高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)(新教材新高考)重難點(diǎn)突破09函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用(八大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破09函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用目錄1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線(xiàn))在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過(guò)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.題型一：零點(diǎn)問(wèn)題之一個(gè)零點(diǎn)例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù),.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，.①求證：函數(shù)存在零點(diǎn)；②設(shè)，若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.問(wèn)：是否存在，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有恒成立？如果存在，試確定的個(gè)數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例2．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)證明：若，則在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.變式1．（2023·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.(1)證明：函數(shù)，都恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，證明.題型二：零點(diǎn)問(wèn)題之二個(gè)零點(diǎn)例4．（2023·海南海口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè).（?。┳C明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足.例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學(xué)校考期中）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.變式3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）記兩個(gè)零點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．變式4．（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，．(1)若，求證：（?。┰诘膯握{(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；（ⅱ）在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：．題型三：零點(diǎn)問(wèn)題之三個(gè)零點(diǎn)例7．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.例8．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.例9．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知．（1）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）在（1）的前提下，設(shè)三個(gè)零點(diǎn)分別為且，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）.（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）若，且有三個(gè)不同零點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.變式7．（2023·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求，并說(shuō)明函數(shù)在（1，e）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)證明：存在直線(xiàn)，其與兩條曲線(xiàn)和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.題型四：零點(diǎn)問(wèn)題之max，min問(wèn)題例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)校考三模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．例11．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．例12．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).變式8．（2023·廣東·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；(2)用表示m，n中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線(xiàn)，求的值.(2)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).題型五：零點(diǎn)問(wèn)題之同構(gòu)法例13．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍例14．已知．（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．例15．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．題型六：零點(diǎn)問(wèn)題之零點(diǎn)差問(wèn)題例16．已知關(guān)于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．（1）若，，，求的表達(dá)式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．例17．已知函數(shù)．（1）如，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少，證明：．例18．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．題型七：零點(diǎn)問(wèn)題之三角函數(shù)例19．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)若對(duì)時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；(2)證明：；(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；②，其中且．變式11．（2023·山東濟(jì)南·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)?？级＃┮阎╪為正整數(shù)，）．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，，證明：有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．題型八：零點(diǎn)問(wèn)題之取點(diǎn)技巧例22．已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例23．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．例24．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．變式12．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．

