可求出汽油的體積，把結(jié)果化為升作單位，最后乘0.8千克，即可求出現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油多少千克。據(jù)此解答。【詳解】12×＝9（分米）3.14×32×9＝3.14×9×9＝254.34（立方分米）254.34立方分米＝254.34升254.34×0.8＝203.472（千克）答：現(xiàn)在桶內(nèi)裝有汽油203.472千克。【點睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)的應(yīng)用以及圓柱的體積公式的應(yīng)用，明確求一個數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計算。4．如圖，用一根彩帶捆扎一個長方體禮品盒，接頭處的彩帶長25cm。這根彩帶長多少厘米？【答案】245厘米【分析】根據(jù)圖形可知：所需彩帶的長度等于長方體的2條長、2條寬、4條高的長度和，再加上接頭處的25厘米，根據(jù)長方體的長、寬、高的數(shù)值，代入進行計算即可解答?！驹斀狻?0×2＋30×2＋20×4＋25＝80＋60＋80＋25＝140＋80＋25＝220＋25＝245（厘米）答：這根彩帶長245厘米?！军c睛】本題考查長方體的特征，關(guān)鍵是能確定有幾條長、幾條寬、幾條高。5．一個圓錐形沙堆，底面積36平方米，高0.8米。用這堆沙子去填一個長7.5米、寬4米的長方體沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？【答案】32厘米【分析】根據(jù)題意可知把圓錐形的沙堆填在長方體沙坑里，沙的體積不變，根據(jù)圓錐的體積公式：VSh，求出沙的體積，然后用沙的體積除以長方體沙坑的底面積即可，據(jù)此解答。【詳解】36×0.8÷（7.5×4）＝12×0.8÷30＝9.6÷30＝0.32（米）＝32（厘米）答：沙坑里沙子的厚度是32厘米。【點睛】此題主要考查圓錐的體積公式、長方體的體積公式的靈活運用。6．有圓柱體與正方體容器各一個。圓柱體的底面直徑與正方體的棱長都是4分米。圓柱體里裝有2分米高的水，這時水與圓柱體的接觸面積是多少平方分米？把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，這時水面高多少分米？（計算結(jié)果保留π）【答案】12π平方分米；0.5π分米?！痉治觥恳驗樗c圓柱體的容器的接觸面只有側(cè)面和底面，根據(jù)圓柱的表面積公式S＝側(cè)面積＋底面積，將數(shù)據(jù)代入即可得出答案。把圓柱體中的水倒入正方體容器內(nèi)，水的體積不變，根據(jù)圓柱的體積公式V＝Sh，先求出水的體積，再根據(jù)h＝V÷S（正方形面積公式S＝棱長×棱長），將數(shù)據(jù)代入，即可得出水面高度【詳解】4π×2＋（4÷2）2×π＝8π＋22×π＝8π＋4π＝12π（平方分米）（4÷2）2×π×2÷（4×4）＝22×π×2÷16＝8π÷16＝0.5π（分米）答：水與圓柱體的接觸面積是12平方分米，水面高0.5π分米。【點睛】本題考查學(xué)生對圓柱表面公式和圓柱體積公式的掌握和運用，解答時要注意水從圓柱體中倒入正方體容器內(nèi)，水的體積不變。7．一塊長方形的鐵皮（如圖），如果用它做一個高5分米的圓柱形油桶的側(cè)面，再另配一個底面，做這樣一個油桶至少需要多少鐵皮？（用進一法取近似值，得數(shù)保留整平方分米）如果1升柴油重0.85千克，這個圓柱形油桶可以盛柴油多少千克？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

