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文檔簡介
8.6.1空間直線、平面的垂直(學(xué)案)知識(shí)自測知識(shí)自測一.直線與平面垂直(一)定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直垂線段:過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條,該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.(二)直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α圖形語言(三)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言二.平面與平面垂直(一)定義1.定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)畫法:(3)記作:α⊥β.(二)判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語言l⊥α,l?β?α⊥β圖形語言(三)性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β圖形語言知識(shí)簡用知識(shí)簡用題型一線線垂直【例1-1】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中,與棱AB垂直的棱有(
)A.2條 B.4條C.6條 D.8條題型二線面垂直【例2-1】(2022春·廣西玉林·高一??茧A段練習(xí))如圖,是正方形,是正方形的中心,底面,是的中點(diǎn).求證:(1)平面;(2)平面.【例2-2】(2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末)如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,,點(diǎn)是的中點(diǎn).求證:(1)平面;(2).題型三面面垂直【例3-1】(2022春·上海奉賢·高一校考期末)如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形,已知平面,且,為中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)證明:平面平面.【例3-2】(2022秋·陜西渭南·高一??计谀┤鐖D,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.題型四判斷與性質(zhì)定理的辨析【例4-1】(2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知,是兩個(gè)不重合的平面,,是兩條不重合的直線,下列命題正確的是(
)A.若,,則B.若,,,則C.若,,則D.若,,,則【例4-2】(2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末)設(shè),,是三條不同的直線,,,是三個(gè)不同的平面,下列說法正確的是(
)A.若,,則B.若,,,,則C.若,,則D.若,,,則8.6.1空間直線、平面的垂直(學(xué)案)知識(shí)自測知識(shí)自測一.直線與平面垂直(一)定義定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直垂線段:過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條,該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.(二)直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P?l⊥α圖形語言(三)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言二.平面與平面垂直(一)定義1.定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.(2)畫法:(3)記作:α⊥β.(二)判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語言l⊥α,l?β?α⊥β圖形語言(三)性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β圖形語言知識(shí)簡用知識(shí)簡用題型一線線垂直【例1-1】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中,與棱AB垂直的棱有(
)A.2條 B.4條C.6條 D.8條【答案】D【解析】在長方體ABCD-A1B1C1D1的棱中,與棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8條.故選:D.題型二線面垂直【例2-1】(2022春·廣西玉林·高一??茧A段練習(xí))如圖,是正方形,是正方形的中心,底面,是的中點(diǎn).求證:(1)平面;(2)平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)連接,四邊形為正方形,為中點(diǎn),又為中點(diǎn),,平面,平面,平面.(2)平面,平面,;四邊形為正方形,,又,平面,平面.【例2-2】(2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末)如圖,四棱錐中,底面為矩形,底面,,點(diǎn)是的中點(diǎn).求證:(1)平面;(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)∵底面為矩形,∴,∵底面,底面,∴,又∵,平面,∴平面.(2)∵平面,平面,∴,∵,是的中點(diǎn),∴,又∵,平面,∴平面,∵平面,∴.題型三面面垂直【例3-1】(2022春·上海奉賢·高一??计谀┤鐖D,在四棱錐中,四邊形為正方形,已知平面,且,為中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)證明:平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)連接交于點(diǎn),連接,四邊形為正方形,為中點(diǎn),又為中點(diǎn),,平面,平面,平面.(2)平面,平面,;四邊形為正方形,;,平面,平面,平面,平面平面.【例3-2】(2022秋·陜西渭南·高一??计谀┤鐖D,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C),且AD⊥DE,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn).求證:(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)直線A1F∥平面ADE.【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析.【解析】(1)∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC,∵AD?平面ABC,∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE,DE、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴AD⊥平面BCC1B1,∵AD?平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1;(2)∵△A1B1C1中,A1B1=A1C1,F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)∴A1F⊥B1C1,∵CC1⊥平面A1B1C1,A1F?平面A1B1C1,∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1內(nèi)的相交直線∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1,∴A1F∥AD∵A1F?平面ADE,AD?平面ADE,∴直線A1F∥平面ADE.題型四判斷與性質(zhì)定理的辨析【例4-1】(2022春·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知,是兩個(gè)不重合的平面,,是兩條不重合的直線,下列命題正確的是(
)A.若,,則B.若,,,則C.若,,則D.若,,,則【答案】D【解析】對于A,若,,則或或與相交,故A錯(cuò)誤.對于B,若,,,則或或與相交,故B錯(cuò)誤.對于C,若,,則或與相交,故C錯(cuò)誤.對于D,利用線面垂直,及面面垂直的位置關(guān)系,可知D正確.故選:D【例4-2】(2022春·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末)設(shè),,是三條不同的直線,,,是三個(gè)不同的平面,下列說法正確的是(
)A.若,,則B.若,,,,則C.若,,則D.若,,,則【答案】D【解析】利用
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