重難點(diǎn)突破09函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的綜合應(yīng)用目錄1、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍.求解步驟：第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸(或直線(xiàn))在某區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù).2、函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)．(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫(huà)兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．3、求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷；二、將整理變形成的形式，通過(guò)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.題型一：零點(diǎn)問(wèn)題之一個(gè)零點(diǎn)例1．（2023·江蘇南京·南京市第十三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù),.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)，.①求證：函數(shù)存在零點(diǎn)；②設(shè)，若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為.問(wèn)：是否存在，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有恒成立？如果存在，試確定的個(gè)數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）由題可知，定義域?yàn)?則，令，解得（舍）或，故可得在單調(diào)遞減.（2），①由題可知.令，則其.⒈當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.又因?yàn)?，故在區(qū)間上一定有一個(gè)零點(diǎn)；⒉當(dāng)時(shí)，，令，解得，令，故可得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；令，故可得或，故在，單調(diào)遞減.又，故可得，又因?yàn)?，故在區(qū)間上一定有一個(gè)零點(diǎn).⒊當(dāng)時(shí)，，令，解得，顯然存在零點(diǎn).⒋當(dāng)時(shí)，令，解得，故可得在區(qū)間單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.又因?yàn)?，，故在區(qū)間上一定存在一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，對(duì)任意的，一定存在零點(diǎn).②由①可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.且只在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，顯然不滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.且且在區(qū)間上一定有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)零點(diǎn)為，則，故要存在，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有恒成立，只需，即，（?。┱淼?，.則上述方程在區(qū)間上根的個(gè)數(shù)，即為滿(mǎn)足題意的的個(gè)數(shù).不妨令,則，故方程（?。┑葍r(jià)于.不妨令，故可得在區(qū)間上恒成立.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因?yàn)?，故可得函?shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn).則方程（?。┐嬖谖ㄒ坏囊粋€(gè)根.即當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且總有恒成立.例2．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)證明：若，則在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.【解析】（1），設(shè)，，①當(dāng)時(shí)，若，則，在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，若，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，若，則，∴在上單調(diào)遞增，∵，，∴存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；綜上，的取值范圍為.（2）記，，由（1）知：若，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故存在唯一，使得，且.注意到，可知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且，即.例3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)證明：當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(3)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，，，故，又，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即（2）由題意，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)（3）由（2）可得，，故設(shè)，則①若，則，在上為減函數(shù)，故，故在上為減函數(shù)，不滿(mǎn)足題意；②若，i）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，，故存在使得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，且，設(shè)，易得，故在單調(diào)遞增，故，故，故.故在上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上有在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)ii）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，故為減函數(shù)，因?yàn)?，，故存在使得成立，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，故存在使得成立，故在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.又，故，且，，故，故存在使得，綜上有在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)變式1．（2023·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，函數(shù)，.(1)證明：函數(shù)，都恰有一個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，證明.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，時(shí)，，，，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)的定義域?yàn)椋?，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，令（表示中最大的數(shù)），，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由（1）得函數(shù)的零點(diǎn)為，且，的零點(diǎn)為，且，則有，，，，，在上單調(diào)遞增，由（1）可得，，，，，，，.原式得證.題型二：零點(diǎn)問(wèn)題之二個(gè)零點(diǎn)例4．（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設(shè).（?。┳C明：存在兩個(gè)零點(diǎn)，；（ⅱ）證明：的兩個(gè)零點(diǎn)，滿(mǎn)足.【解析】（1），所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為．（2）（?。┳C明：，，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)有最小值．由，，下面證明，在上，對(duì)，只要足夠小，必存在，使得：實(shí)際上，當(dāng)時(shí)，，令，得，所以對(duì)，取，必有，即，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，又，所以在區(qū)間上，存在唯一的，，綜上，存在兩個(gè)零點(diǎn)．（ⅱ）要證，需證，由，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因此需證：，，，所以，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，，即，結(jié)論得證，所以．例5．（2023·甘肅天水·高三天水市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．【解析】（1）的定義域?yàn)榍遥?，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)，當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），所以，，因?yàn)樵谏线f增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以在內(nèi)存在唯一根，由得，又，故是在上的唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù).例6．（2023·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．（1）若函數(shù)在處取得極值，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，證明：函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù)．【解析】（1）求導(dǎo)：，由已知有，即，所以，則，所以切點(diǎn)為，切線(xiàn)斜率，故切線(xiàn)方程為：.（2）的定義域?yàn)榍?，若，則當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)，當(dāng)，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3），所以，，因?yàn)樵谏线f增，在遞減，所以在上遞增，又，故存在唯一使得，所以在上遞減，在上遞增，又，所以在內(nèi)存在唯一根，

由得，又，故是在上的唯一零點(diǎn)．綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)互為倒數(shù).變式2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）由題可知，定義域當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，（為的導(dǎo)函數(shù)）單調(diào)遞增，使.時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增所以由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在遞減，，，且，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)又，且所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知要證需證令需證令與（1）同理得所以故變式3．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）記兩個(gè)零點(diǎn)為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍．【解析】（1）依題意，函數(shù)在定義域上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程在）上有兩個(gè)不同的解，也即在上有兩個(gè)不同的解．令，則．當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)逆增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以．又，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，且，若函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則．（2）因?yàn)闉榉匠痰膬筛?，所以，．不等式，變形可得，代入可得．因?yàn)?，，所以原不等式等價(jià)于．又由，，作差得，所以．所以原不等式等價(jià)于恒成立．令，則，不等式等價(jià)于在上恒成立．令，則．①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞，因此，滿(mǎn)足條件；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上不能恒小于零．綜上，．變式4．（2023·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，．(1)若，求證：（?。┰诘膯握{(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；（ⅱ）在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)若，記的兩個(gè)零點(diǎn)為，求證：．【解析】(1)證明：(1)(ⅰ)因?yàn)椋闪畹玫倪f減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，，所以在的遞減區(qū)間上也遞減．(ⅱ)因?yàn)?，由得，令，則.因?yàn)?，且，所以必有兩個(gè)異號(hào)的零點(diǎn)，記正零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，若在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則由，得，所以，又對(duì)稱(chēng)軸，所以所以.又，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．又令，解得.所以取，當(dāng)時(shí)，所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．故時(shí)，在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)．(2)由（ⅱ）知，對(duì)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所以題型三：零點(diǎn)問(wèn)題之三個(gè)零點(diǎn)例7．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是.證明：.【解析】（1）因?yàn)槎x域?yàn)?，又，（?。┊?dāng)單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，記，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，所以，①當(dāng)，則單調(diào)遞減，至多一個(gè)零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；②當(dāng)，由（ⅱ）知，有兩個(gè)零點(diǎn)，記兩零點(diǎn)為，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，則，所以，所以，且趨近0，趨近于正無(wú)窮大，趨近正無(wú)窮大，趨近負(fù)無(wú)窮大，所以函數(shù)有三零點(diǎn)，綜上所述，；（2）等價(jià)于，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由（1）可得，則，所以，所以，則滿(mǎn)足，，要證，等價(jià)于證，易知，令，則，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面證明，由，即證，即證，即證，即證，令，，令，則，所以，所以，則，所以，所以，所以，所以，所以原命題得證.例8．（2023·廣東深圳·?？级＃┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)①當(dāng)時(shí)，試證明函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)；②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，試證明.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?，所以，所以在定義域上單調(diào)遞減，其單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．（2）①由定義域?yàn)?，所以，令，因?yàn)?，，設(shè)方程的兩根分別為，，且，則，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以在處取得極小值，在處取得極大值，又，故，則，又因?yàn)?，，且，故有，由零點(diǎn)存在性定理可知，在恰有一個(gè)零點(diǎn)，在也恰有一個(gè)零點(diǎn)，易知是的零點(diǎn)，所以恰有三個(gè)零點(diǎn)；②由①知，，則，因?yàn)?，所以，所以要證，即證，即證，即證，即證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，故式成立，所以．例9．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）已知．（1）若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）在（1）的前提下，設(shè)三個(gè)零點(diǎn)分別為且，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．令．當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)相同．