【答案】123平方分米；120.1千克【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式：S＝Ch，圓的面積公式：S＝r2，把數(shù)據(jù)代入公式求出需要鐵皮的面積；再圓柱的體積（容積）公式：V＝r2h，把數(shù)據(jù)代入公式求出這個油桶能盛柴油的體積，然后再乘每升柴油的質(zhì)量即可?！驹斀狻?8.84×5＋3.14×（18.84÷3.14÷2）2＝94.2＋3.14×（18.84÷3.14÷2）2＝94.2＋3.14×（6÷2）2＝94.2＋3.14×32＝94.2＋3.14×9＝94.2＋28.26＝122.46（平方分米）≈123（平方分米）3.14×（18.84÷3.14÷2）2×5×0.85＝3.14×（6÷2）2×5×0.85＝3.14×32×5×0.85＝3.14×9×5×0.85＝28.26×5×0.85＝141.3×0.85＝120.105（千克）≈120.1（千克）答：做這樣一個油桶至少需要123平方分米鐵皮，這個圓柱形油桶可以盛柴油120.1千克?！军c睛】此題主要考查圓柱的側(cè)面積公式、圓的面積公式、圓柱的體積（容積）公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式。8．把一個底面直徑是10厘米的圓柱形木塊沿底面直徑分成相同的兩塊，表面積增加了100平方厘米．求這個圓柱體的體積．【答案】392.5立方厘米【分析】要求圓柱的體積，已知底面半徑為10÷2=5厘米，還需要求得圓柱的高；根據(jù)題干把一個圓柱沿底面直徑切開，分成兩個相等的半圓柱，表面積增加部分就是以這個圓柱的底面直徑和圓柱的高為邊長的兩個長方形的面積，由此利用長方形的面積公式即可求得圓柱的高，代入圓柱的體積公式即可解決問題．【詳解】解：圓柱的高為：100÷2÷10=50÷10=5（厘米）所以圓柱的體積為：3.14×（10÷2）2×5=3.14×25×5=392.5（立方厘米）答：原來這個圓柱的體積是392.5立方厘米．9．如下圖：用一張長82.8厘米、寬10厘米的鐵皮，剪下一個最大的圓做圓柱的底面，剩下的部分圍在底面上做成一個無蓋的鐵皮水桶，算一算這個鐵皮水桶的容積是多少？（鐵皮厚度不計）．【答案】1570立方厘米【分析】由題意可知：在長方形上剪一個最大的圓，圓的直徑應(yīng)該是10厘米，把剩下的鐵皮分成兩塊，把兩塊上下對接，圍成的圓柱的高是20厘米．根據(jù)圓的面積計算公式S=πr2，算出圓的底面積，再根據(jù)圓柱的體積V=sh，算出圓柱的體積即可．【詳解】解：3.14×（10÷2）2×10×2=3.14×25×20=78.5×20=1570（立方厘米）答：這個鐵皮水桶的容積是1570立方厘米．10．把一個小鐵塊放入圓柱形水槽后，測得水面上升了3cm，小鐵塊的體積是多少？【答案】235.5cm3【分析】水面上升3cm，那么上升水的體積就是小鐵塊的體積。上升水的體積是圓柱體的體積，底面直徑是10cm，高為3cm?！驹斀狻堪霃剑?0÷2＝5（cm）3.14×5×5×3＝15.7×5×3＝78.5×3＝235.5（cm3）答：小鐵塊的體積是235.5cm3?！军c睛】本題考查圓柱體積的計算，關(guān)鍵是鐵塊的體積就是圓柱內(nèi)水上升的體積，再按照圓柱的體積＝底面積×高計算。11．一個圓柱形的蓄水池，從里面量，池底直徑20米，深5米。（1）在這個蓄水池的底面和四周抹上水泥，如果每平方米用水泥3千克，一共需要水泥多少千克？（2）蓄水池最多能蓄水多少噸？（1立方米水重1噸）【答案】（1）1884千克；（2）1570噸【分析】（1）先利用“”求出抹水泥部分的面積，再乘每平方米需要水泥的質(zhì)量求出一共需要水泥的質(zhì)量；（2）先根據(jù)“”求出蓄水池的容積，再乘每立方米水的質(zhì)量求出蓄水池最多蓄水的質(zhì)量，據(jù)此解答?！驹斀狻浚?）3.14×20×5＋3.14×（20÷2）2＝3.14×20×5＋3.14×100＝3.14×（20×5＋100）＝3.14×（100＋100）＝3.14×200＝628（平方米）628×3＝1884（千克）答：一共需要水泥1884千克。