人教A版（2019）必修第二冊8.6.1空間直線、平面的垂直(學(xué)案)(原卷版+解析)

8.6.1空間直線、平面的垂直（學(xué)案）知識(shí)自測知識(shí)自測一．直線與平面垂直（一）定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直垂線段：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.（二）直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言（三）直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言二．平面與平面垂直（一）定義1.定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)畫法：(3)記作：α⊥β.（二）判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言（三）性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言知識(shí)簡用知識(shí)簡用題型一線線垂直【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條題型二線面垂直【例2-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點(diǎn)．求證：(1)平面；(2)平面．【例2-2】（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：(1)平面；(2).題型三面面垂直【例3-1】（2022春·上海奉賢·高一校考期末）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．【例3-2】（2022秋·陜西渭南·高一?？计谀┤鐖D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE．題型四判斷與性質(zhì)定理的辨析【例4-1】（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條不重合的直線，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【例4-2】（2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，，則8.6.1空間直線、平面的垂直（學(xué)案）知識(shí)自測知識(shí)自測一．直線與平面垂直（一）定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直垂線段：過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條，該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.（二）直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α圖形語言（三）直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言二．平面與平面垂直（一）定義1.定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)畫法：(3)記作：α⊥β.（二）判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言（三）性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言知識(shí)簡用知識(shí)簡用題型一線線垂直【例1-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【答案】D【解析】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.題型二線面垂直【例2-1】（2022春·廣西玉林·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中點(diǎn)．求證：(1)平面；(2)平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；四邊形為正方形，，又，平面，平面.【例2-2】（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn).求證：(1)平面；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）∵底面為矩形，∴，∵底面，底面，∴，又∵，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵，是的中點(diǎn)，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面，∴.題型三面面垂直【例3-1】（2022春·上海奉賢·高一?？计谀┤鐖D，在四棱錐中，四邊形為正方形，已知平面，且，為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）平面，平面，；四邊形為正方形，；，平面，平面，平面，平面平面.【例3-2】（2022秋·陜西渭南·高一?？计谀┤鐖D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D不同于點(diǎn)C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直線A1F∥平面ADE．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F?平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F?平面ADE，AD?平面ADE，∴直線A1F∥平面ADE．題型四判斷與性質(zhì)定理的辨析【例4-1】（2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條不重合的直線，下列命題正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D【解析】對于A，若，，則或或與相交，故A錯(cuò)誤．對于B，若，，，則或或與相交，故B錯(cuò)誤．對于C，若，，則或與相交，故C錯(cuò)誤．對于D，利用線面垂直，及面面垂直的位置關(guān)系，可知D正確．故選：D【例4-2】（2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】D【解析】利用