當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

因此．又因?yàn)楹瘮?shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以有兩個(gè)均不等于1的不同零點(diǎn)．令，解得（舍去負(fù)值）．所以當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．

因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)．又因?yàn)闀r(shí)，，所以函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（2）因?yàn)?，，所以．所以．所以．所以是的兩個(gè)根．

又因?yàn)?，所以有一個(gè)小于0的根，不妨設(shè)為．根據(jù)有三個(gè)根，可知，

所以，即．因?yàn)椋裕?，即．顯然，所以a的取值范圍是．變式5．（2023·貴州遵義·遵義市南白中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，）.（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）若，且有三個(gè)不同零點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）若，則，.若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增,則，故在無(wú)零點(diǎn)；若，令，得，.在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增.又在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則，得，得,得.（2）因?yàn)椋瑒t，若有三個(gè)不同零點(diǎn)，且成等差數(shù)列，可設(shè),故，則，故，，.此時(shí)，，，故存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，故符合題意的的值為.變式6．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）設(shè)，已知函數(shù)有個(gè)不同零點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值：(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為、、，且，證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，.（2）因?yàn)?，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)至多兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，由可得或，列表如下：增極大值減極小值增由題意可知，有個(gè)不同的零點(diǎn)，則，又因?yàn)椋?，記，則，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，故不等式組的解集為.因?yàn)?，，故?dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）因?yàn)?，，結(jié)合（2）中的結(jié)論可知，①當(dāng)時(shí)，若存在符合題意的實(shí)數(shù)，則由于，因此，，，因此，、、成等差數(shù)列可得出，考慮，即，這等價(jià)于，令，所以，，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，故函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，在上存在唯一零點(diǎn)，記為，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，，因此，在上無(wú)零點(diǎn)，在上存在唯一的零點(diǎn)，所以，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得、、成等差數(shù)列;②當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.綜上所述，存在唯一的實(shí)數(shù)使得、、成等差數(shù)列.變式7．（2023·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)和有相同的最大值.(1)求，并說(shuō)明函數(shù)在（1，e）上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)證明：存在直線(xiàn)，其與兩條曲線(xiàn)和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.【解析】（1），令可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，取得最大值.即.，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，∴.當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，可知，不合題意.故，即.∴.∵，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴在上單調(diào)遞增，又，，∴在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).（2）由（1）知，，的圖象大致如下圖：直線(xiàn)與曲線(xiàn)，三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為，，，且，∴且由即，，，∴即.①由即，∴.②由①，②，，又，即，∴.題型四：零點(diǎn)問(wèn)題之max，min問(wèn)題例10．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由，得或，則和隨的變化如下表所示：0+0-0+0-極大極小極大∴在上有2個(gè)極大值：在上有1個(gè)極小值．（2）由，知．（?。┊?dāng)時(shí)，，∴，故在上無(wú)零點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，．故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，不是的零點(diǎn)．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，．故在的零點(diǎn)就是在的零點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在是減函數(shù)，結(jié)合，可知，在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，在是增函數(shù)，結(jié)合可知，在無(wú)零點(diǎn)，故在上無(wú)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，使得時(shí)，在是增函數(shù)；時(shí)，在是減函數(shù)；由知，．當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，故在上無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，無(wú)零點(diǎn)例11．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由，得或，則和隨的變化如下表所示：0000極大極小極大在上有2個(gè)極大值：，