（2）3.14×（20÷2）2×5＝3.14×100×5＝314×5＝1570（立方米）1570×1＝1570（噸）答：蓄水池最多能蓄水1570噸?！军c睛】掌握圓柱的表面積和體積計算公式是解答題目的關(guān)鍵。12．一個無蓋的長方體玻璃魚缸，長10分米，寬6分米，高7分米。（1）做這個魚缸至少需要玻璃多少平方分米？（2）若往魚缸里放入330升水，水面離缸口多少分米？【答案】（1）284平方分米（2）1.5分米【分析】（1）因為魚缸無蓋，所以求它的5個面的總面積，根據(jù)長方體的表面積公式：表面積＝長×寬＋（長×高＋寬×高）×2，代入數(shù)據(jù)，即可解答；（2）根據(jù)長方體的體積公式：體積＝長×寬×高，高＝體積÷長÷寬，代入數(shù)據(jù)，求出水的高度，再用魚缸的高減去水的高度；即可解答。【詳解】（1）10×6＋（10×7＋6×7）×2＝60＋（70＋42）×2＝60＋112×2＝60＋224＝284（平方分米）答：做這個魚缸至少需要玻璃284平方分米。（2）330升＝330立方分米330÷10÷6＝33÷6＝5.5（分米）7－5.5＝1.5（分米）答：水面離缸口1.5分米。【點睛】本題主要考查長方體的表面積公式、體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是熟記公式，注意單位名數(shù)的換算。13．佳佳有兩個圓柱形水杯，一個藍色的和一個綠色的。這兩個水杯的高都是20厘米，藍色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2，藍色水杯水深7厘米，綠色水杯水深4厘米，現(xiàn)在往這兩個水杯里同時倒入同樣多的水，直到水面高度相等，這時藍色水杯的水面上升了多少厘米？【答案】2.4厘米【分析】已知藍色與綠色水杯的底面半徑之比是3∶2，則假設(shè)藍色水杯的底面半徑是3厘米，綠色水杯的底面半徑是2厘米，已知現(xiàn)在往這兩個水杯里同時倒入同樣多的水，直到水面高度相等，則現(xiàn)在藍色水杯里水的體積－原來藍色水杯里水的體積＝現(xiàn)在綠色水杯里水的體積－原來綠色水杯里水的體積，根據(jù)圓柱的體積公式：V＝πr2h，設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米，據(jù)此列方程為：3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×4，然后解出方程，最后用現(xiàn)在水的高度減去原來藍色水杯里水的高度，即可求出藍色水杯的水面上升了多少厘米?！驹斀狻考僭O(shè)藍色水杯的底面半徑是3厘米，綠色水杯的底面半徑是2厘米，解：設(shè)現(xiàn)在水杯里水的高度是x厘米。3.14×32×x－3.14×32×7＝3.14×22×x－3.14×22×43.14×9×x－3.14×9×7＝3.14×4×x－3.14×4×428.26x－197.82＝12.56x－50.2428.26x－12.56x＝197.82－50.2415.7x＝147.58x＝147.58÷15.7x＝9.49.4－7＝2.4（厘米）答：這時藍色水杯的水面上升了2.4厘米?！军c睛】本題可用列方程來解決問題，關(guān)鍵是找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式。14．淘氣和笑笑去參觀溫室無土蔬菜養(yǎng)植園。（1）養(yǎng)植園是個長方形，畫在的圖紙上，長10cm，寬3cm，這個養(yǎng)植園實際的長和寬各是多少米？（2）養(yǎng)植園外形是一個半圓柱形（如圖），半圓柱形外覆蓋了一層塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？