在上有1個(gè)極小值：.（2）由，知.（i）當(dāng)時(shí)，，，故在上無(wú)零點(diǎn)．

（ii）當(dāng)時(shí)，，．故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，不是的零點(diǎn).（iii）當(dāng)時(shí)，．故在的零點(diǎn)就是在的零點(diǎn)，，．①當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，在是減函數(shù)，結(jié)合，可知，在有一個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，在是增函數(shù)，結(jié)合可知，在無(wú)零點(diǎn)，故在上無(wú)零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，使得時(shí)，，在是增函數(shù)；時(shí)，，在是減函數(shù)；由知，．當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，故在上無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，故在上有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，無(wú)零點(diǎn).例12．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，由得：或；由得：列表：01+00+極大值極小值∴；；（2）由知：（i）當(dāng)時(shí)，，故在上無(wú)零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，，知：當(dāng)時(shí)，，，是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，不是的零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，，故在的零點(diǎn)就是在的零點(diǎn).由得：，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴當(dāng)時(shí)，即在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即在上有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即在上無(wú)零點(diǎn)；綜上所述：時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，無(wú)零點(diǎn).變式8．（2023·廣東·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)若函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；(2)用表示m，n中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）由題意，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，沒(méi)有極值.當(dāng)時(shí)，令，即，解之得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴時(shí)，有極大值為，時(shí)，有極小值為，當(dāng)時(shí)，要證，即證，代入計(jì)算有，，，則有符合題意，即得證；當(dāng)時(shí)，要證，即證，代入計(jì)算有，，，則有符合題意，即得證.綜上，當(dāng)為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)時(shí)，均成立.（2）①當(dāng)時(shí)，，∴，故函數(shù)在時(shí)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，若，則，，故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；若，則，∴，故時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn).③當(dāng)時(shí)，，因此只需要考慮，由題意，，，㈠當(dāng)時(shí)，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，，∴在恒成立，即在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，也即在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；㈡當(dāng)時(shí)，，恒成立，∴在上單調(diào)遞減，即在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，也即在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)；㈢時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，若，即時(shí)，在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，也即在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；若，即時(shí)，在內(nèi)有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，也即在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；若，即時(shí)，由，，∴時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).變式9．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，求a的值；(2)用表示m，n中的最小值，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)為，∵，∴∴（*）消去a整理，得，∴∴（2）①當(dāng)時(shí)，，，∴在上無(wú)零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，，．若，，此時(shí)，是的一個(gè)零點(diǎn)，若，，此時(shí)，不是的零點(diǎn)③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的零點(diǎn)即為的零點(diǎn)．令，得，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，即在上無(wú)零點(diǎn)（ii）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)（iii）若，即時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)（iv）若，即時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)，即在上有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)或時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有三個(gè)零點(diǎn)變式10．（2023·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).(1)若過(guò)點(diǎn)可作的兩條切線(xiàn)，求的值.(2)用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【解析】(1)設(shè)切點(diǎn)為則切線(xiàn)方程為在直線(xiàn)上，則，令，則，令，解得，所以或要想讓切線(xiàn)有兩條，只需滿(mǎn)足或(2)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，在取得最大值，，所以只需考慮在的零點(diǎn)個(gè)數(shù).（i）若或，則當(dāng)時(shí)，在無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，而在有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）若，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為①若，即在無(wú)零點(diǎn).②若，即，則在有唯一零點(diǎn)；③若，即，由于所以當(dāng)時(shí)，在有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在有一個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)有0個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).題型五：零點(diǎn)問(wèn)題之同構(gòu)法例13．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】解：方法一：由可得，設(shè)，，，則，令，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故（1）．①當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，（1），此時(shí)在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，（1），此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，解得或1或，且，此時(shí)在單減，，單增，單減，，單增，當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜合①②③知在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)．