（3）利用如圖中的陰影部分鐵皮，剛好能做成一個園區(qū)內(nèi)的圓柱形營養(yǎng)液蓄儲桶（接口處忽略不計），這個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是多少？【答案】（1）100米；30米（2）5416.5平方米（3）803.84升【分析】（1）根據(jù)實際距離＝圖上距離÷比例尺，進行換算即可；（2）養(yǎng)殖園的長＝圓柱的高，養(yǎng)殖園的寬＝圓柱底面直徑，塑料薄膜面積＝圓柱底面積＋側(cè)面積÷2，據(jù)此列式解答；（3）圓柱側(cè)面沿高展開是個長方形，觀察可知，長方形的長＝圓柱底面周長，底面直徑×2＝圓柱的高，設(shè)底面直徑是x分米，根據(jù)底面直徑＋底面周長＝33.12分米，列出方程求出底面直徑，再根據(jù)圓柱體積＝底面積×高，求出容積即可?！驹斀狻浚?）10÷＝10×1000＝10000（厘米）＝100（米）3÷＝3×1000＝3000（厘米）＝30（米）答：這個養(yǎng)植園實際的長和寬各是100米、30米。（2）3.14×（30÷2）2＋3.14×30×100÷2＝3.14×152＋4710＝3.14×225＋4710＝706.5＋4710＝5416.5（平方米）答：需要5416.5平方米的塑料薄膜。（3）解：設(shè)底面直徑是x分米。x＋3.14x＝33.124.14x＝33.124.14x÷4.14＝33.12÷4.14x＝83.14×（8÷2）2×（8×2）＝3.14×42×16＝3.14×16×16＝803.84（立方分米）＝803.84（升）答：這個營養(yǎng)液蓄儲桶的容積是803.84升?！军c睛】關(guān)鍵是掌握圖上距離與實際距離的換算方法，熟悉圓柱特征，掌握并靈活運用圓柱表面積和體積公式。15．甲流是甲型流行性感冒的簡稱，是由甲型流感病毒感染人體所導(dǎo)致的急性呼吸道疾病。李華感染了甲流，需要輸液。如圖①所示，輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升。護士阿姨給李華設(shè)置了平均每分鐘5毫升的輸液速度，10分鐘后，空的部分高度是6厘米，如圖②所示。（1）這個輸液瓶的底面積是多少平方厘米？（2）這個輸液瓶的容積是多少毫升？【答案】（1）25平方厘米（2）350毫升【分析】（1）已知圖①的輸液瓶液面高度是10厘米，液體是250毫升；先根據(jù)進率：1毫升＝1立方厘米，將250毫升換算成250立方厘米；然后根據(jù)圓柱的底面積S＝V÷h，求出這個輸液瓶的底面積。（2）已知輸液速度為平均每分鐘5毫升，即每分鐘5立方厘米，那么10分鐘一共輸液5×10＝50立方厘米；由上一題可知這個輸液瓶的底面積是25平方厘米，根據(jù)圓柱的體積V＝Sh可知，圖②空的部分的體積是（25×6）立方厘米；用原來液體的體積加上圖②空的部分的體積，再減去10分鐘輸液的體積，即是這個輸液瓶的容積?！驹斀狻浚?）250毫升＝250立方厘米250÷10＝25（平方厘米）答：這個輸液瓶的底面積是25平方厘米。（2）5毫升＝5立方厘米250＋25×6－5×10＝250＋150－50＝350（立方厘米）350立方厘米＝350毫升答：這個輸液瓶的容積是350毫升。【點睛】本題考查圓柱體積公式的靈活運用，關(guān)鍵是明白圖②空的部分的體積包含原來空的部分體積和10分鐘輸液的體積。16．一個圓柱形零件，底面半徑是6厘米，高是12厘米，在零件的底部有一個圓柱形的洞，洞口直徑是10厘米，洞深4厘米。（1）如果將這個零件與空氣接觸的表面都涂上防銹漆，涂防銹漆的面積是多少平方厘米？（2）這個零件用鐵鑄造，如果每立方厘米的鐵約重7.8克，這個零件約重多少千克？（得數(shù)保留一位小數(shù)）【答案】（1）803.84平方厘米（2）8.1千克【分析】（1）由于底部有一個圓柱形的洞，那么與空氣接觸的面相當(dāng)于一個大圓柱的表面積外加底面下面