方法二：由題意可得，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，，令，，易知在單減，在上單增，所以（1），又趨近于0和正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，所以．例14．已知．（1）若函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【解析】解：（1），，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋栽?，上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，使得，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以若，即時(shí)，在，上無(wú)零點(diǎn)，若，即時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，在，上無(wú)零點(diǎn)，綜上當(dāng)時(shí)，在，上有一個(gè)零點(diǎn)；（2）由，即，即，則有，令，，則，，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，，因?yàn)殛P(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．例15．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，顯然在單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．在處取得極小值，無(wú)極大值．（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解，設(shè)，則，單調(diào)遞增，有兩個(gè)解，即有兩個(gè)解．令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．，，當(dāng)時(shí)，．題型六：零點(diǎn)問(wèn)題之零點(diǎn)差問(wèn)題例16．已知關(guān)于的函數(shù)，與，在區(qū)間上恒有．（1）若，，，求的表達(dá)式；（2）若，，，，求的取值范圍；（3）若，，，，，，求證：．【解析】解：（1）由得，又，，所以，所以，函數(shù)的圖象為過(guò)原點(diǎn)，斜率為2的直線(xiàn)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)：，符合任意，（2），設(shè)，設(shè)，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以（1），所以當(dāng)時(shí)，，令所以，得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，△，即，解得，綜上，，．（3）①當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，令△，則△，記，則，恒成立，所以在，上是減函數(shù)，則（1），即，所以不等式有解，設(shè)解為，因此．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，是增函數(shù)，，（1），則當(dāng)時(shí)，，則，因此，因?yàn)?，，，所以，③?dāng)時(shí)，因?yàn)?，為偶函?shù)，因此也成立，綜上所述，．例17．已知函數(shù)．（1）如，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少，證明：．【解析】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，．從而在，單調(diào)增加，在，單調(diào)減少；（Ⅱ）．由條件得：（2），即，故，從而．因?yàn)?，所以．將右邊展開(kāi)，與左邊比較系數(shù)得，，．故．，又，即．由此可得．于是．例18．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)，時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，，令，可得，令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，，由，可得，因?yàn)?，所以，所以要證，即證，只需證（2），因?yàn)?，所以?），所以，得證．題型七：零點(diǎn)問(wèn)題之三角函數(shù)例19．（2023·山東·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知函數(shù)．(1)若對(duì)時(shí)，，求正實(shí)數(shù)a的最大值；(2)證明：；(3)若函數(shù)的最小值為m，試判斷方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由題知，令，所以，又因?yàn)闀r(shí)，，a為正實(shí)數(shù)，故在區(qū)間恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且．①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，符合題意．②當(dāng)時(shí)，，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)不符合，綜上所述，正實(shí)數(shù)a的最大值為1．（2）由（1）知，當(dāng)，時(shí)，，令時(shí)，有，即，所以，，，，累加得，即，所以（3）因?yàn)?，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，有，即，因此，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，又因?yàn)?，令，則，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即．設(shè)，則，令，則在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，由零點(diǎn)存在定理，時(shí)，，即，因此，又，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立，所以函數(shù)在上遞增，于是且，而函數(shù)在上遞減，在上遞增，∴，即函數(shù)有唯一零點(diǎn)，故方程有唯一的實(shí)數(shù)解．例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)記，若有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，求的值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，有，單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，則可知；（2）依題意，函數(shù)的定義域是，當(dāng)時(shí)，，即，而，時(shí)，，時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；①當(dāng)時(shí)，若，有，且，有，又，由（1）可知又，則所以在有1個(gè)零點(diǎn)：若，有，若，有，可知在有1個(gè)零點(diǎn)，符合題意：若，有在單調(diào)遞增，，（i）若，則當(dāng)，有，（ii）若，又，則可知，使得；由（i）、（ii），則可知有在單調(diào)遞減，所以，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；若，有在單調(diào)遞增，又，則可知，使得，所以在單調(diào)遞增，則有，又有，所以在至少有1個(gè)零點(diǎn)，則可知在至少有2個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，由，記，由①可知，有且僅有滿(mǎn)足題意，即時(shí)，滿(mǎn)足題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的值為，0，1.例21．（2023·廣東深圳·紅嶺中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，且0為的一個(gè)極值點(diǎn)．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：①函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；②，其中且．【解析】（1）由，則，因?yàn)?為的一個(gè)極值點(diǎn)，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，，在上單調(diào)遞增；.綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以0為的一個(gè)極值點(diǎn)，故.（2）①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，所以對(duì)，有，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減．又因?yàn)椋?，，在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，，所以存在，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增